Намиране на периметъра на триъгълник по различни начини. Как да намерите периметъра на триъгълник? Отговаряме на въпроса Въз основа на две дадени страни и ъгъла между тях
Периметър на триъгълник, както при всяка фигура, се нарича сбор от дължините на всички страни. Доста често тази стойност помага да се намери площта или се използва за изчисляване на други параметри на фигурата.
Формулата за периметъра на триъгълник изглежда така:
Пример за изчисляване на периметъра на триъгълник. Нека е даден триъгълник със страни a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm. Заместете данните във формулата: cm
Формула за изчисляване на периметър равнобедрен триъгълникще изглежда така:
Формула за изчисляване на периметър равностранен триъгълник:
Пример за изчисляване на периметъра на равностранен триъгълник. Когато всички страни на една фигура са равни, те могат просто да се умножат по три. Да предположим, че ни е даден правилен триъгълник със страна 5 cm в този случай: cm
Като цяло, след като всички страни са дадени, намирането на периметъра е доста просто. В други ситуации трябва да намерите размера на липсващата страна. В правоъгълен триъгълник можете да намерите третата страна по Питагорова теорема. Например, ако дължините на краката са известни, тогава можете да намерите хипотенузата, като използвате формулата: 
Нека разгледаме пример за изчисляване на периметъра на равнобедрен триъгълник, при условие че знаем дължината на катетите в правоъгълен равнобедрен триъгълник.
Даден е триъгълник с катети a =b =5 cm. Първо, нека намерим липсващата страна c. cm
Сега нека изчислим периметъра: cm
Периметърът на правоъгълен равнобедрен триъгълник ще бъде 17 cm.
В случай, че са известни хипотенузата и дължината на единия крак, можете да намерите липсващия по формулата: 
Ако хипотенузата и един от острите ъгли са известни в правоъгълен триъгълник, тогава липсващата страна се намира с помощта на формулата.
Предварителна информация
Периметърът на всяка плоска геометрична фигура в равнина се определя като сбор от дължините на всичките й страни. Триъгълникът не е изключение от това. Първо представяме понятието триъгълник, както и видовете триъгълници в зависимост от страните.
Определение 1
Триъгълник ще наричаме геометрична фигура, която е съставена от три точки, свързани една с друга с отсечки (фиг. 1).
Определение 2
В рамките на Дефиниция 1 точките ще наричаме върховете на триъгълника.
Определение 3
В рамките на Дефиниция 1 отсечките ще се наричат страни на триъгълника.
Очевидно всеки триъгълник ще има 3 върха, както и три страни.
В зависимост от отношението на страните една към друга триъгълниците се делят на мащабни, равнобедрени и равностранни.
Определение 4
Ще наречем триъгълник скален, ако нито една от страните му не е равна на друга.
Определение 5
Ще наречем триъгълник равнобедрен, ако две от страните му са равни една на друга, но не са равни на третата страна.
Определение 6
Ще наречем триъгълник равностранен, ако всичките му страни са равни една на друга.
Можете да видите всички видове тези триъгълници на фигура 2.
Как да намерим периметъра на скален триъгълник?
Нека ни е даден мащабен триъгълник, чиито дължини на страните са равни на $α$, $β$ и $γ$.
Заключение:За да намерите периметъра на скален триъгълник, трябва да съберете всички дължини на страните му заедно.
Пример 1
Намерете периметъра на скален триъгълник, равен на $34$ cm, $12$ cm и $11$ cm.
$P=34+12+11=57$ cm
Отговор: $57$ cm.
Пример 2
Намерете периметъра на правоъгълен триъгълник, чийто катети са $6$ и $8$ cm.
Първо, нека намерим дължината на хипотенузите на този триъгълник с помощта на Питагоровата теорема. Тогава нека го означим с $α$
$α=10$ Съгласно правилото за изчисляване на периметъра на скален триъгълник получаваме
$P=10+8+6=24$ см
Отговор: $24$ виж.
Как да намерите периметъра на равнобедрен триъгълник?
Нека ни е даден равнобедрен триъгълник, дължините на страните ще бъдат равни на $α$, а дължината на основата ще бъде равна на $β$.
