إيجاد محيط المثلث بطرق مختلفة. كيفية العثور على محيط المثلث؟ نجيب على السؤال بناءً على ضلعين معلومين والزاوية بينهما

محيط المثلثكما هو الحال مع أي شكل، يسمى مجموع أطوال جميع الجوانب. في كثير من الأحيان، تساعد هذه القيمة في العثور على المنطقة أو يتم استخدامها لحساب معلمات الشكل الأخرى.
تبدو صيغة محيط المثلث كما يلي:

مثال لحساب محيط المثلث. لنفترض أن مثلثًا أضلاعه أ = 4 سم، ب = 6 سم، ج = 7 سم. عوّض بالبيانات في الصيغة: سم

صيغة لحساب المحيط مثلث متساوي الساقينسوف تبدو مثل هذا:

صيغة لحساب المحيط مثلث متساوي الأضلاع:

مثال لحساب محيط مثلث متساوي الأضلاع. عندما تكون جميع جوانب الشكل متساوية، يمكن ببساطة ضربها في ثلاثة. لنفترض أن لدينا مثلثًا منتظمًا طول ضلعه 5 سم في هذه الحالة: سم

بشكل عام، بمجرد تحديد جميع الجوانب، يصبح العثور على المحيط أمرًا بسيطًا للغاية. في حالات أخرى، تحتاج إلى العثور على حجم الجانب المفقود. في المثلث الأيمن يمكنك العثور على الجانب الثالث نظرية فيثاغورس. على سبيل المثال، إذا كانت أطوال الساقين معروفة، فيمكنك العثور على الوتر باستخدام الصيغة:

لنأخذ مثالاً لحساب محيط مثلث متساوي الساقين، بشرط أن نعرف طول أضلاع المثلث المتساوي الساقين القائم.
إذا كان لديك مثلث ذو أرجل أ = ب = 5 سم، فأوجد محيطه. أولا، دعونا نجد الجانب المفقود ج. سم
الآن دعونا نحسب المحيط: سم
محيط المثلث متساوي الساقين القائم سيكون ١٧ سم.

في حالة معرفة الوتر وطول إحدى الساقين، يمكنك العثور على الساق المفقودة باستخدام الصيغة:
إذا كان الوتر وإحدى الزوايا الحادة معروفين في مثلث قائم، فسيتم إيجاد الضلع المفقود باستخدام الصيغة.

معلومات أولية

يتم تعريف محيط أي شكل هندسي مسطح على المستوى بأنه مجموع أطوال جميع أضلاعه. المثلث ليس استثناء من هذا. أولا نعرض مفهوم المثلث، وكذلك أنواع المثلثات حسب أضلاعه.

التعريف 1

سوف نسمي المثلث شكلاً هندسيًا يتكون من ثلاث نقاط متصلة ببعضها البعض بواسطة قطع (الشكل 1).

التعريف 2

في إطار التعريف 1، سوف نسمي النقاط رؤوس المثلث.

التعريف 3

في إطار التعريف 1، سيتم تسمية الأجزاء بأضلاع المثلث.

من الواضح أن أي مثلث سيكون له 3 رؤوس، بالإضافة إلى ثلاثة جوانب.

اعتمادًا على علاقة الجوانب ببعضها البعض، تنقسم المثلثات إلى مختلف الأضلاع ومتساوي الساقين ومتساوي الأضلاع.

التعريف 4

سوف نسمي المثلث مختلف الأضلاع إذا لم يكن أي من أضلاعه متساويًا مع أي جانب آخر.

التعريف 5

سنسمي المثلث متساوي الساقين إذا كان ضلعان من أضلاعه متساويين ولكن لا يساويان الضلع الثالث.

التعريف 6

سنسمي المثلث متساوي الأضلاع إذا كانت جميع أضلاعه متساوية مع بعضها البعض.

يمكنك رؤية جميع أنواع هذه المثلثات في الشكل 2.

كيفية العثور على محيط مثلث مختلف الأضلاع؟

دعونا نحصل على مثلث مختلف الأضلاع أطوال أضلاعه تساوي $α$ و$β$ و$γ$.

خاتمة:للعثور على محيط مثلث مختلف الأضلاع، عليك جمع أطوال أضلاعه معًا.

مثال 1

أوجد محيط مثلث مختلف الأضلاع يساوي $34$ سم، $12$ سم، $11$ سم.

