Prezentarea conceptului de unghi poliedric unghi triedric. Unghiuri triedrice și poliedrice: Un unghi triedric este o figură formată din trei plane, limitate de trei raze care emană dintr-unul.

Un unghi diedru este o figură formată dintr-o linie dreaptă. o și două semiplane cu o limită comună o , neaparținând aceluiași plan.

Drept o – marginea diedrului

În viața de zi cu zi, întâlnim adesea obiecte care au forma unui unghi diedru. Astfel de obiecte sunt acoperișurile cu frontoane ale clădirilor, o carte întredeschisă, peretele unei camere împreună cu podeaua etc.

Două semiplane - fețe ale unui unghi diedru

Algoritm pentru construirea unui unghi liniar.

Unghiul ROK – unghiul liniar al unghiului diedru P DE K.

Gradul de măsurare a unui unghi diedru este gradul de măsurare a unghiului său liniar.

Unghiuri triedrice și poliedrice

Introduceți definiția unghiurilor triedrice și poliedrice;

Fă cunoștință diverse tipuri unghiuri poliedrice;

Studiază proprietățile unghiurilor poliedrice și învață cum să le folosești în rezolvarea problemelor.

unghiuri poliedice

O suprafață formată dintr-un set finit de unghiuri plane O 1 S.A. 2 , O 2 S.A. 3 , …, O n -1 S.A. n , O n S.A. 1 cu blat comun S, în care unghiurile învecinate nu au puncte comune, cu excepția punctelor unei raze comune, iar colțurile neînvecinate nu au puncte comune, cu excepția unui vârf comun, se va numi suprafață poliedrică.

Figura formată din suprafața specificată și una dintre cele două părți ale spațiului limitat de aceasta se numește unghi poliedric. Top comun S numit vârful unui unghi poliedric. Raze S.A. 1 , …, S.A. n se numesc muchiile unui unghi poliedric, iar unghiurile plane în sine O 1 S.A. 2 , O 2 S.A. 3 , …, O n -1 S.A. n , O n S.A. 1 – fețele unui unghi poliedric. Un unghi poliedric este indicat prin litere S.A. 1 … O n, indicând vârful și punctele de pe marginile acestuia.

unghiuri poliedice

În funcție de numărul de fețe, unghiurile poliedrice sunt triedrice, tetraedrice, pentagonale etc.

UNGHIURI TRIHEDALE

Teorema. Fiecare unghi plan al unui unghi triedric este mai mic decât suma celorlalte două unghiuri plane ale sale.

În modul slide, răspunsul apare după ce faceți clic pe mouse.

UNGHIURI TRIHEDALE

Cu proprietatea. Suma unghiurilor plane ale unui unghi triedric este mai mică de 360.

În modul slide, răspunsul apare după ce faceți clic pe mouse.

UNGHIURI POLHEDALE CONVEXE

Un unghi poliedric se numește convex dacă este o figură convexă, adică, împreună cu oricare dintre punctele sale, conține în întregime segmentul care le leagă. Figura prezintă exemple de unghiuri poliedrice convexe și neconvexe.

Proprietate. Suma tuturor unghiurilor plane ale unui unghi poliedric convex este mai mică de 360°.

Unghiuri poliedrice verticale

Figurile prezintă exemple de unghiuri verticale triedrice, tetraedrice și pentagonale

Teorema. Unghiuri verticale sunt egali.

Măsurarea unghiurilor poliedrice

Deoarece valoarea gradului unui unghi diedru dezvoltat este măsurată prin valoarea gradului unghiului liniar corespunzător și este egală cu 180 °, vom presupune că valoarea gradului a întregului spațiu, care constă din două unghiuri diedrice dezvoltate, este egală cu 360 °. Mărimea unui unghi poliedric, exprimată în grade, arată cât spațiu ocupă un unghi poliedric dat. De exemplu, un unghi triedric al unui cub ocupă o optime din spațiu și, prin urmare, valoarea gradului său este 360 o: 8 = 45 o. Unghiul triunghiular corect n-prisma diagonala este egala cu jumatate din unghiul diedric la marginea laterala. Avand in vedere ca acest unghi diedric este egal, obtinem ca unghiul triedric al prismei este egal.