Като определяме периметъра на плоска геометрична фигура, получаваме това
$P=α+α+β=2α+β$
Заключение:За да намерите периметъра на равнобедрен триъгълник, добавете два пъти дължината на страните му към дължината на основата му.
Пример 3
Намерете периметъра на равнобедрен триъгълник, ако страните му са $12$ cm, а основата му е $11$ cm.
От примера, обсъден по-горе, виждаме това
$P=2\cdot 12+11=35$ cm
Отговор: $35$ виж.
Пример 4
Намерете периметъра на равнобедрен триъгълник, ако неговата височина, прекарана към основата, е $8$ cm, а основата е $12$ cm.
Нека да разгледаме чертежа според условията на проблема:
Тъй като триъгълникът е равнобедрен, $BD$ също е медианата, следователно $AD=6$ cm.
Използвайки Питагоровата теорема, от триъгълника $ADB$ намираме страничната страна. Тогава нека го означим с $α$
Според правилото за изчисляване на периметъра на равнобедрен триъгълник получаваме
$P=2\cdot 10+12=32$ cm
Отговор: $32$ виж.
Как да намерите периметъра на равностранен триъгълник?
Нека ни е даден равностранен триъгълник, чиито дължини на всички страни са равни на $α$.
Като определяме периметъра на плоска геометрична фигура, получаваме това
$P=α+α+α=3α$
Заключение:За да намерите периметъра на равностранен триъгълник, умножете дължината на страната на триъгълника по $3$.
Пример 5
Намерете периметъра на равностранен триъгълник, ако страната му е $12$ cm.
От примера, обсъден по-горе, виждаме това
$P=3\cdot 12=36$ cm
Периметърът на всеки триъгълник е дължината на линията, която ограничава фигурата. За да го изчислите, трябва да намерите сумата от всички страни на този многоъгълник.
Изчисляване от дадени дължини на страните
След като знаят значенията им, това е лесно да се направи. Означавайки тези параметри с буквите m, n, k, а периметъра с буквата P, получаваме формулата за изчисление: P = m+n+k. Задача: Известно е, че триъгълникът има дължини на страните 13,5 дециметра, 12,1 дециметра и 4,2 дециметра. Разберете периметъра. Решаваме: Ако страните на този многоъгълник са a = 13,5 dm, b = 12,1 dm, c = 4,2 dm, тогава P = 29,8 dm. Отговор: P = 29,8 dm.
Периметър на триъгълник, който има две равни страни
Такъв триъгълник се нарича равнобедрен. Ако тези равни страни имат дължина a сантиметра, а третата страна има дължина b сантиметра, тогава периметърът е лесен за намиране: P = b + 2a. Задача: триъгълник има две страни по 10 дециметра, основа 12 дециметра. Намерете P. Решение: Нека страната a = c = 10 dm, основата b = 12 dm. Сборът на страните P = 10 dm + 12 dm + 10 dm = 32 dm. Отговор: P = 32 дециметра.
Периметър на равностранен триъгълник
Ако трите страни на триъгълника имат еднакъв брой мерни единици, той се нарича равностранен. Друго име е правилно. Периметърът на правилен триъгълник се намира по формулата: P = a+a+a = 3·a. Проблем: Имаме парцел с равностранен триъгълник. Едната страна е 6 метра. Намерете дължината на оградата, която може да се използва за ограждане на тази зона. Решение: Ако страната на този многоъгълник е a = 6 m, тогава дължината на оградата е P = 3 6 = 18 (m). Отговор: P = 18 m.
