Определение

Скалярная величина - величина, которая может быть охарактеризована числом. Например, длина, площадь , масса, температура и т.д.

Вектором называется направленный отрезок $\overline{A B}$; точка $A$ - начало, точка $B$ - конец вектора (рис. 1).

Вектор обозначается либо двумя большими буквами - своим началом и концом: $\overline{A B}$ либо одной малой буквой: $\overline{a}$.

Определение

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым . Чаще всего нулевой вектор обозначается как $\overline{0}$.

Векторы называются коллинеарными , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 2).

Определение

Два коллинеарных вектора $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называются сонаправленными , если их направления совпадают: $\overline{a} \uparrow \uparrow \overline{b}$ (рис. 3, а). Два коллинеарных вектора $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называются противоположно направленными , если их направления противоположны: $\overline{a} \uparrow \downarrow \overline{b}$ (рис. 3, б).

Определение

Векторы называются компланарными , если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости (рис. 4).

Два вектора всегда компланарны.

Определение

Длиной (модулем) вектора $\overline{A B}$ называется расстояние между его началом и концом: $|\overline{A B}|$

Подробная теория про длину вектора по ссылке .

Длина нулевого вектора равна нулю.

Определение

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом .

Векторы называются равными , если они лежат на одной или параллельных прямых; их направления совпадают и длины равны.

Иначе говоря, два вектора равны , если они коллинеарны, сонаправлены и имеют равные длины:

$\overline{a}=\overline{b}$ , если $\overline{a} \uparrow \uparrow \overline{b},|\overline{a}|=|\overline{b}|$

В произвольной точке $M$ пространства можно построить единственный вектор $\overline{M N}$, равный заданному вектору $\overline{A B}$.

2018 Ольшевский Андрей Георгиевич

Сайт наполняется книгами, вы можете книги скачать

Векторы на плоскости и в пространстве, способы решения задач, примеры, формулы

1 Векторы в пространстве

Векторы в пространстве включают геометрия 10, 11 класс и аналитическая геометрия. Векторы позволяют эффектно решать геометрические задачи второй части ЕГЭ и аналитической геометрии в пространстве. Векторы в пространстве даются так же как и векторы на плоскости, но учитывается третья координата z . Исключение из векторов в пространстве третьего измерения дает векторы на плоскости, которые объясняет геометрия 8, 9 класс.

1.1 Вектор на плоскости и в пространстве

Вектор - это направленный отрезок с началом и концом, изображаемым на рисунке стрелкой. Произвольная точка пространства может считаться нулевым вектором. Нулевой вектор не имеет конкретного направления, так как начало и конец совпадают, поэтому ему можно придать любое направление.

Vector в переводе с английского обозначает вектор, направление, курс, наведение, задание направления, курс самолета.

Длина (модуль) ненулевого вектора - это длина отрезка AB , которая обозначается
. Длина вектора обозначается . Нулевой вектор имеет длину равную нулю = 0.

Коллинеарными называются ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Сонаправленными называются коллинеарные ненулевые векторы, имеющие одно направление. Сонаправленные векторы обозначаются знаком . Например, если вектор сонаправлен с вектором , то используется запись .

Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

Противоположно направленными называются два коллинеарных ненулевых вектора, имеющих противоположное направление. Противоположно направленные векторы обозначаются знаком ↓. Например, если вектор противоположно направлен вектору , то используется запись ↓ .

Равными называются сонаправленные векторы равной длины.

Многие физические величины являются векторными величинами: сила, скорость, электрическое поле.

Если не задана точка приложения (начала) вектора, то она выбирается произвольно.

Если в точку O поместить начало вектора, то считается, что вектор отложен от точки O . Из любой точки можно отложить единственный вектор, равный данному вектору.

1.2 Сумма векторов

При сложении векторов по правилу треугольника, проводится вектор 1, из конца которого проводится вектор 2 и суммой двух данных векторов является вектор 3, проведенный из начала вектора 1 к концу вектора 2:

Для произвольных точек A , B и C можно написать сумму векторов:

+
=

Если два вектора выходят из одной точки

то их лучше складывать по правилу параллелограмма.

При сложении двух векторов по правилу параллелограмма, складываемые векторы откладываются из одной точки, из концов этих векторов достраивается параллелограмм путем прикладывания к концу одного вектора начала другого. Вектор, образованный диагональю параллелограмма, берущий начало от точки начала складываемых векторов, будет являться суммой векторов

Правило параллелограмма содержит в себе разный порядок сложения векторов по правилу треугольника.

Законы сложения векторов:

1. Переместительный закон + = + .

2. Сочетательный закон ( + ) + = + ( + ).

Если необходимо сложить несколько векторов, то векторы складываются попарно или по правилу многоугольника: из конца вектора 1 проводится вектор 2, из конца вектора 2 проводится вектор 3, из конца вектора 3 проводится вектор 4, из конца вектора 4 проводится вектор 5 и т. д. Вектор, являющийся суммой нескольких векторов, проводится от начала вектора 1 до конца последнего вектора.

По законам сложения векторов порядок сложения векторов не влияет на результирующий вектор, являющийся суммой нескольких векторов.

Противоположными называются два ненулевых противоположно направленных вектора равной длины. Вектор - является противоположным вектору

Эти векторы противоположно направленные и равны по модулю.

1.3 Разность векторов

Разность векторов можно записать в виде суммы векторов

- = + (-),

где "- " - вектор, противоположный вектору .

Векторы и - можно складывать по правилу треугольника или параллелограмма.