Exercițiul 1

Poate exista un unghi triedric cu unghiuri plate: a) 30°, 60°, 20°; b) 45°, 45°, 90°; c) 30°, 45°, 60°?

În modul slide, răspunsul apare după ce faceți clic pe mouse.

Răspuns: a) Nu;

Exercițiul 2

Daţi exemple de poliedre ale căror feţe, intersectându-se la vârfuri, formează numai: a) unghiuri triedrice; b) unghiuri tetraedrice; c) unghiuri pentagonale.

În modul slide, răspunsul apare după ce faceți clic pe mouse.

Răspuns: a) Tetraedru, cub, dodecaedru;

b) octaedru;

c) icosaedru.

Exercițiul 3

Cele două unghiuri plane ale unui unghi triedric sunt 70° și 80°. Care sunt limitele celui de-al treilea unghi plan?

În modul slide, răspunsul apare după ce faceți clic pe mouse.

Răspuns: 10 o

1. Figura prezintă un poliedru toate unghiurile diedrice ale poliedrului sunt unghiuri drepte. Aflați distanța dintre vârfurile A și C2

Să luăm în considerare triunghi dreptunghic, conform teoremei lui Pitagora

3. Aflați unghiul CAD2 al poliedrului prezentat în figură. Toate unghiurile diedrice ale unui poliedru sunt unghiuri drepte. Dați răspunsul în grade.

Luați în considerare triunghiul CAD2 unde AC = CD2 = AD2, deoarece acestea sunt diagonale de pătrate egale. Prin urmare, triunghiul CAD2 este echilateral, deci toate unghiurile sale sunt egale cu 60°.

4. Aflați unghiul ABD al poliedrului prezentat în figură. Toate unghiurile diedrice ale unui poliedru sunt unghiuri drepte. Dați răspunsul în grade.

Rețineți că ABCD este un pătrat cu latura 2, iar BD este diagonala sa. Aceasta înseamnă că triunghiul ABD este dreptunghic și isoscel, AB=AD. Unghiul ABD este de 45°.

5. Figura prezintă un poliedru toate unghiurile diedrice ale poliedrului sunt unghiuri drepte. Aflați pătratul distanței dintre vârfurile B2 și D3.

6. Figura prezintă un poliedru toate unghiurile diedrice ale poliedrului sunt unghiuri drepte. Aflați pătratul distanței dintre vârfurile A și C3.

7. Aflați unghiul EAD2 al poliedrului prezentat în figură. Toate unghiurile diedrice ale unui poliedru sunt unghiuri drepte. Dați răspunsul în grade.

Exercițiul 5

Într-un unghi triedric, două unghiuri plane sunt egale cu 45°; unghiul diedric dintre ele este drept. Găsiți al treilea unghi plan.

În modul slide, răspunsul apare după ce faceți clic pe mouse.

Raspuns: 6 0 o.

Exercițiul 6

Unghiurile plane ale unui unghi triedric sunt 60°, 60° și 90°. Segmentele egale sunt așezate pe marginile sale de la vârf O.A. , O.B. , O.C. . Aflați unghiul diedric dintre planul unghiului de 90° și plan ABC .

În modul slide, răspunsul apare după ce faceți clic pe mouse.

Raspuns: 9 0 o.

Exercițiul 7

Fiecare unghi plan al unui unghi triedric este de 60°. Pe una dintre marginile sale un segment egal cu 3 cm este așezat din partea de sus și o perpendiculară este aruncată de la capătul său pe fața opusă. Aflați lungimea acestei perpendiculare.

În modul slide, răspunsul apare după ce faceți clic pe mouse.

Răspuns: vezi

Exercițiul 8

Găsiți locul punctelor interioare ale unui unghi triedric echidistant de fețele sale.