$P=34+12+11=57$ سم

الجواب: 57$ سم.

مثال 2

أوجد محيط المثلث القائم الزاوية الذي طول أرجله $6$ و$8$ سم.

أولًا، دعونا نوجد طول وتر هذا المثلث باستخدام نظرية فيثاغورس. دعونا نشير إليه بـ $α$، إذن

$α=10$ وفقًا لقاعدة حساب محيط مثلث مختلف الأضلاع، نحصل على

$P=10+8+6=24$ سم

الجواب: 24 دولارا انظر.

كيفية العثور على محيط مثلث متساوي الساقين؟

دعونا نعطي مثلثًا متساوي الساقين، أطوال أضلاعه ستكون مساوية $α$، وطول القاعدة سيكون مساويًا $β$.

ومن خلال تحديد محيط الشكل الهندسي المسطح، نحصل على ذلك

$P=α+α+β=2α+β$

خاتمة:للعثور على محيط مثلث متساوي الساقين، أضف ضعف طول أضلاعه إلى طول قاعدته.

مثال 3

أوجد محيط مثلث متساوي الساقين إذا كان طول أضلاعه $12$ سم وقاعدته $11$ سم.

ومن المثال الذي تمت مناقشته أعلاه، نرى ذلك

$P=2\cdot 12+11=35$ سم

الجواب: 35 دولار سم.

مثال 4

أوجد محيط مثلث متساوي الساقين إذا كان ارتفاعه المرسوم إلى القاعدة ٨$ سم، والقاعدة ١٢$ سم.

دعونا نلقي نظرة على الرسم وفقًا لشروط المشكلة:

وبما أن المثلث متساوي الساقين، فإن $BD$ هو أيضًا الوسيط، وبالتالي $AD=6$ cm.

باستخدام نظرية فيثاغورس، من المثلث $ADB$، نجد الضلع الجانبي. دعونا نشير إليه بـ $α$، إذن

وفقا لقاعدة حساب محيط المثلث متساوي الساقين، نحصل على

$P=2\cdot 10+12=32$ سم

الجواب: 32 دولارا انظر.

كيفية العثور على محيط مثلث متساوي الأضلاع؟

دعونا نحصل على مثلث متساوي الأضلاع أطوال جميع أضلاعه تساوي $α$.

ومن خلال تحديد محيط الشكل الهندسي المسطح، نحصل على ذلك

$P=α+α+α=3α$

خاتمة:للعثور على محيط مثلث متساوي الأضلاع، اضرب طول ضلع المثلث في $3$.

مثال 5

أوجد محيط مثلث متساوي الأضلاع إذا كان طول ضلعه $12$ سم.

ومن المثال الذي تمت مناقشته أعلاه، نرى ذلك

$P=3\cdot 12=36$ سم

محيط أي مثلث هو طول الخط الذي يحد الشكل. لحساب ذلك، تحتاج إلى معرفة مجموع جميع جوانب هذا المضلع.

الحساب من أطوال جانبية معينة

وبمجرد معرفة معانيها، يصبح من السهل القيام بذلك. بالإشارة إلى هذه المعلمات بالأحرف m، n، k، والمحيط بالحرف P، نحصل على صيغة الحساب: P = m+n+k. الواجب: من المعروف أن المثلث له أطوال أضلاع 13.5 ديسيمتر، و12.1 ديسيمتر، و4.2 ديسيمتر. معرفة محيط. نحل: إذا كانت أضلاع هذا المضلع a = 13.5 dm، b = 12.1 dm، c = 4.2 dm، فإن P = 29.8 dm. الجواب: P = 29.8 مارك ألماني.

محيط المثلث الذي له ضلعان متساويان

يسمى هذا المثلث متساوي الساقين. إذا كان طول هذه الجوانب المتساوية سنتيمترًا، والضلع الثالث يبلغ طوله سنتيمترًا ب، فمن السهل معرفة المحيط: P = b + 2a. المهمة: مثلث له ضلعان طول كل منهما 10 ديسيمترات، وطول قاعدته 12 ديسيمترًا. أوجد P. الحل: اجعل طول الضلع a = c = 10 dm، والقاعدة b = 12 dm. مجموع الجوانب P = 10 dm + 12 dm + 10 dm = 32 dm. الإجابة: ع = 32 ديسيمترًا.