Пусть даны векторы и

Для нахождения разности векторов - строим вектор -

Векторы и - складываем по правилу треугольника, прикладывая к концу вектора начало вектора - , получили вектор + (-) = -

Векторы и - складываем по правилу параллелограмма, отложив начала векторов и - из одной точки

Если векторы и берут начало из одной точки

,

то разность векторов - дает вектор, соединяющий их концы и стрелка на конце результирующего вектора ставится в направлении того вектора, от которого отнимают второй вектор

Рисунок ниже демонстрирует сложение и разность векторов

Рисунок ниже демонстрирует сложение и разность векторов разными способами

Задача. Даны векторы и .

Изобразить сумму и разность векторов всеми возможными способами во всевозможных сочетаниях векторов.

1.4 Лемма о коллинеарных векторах

= k

1.5 Произведение вектора на число

Произведение ненулевого вектора на число k дает вектор = k , коллинеарный вектору . Длина вектора :

| | = |k |·| |

Если k > 0, то векторы и сонаправленные.

Если k = 0, то вектор нулевой.

Если k < 0, то векторы и противоположно направленные.

Если |k | = 1, то векторы и равной длины.

Если k = 1, то и равные векторы.

Если k = -1, то и противоположные векторы.

Если |k | > 1, то длина вектора больше длины вектора .

Если k > 1, то векторы и сонаправленные и длина больше длины вектора .

Если k < -1, то векторы и противоположно направленные и длина больше длины вектора .

Если |k | < 1, то длина вектора меньше длины вектора .

Если 0 < k < 1, то векторы и сонаправленные и длина меньше длины вектора .

Если -1 < k < 0, то векторы и противоположно направленные и длина меньше длины вектора .

Произведение нулевого вектора на число дает нулевой вектор.

Задача. Дан вектор .

Построить векторы 2 , -3 , 0,5 , -1,5 .

Задача. Даны векторы и .

Построить векторы 3 + 2 , 2 - 2 , -2 - .

Законы, описывающие умножение вектора на число

1. Сочетательный закон (kn ) = k (n )

2. Первый распределительный закон k ( + ) = k + k .

3. Второй распределительный закон (k + n ) = k + n .

Для коллинеарных векторов и , если ≠ 0, существует единственное число k , позволяющее выразить вектор через :

= k

1.6 Компланарные векторы

Компланарными называются векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если провести векторы, равные данным компланарным векторам из одной точки, то они будут лежать в одной плоскости. Поэтому можно сказать, что компланарными называются векторы, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Два произвольных вектора всегда компланарны. Три вектора могут быть компланарными или не компланарными. Три вектора, из которых хотя бы два коллинеарные, компланарны. Коллинеарные векторы всегда компланарны.

1.7 Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Любой вектор единственным образом разлагается на плоскости по двум неколлинеарным ненулевым векторам и с единственными коэффициентами разложения x и y :

= x + y

Любой вектор , компланарный ненулевым векторам и , единственным образом разлагается по двум неколлинеарным векторам и с единственными коэффициентами разложения x и y :

= x + y

Разложим на плоскости заданный вектор по данным неколлинеарным векторам и :

Проведем из одной точки заданные компланарные векторы

Из конца вектора проведем прямые, параллельные векторам и до пересечения с прямыми, проведенными через вектора и . Получим параллелограмм

Длины сторон параллелограмма получаются путем умножения длин векторов и на числа x и y , которые определяются путем деления длин сторон параллелограмма на длины соответствующих им векторов и . Получаем разложение вектора по заданным неколлинеарным векторам и :

= x + y

В решаемой задаче x ≈ 1,3, y ≈ 1,9, поэтому разложение вектора по заданным неколлинеарным векторам и можно записать в виде

1,3 + 1,9 .

В решаемой задаче x ≈ 1,3, y ≈ -1,9, поэтому разложение вектора по заданным неколлинеарным векторам и можно записать в виде

1,3 - 1,9 .

1.8 Правило параллелепипеда

Параллелепипед - это объемная фигура, противоположные грани которой состоят из двух равных параллелограммов, лежащих в параллельных плоскостях.

Правило параллелепипеда позволяет складывать три некомпланарных вектора, которые откладываются из одной точки и строится параллелепипед так, чтобы суммируемые векторы образовывали его ребра, а остальные ребра параллелепипеда были соответственно параллельны и равны длинам ребер, образованных суммируемыми векторами. Диагональ параллелепипеда образует вектор, являющийся суммой заданных трех векторов, который начинается из точки начала складываемых векторов.

1.9 Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Любой вектор разлагается по трем заданным некомпланарным векторам , и с единственными коэффициентами разложения x , y , z :

= x + y + z .

1.10 Прямоугольная система координат в пространстве

В трехмерном пространстве прямоугольная система координат Oxyz задается началом координат O и пересекающими в ней взаимно перпендикулярными координатными осями Ox , Oy и Oz с выбранными положительными направлениями, указанными стрелками, и единицей измерения отрезков. Если масштаб отрезков одинаковый по всем трем осям, то такая система называется декартовой системой координат.

Координата x называется абсциссой, y - ординатой, z - аппликатой. Координаты точки M записываются в скобках M (x ; y ; z ).

1.11 Координаты вектора в пространстве

В пространстве зададим прямоугольную систему координат Oxyz . От начала координат в положительных направлениях осей Ox , Oy , Oz проведем соответствующие единичные векторы , , , которые называются координатными векторами и некомпланарны. Поэтому любой вектор разлагается по трем заданным некомпланарным координатным векторам , и с единственными коэффициентами разложения x , y , z :

= x + y + z .

Коэффициенты разложения x , y , z являются координатами вектора в заданной прямоугольной системе координат, которые записываются в скобках (x ; y ; z ). Нулевой вектор имеет координаты равные нулю (0; 0; 0). У равных векторов соответствующие координаты равны.