În modul slide, răspunsul apare după ce faceți clic pe mouse.

Răspuns: O rază al cărei vârf este vârful unui unghi triedric, situat pe linia de intersecție a planelor care împarte unghiurile diedrice la jumătate.

Exercițiul 9

Găsiți locul punctelor interioare ale unui unghi triedric echidistant de marginile acestuia.

În modul slide, răspunsul apare după ce faceți clic pe mouse.

Răspuns: O rază al cărei vârf este vârful unui unghi triedric, situat pe linia de intersecție a planelor care trec prin bisectoarele unghiurilor plane și perpendicular pe planuri aceste unghiuri.

Exercițiul 10

Găsiți valorile aproximative ale unghiurilor triedrice ale tetraedrului.

Pentru unghiurile diedrice ale unui tetraedru avem:

De unde provin 70 aproximativ 30?

Pentru unghiurile triedrice ale unui tetraedru avem:

În modul slide, răspunsul apare după ce faceți clic pe mouse.

Răspuns: 15 aproximativ 45".

Exercițiul 11

Găsiți valorile aproximative ale unghiurilor tetraedrice ale octaedrului.

Pentru unghiurile diedrice ale octaedrului avem:

De unde provine 109 sau 30?

Pentru unghiurile tetraedrice ale octaedrului avem:

În modul slide, răspunsul apare după ce faceți clic pe mouse.

Răspuns: 38 aproximativ 56".

Exercițiul 12

Găsiți valorile aproximative ale unghiurilor pentaedrice ale icosaedrului.

Pentru unghiurile diedrice ale icosaedrului avem:

Unde este 138 aproximativ 11".

Pentru unghiurile pentaedrice ale icosaedrului avem:

Răspuns: 75 aproximativ 28".

În modul slide, răspunsul apare după ce faceți clic pe mouse.

Exercițiul 13

Găsiți valorile aproximative ale unghiurilor triedrice ale dodecaedrului.

Pentru unghiurile diedrice ale dodecaedrului avem:

Unde este 116 aproximativ 3 4".

Pentru unghiurile triedrice ale dodecaedrului avem:

Răspuns: 84 aproximativ 51".

În modul slide, răspunsul apare după ce faceți clic pe mouse.

Exercițiul 14

In dreapta piramida patruunghiulara SABCD latura bazei este de 2 cm, înălțimea este de 1 cm Găsiți unghiul cu patru laturi din vârful acestei piramide.

Soluție: Piramidele indicate împart cubul în șase piramide egale cu vârfurile în centrul cubului. În consecință, unghiul cu 4 laturi din vârful piramidei este o șesime din unghiul de 360 de grade, adică. egal cu 60 o.

În modul slide, răspunsul apare după ce faceți clic pe mouse.

Raspuns: 60 o.

Exercițiul 15

Într-o piramidă triunghiulară obișnuită, marginile laterale sunt egale cu 1, unghiurile de la vârf sunt de 90 de grade. Găsiți unghiul triunghiular la vârful acestei piramide.

Soluție: Piramidele indicate împart octaedrul în opt piramide egale cu vârfurile în centru O octaedru. În consecință, unghiul cu 3 laturi din vârful piramidei este o optime dintr-un unghi de 360 de grade, adică. egal cu 45 o.

În modul slide, răspunsul apare după ce faceți clic pe mouse.

Raspuns: 45 o.

Exercițiul 16

Într-o piramidă triunghiulară obișnuită, muchiile laterale sunt egale cu 1, iar înălțimea Găsiți unghiul triunghiular la vârful acestei piramide.

Soluție: Piramidele indicate împart un tetraedru obișnuit în patru piramide egale cu vârfuri în centru O tetraedru. În consecință, unghiul cu 3 laturi din vârful piramidei este un sfert dintr-un unghi de 360 de grade, adică. egal cu 90 o.

În modul slide, răspunsul apare după ce faceți clic pe mouse.