محيط مثلث متساوي الأضلاع

إذا كانت جميع أضلاع المثلث الثلاثة لها عدد متساو من وحدات القياس، فإنه يسمى متساوي الأضلاع. اسم آخر صحيح. يمكن إيجاد محيط المثلث المنتظم باستخدام الصيغة: P = a+a+a = 3·a. المشكلة: لدينا قطعة أرض مثلثة متساوية الأضلاع. جانب واحد 6 أمتار. أوجد طول السياج الذي يمكن استخدامه لتطويق هذه المنطقة. الحل: إذا كان ضلع هذا المضلع a = 6 m، فإن طول السور يكون P = 3 6 = 18 (m). الجواب: ع = 18 م.

مثلث له زاوية 90 درجة

يطلق عليه مستطيلة. إن وجود زاوية قائمة يجعل من الممكن العثور على جوانب مجهولة باستخدام تعريف الدوال المثلثية ونظرية فيثاغورس. الجانب الأطول يسمى الوتر ويسمى ج. هناك وجهان آخران، أ و ب. باتباع نظرية فيثاغورس، لدينا c 2 = a 2 + b 2 . الأرجل أ = √ (ج 2 - ب 2) و ب = √ (ج 2 - أ 2). بمعرفة طول الساقين a وb، نحسب الوتر. ثم نجد مجموع أضلاع الشكل عن طريق إضافة هذه القيم. المهمة: يبلغ طول أرجل المثلث القائم الزاوية 8.3 سنتيمترًا و6.2 سنتيمترًا. يجب حساب محيط المثلث. نحل: دعونا نشير إلى الساقين أ = 8.3 سم، ب = 6.2 سم، وفقًا لنظرية فيثاغورس، الوتر ج = √ (8.3 2 + 6.2 2) = √ (68.89 + 38.44) = √107 .33 = 10.4 ( سم). ف = 24.9 (سم). أو P = 8.3 + 6.2 + √ (8.3 2 + 6.2 2) = 24.9 (سم). الجواب: P = 24.9 سم تم أخذ قيم الجذور بدقة أعشار. إذا عرفنا قيم الوتر والضلع، فإننا نحصل على قيمة P عن طريق حساب P = √ (c 2 - b 2) + b + c. المسألة 2: قطعة من الأرض تقع مقابل زاوية 90 درجة، 12 كم، وأحد ساقيها 8 كم. كم من الوقت سيستغرق التجول في المنطقة بأكملها إذا تحركت بسرعة 4 كيلومترات في الساعة؟ الحل: إذا كان الجزء الأكبر 12 كم، والجزء الأصغر هو b = 8 كم، فإن طول المسار بأكمله سيكون P = 8 + 12 + √ (12 2 - 8 2) = 20 + √80 = 20 + 8.9 = 28.9 (كم). سنجد الوقت بتقسيم المسار على السرعة. 28.9:4 = 7.225 (ح). الإجابة: يمكنك الالتفاف حولها خلال 7.3 ساعة. نحن نأخذ قيمة الجذور التربيعية والإجابة دقيقة حتى الأعشار. يمكنك إيجاد مجموع أضلاع المثلث القائم الزاوية إذا أعطيت أحد أضلاعه وقيمة إحدى الزوايا الحادة. بمعرفة طول الساق b وقيمة الزاوية β المقابلة لها نجد الضلع المجهول a = b/ tan β. أوجد الوتر c = a: sinα. نجد محيط هذا الشكل عن طريق إضافة القيم الناتجة. P = a + a/ sinα + a/ tan α، أو P = a(1 / sin α+ 1+1 / tan α). المهمة: في شكل مستطيل Δ ABC بزاوية قائمة C، طول الضلع BC 10 أمتار، والزاوية A 29 درجة. نحن بحاجة إلى إيجاد مجموع الجوانب Δ ABC. الحل: نشير إلى الضلع المعلوم BC = a = 10 m، والزاوية المقابلة له، ∟A = α = 30°، ثم الضلع AC = b = 10: 0.58 = 17.2 (m)، الوتر AB = c = 10: 0.5 = 20 (م). ف = 10 + 17.2 + 20 = 47.2 (م). أو P = 10 · (1 + 1.72 + 2) = 47.2 م. لدينا: P = 47.2 م. نأخذ قيمة الدوال المثلثية بدقة إلى أجزاء من المائة، ونقرب طول الأضلاع والمحيط إلى أعشار. بوجود قيمة الساق α والزاوية المجاورة β، نكتشف ما يساوي الساق الثانية: b = a tan β. سيكون الوتر في هذه الحالة مساوياً للساق مقسومًا على جيب تمام الزاوية β. نحسب المحيط بالصيغة P = a + a tan β + a: cos β = (tg β + 1+1: cos β)·a. الواجب: ساق المثلث الذي قياس زاوية 90 درجة هو 18 سم، والزاوية المجاورة لها هي 40 درجة. أوجد P. الحل: دعنا نشير إلى الضلع المعلوم BC = 18 سم، ∟β = 40°. ثم الجانب المجهول AC = ب = 18 · 0.83 = 14.9 (سم)، الوتر AB = ج = 18: 0.77 = 23.4 (سم). مجموع أضلاع الشكل هو P = 56.3 (سم). أو P = (1 + 1.3 + 0.83) * 18 = 56.3 سم. الإجابة: P = 56.3 سم إذا كان طول الوتر c وبعض الزوايا α معلومين، فإن الساقين ستكونان مساوية لمنتج الوتر. الأول - بجيب الجيب والثاني - بجيب تمام هذه الزاوية. محيط هذا الشكل هو P = (sin α + 1+ cos α)*c. المهمة: الوتر في المثلث القائم الزاوية AB = 9.1 سنتيمترًا والزاوية 50 درجة. أوجد مجموع أضلاع هذا الشكل. الحل: نشير إلى الوتر: AB = c = 9.1 سم، ∟A= α = 50°، ثم أحد الساقين BC يبلغ طوله a = 9.1 · 0.77 = 7 (سم)، الساق AC = b = 9 . 1 · 0.64 = 5.8 سم. وهذا يعني أن محيط هذا المضلع هو P = 9.1 + 7 + 5.8 = 21.9 (سم). أو P = 9.1·(1 + 0.77 + 0.64) = 21.9 (سم). الإجابة: ع = 21.9 سم.

