صياغة التعريف الكلاسيكي لاحتمال وقوع حدث ما. نظرية الاحتمالية

ومن أجل مقارنة الأحداث مع بعضها البعض كمياً حسب درجة احتماليتها، من الواضح أنه من الضروري ربط عدد معين بكل حدث، وكلما كان الحدث أكبر كلما كان الحدث أكثر احتمالاً. سوف نسمي هذا الرقم احتمال وقوع حدث. هكذا، احتمال وقوع حدثهو مقياس عددي لدرجة الاحتمال الموضوعي لهذا الحدث.

ينبغي اعتبار التعريف الأول للاحتمال هو التعريف الكلاسيكي، الذي نشأ من تحليل المقامرة وتم تطبيقه في البداية بشكل حدسي.

تعتمد الطريقة الكلاسيكية لتحديد الاحتمالية على مفهوم الأحداث الممكنة وغير المتوافقة على حد سواء، وهي نتائج تجربة معينة وتشكل مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة.

إن أبسط مثال على الأحداث المحتملة وغير المتوافقة التي تشكل مجموعة كاملة هو ظهور كرة أو أخرى من جرة تحتوي على عدة كرات من نفس الحجم والوزن وغيرها من الخصائص الملموسة، والتي تختلف فقط في اللون، ويتم خلطها جيدًا قبل إزالتها.

لذلك، يقال إن الاختبار الذي تشكل نتائجه مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة والممكنة بشكل متساوٍ يمكن اختزاله إلى نمط من الجرار، أو نمط من الحالات، أو يتناسب مع النمط الكلاسيكي.

سيتم تسمية الأحداث المحتملة وغير المتوافقة التي تشكل مجموعة كاملة ببساطة بالحالات أو الفرص. علاوة على ذلك، في كل تجربة، جنبا إلى جنب مع الحالات، يمكن أن تحدث أحداث أكثر تعقيدا.

مثال: عند رمي حجر النرد، إلى جانب الحالات A i - فقدان نقاط i على الجانب العلوي، يمكننا اعتبار أحداث مثل B - خسارة عدد زوجي من النقاط، C - خسارة عدد من النقاط النقاط التي هي من مضاعفات الثلاثة...

وفيما يتعلق بكل حدث يمكن أن يحدث أثناء التجربة، يتم تقسيم الحالات إلى مواتية، الذي يقع فيه هذا الحدث، وغير المواتي، الذي لا يقع فيه الحدث. في المثال السابق، الحدث B مفضل بواسطة الحالات A 2، A 4، A 6؛ الحدث ج - الحالات أ 3، أ 6.

الاحتمال الكلاسيكييُطلق على حدوث حدث معين اسم نسبة عدد الحالات المؤاتية لحدوث هذا الحدث إلى العدد الإجمالي للحالات غير المتوافقة المحتملة والمتساوية والتي تشكل المجموعة الكاملة في تجربة معينة:

أين ف (أ)- احتمال وقوع الحدث أ؛ م- عدد الحالات المؤاتية للحدث أ؛ ن- العدد الإجمالي للحالات.

أمثلة:

1) (انظر المثال أعلاه) ف (ب)= , ف(ج) =.

2) تحتوي الجرة على 9 كرات حمراء و 6 كرات زرقاء. أوجد احتمال أن تصبح كرة أو كرتان مسحوبتان عشوائيًا باللون الأحمر.

أ- كرة حمراء مسحوبة عشوائياً :

م= 9, ن= 9 + 6 = 15, ف (أ)=

ب- سحب كرتين باللون الأحمر عشوائياً :

الخصائص التالية تتبع التعريف الكلاسيكي للاحتمال (أظهر نفسك):

1) احتمال وقوع حدث مستحيل هو 0؛

2) احتمال وقوع حدث موثوق هو 1؛

3) احتمال وقوع أي حدث يقع بين 0 و 1؛

4) احتمال وقوع حدث معاكس للحدث أ،

يفترض التعريف الكلاسيكي للاحتمال أن عدد نتائج التجربة محدود. في الممارسة العملية، في كثير من الأحيان هناك اختبارات، وعدد الحالات المحتملة منها لا حصر له. بالإضافة إلى ذلك، فإن ضعف التعريف الكلاسيكي هو أنه في كثير من الأحيان يكون من المستحيل تمثيل نتيجة الاختبار في شكل مجموعة من الأحداث الأولية. ومن الأصعب الإشارة إلى أسباب اعتبار النتائج الأولية للاختبار ممكنة على قدم المساواة. عادة، يتم استنتاج إمكانية تكافؤ نتائج الاختبار الأولي من اعتبارات التماثل. ومع ذلك، فإن مثل هذه المهام نادرة جدًا في الممارسة العملية. لهذه الأسباب، إلى جانب التعريف الكلاسيكي للاحتمال، يتم استخدام تعريفات أخرى للاحتمال أيضًا.