Prezentare „Unghiul poliedric” este un material vizual pentru prezentare studenților informatii educationale pe subiect. În timpul prezentării pe care o prezintă fundamente teoretice concepte de unghi poliedric, sunt dovedite proprietățile de bază ale unghiului poliedric, pe care trebuie să le cunoașteți pentru a rezolva probleme. Cu ajutorul manualului, profesorului îi este mai ușor să-și formeze o idee despre un unghi poliedric și capacitatea de a rezolva probleme pe această temă. Prezentarea, printre alte ajutoare vizuale, ajută la creșterea eficienței lecției.

Prezentarea folosește tehnici care ajută la îmbunătățirea prezentării materialelor educaționale. Acestea sunt efecte de animație, evidențiere, inserare de imagini, diagrame. Folosind efecte de animație, informațiile sunt prezentate secvențial, evidențiind puncte importante. Animația face ca construcțiile să pară mai vii, mai apropiate de demonstrațiile tradiționale cu tablă, astfel încât elevii să înțeleagă mai ușor proprietățile reprezentate. Utilizarea mijloacelor de evidențiere îi ajută pe elevi să-și amintească mai ușor informațiile învățate.

Demonstrația începe cu o reamintire a materialului educațional cu care a început studiul unghiurilor la cursul de matematică. Definirea unui unghi ca o figură formată dintr-un punct și două raze care emană din punct. Sub definiție, este dată o imagine a unghiului ∠ABC, sunt indicate unghiul, vârful și punctele de pe raze. Următorul este un memento a ceea ce este unghiuri adiacente∠LOM și ∠MON. Figura prezintă unghiuri adiacente, unghiurile în sine sunt indicate, vârful O și punctele de pe raze sunt L, M, N. Modelul unghiului este busola prezentată pe diapozitivul 4. Deschiderea busolei se poate modifica, creând unghiuri de diferite dimensiuni.

Folosind diapozitivul 5, elevilor li se reamintește definiția unghiului diedric ca o figură compusă din două semiplane care nu aparțin aceluiași plan, iar limita lor comună este o linie dreaptă. Sub textul definiției este un unghi diedru. Exemple de unghiuri poliedrice sunt acoperișurile caselor. Imaginea de pe diapozitivul 6 prezintă clădiri cu acoperiș diedru și poliedric.

Slide 7 prezintă o imagine a unui unghi poliedric OA 1 A 2 A 3 ...A n. Vârful unghiului este indicat în figură, un punct este marcat pe fiecare rază, creând o desemnare pentru un unghi poliedric de-a lungul vârfului și razelor. Denumirea este afișată lângă imagine și închisă într-un cadru pentru memorare. Structura unghiului poliedric OA 1 A 2 A 3 ...A n este considerată. Imaginea acestuia prezintă vârful O, muchiile OA 1,..., OA n și unghiul plat A 1 OA 2. Următoarele demonstrează unghiul triedric ABCD, în care sunt marcate unghiurile plane. Unghiul triedric AA 1 DB este reprezentat în cubul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, prezentat în figura de pe slide 10. Imaginea evidențiază un unghi triedric, ale cărui fețe de formare sunt colorate în diferite culori, iar unghiurile plane. sunt indicate. Următorul diapozitiv arată acoperișurile clădirilor care au o formă hexagonală. Figura prezintă un unghi plat și un unghi hexagonal.

Este prezentată proprietatea existenței unui plan care intersectează toate muchiile unui unghi poliedric convex. Pentru a înțelege esența proprietății, trebuie să cunoașteți definiția unui unghi convex. Este marcat lângă proprietate. Definiția afirmă că un unghi convex se află pe o parte a planului care conține fiecare dintre unghiurile plane. Condiția teoremei asupra proprietății unghiului poliedric prevede că există un unghi poliedric convex ∠ OA 1 A 2 A 3 …An. Pe razele OA 1 și OA 2 sunt marcate punctele K și M, a căror legătură constituie linia mediană a triunghiului Δ OA 1 A 2. Planul care trece prin CM și un anumit punct A i este situat în așa fel încât toate punctele A 1, A 2, A 3, ...A n să fie de o parte a lui α, iar vârful unghiului, punctul O, se află pe cealaltă parte a avionului. De aici rezultă că planul intersectează toate muchiile unui unghi poliedric convex. Teorema a fost demonstrată.