مثلث عشوائي أحد أضلاعه مجهول

إذا كانت لدينا قيم الجانبين a و c، والزاوية الواقعة بين هذين الجانبين γ، نجد الثالث بواسطة نظرية جيب التمام: b 2 = c 2 + a 2 - 2 ac cos β، حيث β هي الزاوية تقع بين الجانبين أ و ج. ثم نجد المحيط. المهمة: Δ ABC لديه القطعة AB بطول 15 dm والقطعة AC بطول 30.5 dm. الزاوية بين هذين الجانبين هي 35 درجة. احسب مجموع أضلاعه Δ ABC. الحل: باستخدام نظرية جيب التمام، نحسب طول الضلع الثالث. ق 2 = 30.5 2 + 15 2 - 2 30.5 15 0.82 = 930.25 + 225 - 750.3 = 404.95. BC = 20.1 سم P = 30.5 + 15 + 20.1 = 65.6 (dm) لدينا: P = 65.6 dm.

مجموع أضلاع مثلث عشوائي تكون أطوال ضلعيه غير معروفة

عندما نعرف طول قطعة واحدة فقط وقيمة الزاويتين، يمكننا معرفة طول ضلعين مجهولين باستخدام نظرية الجيب: "في المثلث، تتناسب الأضلاع دائمًا مع قيم جيب الزاوية زاويتان متقابلتان." أين ب = (أ* الخطيئة β)/ الخطيئة أ. وبالمثل ج = (خطيئة γ): خطيئة أ. المحيط في هذه الحالة سيكون P = a + (a sin β)/ sin a + (a sin γ) / sin a. المهمة: لدينا Δ ABC. فيه يبلغ طول الضلع BC 8.5 ملم، وقيمة الزاوية C 47 درجة، والزاوية B 35 درجة. أوجد مجموع أضلاع هذا الشكل. الحل: نشير إلى أطوال الأضلاع BC = a = 8.5 مم، AC = b، AB = c، ∟ A = α= 47°، ∟B = β = 35°، ∟ C = γ = 180° - ( 47° + 35°) = 180° - 82° = 98°. من العلاقات التي تم الحصول عليها من نظرية الجيب نجد الساقين AC = b = (8.5 0.57): 0.73 = 6.7 (مم)، AB = c = (7 0.99): 0.73 = 9.5 (مم). وبالتالي فإن مجموع جوانب هذا المضلع هو P = 8.5 مم + 5.5 مم + 9.5 مم = 23.5 مم. الجواب: ع = 23.5 ملم. في حالة وجود طول قطعة واحدة فقط وقيمتي زاويتين متجاورتين، نقوم أولاً بحساب الزاوية المقابلة للضلع المعلوم. مجموع زوايا هذا الشكل يصل إلى 180 درجة. وبالتالي ∟A = 180° - (∟B + ∟C). بعد ذلك، نوجد القطع المجهولة باستخدام نظرية الجيب. المهمة: لدينا Δ ABC. وطول القطعة BC يساوي 10 سم، وقيمة الزاوية B 48 درجة، والزاوية C 56 درجة. أوجد مجموع أضلاعه Δ ABC. الحل: أولًا، أوجد قيمة الزاوية (أ) المقابلة لها (ب). ∟أ = 180° - (48° + 56°) = 76°. الآن، باستخدام نظرية الجيب، نحسب طول الضلع AC = 10·0.74: 0.97 = 7.6 (سم). AB = BC* الخطيئة C/ الخطيئة A = 8.6. محيط المثلث هو P = 10 + 8.6 + 7.6 = 26.2 (سم). النتيجة: P = 26.2 سم.