Триъгълник с ъгъл 90°
Нарича се правоъгълна. Наличието на прав ъгъл дава възможност да се намерят неизвестни страни, като се използва дефиницията на тригонометричните функции и теоремата на Питагор. Най-дългата страна се нарича хипотенуза и се обозначава c. Има още две страни, a и b. Следвайки теоремата, кръстена на Питагор, имаме c 2 = a 2 + b 2 . Крака a = √ (c 2 - b 2) и b = √ (c 2 - a 2). Като знаем дължината на два катета a и b, изчисляваме хипотенузата. След това намираме сумата от страните на фигурата, като събираме тези стойности. Задание: катетите на правоъгълен триъгълник имат дължини 8,3 сантиметра и 6,2 сантиметра. Трябва да се изчисли периметърът на триъгълника. Решете: Нека означим катетите a = 8,3 cm, b = 6,2 cm. Следвайки Питагоровата теорема, хипотенузата c = √ (8,3 2 + 6,2 2) = √ (68,89 + 38,44) = √107 ,33 = 10,4 (cm ). Р = 24,9 (cm). Или P = 8,3 + 6,2 + √ (8,3 2 + 6,2 2) = 24,9 (cm). Отговор: P = 24,9 см. Корените са взети с точност до десети. Ако знаем стойностите на хипотенузата и крака, тогава получаваме стойността на P чрез изчисляване на P = √ (c 2 - b 2) + b + c. Задача 2: Участък от земя, лежащ срещу ъгъл от 90 градуса, 12 км, един от краката е 8 км. Колко време ще ви отнеме да обиколите целия район, ако се движите със скорост 4 километра в час? Решение: ако най-големият сегмент е 12 km, по-малкият е b = 8 km, тогава дължината на целия път ще бъде P = 8 + 12 + √ (12 2 - 8 2) = 20 + √80 = 20 + 8,9 = 28,9 (км). Ще намерим времето, като разделим пътя на скоростта. 28,9:4 = 7,225 (h). Отговор: можете да го заобиколите за 7,3 часа. Вземаме стойността на квадратния корен и отговора с точност до десети. Можете да намерите сумата от страните на правоъгълен триъгълник, ако са дадени една от страните и стойността на един от острите ъгли. Като знаем дължината на катета b и стойността на ъгъла β срещу него, намираме неизвестната страна a = b/ tan β. Намерете хипотенузата c = a: sinα. Намираме периметъра на такава фигура, като добавим получените стойности. P = a + a/ sinα + a/ tan α, или P = a(1 / sin α+ 1+1 / tan α). Задача: В правоъгълник Δ ABC с прав ъгъл C катетът BC има дължина 10 m, ъгъл A е 29 градуса. Трябва да намерим сумата от страните Δ ABC. Решение: Нека означим известната страна BC = a = 10 m, ъгълът срещу нея, ∟A = α = 30°, тогава страната AC = b = 10: 0,58 = 17,2 (m), хипотенузата AB = c = 10: 0,5 = 20 (m). P = 10 + 17,2 + 20 = 47,2 (m). Или P = 10 · (1 + 1,72 + 2) = 47,2 m. Имаме: P = 47,2 m Вземаме стойността на тригонометричните функции с точност до стотни, закръгляме дължината на страните и периметъра до десети. Имайки стойността на катета α и прилежащия ъгъл β, намираме на какво е равен вторият катет: b = a tan β. Хипотенузата в този случай ще бъде равна на крака, разделен на косинуса на ъгъла β. Намираме периметъра по формулата P = a + a tan β + a: cos β = (tg β + 1+1: cos β)·a. Задание: Катетът на триъгълник с ъгъл 90 градуса е 18 см, прилежащият ъгъл е 40 градуса. Намерете P. Решение: Нека означим известната страна BC = 18 cm, ∟β = 40°. Тогава неизвестната страна AC = b = 18 · 0,83 = 14,9 (cm), хипотенуза AB = c = 18: 0,77 = 23,4 (cm). Сумата от страните на фигурата е P = 56,3 (cm). Или P = (1 + 1,3 + 0,83) * 18 = 56,3 cm. първата - по синуса, а за втората - по косинуса на този ъгъл. Периметърът на тази фигура е P = (sin α + 1+ cos α)*c. Задача: Хипотенузата на правоъгълен триъгълник AB = 9,1 сантиметра, а ъгълът е 50 градуса. Намерете сумата от страните на тази фигура. Решение: Нека означим хипотенузата: AB = c = 9,1 cm, ∟A= α = 50°, тогава един от катетите BC има дължина a = 9,1 · 0,77 = 7 (cm), катет AC = b = 9 . 1 · 0,64 = 5,8 (cm). Това означава, че периметърът на този многоъгълник е P = 9,1 + 7 + 5,8 = 21,9 (cm). Или P = 9,1 · (1 + 0,77 + 0,64) = 21,9 (cm). Отговор: P = 21,9 сантиметра.