Правила нахождения координат результирующего вектора:

1. При суммировании двух и более векторов каждая координата результирующего вектора равна сумме соответствующих координат заданных векторов. Если даны два вектора (x 1 ; y 1 ; z 1) и (x 1 ; y 1 ; z 1), то сумма векторов + дает вектор с координатами (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1 ; z 1 + z 1)

+ = (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1 ; z 1 + z 1)

2. Разность является разновидностью суммы, поэтому разность соответствующих координат дает каждую координату вектора, полученного при вычитании двух заданных векторов. Если даны два вектора (x a ; y a ; z a ) и (x b ; y b ; z b ), то разность векторов - дает вектор с координатами (x a - x b ; y a - y b ; z a - z b )

- = (x a - x b ; y a - y b ; z a - z b )

3. При умножении вектора на число каждая координата результирующего вектора равна произведению этого числа на соответствующую координату заданного вектора. Если даны число k и вектор (x ; y ; z ), то умножение вектора на число k дает вектор k с координатами

k = (kx ; ky ; kz ).

Задача. Найти координаты вектора = 2 - 3 + 4 , если координаты векторов (1; -2; -1), (-2; 3; -4), (-1; -3; 2).

Решение

2 + (-3) + 4

2 = (2·1; 2·(-2); 2·(-1)) = (2; -4; -2);

3 = (-3·(-2); -3·3; -3·(-4)) = (6; -9; 12);

4 = (4·(-1); 4·(-3); 4·2) = (-4; -12; 8).

= (2 + 6 - 4; -4 - 9 -12; -2 + 12 + 8) = (4; -25; 18).

1.12 Координаты вектора, радиус-вектора и точки

Координаты вектора - это координаты конца вектора, если начало вектора поместить в начало координат.

Радиус-вектор - это вектор, проведенный из начала координат к данной точке, координаты радиус-вектора и точки равны.

Если вектор
задан точками M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2), то каждая из его координат равна разности соответствующих координат конца и начала вектора

Для коллинеарных векторов = (x 1 ; y 1 ; z 1) и = (x 2 ; y 2 ; z 2), если ≠ 0, существует единственное число k , позволяющее выразить вектор через :

= k

Тогда координаты вектора выражаются через координаты вектора

= (kx 1 ; ky 1 ; kz 1)

Отношение соответствующих координат коллинеарных векторов равно единственному числу k

1.13 Длина вектора и расстояние между двумя точками

Длина вектора (x ; y ; z ) равна корню квадратному из суммы квадратов его координат

Длина вектора , заданного точками начала M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и конца M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) равна корню квадратному из суммы квадратов разности соответствующих координат конца вектора и начала

Расстояние d между двумя точками M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) равно длине вектора

На плоскости отсутствует координата z

Расстояние между точками M 1 (x 1 ; y 1) и M 2 (x 2 ; y 2)

1.14 Координаты середины отрезка

Если точка C - середина отрезка AB , то радиус-вектор точки C в произвольной системе координат с началом в точке O равен половине суммы радиус-векторов точек A и B

Если координаты векторов
(x ; y ; z ),
(x 1 ; y 1 ; z 1),
(x 2 ; y 2 ; z 2), то каждая координата вектора равна половине суммы соответствующих координат векторов и

,
,

= (x , y , z ) =

Каждая из координат середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов отрезка.

1.15 Угол между векторами

Угол между векторами - равен углу между проведенными из одной точки лучами, сонаправленными с этими векторами. Угол между векторами может быть от 0 0 до 180 0 включительно. Угол между сонаправленными векторами равен 0 0 . Если один вектор или оба нулевые, то угол между векторами, хотя бы один из которых нулевой, равен 0 0 . Угол между перпендикулярными векторами равен 90 0 . Угол между противоположно направленными векторами 180 0 .

1.16 Проекция вектора

1.17 Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов - это число (скаляр), равное произведению длин векторов на косинус угла между векторами

Если = 0 0 , то векторы сонаправлены
и
= cos 0 0 = 1, следовательно, скалярное произведение сонаправленных векторов равно произведению их длин (модулей)

.

Если угол между векторами 0 < < 90 0 , то косинус угла между такими векторами больше нуля
, следовательно скалярное произведение больше нуля
.

Если ненулевые векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю
, так как cos 90 0 = 0. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.

Если
, то косинус угла между такими векторами меньше нуля
, следовательно скалярное произведение меньше нуля
.

При увеличении угла между векторами косинус угла между ними
уменьшается и достигает минимального значения при = 180 0 , когда векторы противоположно направлены
. Так как cos 180 0 = -1, то
. Скалярное произведение противоположно направленных векторов равно отрицательному произведению их длин (модулей).

Скалярный квадрат вектора равен модулю вектора в квадрате

Скалярное произведение векторов, по крайней мере один из которых нулевой, равно нулю.

1.18 Физический смысл скалярного произведения векторов

Из курса физики известно, что работа A силы при перемещении тела равна произведению длин векторов силы и перемещения на косинус угла между ними, то есть равна скалярному произведению векторов силы и перемещения

Если вектор силы сонаправлен с перемещением тела , то угол между векторами
= 0 0 , следовательно работа силы на перемещении максимальна и равна A =
.

Если 0 < < 90 0 , то работа силы на перемещении положительна A > 0.

Если = 90 0 , то работа силы на перемещении равна нулю A = 0.

Если 90 0 < < 180 0 , то работа силы на перемещении отрицательна A < 0.

Если вектор силы противоположно направлен перемещению тела , то угол между векторами = 180 0 , следовательно работа силы на перемещении отрицательна и равна A = - .