حساب محيط المثلث باستخدام نصف قطر الدائرة الموضحة داخله

في بعض الأحيان لا يُعرف أي جانب من جوانب المشكلة. ولكن هناك قيمة لمساحة المثلث ونصف قطر الدائرة المبينة فيه. ترتبط هذه الكميات: S = r p. وبمعرفة قيمة مساحة المثلث ونصف قطره r، يمكننا إيجاد نصف المحيط p. نجد p = S: r. المشكلة: مساحة قطعة الأرض 24 م2، نصف قطرها 3 م، أوجد عدد الأشجار التي يجب زراعتها بالتساوي على طول الخط المحيط بهذه القطعة، إذا كان يجب أن يكون هناك مسافة 2 متر بين اثنين المجاورة. الحل: نجد مجموع أضلاع هذا الشكل كما يلي: P = 2 · 24: 3 = 16 (م). ثم القسمة على اثنين. 16:2= 8. المجموع: 8 أشجار.

مجموع أضلاع المثلث بالإحداثيات الديكارتية

رؤوس Δ ABC لها إحداثيات: A (x 1 ; y 1)، B (x 2 ; y 2)، C(x 3 ; y 3). لنوجد مربعات كل ضلع AB 2 = (x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 ; ق 2 = (س 2 - س 3) 2 + (ص 2 - ص 3) 2؛ أ ج 2 = (س 1 - س 3) 2 + (ص 1 - ص 3) 2. للعثور على المحيط، ما عليك سوى إضافة جميع الأجزاء. المهمة: إحداثيات القمم Δ ABC: B (3؛ 0)، A (1؛ -3)، C (2؛ 5). أوجد مجموع أضلاع هذا الشكل. الحل: بوضع قيم الإحداثيات المتناظرة في صيغة المحيط، نحصل على P = √(4 + 9) + √(1 + 25) + √(1 + 64) = √13 + √26 + √65 = 3.6 + 5.1 + 8.0 = 16.6. لدينا: P = 16.6. إذا لم يكن الشكل على مستوى، بل في الفضاء، فإن كل قمة لها ثلاثة إحداثيات. ومن ثم، فإن صيغة مجموع الأضلاع سيكون لها حد آخر.

طريقة المتجهات

إذا تم إعطاء الشكل بإحداثيات رؤوسه، فيمكن حساب المحيط باستخدام طريقة المتجه. المتجه هو القطعة التي لها اتجاه. يشار إلى وحدتها (الطول) بالرمز ïᾱ. المسافة بين النقاط هي طول المتجه المقابل، أو القيمة المطلقة للمتجه. النظر في مثلث يقع على متن الطائرة. إذا كانت القمم لها إحداثيات A (x 1; y 1)، M(x 2; y 2)، T (x 3; y 3)، فسيتم إيجاد طول كل ضلع باستخدام الصيغ: AM耀 √ ((x 1 - س 2 ) 2 + (ص 1 - ص 2) 2), MT耀 = √ ((س 2 - س 3) 2 + (ص 2 - ص 3) 2), ɀATƒ = √ ((x 1 - س 3) ) 2 + ( ص 1 - ص 3) 2). نحصل على محيط المثلث بجمع أطوال المتجهات. وبالمثل، أوجد مجموع أضلاع المثلث الموجود في الفضاء.