الاحتمالية الإحصائيةالحدث A هو التكرار النسبي لحدوث هذا الحدث في الاختبارات التي يتم إجراؤها:

أين هو احتمال وقوع الحدث أ؛

التكرار النسبي لحدوث الحدث أ؛

عدد التجارب التي ظهر فيها الحدث أ؛

العدد الإجمالي للتجارب.

على عكس الاحتمال الكلاسيكي، الاحتمال الإحصائي هو خاصية تجريبية.

مثال: للتحكم في جودة المنتجات من الدفعة، تم اختيار 100 منتج بشكل عشوائي، من بينها 3 منتجات تبين أنها معيبة. تحديد احتمالية الزواج.

تنطبق الطريقة الإحصائية لتحديد الاحتمالية فقط على الأحداث التي لها الخصائص التالية:

يجب أن تكون الأحداث قيد النظر هي نتائج تلك الاختبارات التي يمكن إعادة إنتاجها لعدد غير محدود من المرات في ظل نفس مجموعة الشروط.

يجب أن تتمتع الأحداث باستقرار إحصائي (أو استقرار الترددات النسبية). وهذا يعني أنه في سلسلة مختلفة من الاختبارات، يتغير التكرار النسبي للحدث قليلاً.

يجب أن يكون عدد المحاولات الناتجة عن الحدث A كبيرًا جدًا.

من السهل التحقق من أن خصائص الاحتمال الناشئة عن التعريف الكلاسيكي محفوظة أيضًا في التعريف الإحصائي للاحتمال.

من غير المحتمل أن يفكر الكثير من الناس فيما إذا كان من الممكن حساب الأحداث العشوائية إلى حد ما. بعبارات بسيطة، هل من الممكن معرفة أي جانب من المكعب سيظهر بعد ذلك؟ كان هذا هو السؤال الذي طرحه عالمان عظيمان على أنفسهم، والذين وضعوا الأساس لعلم مثل نظرية الاحتمال، حيث يتم دراسة احتمال وقوع حدث ما على نطاق واسع.

أصل

إذا حاولت تعريف مفهوم مثل نظرية الاحتمالات، فستحصل على ما يلي: هذا أحد فروع الرياضيات التي تدرس ثبات الأحداث العشوائية. وبطبيعة الحال، فإن هذا المفهوم لا يكشف حقا عن الجوهر كله، لذلك من الضروري النظر فيه بمزيد من التفصيل.

أود أن أبدأ مع مبدعي النظرية. كما ذكر أعلاه، كان هناك اثنان منهم، وكانوا من أوائل الذين حاولوا حساب نتيجة هذا الحدث أو ذاك باستخدام الصيغ والحسابات الرياضية. وبشكل عام فإن بدايات هذا العلم ظهرت في العصور الوسطى. في ذلك الوقت، حاول العديد من المفكرين والعلماء تحليل ألعاب المقامرة، مثل الروليت والكرابس وما إلى ذلك، وبالتالي تحديد النمط والنسبة المئوية لسقوط رقم معين. تم وضع الأساس في القرن السابع عشر من قبل العلماء المذكورين أعلاه.

في البداية، لا يمكن اعتبار أعمالهم إنجازات عظيمة في هذا المجال، لأن كل ما فعلوه كان مجرد حقائق تجريبية، وتم إجراء التجارب بصريًا، دون استخدام الصيغ. مع مرور الوقت، كان من الممكن تحقيق نتائج رائعة، والتي ظهرت نتيجة مراقبة رمي النرد. كانت هذه الأداة هي التي ساعدت في استخلاص الصيغ الواضحة الأولى.

الناس مثل التفكير

من المستحيل عدم ذكر شخص مثل كريستيان هويجنز في عملية دراسة موضوع يسمى "نظرية الاحتمالية" (يتم تغطية احتمالية الحدث على وجه التحديد في هذا العلم). هذا الشخص مثير للاهتمام للغاية. لقد حاول، مثل العلماء المذكورين أعلاه، استخلاص نمط الأحداث العشوائية في شكل صيغ رياضية. واللافت أنه لم يفعل ذلك مع باسكال وفيرمات، أي أن كل أعماله لم تتقاطع مع هذه العقول. استنتج هيغنز

والحقيقة المثيرة للاهتمام هي أن عمله خرج قبل وقت طويل من ظهور نتائج أعمال المكتشفين، أو بالأحرى قبل عشرين عامًا. ومن بين المفاهيم التي تم تحديدها، أشهرها:

مفهوم الاحتمالية كقيمة الصدفة؛
التوقع الرياضي للحالات المنفصلة؛
نظريات الضرب وجمع الاحتمالات.