Задача. Определить работу силы тяжести при подъеме легкового автомобиля массой 1 тонна по трассе длинной 1 км, имеющей угол наклона 30 0 к горизонту. Сколько литров воды при температуре 20 0 можно вскипятить, используя эту энергию?

Решение

Работа A силы тяжести при перемещении тела равна произведению длин векторов и на косинус угла между ними, то есть равна скалярному произведению векторов силы тяжести и перемещения

Сила тяжести

G = mg = 1000 кг · 10 м/с 2 = 10 000 Н.

= 1000 м.

Угол между векторами = 120 0 . Тогда

cos 120 0 = cos (90 0 + 30 0) = - sin 30 0 = - 0,5.

Подставляем

A = 10 000 Н · 1000 м · (-0,5) = - 5 000 000 Дж = - 5 МДж.

1.19 Скалярное произведение векторов в координатах

Скалярное произведение двух векторов = (x 1 ; y 1 ; z 1) и = (x 2 ; y 2 ; z 2) в прямоугольной системе координат равно сумме произведений одноименных координат

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

1.20 Условие перпендикулярности векторов

Если ненулевые векторы = (x 1 ; y 1 ; z 1) и = (x 2 ; y 2 ; z 2) перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю

Если задан один ненулевой вектор = (x 1 ; y 1 ; z 1), то координаты перпендикулярного (нормального) ему вектора = (x 2 ; y 2 ; z 2) должны удовлетворять равенству

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0.

Таких векторов бесконечное множество.

Если на плоскости задан один ненулевой вектор = (x 1 ; y 1), то координаты перпендикулярного (нормального) ему вектора = (x 2 ; y 2) должны удовлетворять равенству

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0.

Если на плоскости задан ненулевой вектор = (x 1 ; y 1), то достаточно задать произвольно одну из координат перпендикулярного (нормального) ему вектора = (x 2 ; y 2) и из условия перпендикулярности векторов

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

выразить вторую координату вектора .

Например, если подставить произвольную координату x 2 , то

y 1 y 2 = - x 1 x 2 .

Вторая координата вектора

Если придать x 2 = y 1 , то вторая координата вектора

Если на плоскости задан ненулевой вектор = (x 1 ; y 1), то перпендикулярный (нормальный) ему вектор = (y 1 ; -x 1).

Если одна из координат ненулевого вектора равна нулю, то у вектора такая же координата не равна нулю, а вторая координата равна нулю. Такие векторы лежат на осях координат, поэтому перпендикулярны.

Определим второй вектор, перпендикулярный вектору = (x 1 ; y 1), но противоположный вектору , то есть вектор - . Тогда достаточно поменять знаки координат вектора

- = (-y 1 ; x 1)

1 = (y 1 ; -x 1),

2 = (-y 1 ; x 1).

Задача.

Решение

Координаты двух векторов, перпендикулярных вектору = (x 1 ; y 1) на плоскости

1 = (y 1 ; -x 1),

2 = (-y 1 ; x 1).

Подставляем координаты вектора = (3; -5)

1 = (-5; -3),

2 = (-(-5); 3) = (5; 3).

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3·(-5) + (-5)·(-3) = -15 + 15 = 0

верно!

3·5 + (-5)·3 = 15 - 15 = 0

верно!

Ответ: 1 = (-5; -3), 2 = (5; 3).

Если присвоить x 2 = 1, подставить

x 1 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1

Получим координату y 2 вектора, перпендикулярного вектору = (x 1 ; y 1)

Для получения второго вектора, перпендикулярного вектору = (x 1 ; y 1), но противоположно направленного вектору . Пусть

Тогда достаточно поменять знаки координат вектора .

Координаты двух векторов, перпендикулярных вектору = (x 1 ; y 1) на плоскости

Задача. Задан вектор = (3; -5). Найти два нормальных вектора с различной ориентацией.

Решение

Координаты двух векторов, перпендикулярных вектору = (x 1 ; y 1) на плоскости

Координаты одного вектора

Координаты второго вектора

Для проверки перпендикулярности векторов подставим их координаты в условие перпендикулярности векторов

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3·1 + (-5)·0,6 = 3 - 3 = 0

верно!

3·(-1) + (-5)·(-0,6) = -3 + 3 = 0

верно!

Ответ: и .

Если присвоить x 2 = - x 1 , подставить

x 1 (-x 1) + y 1 y 2 = 0.

-x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = x 1 2

Получим координату вектора, перпендикулярного вектору

Если присвоить x 2 = x 1 , подставить

x 1 x 1 + y 1 y 2 = 0.

x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1 2

Получим координату y второго вектора, перпендикулярного вектору

Координаты одного вектора, перпендикулярного на плоскости вектору = (x 1 ; y 1)

Координаты второго вектора, перпендикулярного на плоскости вектору = (x 1 ; y 1)

Координаты двух векторов, перпендикулярных вектору = (x 1 ; y 1) на плоскости

1.21 Косинус угла между векторами

Косинус угла между двумя ненулевыми векторами = (x 1 ; y 1 ; z 1) и = (x 2 ; y 2 ; z 2) равен скалярному произведению векторов, деленному на произведение длин этих векторов

Если
= 1, то угол между векторами равен 0 0 , векторы сонаправлены.

Если 0 < < 1, то 0 0 < < 90 0 .

Если = 0, то угол между векторами равен 90 0 , векторы перпендикулярны.

Если -1 < < 0, то 90 0 < < 180 0 .

Если = -1, то угол между векторами равен 180 0 , векторы противоположно направлены.

Если какой-то вектор задан координатами начала и конца, то отнимая от соответствующих координат конца вектора координаты начала, получаем координаты этого вектора.

Задача. Найти угол между векторами (0; -2; 0), (-2; 0; -4).