تعريف المثلث

مثلثهو شكل هندسي يتكون من ثلاث نقاط متصلة على التوالي.

المثلث له ثلاثة أضلاع وثلاث زوايا.

هناك أنواع عديدة من المثلثات، ولكل منها خصائص مختلفة. ندرج الأنواع الرئيسية للمثلثات:

متنوع القدرات(جميع الجوانب بأطوال مختلفة)؛
متساوي الساقين(الضلعان متساويان، والزاويتان عند القاعدة متساويتان)؛
متساوي الأضلاع(جميع الجوانب وجميع الزوايا متساوية).

ومع ذلك، بالنسبة لجميع أنواع المثلثات، هناك صيغة عالمية واحدة لإيجاد محيط المثلث - وهذا هو مجموع أطوال جميع جوانب المثلث.

آلة حاسبة على الانترنت

صيغة محيط المثلث

ف = أ + ب + ج. ف = أ + ب + ج ف =أ+ب+ج

أ، ب، ج أ، ب، ج أ، ب، ج- أطوال أضلاع المثلث .

دعونا نلقي نظرة على المسائل لإيجاد محيط المثلث.

مهمة

المثلث له أضلاع: أ = 28 سم، ب = 46 سم، ج = 51 سم.

حل
دعونا نستخدم صيغة إيجاد محيط المثلث والتعويض أ أ, ب ب بو نسخة جقيمها العددية:
ف = أ + ب + ج. ف = أ + ب + ج ف =أ+ب+ج
ف = 28 + 46 + 51 = 125 سم ف = 28 + 46 + 51 = 125 نص (سم)ف =2 8 + 4 6 + 5 1 = 1 2 5 سم

إجابة:
ف = 125 سم. ف = 125 \نص(سم).ف =1 2 5 سم .

مهمة

مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 23 سم، ما محيط المثلث؟

حل

ف = أ + ب + ج. ف = أ + ب + ج ف =أ+ب+ج

لكن وفقًا للشرط، لدينا مثلث متساوي الأضلاع، أي أن جميع أضلاعه متساوية. في هذه الحالة ستأخذ الصيغة الشكل التالي:

ف = أ + أ + أ = 3 أ. ف = أ + أ + أ = 3أف =أ+أ+أ =3 أ

نعوض بالقيمة العددية في الصيغة ونجد محيط المثلث:

ف = 3 ⋅ 23 = 69 سم ف = 3\cdot23 = 69\نص(سم)ف =3 ⋅ 2 3 = 6 9 سم

إجابة
ف = 69 سم. ف = 69 \نص(سم).ف =6 9 سم .

مهمة

في مثلث متساوي الساقين، طول الضلع ب ١٤ سم، وطول القاعدة أ ٩ سم.

حل
دعونا نستخدم الصيغة لإيجاد محيط المثلث:

ف = أ + ب + ج. ف = أ + ب + ج ف =أ+ب+ج

لكن وفقًا للشرط، لدينا مثلث متساوي الساقين، أي أن أضلاعه متساوية. في هذه الحالة ستأخذ الصيغة الشكل التالي:

ف = أ + ب + ب = 2 ب + أ ف = أ + ب + ب = 2ب + أف =أ+ب+ب =2 ب +أ

نستبدل القيم العددية في الصيغة ونجد محيط المثلث:

P = 2 ⋅ 14 + 9 = 28 + 9 = 37 سم P = 2 \cdot 14 + 9 = 28 + 9 = 37 \text( cm)ف =2 ⋅ 1 4 + 9 = 2 8 + 9 = 3 7 سم

إجابة
ف = 37 سم. ف = 37\نص(سم).ف =3 7 سم .

كيفية العثور على محيط المثلث؟ لقد طرح كل واحد منا هذا السؤال أثناء الدراسة في المدرسة. دعونا نحاول أن نتذكر كل ما نعرفه عن هذا الرقم المذهل، وكذلك الإجابة على السؤال المطروح.

عادة ما تكون الإجابة على سؤال كيفية العثور على محيط المثلث بسيطة للغاية - ما عليك سوى تنفيذ إجراء إضافة أطوال جميع جوانبه. ومع ذلك، هناك عدة طرق أكثر بساطة للعثور على القيمة المطلوبة.