ومن المستحيل أيضًا عدم تذكر من قدم أيضًا مساهمة كبيرة في دراسة المشكلة. ومن خلال إجراء اختباراته الخاصة، بشكل مستقل عن أي شخص، كان قادرًا على تقديم دليل على قانون الأعداد الكبيرة. وبدورهما، تمكن العالمان بواسون ولابلاس، اللذان عملا في بداية القرن التاسع عشر، من إثبات النظريات الأصلية. منذ هذه اللحظة بدأ استخدام نظرية الاحتمالات لتحليل الأخطاء في الملاحظات. ولم يتمكن العلماء الروس، أو بالأحرى ماركوف وتشيبيشيف وديابونوف، من تجاهل هذا العلم. واستنادا إلى العمل الذي قام به العباقرة العظماء، أسسوا هذا الموضوع كفرع من الرياضيات. لقد عملت هذه الأرقام بالفعل في نهاية القرن التاسع عشر، وبفضل مساهمتها تم إثبات الظواهر التالية:

قانون الأعداد الكبيرة.
نظرية سلسلة ماركوف.
نظرية الحد المركزي.

لذلك، مع تاريخ ولادة العلم ومع الأشخاص الرئيسيين الذين أثروا عليه، كل شيء أكثر أو أقل وضوحا. والآن حان الوقت لتوضيح كل الحقائق.

المفاهيم الأساسية

قبل التطرق إلى القوانين والنظريات، يجدر دراسة المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات. ويلعب الحدث دورًا رائدًا فيه. هذا الموضوع ضخم للغاية، ولكن بدونه لن يكون من الممكن فهم كل شيء آخر.

الحدث في نظرية الاحتمالات هو أي مجموعة من نتائج التجربة. هناك عدد غير قليل من المفاهيم لهذه الظاهرة. وهكذا قال العالم لوتمان العامل في هذا المجال، إننا في هذه الحالة نتحدث عما «حصل، رغم أنه ربما لم يحدث».

الأحداث العشوائية (نظرية الاحتمالية تولي اهتماما خاصا لها) هي مفهوم يشير ضمنا إلى أي ظاهرة لديها فرصة الحدوث. أو على العكس من ذلك، قد لا يحدث هذا السيناريو إذا تم استيفاء العديد من الشروط. ومن الجدير أيضًا معرفة أن الأحداث العشوائية هي التي تلتقط الحجم الكامل للظواهر التي حدثت. وتشير نظرية الاحتمال إلى أن جميع الشروط يمكن أن تتكرر باستمرار. إن سلوكهم هو ما يسمى "التجربة" أو "الاختبار".

الحدث الموثوق هو ظاهرة من المحتمل حدوثها بنسبة مائة بالمائة في اختبار معين. وبناء على ذلك، فإن الحدث المستحيل هو الذي لن يحدث.

إن الجمع بين إجراءين (الحالة أ والحالة ب) هو ظاهرة تحدث في وقت واحد. تم تصنيفهم على أنهم AB.

مجموع أزواج الأحداث A و B هو C، بمعنى آخر، إذا حدث واحد منهم على الأقل (A أو B)، فسيتم الحصول على C معادلة الظاهرة الموصوفة على النحو التالي: C = A + ب.

تشير الأحداث غير المتطابقة في نظرية الاحتمالات إلى أن الحالتين متنافيتان. ولا يمكن تحت أي ظرف من الظروف أن يحدثا في نفس الوقت. الأحداث المشتركة في نظرية الاحتمالات هي نقيضها. والمراد هنا أنه إذا حدث (أ) فلا يمنع (ب) من شيء.

من السهل فهم الأحداث المتضادة (تنظر إليها نظرية الاحتمالية بتفصيل كبير). أفضل طريقة لفهمها هي المقارنة. إنها تقريبًا نفس الأحداث غير المتوافقة في نظرية الاحتمالات. لكن الاختلاف بينهما يكمن في حقيقة أن إحدى الظواهر العديدة يجب أن تحدث في أي حال.

الأحداث المحتملة بنفس القدر هي تلك الأفعال التي يكون تكرارها متساويًا. ولتوضيح الأمر أكثر، يمكنك أن تتخيل رمي قطعة نقود: فخسارة أحد جانبيها من المرجح أن تسقط من الجانب الآخر.

من الأسهل النظر في حدث ميمون بمثال. لنفترض أن هناك حلقة "ب" وحلقة "أ". الأولى هي رمي النرد مع ظهور رقم فردي، والثانية هي ظهور الرقم خمسة على حجر النرد. ثم يتبين أن A يفضل B.