Произволен триъгълник, чиято една от страните е неизвестна
Ако имаме стойностите на двете страни a и c и ъгъла между тези страни γ, намираме третата по косинусовата теорема: b 2 = c 2 + a 2 - 2 ac cos β, където β е ъгълът разположени между страни a и c. След това намираме периметъра. Задача: Δ ABC има отсечка AB с дължина 15 dm, отсечка AC с дължина 30,5 dm. Ъгълът между тези страни е 35 градуса. Изчислете сбора на страните Δ ABC. Решение: Използвайки косинусовата теорема, изчисляваме дължината на третата страна. BC 2 = 30,5 2 + 15 2 - 2 30,5 15 0,82 = 930,25 + 225 - 750,3 = 404,95. BC = 20,1 см. P = 30,5 + 15 + 20,1 = 65,6 (dm). Имаме: P = 65,6 dm.
Сборът от страните на произволен триъгълник, в който дължините на двете страни са неизвестни
Когато знаем дължината само на един сегмент и стойността на два ъгъла, можем да намерим дължината на две неизвестни страни, като използваме синусовата теорема: „в триъгълник страните винаги са пропорционални на стойностите на синусите на противоположни ъгли." Къде b = (a* sin β)/ sin a. По същия начин c = (a sin γ): sin a. Периметърът в този случай ще бъде P = a + (a sin β)/ sin a + (a sin γ)/ sin a. Задача: Имаме Δ ABC. В него дължината на страната BC е 8,5 mm, стойността на ъгъл C е 47°, а ъгъл B е 35 градуса. Намерете сумата от страните на тази фигура. Решение: Нека означим дължините на страните BC = a = 8,5 mm, AC = b, AB = c, ∟ A = α= 47°, ∟B = β = 35°, ∟ C = γ = 180° - ( 47° + 35°) = 180° - 82° = 98°. От отношенията, получени от синусовата теорема, намираме краката AC = b = (8,5 0,57): 0,73 = 6,7 (mm), AB = c = (7 0,99): 0,73 = 9,5 (mm). Следователно сумата от страните на този многоъгълник е P = 8,5 mm + 5,5 mm + 9,5 mm = 23,5 mm. Отговор: P = 23,5 mm. В случай, че има само дължината на един сегмент и стойностите на два съседни ъгъла, първо изчисляваме ъгъла, противоположен на известната страна. Всички ъгли на тази фигура се събират до 180 градуса. Следователно ∟A = 180° - (∟B + ∟C). След това намираме неизвестните сегменти с помощта на синусовата теорема. Задача: Имаме Δ ABC. Той има отсечка BC, равна на 10 cm, ъгъл B е 48 градуса, ъгъл C е 56 градуса. Намерете сумата от страните Δ ABC. Решение: Първо, намерете стойността на ъгъл A срещу страната BC. ∟A = 180° - (48° + 56°) = 76°. Сега, използвайки теоремата за синусите, изчисляваме дължината на страната AC = 10·0,74: 0,97 = 7,6 (cm). AB = BC* sin C/ sin A = 8,6. Периметърът на триъгълника е P = 10 + 8,6 + 7,6 = 26,2 (cm). Резултат: P = 26,2 см.
Изчисляване на периметъра на триъгълник с помощта на радиуса на вписаната в него окръжност
Понякога нито една от страните на проблема не е известна. Но има стойност за площта на триъгълника и радиуса на вписаната в него окръжност. Тези количества са свързани: S = r p. Като знаем стойността на площта и радиуса на триъгълника r, можем да намерим полупериметъра p. Намираме p = S: r. Задача: Парцелът е с площ 24 m2, радиусът r е 3 m. Намерете броя на дърветата, които трябва да бъдат засадени равномерно по линията, ограждаща този парцел, ако трябва да има разстояние от 2 метра между две съседни. . Решение: Намираме сумата от страните на тази фигура, както следва: P = 2 · 24: 3 = 16 (m). След това разделете на две. 16:2= 8. Общо: 8 дървета.