Următoarea teoremă, prezentată în diapozitivul 4, afirmă că suma tuturor unghiurilor plane ale unui unghi poliedric este mai mică de 360°. Teorema este formulată ca o proprietate evidențiată într-un cadru roșu pentru memorare. Dovada proprietății este ilustrată în figură, care arată unghiul poliedric ∠ OA 1 A 2 A 3 …An. Pe un unghi poliedric se notează vârful O și punctele aparținând razelor A 1, A 2, A 3, ... An. Acesta este un unghi poliedric convex. Unghiul este intersectat de un plan care intersectează razele în punctele A 1, A 2, A 3,…An. Suma unghiurilor plane ale unui unghi poliedric este reprezentată de expresia A 1 OA 2 + A 2 OA 3 +…+ A n OA 1. Cunoscând suma unghiurilor unui triunghi, fiecare dintre unghiurile plane este reprezentat prin expresii, de exemplu, A 1 OA 2 = 180° - OA 1 A 2 - OA 2 A 1 etc. Ca urmare a transformării expresiei, obținem 180°·n-(OA 1 A n + OA 1 A 2)-…-(OA n A n-1 + OA n A 1). Ținând cont de validitatea inegalității OA 1 A n + OA 1 A 2 > A n A 1 A 2 ..., calculăm 180° n-(A n A 1 A 2 + A 1 A 2 A 3 +. ..+ A n-1 A n A 1 =180°·n-180°(n-2)=360°.

Prezentarea „Unghi multifațete” este folosită pentru a crește eficiența unei lecții tradiționale la școală. De asemenea, dat ajutor vizual poate deveni un instrument de predare în timpul învățământului la distanță. Materialul poate fi util studenților care stăpânesc în mod independent subiectul, precum și celor care au nevoie de pregătire suplimentară pentru o înțelegere mai profundă a acesteia.

Slide 1

UNGHIURI POLIEDRATE Figura formată din suprafața specificată și una dintre cele două părți ale spațiului limitat de aceasta se numește unghi poliedric. Vârful comun S se numește vârful unui unghi poliedric. Razele SA1, ..., SAn se numesc muchiile unghiului poliedric, iar unghiurile plane însele A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 se numesc fețele unghiului poliedric. Un unghi poliedric este notat cu literele SA1...An, indicând vârful și punctele de pe marginile acestuia. O suprafață formată dintr-un set finit de unghiuri plane A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 cu un vârf comun S, în care unghiurile adiacente nu au puncte comune, cu excepția punctelor unei raze comune, iar unghiurile neadiacente au nu există puncte comune cu excepția unui vârf comun, îl vom numi o suprafață poliedrică.

Slide 2

unghiurile poliedrice În funcție de numărul de fețe, unghiurile poliedrice sunt triedrice, tetraedrice, pentaedrice etc.

Slide 3

Teorema unghiurilor trihedale. Fiecare unghi plan al unui unghi triedric este mai mic decât suma celorlalte două unghiuri plane ale sale. Dovada. Luați în considerare unghiul triedric SABC. Fie cel mai mare dintre unghiurile sale plane unghiul ASC. Atunci inegalitățile ASB ASC sunt satisfăcute

Slide 4

UNGHIURI TRIHEDAR Proprietate. Suma unghiurilor plane ale unui unghi triedric este mai mică de 360°. În mod similar, pentru unghiurile triedrice cu vârfurile B și C sunt valabile următoarele inegalități: ABC

Slide 5

UNGHIURI POLIETICE CONVEX Un unghi poliedric se numește convex dacă este o figură convexă, adică, împreună cu oricare dintre punctele sale, conține în întregime segmentul care le leagă. Figura prezintă exemple de unghiuri poliedrice convexe și neconvexe. Proprietate. Suma tuturor unghiurilor plane ale unui unghi poliedric convex este mai mică de 360°. Demonstrarea este similară cu demonstrarea proprietății corespunzătoare pentru un unghi triedric.