Решение

Скалярное произведение векторов

= 0·(-2) + (-2)·0 + 0·(-4) = 0,

следовательно угол между векторами равен = 90 0 .

1.22 Свойства скалярного произведения векторов

Свойства скалярного произведения справедливы при любых , , , k :

1.
, если
, то
, если = , то
= 0.

2. Переместительный закон

3. Распределительный закон

4. Сочетательный закон
.

1.23 Направляющий вектор прямой

Направляющий вектор прямой - это ненулевой вектор, лежащий на прямой или на прямой, параллельной данной прямой.

Если прямая задана двумя точками M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2), то направляющим является вектор
или противоположный ему вектор
= - , координаты которых

Систему координат желательно задать так, чтобы прямая проходила через начало координат, тогда координаты единственной точки на прямой и будут координатами направляющего вектора.

Задача. Определить координаты направляющего вектора прямой, проходящей через точки M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0).

Решение

Направляющий вектор прямой проходящей через точки M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) обозначим
. Каждая из его координат равна разности соответствующих координат конца и начала вектора

= (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (-1; 1; 0)

Изобразим направляющий вектор прямой в системе координат с началом в точке M 1 , с концом в точке M 2 и равный ему вектор
из начала координат с концом в точке M (-1; 1; 0)

1.24 Угол между двумя прямыми

Возможные варианты взаимного расположения 2-х прямых на плоскости и угла между такими прямыми:

1. Прямые пересекаются в единственной точке, образуя 4 угла, 2 пары вертикальных углов попарно равны. Угол φ между двумя пересекающимися прямыми является углом, не превышающим три других угла между этими прямыми. Поэтому угол между прямыми φ ≤ 90 0 .

Пересекающиеся прямые могут быть, в частности, перпендикулярны φ = 90 0 .

Возможные варианты взаимного расположения 2-х прямых в пространстве и угла между такими прямыми:

1. Прямые пересекаются в единственной точке, образуя 4 угла, 2 пары вертикальных углов попарно равны. Угол φ между двумя пересекающимися прямыми является углом, не превышающим три других угла между этими прямыми.

2. Прямые параллельны, то есть не совпадают и не пересекаются, φ=0 0 .

3. Прямые совпадают, φ = 0 0 .

4. Прямые скрещиваются, то есть не пересекаются в пространстве и не параллельны. Углом φ между скрещивающимися прямыми является угол между прямыми, проведенными параллельно этим прямым так, чтобы они пересекались. Поэтому угол между прямыми φ ≤ 90 0 .

Угол между 2-мя прямыми равен углу между прямыми, проведенными параллельно этим прямым в одной плоскости. Поэтому угол между прямыми 0 0 ≤ φ ≤ 90 0 .

Угол θ (тета) между векторами и 0 0 ≤ θ ≤ 180 0 .

Если угол φ между прямыми α и β равен углу θ между направляющими векторами этих прямых φ = θ, то

cos φ = cos θ.

Если угол между прямыми φ = 180 0 - θ, то

cos φ = cos (180 0 - θ) = - cos θ.

cos φ = - cos θ.

Поэтому косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между векторами

cos φ = |cos θ|.

Если заданы координаты ненулевых векторов = (x 1 ; y 1 ; z 1) и = (x 2 ; y 2 ; z 2), то косинус угла θ между ними

Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами этих прямых

cos φ = |cos θ| =

Прямые являются одинаковыми геометрическими объектами, поэтому и одинаковые тригонометрические функции cos присутствуют в формуле.

Если каждая из двух прямых задана двумя точками, то можно определить направляющие векторы этих прямых и косинус угла между прямыми.

Если cos φ = 1, то угол φ между прямыми равен 0 0 , можно принять для этих прямых один из направляющих векторов этих прямых, прямые параллельны или совпадают. Если прямые не совпадают, то они параллельны. Если прямые совпадают, то любая точка одной прямой принадлежит другой прямой.

Если 0 < cos φ ≤ 1, то угол между прямыми 0 0 < φ ≤ 90 0 , прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.

Если cos φ = 0, то угол φ между прямыми 90 0 (прямые перпендикулярны), прямые пересекаются или скрещиваются.

Задача. Определить угол между прямыми M 1 M 3 и M 2 M 3 с координатами точек M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) и M 3 (0; 0; 1).

Решение

Построим заданные точки и прямые в системе координат Oxyz .

Направляющие векторы прямых направим так, чтобы угол θ между векторами совпадал с углом φ между заданными прямыми. Изобразим векторы =
и =
, а также углы θ и φ:

Определим координаты векторов и

= = (1 - 0; 0 - 0; 0 - 1) = (1; 0; -1);

= = (0 - 0; 1 - 0; 0 - 1) = (0; 1; -1). d = 0 и ax + by + cz = 0;

Плоскость параллельна той оси координат, обозначение которой отсутствует в уравнении плоскости и, следовательно, соответствующий коэффициент равен нулю, например, при c = 0 плоскость параллельна оси Oz и не содержит z в уравнении ax + by + d = 0 ;

Плоскость содержит ту ось координат, обозначение которой отсутствует, следовательно, соответствующий коэффициент равен нулю и d = 0, например, при c = d = 0 плоскость параллельна оси Oz и не содержит z в уравнении ax + by = 0;

Плоскость параллельна координатной плоскости, обозначения которой отсутствуют в уравнении плоскости и, следовательно, соответствующие коэффициенты равны нулю, например, при b = c = 0 плоскость параллельна координатной плоскости Oyz и не содержит y , z в уравнении ax + d = 0.