نصيحة

إذا كان نصف القطر (r) للدائرة المدرج في المثلث ومساحته (S) معروفين، فإن الإجابة على سؤال كيفية العثور على محيط المثلث أمر بسيط للغاية. للقيام بذلك، تحتاج إلى استخدام الصيغة المعتادة:

إذا كانت الزاويتان معروفتان، على سبيل المثال α و β، المتجاورتين للجانب، وطول الضلع نفسه، فيمكن العثور على المحيط باستخدام صيغة شائعة جدًا، والتي تبدو كما يلي:

الخطيئةβ∙а/(الخطيئة (180° - β - α)) + الخطيئةα∙а/(الخطيئة (180° - β - α)) + а

إذا كنت تعرف أطوال الجوانب المجاورة والزاوية β بينهما، فمن أجل العثور على المحيط، تحتاج إلى استخدام نظرية جيب التمام. يتم حساب المحيط باستخدام الصيغة:

P = ب + أ + √(b2 + a2 - 2∙b∙а∙cosβ)،

حيث b2 وa2 هما مربعا أطوال الأضلاع المجاورة. التعبير الجذري هو طول الضلع الثالث غير المعروف، معبرًا عنه باستخدام نظرية جيب التمام.

إذا كنت لا تعرف كيفية العثور على محيط مثلث متساوي الساقين، فلا يوجد شيء معقد هنا في الواقع. احسبها باستخدام الصيغة:

حيث b هي قاعدة المثلث، a هي أضلاعه.

للعثور على محيط مثلث منتظم، استخدم أبسط صيغة:

حيث a هو طول الجانب.

كيف يمكن العثور على محيط المثلث إذا كان فقط نصف قطر الدوائر المحصورة حوله أو المدرج فيه معروفًا؟ إذا كان المثلث متساوي الأضلاع، فيجب تطبيق الصيغة:

ف = 3R√3 = 6r√3،

حيث R و r هما نصف قطر الدائرة المحيطة والدائرة المنقوشة، على التوالي.

إذا كان المثلث متساوي الساقين، تنطبق عليه الصيغة:

P = 2R (الخطيئة β + 2 الخطيئة α)،

حيث α هي الزاوية التي تقع عند القاعدة، و β هي الزاوية المقابلة للقاعدة.

في كثير من الأحيان، يتطلب حل المشكلات الرياضية تحليلًا متعمقًا وقدرة محددة على العثور على الصيغ المطلوبة واستخلاصها، وهذه، كما يعلم الكثير من الناس، مهمة صعبة للغاية. على الرغم من أن بعض المشاكل يمكن حلها بصيغة واحدة فقط.

دعونا نلقي نظرة على الصيغ الأساسية للإجابة على سؤال كيفية العثور على محيط المثلث، فيما يتعلق بمجموعة واسعة من أنواع المثلثات.

بالطبع، القاعدة الأساسية لإيجاد محيط المثلث هي هذه العبارة: للعثور على محيط المثلث، تحتاج إلى جمع أطوال جميع أضلاعه باستخدام الصيغة المناسبة:

حيث b وa وc هي أطوال أضلاع المثلث، وP هو محيط المثلث.

هناك عدة حالات خاصة لهذه الصيغة. لنفترض أن مشكلتك مصاغة على النحو التالي: "كيف تجد محيط المثلث القائم الزاوية؟" وفي هذه الحالة عليك استخدام الصيغة التالية:

ف = ب + أ + √(ب2 + أ2)

في هذه الصيغة، b وa هما الطولان المباشران لأرجل المثلث القائم الزاوية. من السهل تخمين أنه بدلاً من الجانب الذي به (الوتر) يتم استخدام تعبير تم الحصول عليه من نظرية العالم العظيم في العصور القديمة - فيثاغورس.

إذا كنت بحاجة إلى حل مسألة حيث تكون المثلثات متشابهة، فسيكون من المنطقي استخدام هذه العبارة: نسبة المحيطات تتوافق مع معامل التشابه. لنفترض أن لديك مثلثين متشابهين - ΔABC وΔA1B1C1. ومن ثم، لإيجاد معامل التشابه، من الضروري قسمة المحيط ΔABC على المحيط ΔA1B1C1.

في الختام، يمكن الإشارة إلى أنه يمكن العثور على محيط المثلث باستخدام مجموعة متنوعة من التقنيات، اعتمادًا على البيانات الأولية المتوفرة لديك. يجب أن نضيف أن هناك بعض الحالات الخاصة للمثلثات القائمة.