Slide 6

Unghiuri verticale poliedrice Figurile prezintă exemple de unghiuri verticale triedrice, tetraedrice și pentaedrice Teorema. Unghiurile verticale sunt egale.

Slide 7

Măsurarea unghiurilor poliedrice Deoarece valoarea gradului unui unghi diedric dezvoltat este măsurată prin valoarea gradului unghiului liniar corespunzător și este egală cu 180°, vom presupune că valoarea gradului a întregului spațiu, care constă din două unghiuri diedrice dezvoltate, este egal cu 360°. Mărimea unui unghi poliedric, exprimată în grade, arată cât spațiu ocupă un unghi poliedric dat. De exemplu, un unghi triedric al unui cub ocupă o optime din spațiu și, prin urmare, valoarea gradului său este de 360°: 8 = 45°. Unghiul triedric într-o prismă n-gonală regulată este egal cu jumătate din unghiul diedric de la marginea laterală. Considerând că acest unghi diedru este egal, obținem că unghiul triedric al prismei este egal.

Slide 8

Măsurarea unghiurilor triedrice* Să derivăm o formulă care exprimă mărimea unui unghi triedric prin unghiurile sale diedrice. Să descriem o sferă unitară în apropierea vârfului S al unui unghi triedric și să notăm punctele de intersecție a muchiilor unghiului triedric cu această sferă ca A, B, C. Planurile fețelor unghiului triedric împart această sferă în șase digoane sferice egale în perechi corespunzătoare unghiurilor diedrice ale unghiului triedric dat. Triunghiul sferic ABC și triunghiul său sferic simetric A"B"C" sunt intersecția a trei digoane. Prin urmare, de două ori suma unghiurilor diedrice este egală cu 360o plus cvadruplu unghiul triedric, sau SA + SB + SC = 180o + 2 SABC.

Slide 9

Măsurarea unghiurilor poliedrice* Fie SA1…An un unghi n-edric convex. Împărțind-o în unghiuri triedrice, desenând diagonalele A1A3, ..., A1An-1 și aplicând acestora formula rezultată, vom avea: SA1 + ... + SAn = 180о(n – 2) + 2 SA1…An. Unghiurile poliedrice pot fi măsurate și prin numere. Într-adevăr, trei sute șaizeci de grade din tot spațiul corespund numărului 2π. Trecând de la grade la numere în formula rezultată, vom avea: SA1+ …+ SAn = π (n – 2) + 2 SA1…An.

Slide 10

Exerciţiul 1 Poate exista un unghi triedric cu unghiuri plate: a) 30°, 60°, 20°; b) 45°, 45°, 90°; c) 30°, 45°, 60°? Răspuns: a) Nu; b) nu; c) da.

Slide 11

Exerciţiul 2 Daţi exemple de poliedre ale căror feţe, care se intersectează la vârfuri, formează numai: a) unghiuri triedrice; b) unghiuri tetraedrice; c) unghiuri pentagonale. Răspuns: a) Tetraedru, cub, dodecaedru; b) octaedru; c) icosaedru.

Slide 12

Exercițiul 3 Două unghiuri plane ale unui unghi triedric sunt 70° și 80°. Care sunt limitele celui de-al treilea unghi plan? Raspuns: 10o< < 150о.

Slide 13

Exercițiul 4 Unghiurile plane ale unui unghi triedric sunt 45°, 45° și 60°. Aflați unghiul dintre planele unghiurilor plane de 45°. Raspuns: 90o.

Slide 14

Exercițiul 5 Într-un unghi triedric, două unghiuri plane sunt egale cu 45°; unghiul diedric dintre ele este drept. Găsiți al treilea unghi plan. Raspuns: 60o.