Если плоскость совпадает с координатной плоскостью, то уравнение такой плоскости представляет из себя равенство нулю обозначения координатной оси, перпендикулярной данной координатной плоскости, например, при x = 0 заданная плоскость является координатной плоскостью Oyz .

Задача. Нормальный вектор задан уравнением

Представить уравнение плоскости в нормальной форме.

Решение

Координаты нормального вектора

A ; b ; c ), то можно подставить координаты точки M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) и координаты a , b , c нормального вектора в общее уравнение плоскости

ax + by + cz + d = 0 (1)

Получаем уравнение с одной неизвестной d

ax 0 + by 0 + cz 0 + d = 0

Отсюда

d = -(ax 0 + by 0 + cz 0 )

Уравнение плоскости (1) после подстановки d

ax + by + cz - (ax 0 + by 0 + cz 0) = 0

Получаем уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) перпендикулярно не нулевому вектору (a ; b ; c )

a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0

Раскроем скобки

ax - ax 0 + by - by 0 + cz - cz 0 = 0

ax + by + cz - ax 0 - by 0 - cz 0 = 0

Обозначим

d = - ax 0 - by 0 - cz 0

Получим общее уравнение плоскости

ax + by + cz + d = 0.

1.29 Уравнение плоскости, проходящей через две точки и начало координат

ax + by + cz + d = 0.

Систему координат желательно задать так, чтобы плоскость проходила через начало этой системы координат. Точки M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2), лежащие в этой плоскости, необходимо задать так, чтобы прямая, соединяющая эти точки не проходила через начало координат.

Плоскость будет проходить через начало координат, поэтому d = 0. Тогда общее уравнение плоскости принимает вид

ax + by + cz = 0.

Неизвестно 3 коэффициента a , b , c . Подстановка координат двух точек в общее уравнение плоскости дает систему 2-х уравнений. Если принять какой-то коэффициент в общем уравнении плоскости равным единице, тогда система 2-х уравнений позволит определить 2 неизвестных коэффициента.

Если одна из координат точки нулевая, то за единицу принимается коэффициент, соответствующий этой координате.

Если у какой-то точки две координаты нулевые, то за единицу принимается коэффициент, соответствующий одной из этих нулевых координат.

Если принимается a = 1, тогда система 2-х уравнений позволит определить 2 неизвестных коэффициента b и c :

Систему этих уравнений проще решить помножив какое-то уравнение на такое число, чтобы коэффициенты при какой-то неизвестной стали равны. Тогда разность уравнений позволит исключить эту неизвестную, определить другую неизвестную. Подстановка найденной неизвестной в любое уравнение позволит определить и вторую неизвестную.

1.30 Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Определим коэффициенты общего уравнения плоскости

ax + by + cz + d = 0,

проходящей через точки M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) и M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3). У точек не должно быть двух одинаковых координат.

Неизвестно 4 коэффициента a , b , c и d . Подстановка координат трех точек в общее уравнение плоскости дает систему 3-х уравнений. Принять какой-то коэффициент в общем уравнении плоскости равным единице, тогда система 3-х уравнений позволит определить 3 неизвестных коэффициента. Обычно принимается a = 1, тогда система 3-х уравнений позволит определить 3 неизвестных коэффициента b , c и d :

Систему уравнений лучше решать методом исключения неизвестных (методом Гаусса). Можно переставлять уравнения в системе. Любое уравнение можно умножить или поделить на любой коэффициент не равный нулю. Любые два уравнения можно сложить и результирующее уравнение записать вместо любого из этих двух складываемых уравнений. Из уравнений исключаются неизвестные, получением нулевого коэффициента перед ними. В одном уравнении, обычно самом нижнем остается одна переменная, которая определяется. Найденная переменная подставляется во второе уравнение снизу, в котором обычно остается 2 неизвестные. Уравнения решаются снизу вверх и определяются все неизвестные коэффициенты.

Коэффициенты ставятся впереди неизвестных, а свободные от неизвестных члены переносятся в правую часть уравнений

В верхнюю строку обычно ставится уравнение, имеющее коэффициент 1 перед первой или любой неизвестной, или все первое уравнение делится на коэффициент перед первой неизвестной. В данной системе уравнений разделим первое уравнение на y 1

Перед первой неизвестной получили коэффициент 1:

Для обнуления коэффициента перед первой переменной второго уравнения помножим первое уравнение на -y 2 , сложим его со вторым уравнением и полученное уравнение запишем вместо второго уравнения. Первая неизвестная во втором уравнении будет исключена, потому что

y 2 b - y 2 b = 0.

Аналогично исключаем первую неизвестную в третьем уравнении, помножив первое уравнение на -y 3 , сложив его с третьим уравнением и полученное уравнение записав вместо третьего уравнения. Первая неизвестная в третьем уравнении будет также исключена, потому что

y 3 b - y 3 b = 0.

Аналогично исключаем вторую неизвестную в третьем уравнении. Решаем систему снизу вверх.

Задача.

ax + by + cz + d = 0,

проходящей через точки M 1 (0; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) и y + 0·z + 0 = 0

x = 0.

Заданная плоскость является координатной плоскостью Oyz .

Задача. Определить общее уравнение плоскости

ax + by + cz + d = 0,

проходящей через точки M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) и M 3 (0; 0; 1). Найти расстояние от этой плоскости до точки M 0 (10; -3; -7).

Решение

Построим заданные точки в системе координат Oxyz .