Сбор от страните на триъгълник в декартови координати
Върховете на Δ ABC имат координати: A (x 1 ; y 1), B (x 2 ; y 2), C(x 3 ; y 3). Нека намерим квадратите на всяка страна AB 2 = (x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 ; BC 2 = (x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2; AC 2 = (x 1 - x 3) 2 + (y 1 - y 3) 2. За да намерите периметъра, просто съберете всички сегменти. Задаване: Координати на върховете Δ ABC: B (3; 0), A (1; -3), C (2; 5). Намерете сумата от страните на тази фигура. Решение: като поставим стойностите на съответните координати във формулата на периметъра, получаваме P = √(4 + 9) + √(1 + 25) + √(1 + 64) = √13 + √26 + √65 = 3,6 + 5,1 + 8,0 = 16,6. Имаме: P = 16,6. Ако фигурата не е в равнина, а в пространството, тогава всеки от върховете има три координати. Следователно формулата за сбора на страните ще има още един член.
Векторен метод
Ако фигурата е дадена чрез координатите на нейните върхове, периметърът може да се изчисли с помощта на векторния метод. Векторът е сегмент, който има посока. Неговият модул (дължина) се обозначава със символа ǀᾱǀ. Разстоянието между точките е дължината на съответния вектор или абсолютната стойност на вектора. Помислете за триъгълник, разположен върху равнина. Ако върховете имат координати A (x 1; y 1), M(x 2; y 2), T (x 3; y 3), тогава дължината на всяка страна се намира с помощта на формулите: ǀAMǀ = √ ((x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2) 2), ǀMTǀ = √ ((x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2), ǀATǀ = √ ((x 1 - x 3 ) 2 + ( y 1 - y 3) 2). Получаваме периметъра на триъгълника, като съберем дължините на векторите. По същия начин намерете сумата от страните на триъгълник в пространството.
Дефиниция на триъгълник
Триъгълнике геометрична фигура, състояща се от три точки, свързани последователно.
Триъгълникът има три страни и три ъгъла.
Има много видове триъгълници и всички те имат различни свойства. Изброяваме основните видове триъгълници:
- Разнообразен(всички страни са с различна дължина);
- Равнобедрен(две страни са равни, два ъгъла в основата са равни);
- Равностранен(всички страни и всички ъгли са равни).
За всички видове триъгълници обаче има една универсална формула за намиране на периметъра на триъгълник - това е сумата от дължините на всички страни на триъгълника.
Онлайн калкулатор
Формула за периметър на триъгълник
P = a + b + c P = a + b + c P=а+b+c
A, b, c a, b, c a, b, c- дължини на страните на триъгълника.
Нека да разгледаме задачите за намиране на периметъра на триъгълник.
ЗадачаТриъгълникът има страни: a = 28 cm, b = 46 cm, c = 51 cm. Колко е обиколката на триъгълника?
Решение
Нека използваме формулата за намиране на периметъра на триъгълник и заместваме а а а, б б bИ c c cтехните числени стойности:
P = a + b + c P = a + b + c P=а+b+c
P = 28 + 46 + 51 = 125 cm P = 28 + 46 + 51 = 125\text( cm)P=2
8
+
4
6
+
5
1
=
1
2
5
cm
отговор:
P = 125 cm P = 125 \text( cm.)P=1
2
5
cm .
Триъгълникът е равностранен със страна 23 см. Колко е обиколката на триъгълника?
Решение
P = a + b + c P = a + b + c P=а+b+c
Но според условието имаме равностранен триъгълник, тоест всичките му страни са равни. В този случай формулата ще приеме следната форма:
P = a + a + a = 3 a P = a + a + a = 3aP=а+а+а =3а
Заменяме числовата стойност във формулата и намираме периметъра на триъгълника:
P = 3 ⋅ 23 = 69 cm P = 3\cdot23 = 69\text( cm)P=3 ⋅ 2 3 = 6 9 cm
отговор
P = 69 cm P = 69 \text( cm.)P=6
9
cm .
В равнобедрен триъгълник страната b е 14 cm, а основата a е 9 cm. Намерете периметъра на триъгълника.
Решение
Нека използваме формулата за намиране на периметъра на триъгълник:
P = a + b + c P = a + b + c P=а+b+c
Но според условието имаме равнобедрен триъгълник, тоест страните му са равни. В този случай формулата ще приеме следната форма:
P = a + b + b = 2 b + a P = a + b + b = 2b + aP=а+b+b =2 b +а
Заменяме числените стойности във формулата и намираме периметъра на триъгълника:
P = 2 ⋅ 14 + 9 = 28 + 9 = 37 cm P = 2 \cdot 14 + 9 = 28 + 9 = 37 \text( cm)P=2 ⋅ 1 4 + 9 = 2 8 + 9 = 3 7 cm
отговор
P = 37 cm P = 37\текст (cm.)P=3
7
cm .