Slide 15

Exercițiul 6 Unghiurile plane ale unui unghi triedric sunt 60°, 60° și 90°. Segmentele egale OA, OB, OC sunt așezate pe marginile sale de la vârf. Aflați unghiul diedric dintre planul unghiului de 90° și planul ABC. Raspuns: 90o.

Slide 16

Exercițiul 7 Fiecare unghi plan al unui unghi triedric este egal cu 60°. Pe una dintre marginile sale un segment egal cu 3 cm este așezat din partea de sus și o perpendiculară este coborâtă de la capătul său pe fața opusă. Aflați lungimea acestei perpendiculare.

Slide 17

Exercițiul 8 Găsiți locul punctelor interioare ale unui unghi triedric, echidistant de fețele sale. Răspuns: O rază al cărei vârf este vârful unui unghi triedric, situat pe linia de intersecție a planelor care împarte unghiurile diedrice la jumătate.

Slide 18

Exercițiul 9 Găsiți locul punctelor interioare ale unui unghi triedric, echidistant de muchiile acestuia. Răspuns: O rază al cărei vârf este vârful unui unghi triedric, situată pe linia de intersecție a planelor care trec prin bisectoarele unghiurilor plane și perpendiculară pe planele acestor unghiuri.

1 tobogan

UNGHIURI POLIETICE CONVEX Un unghi poliedric se numește convex dacă este o figură convexă, adică, împreună cu oricare dintre punctele sale, conține în întregime segmentul care le leagă. Figura prezintă exemple de unghiuri poliedrice convexe și neconvexe. Teorema. Suma tuturor unghiurilor plane ale unui unghi poliedric convex este mai mică de 360°.

2 tobogan

POLIEDE CONVEX Un unghi poliedru se numește convex dacă este o figură convexă, adică, împreună cu oricare dintre punctele sale, conține în întregime segmentul care le leagă. Figura prezintă exemple de piramidă convexă și neconvexă. Cubul, paralelipipedul, prisma triunghiulară și piramida sunt poliedre convexe.

3 slide

PROPRIETATE 1 Proprietate 1. Într-un poliedru convex, toate fețele sunt poligoane convexe. Într-adevăr, fie F o față a poliedrului M, iar punctele A și B aparțin feței F. Din condiția de convexitate a poliedrului M, rezultă că segmentul AB este cuprins în întregime în poliedrul M. Deoarece aceasta segmentul se află în planul poligonului F, acesta va fi cuprins în întregime în acest poligon, adică F este un poligon convex.

4 slide

PROPRIETATE 2 Într-adevăr, fie M un poliedru convex. Să luăm un punct S intern al poliedrului M, adică un punct care nu aparține niciunei fețe a poliedrului M. Să conectăm punctul S cu vârfurile poliedrului M prin segmente. Rețineți că, datorită convexității poliedrului M, toate aceste segmente sunt conținute în M. Luați în considerare piramidele cu un vârf S, ale căror baze sunt fețele poliedrului M. Aceste piramide sunt cuprinse în întregime în M și împreună formează poliedrul M. Proprietatea 2. Orice poliedru convex poate fi compus din piramide cu un vârf comun, ale căror baze formează suprafața unui poliedru.

5 slide

Exercițiul 1 În figură, indicați figuri plane convexe și neconvexe. Răspuns: a), d) – convex; b), c) – neconvex.

6 slide

Exercițiul 2 Intersecția figurilor convexe este întotdeauna o figură convexă? Răspuns: Da.

7 slide

Exercițiul 3 Uniunea figurilor convexe este întotdeauna o figură convexă? Răspuns: Nu.

8 slide

Exercițiul 4 Se poate realiza un unghi tetraedric convex cu următoarele unghiuri plate: a) 56o, 98o, 139o și 72o; b) 32o, 49o, 78o și 162o; c) 85o, 112o, 34o și 129o; d) 43o, 84o, 125o și 101o. Răspuns: a) Nu; b) da; c) nu; d) da.