Примем a = 1. Подстановка координат трех точек в общее уравнение плоскости дает систему 3-х уравнений

ℓ =

Веб-страницы: 1 2 Векторы на плоскости и в пространстве (продолжение)

Консультации Ольшевского Андрея Георгиевича по Skype da .irk .ru

Подготовка студентов и школьников по математике, физике, информатике, школьников желающих получить много баллов (часть C) и слабых учеников к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ. Одновременное улучшение текущей успеваемости путем развития памяти, мышления, понятного объяснения сложного, наглядного преподнесения предметов. Особый подход к каждому ученику. Подготовка к олимпиадам, обеспечивающим льготы при поступлении. 15-летний опыт улучшения успеваемости учеников.

Высшая математика, алгебра, геометрия, теория вероятностей, математическая статистика, линейное программирование.

Понятное объяснение теории, ликвидация пробелов в понимании, обучение приемам решения задач, консультирование при написании курсовых, дипломов.

Авиационные, ракетные и автомобильные двигатели. Гиперзвуковые, прямоточные, ракетные, импульсные детонационные, пульсирующие, газотурбинные, поршневые двигатели внутреннего сгорания - теория, конструкция, расчет, прочность, проектирование, технология изготовления. Термодинамика, теплотехника, газовая динамика, гидравлика.

Авиация, аэромеханика, аэродинамика, динамика полета, теория, конструкция, аэрогидромеханика. Сверхлегкие летательные аппараты, экранопланы, самолеты, вертолеты, ракеты, крылатые ракеты, аппараты на воздушной подушке, дирижабли, винты - теория, конструкция, расчет, прочность, проектирование, технология изготовления.

Генерация, внедрение идей. Основы научных исследований, методы генерации, внедрения научных, изобретательских, бизнес идей. Обучение приемам решения научных проблем, изобретательских задач. Научное, изобретательское, писательское, инженерное творчество. Постановка, выбор, решение наиболее ценных научных, изобретательских задач, идей.

Публикации результатов творчества. Как написать и опубликовать научную статью, подать заявку на изобретение, написать, издать книгу. Теория написания, защиты диссертаций. Зарабатывание денег на идеях, изобретениях. Консультирование при создании изобретений, написании заявок на изобретения, научных статей, заявок на изобретения, книг, монографий, диссертаций. Соавторство в изобретениях, научных статьях, монографиях.

Теоретическая механика (теормех), сопротивление материалов (сопромат), детали машин, теория механизмов и машин (ТММ), технология машиностроения, технические дисциплины.

Теоретические основы электротехники (ТОЭ), электроника, основы цифровой, аналоговой электроники.

Аналитическая геометрия, начертательная геометрия, инженерная графика, черчение. Компьютерная графика, программирование графики, чертежи в Автокад, Нанокад, фотомонтаж.

Логика, графы, деревья, дискретная математика.

OpenOffice и LibreOffice Basic, Visual Basic, VBA, NET, ASP.NET, макросы, VBScript, Бэйсик, С, С++, Делфи, Паскаль, Delphi, Pascal, C#, JavaScript, Fortran, html, Маткад. Создание программ, игр для ПК, ноутбуков, мобильных устройств. Использование бесплатных готовых программ, движков с открытыми исходными кодами.

Создание, размещение, раскрутка, программирование сайтов, интернет-магазинов, заработки на сайтах, Web-дизайн.

Информатика, пользователь ПК: тексты, таблицы, презентации, обучение методу скоропечатания за 2 часа, базы данных, 1С, Windows, Word, Excel, Access, Gimp, OpenOffice, Автокад, nanoCad, Интернет, сети, электронная почта.

Устройство, ремонт компьютеров стационарных и ноутбуков.

Видеоблогер, создание, редактирование, размещение видео, видеомонтаж, зарабатывание денег на видеоблогах.

Выбор, достижение целей, планирование.

Обучение зарабатыванию денег в Интернет: блогер, видеоблогер, программы, сайты, интернет-магазин, статьи, книги и др.

Вы можете поддержать развитие сайта, оплатить консультационные услуги Ольшевского Андрея Георгиевича

15.10.17 Ольшевский Андрей Георгиевич e-mail: [email protected]

Два вектора АА и ВБ, расположенные где угодно в пространстве, называются равными между собою, если один из них, например АА, можно совместить с другим, ВВ, посредством параллельного переноса («сдвига»), т. е. движения, состоящего в том, что вектор АА скользит параллельно самому себе так, что точка А скользит по отрезку АВ, а точка А - по отрезку В (рис. 4).

Если векторы АА и ВВ лежат на одной прямой, то по этой же прямой происходит и скольжение, совмещаюшее АА с ВВ, и мы получаем уже данное в первой главе определение равных векторов (на прямой).

Если же равные векторы АА и ВВ не лежат на одной прямой, то при совмещении вектора АА с вектором ВВ посредством параллельного переноса вектор АА зачертит параллелограмм ААВВ, в котором векторы АА и ВВ будут противоположными сторонами.

Поэтому определение равенства векторов может быть сформулировано и так:

Два вектора АА и ВВ, лежащие на одной и той же прямой, равны, если их отношение равно 1.

Два вектора АА и ВВ, не лежащие на одной прямой, равны, если, соединяя прямолинейными отрезками их начальные точки А и В и их концевые точки А и В, мы получим параллелограмм , в котором эти векторы будут двумя противоположными сторонами.

Два равных вектора могут отличаться друг от друга только своими точками приложения, и в большинстве тех случаев, с которыми нам придется иметь дело, это отличие несущественно; мы будем поэтому считать, что вектор ВВ, равный вектору АА, - это тот же вектор АА, но только перенесенный в другое место, а именно приложенный к точке К. Отвлекаясь, таким образом, от точки приложения вектора, мы приходим к тому, чтобы весь класс равных между собою векторов , приложенных ко всевозможным точкам М пространства, рассматривать как новый математический объект, и этот объект мы называем свободным вектором, определенным каждым из равных между собою векторов, составляющих данный класс (рис. 5).