Как да намерите периметъра на триъгълник? Всеки от нас си зададе този въпрос, докато учи в училище. Нека се опитаме да си спомним всичко, което знаем за тази невероятна фигура, а също и да отговорим на зададения въпрос.
Отговорът на въпроса как да намерите периметъра на триъгълник обикновено е доста прост - просто трябва да изпълните процедурата за добавяне на дължините на всичките му страни. Има обаче няколко по-прости метода за намиране на желаната стойност.
Съвет
Ако радиусът (r) на кръг, вписан в триъгълник, и неговата площ (S) са известни, тогава отговорът на въпроса как да се намери периметърът на триъгълник е доста прост. За да направите това, трябва да използвате обичайната формула:
Ако са известни два ъгъла, да речем α и β, които са съседни на страната, и дължината на самата страна, тогава периметърът може да се намери с помощта на много, много популярна формула, която изглежда така:
sinβ∙а/(sin(180° - β - α)) + sinα∙а/(sin(180° - β - α)) + а
Ако знаете дължините на съседните страни и ъгъла β между тях, тогава, за да намерите периметъра, трябва да използвате косинусовата теорема. Периметърът се изчислява по формулата:
P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙а∙cosβ),
където b2 и a2 са квадратите на дължините на съседните страни. Радикалният израз е дължината на третата страна, която е неизвестна, изразена чрез косинусовата теорема.
Ако не знаете как да намерите периметъра на равнобедрен триъгълник, тогава тук всъщност няма нищо сложно. Изчислете го по формулата:
където b е основата на триъгълника, a е неговите страни.
За да намерите периметъра на правилен триъгълник, използвайте най-простата формула:
където a е дължината на страната.
Как да се намери периметърът на триъгълник, ако са известни само радиусите на описаните около него или вписаните в него окръжности? Ако триъгълникът е равностранен, тогава трябва да се приложи формулата:
P = 3R√3 = 6r√3,
където R и r са радиусите съответно на описаната и вписаната окръжност.
Ако триъгълникът е равнобедрен, тогава за него се прилага формулата:
P=2R (sinβ + 2sinα),
където α е ъгълът, който лежи в основата, а β е ъгълът, който е противоположен на основата.
Често решаването на математически задачи изисква задълбочен анализ и специфична способност за намиране и извеждане на необходимите формули, а това, както много хора знаят, е доста трудна работа. Въпреки че някои проблеми могат да бъдат решени само с една формула.
Нека да разгледаме формулите, които са основни за отговор на въпроса как да се намери периметърът на триъгълник, във връзка с голямо разнообразие от видове триъгълници.
Разбира се, основното правило за намиране на периметъра на триъгълник е следното твърдение: за да намерите периметъра на триъгълник, трябва да съберете дължините на всичките му страни, като използвате подходящата формула:
където b, a и c са дължините на страните на триъгълника, а P е периметърът на триъгълника.
Има няколко специални случая на тази формула. Да приемем, че вашият проблем е формулиран по следния начин: „как да намерите периметъра на правоъгълен триъгълник?“ В този случай трябва да използвате следната формула:
P = b + a + √(b2 + a2)
В тази формула b и a са непосредствените дължини на катетите на правоъгълния триъгълник. Лесно е да се досетите, че вместо страната с (хипотенуза) се използва израз, получен от теоремата на великия учен от древността - Питагор.
Ако трябва да решите задача, при която триъгълниците са подобни, тогава би било логично да използвате следното твърдение: съотношението на периметрите съответства на коефициента на сходство. Да кажем, че имате два подобни триъгълника - ΔABC и ΔA1B1C1. След това, за да се намери коефициентът на подобие, е необходимо да се раздели периметърът ΔABC на периметъра ΔA1B1C1.
В заключение може да се отбележи, че периметърът на триъгълник може да се намери с помощта на различни техники, в зависимост от първоначалните данни, които имате. Трябва да се добави, че има някои специални случаи за правоъгълни триъгълници.