Мы будем часто иисать . и понимать иод и как любой из равных между собою векторов АА, ВВ и т. д., так и весь образованный ими класс, т. е. свободный вектор.

Предположим теперь, что каждая точка М пространства сдвинулась вдоль приложенного к ней вектора (одного и того же для всех точек М) и переместилась в точку М. Мы получаем сдвиг, или параллельный перенос, всего пространства (в себе) на вектор .

Таким образом, возникает взаимно однозначное соответствие между сдвигами пространства и свободными векторами, позволяющее отождествить между собою эти два понятия.

Множество всех векторов, лежащих на дайной прямой (или на данной плоскости), естественно, тоже распадается на классы равных между собою векторов, называемых свободными векторами данной прямой или плоскости; они могут быть отождествлены со сдвигами этой прямой (или плоскости) по себе самой.

Нулевой вектор определяет нулевой (или «тождественный») сдвиг, состоящий в том, что все точки пространства остаются неподвижными на своих местах.

Векторная алгебра

Определение:

Вектор – это направленный отрезок в плоскости или в пространстве.

Характеристики:

1) длина вектора

Определение:

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

Определение:

Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если их направления совпадают () В противном случае они называются противоположно направленными (↓).

Определение:

Два вектора равны между собой, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину.

Например,

Операции:

1. Умножение вектора на число

Если
, то

↓если  < 0

У нулевого вектора направление произвольно

Свойства умножения на число

2. Сложение векторов

Правило параллелограмма:

Свойства сложения:

- такие векторы называются противоположными друг другу. Легко видеть, что

Совместные свойства:

Определение:

Углом между двумя векторами называется угол, который получается если эти векторы отложить от одной точки, 0    

3. Скалярное произведение векторов.

, где  - угол между векторами

Свойства скалярного произведения векторов:

1) (равенства имеют место в случае противоположной направленности и сонаправленности векторов соответственно)

3)

Если
, то знак произведения положительный, если ↓то отрицательный

)

6) , то есть
, или какой-либо из векторов равен нулю

7)

Применение векторов

1.

MN – средняя линия

Доказать, что

Доказательство:

, вычтем из обеих частей вектор
:

2.

Доказать, что диагонали ромба перпендикулярны

Доказательство:

Найти:

Решение:

Разложение векторов по базисам.

Определение:

Линейной комбинацией векторов (ЛКВ) называется сумма вида

(ЛКВ)

где  1 ,  2 , …  s – произвольный набор чисел

Определение:

ЛКВ называется нетривиальной, если все  i = 0, в противном случае она называется нетривиальной.

Следствие:

В нетривиальной ЛКВ есть хотя бы один ненулевой коэффициент  к  0

Определение:

Система векторов
называется линейно независимой (ЛНЗ), если () = 0  все  i  0,

то есть только тривиальная её ЛК равна нулю.

Следствие:

Нетривиальная ЛК линейно независимых векторов отлична от нуля

Примеры:

1)
- ЛНЗ 

2) Пусть и лежат в одной плоскости, тогда
- ЛНЗ  , неколлинеарны

3) Пусть , , не принадлежат одной плоскости, тогда они образуют ЛНЗ систему векторов

Теорема:

Если система векторов линейно независима, то хотя бы один из них есть линейная комбинация остальных.

Доказательство:

 Пусть () = 0 и не все  I равны нулю. Не теряя общности, пусть  s  0. Тогда
, а это и есть линейная комбинация.

 Пусть

Тогда , то есть ЛЗ.

Теорема:

Любые 3 вектора на плоскости линейно зависимы.

Доказательство:

Пусть даны вектора
, возможны случаи:

1)


2) неколлинеарен

Выразим через и :
, откуда
- нетривиальная ЛК.

Теорема:

Пусть
- ЛЗ

Тогда любая «более широкая» система - ЛЗ

Доказательство:

Так как - ЛЗ, то существует хотя бы одно  i  0, причем () = 0

Тогда и () = 0

Определение:

Система линейно независимых векторов называется максимальной, если при присоединении к ней любого другого вектора она становится линейно зависимой.

Определение:

Размерностью пространства (плоскости) называется число векторов в максимальной линейно независимой системе векторов.

Определение:

Базисом называется любая упорядоченная максимальная линейно независимая система векторов.

Определение:

Базис называется нормированным, если входящие в него векторы имеют длину, равную единице.

Определение:

Базис называется ортогональным, если все его элементы (векторы) попарно перпендикулярны.

Теорема:

Система ортогональных векторов всегда линейно независима (если там нет нулевых векторов).

Доказательство:

Пусть - система ортогональных векторов (ненулевых), то есть
. Предположим, , умножим эту ЛК скалярно на вектор :

Первая скобка отлична от нуля (квадрат длины вектора), а все остальные скобки равны нулю по условию. Тогда  1 = 0. Аналогично для  2 …  s

Теорема:

Пусть М = - базис. Тогда любой вектор представим в виде:

где коэффициенты  2 …  s определяются однозначно (это координаты вектора относительно базиса М).

Доказательство:

1)
=
- ЛЗ (по условию базиса)

тогда - нетривиальна

а)  0 = 0 что невозможно, так как получится, что М – ЛЗ

б)  0  0

разделим на  0

т.е. есть ЛК

2) Докажем от противного. Пусть - другое представление вектора (т. е.  хотя бы одна пара
). Вычтем формулы друг из друга:

- ЛК нетривиальна.

Но по условию - базис  противоречие, то есть разложение единственно.

Вывод:

Всякий базис М определяет взаимно однозначное соответствие между векторами и их координатами относительно базиса М.

Обозначения:

М = - произвольный вектор

Тогда