يتم إسقاط الأحداث المستقلة في نظرية الاحتمالات فقط على حالتين أو أكثر، وتعني استقلال أي إجراء عن الآخر. على سبيل المثال، A هو فقدان الرؤوس عند رمي عملة معدنية، و B هو سحب الرافعة من سطح السفينة. إنها أحداث مستقلة في نظرية الاحتمالات. في هذه المرحلة أصبح الأمر أكثر وضوحا.

الأحداث التابعة في نظرية الاحتمالات مسموحة أيضًا لمجموعة منها فقط. إنها تعني ضمناً اعتماد أحدهما على الآخر، أي أن الظاهرة B لا يمكن أن تحدث إلا إذا حدثت A بالفعل أو، على العكس من ذلك، لم تحدث، عندما يكون هذا هو الشرط الرئيسي لـ B.

نتيجة تجربة عشوائية مكونة من عنصر واحد هي أحداث أولية. وتوضح نظرية الاحتمال أن هذه ظاهرة حدثت مرة واحدة فقط.

الصيغ الأساسية

لذلك، تمت مناقشة مفهومي "الحدث" و"نظرية الاحتمالية" أعلاه؛ كما تم تقديم تعريف للمصطلحات الأساسية لهذا العلم. حان الوقت الآن للتعرف مباشرة على الصيغ المهمة. تؤكد هذه التعبيرات رياضيًا جميع المفاهيم الأساسية في موضوع معقد مثل نظرية الاحتمالات. يلعب احتمال وقوع حدث ما دورًا كبيرًا هنا أيضًا.

من الأفضل أن تبدأ بالأساسيات، وقبل أن تبدأ بها، يجدر التفكير في ماهيتها.

التوافقيات هي في المقام الأول فرع من فروع الرياضيات؛ فهي تتعامل مع دراسة عدد كبير من الأعداد الصحيحة، بالإضافة إلى التباديل المختلفة لكل من الأرقام نفسها وعناصرها، والبيانات المختلفة، وما إلى ذلك، مما يؤدي إلى ظهور عدد من المجموعات. بالإضافة إلى نظرية الاحتمالات، يعد هذا الفرع مهمًا للإحصاء وعلوم الكمبيوتر والتشفير.

والآن يمكننا الانتقال إلى عرض الصيغ نفسها وتعريفها.

أولها سيكون التعبير عن عدد التباديل، ويبدو كالتالي:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

يتم تطبيق المعادلة فقط إذا كانت العناصر تختلف فقط في ترتيب ترتيبها.

الآن سيتم النظر في صيغة الموضع، وهي تبدو كما يلي:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (ن - م)!

لا ينطبق هذا التعبير على ترتيب وضع العنصر فحسب، بل ينطبق أيضًا على تكوينه.

المعادلة الثالثة من التوافقيات، وهي الأخيرة أيضًا، تسمى صيغة عدد التوافيق:

ج_ن^م = ن! : ((ن - م))! :م!

تشير المجموعة إلى التحديدات التي لم يتم ترتيبها وفقًا لذلك، وتنطبق عليها هذه القاعدة.

كان من السهل فهم الصيغ التوافقية؛ والآن يمكنك الانتقال إلى التعريف الكلاسيكي للاحتمالات. يبدو هذا التعبير كما يلي:

في هذه الصيغة، m هو عدد الظروف الملائمة للحدث A، و n هو عدد النتائج الأولية والممكنة بشكل متساوٍ.

هناك عدد كبير من التعبيرات؛ ولن يغطي المقال جميعها، ولكن سيتم التطرق إلى أهمها، مثل احتمال مجموع الأحداث على سبيل المثال:

P(A + B) = P(A) + P(B) - هذه النظرية مخصصة لإضافة الأحداث غير المتوافقة فقط؛

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - وهذا لإضافة العناصر المتوافقة فقط.

احتمالية وقوع الأحداث:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - هذه النظرية مخصصة للأحداث المستقلة؛

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - وهذا للمُعال.

سيتم استكمال قائمة الأحداث بصيغة الأحداث. تخبرنا نظرية الاحتمالية عن نظرية بايز، والتي تبدو كما يلي:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., ن

في هذه الصيغة، H 1، H 2، ...، H n هي مجموعة كاملة من الفرضيات.

أمثلة

إذا كنت تدرس بعناية أي قسم من أقسام الرياضيات، فلن يكتمل بدون تمارين وحلول العينات. وكذلك نظرية الاحتمال: فالأحداث والأمثلة هنا جزء لا يتجزأ من الحسابات العلمية.

صيغة لعدد التباديل

لنفترض أن هناك ثلاثين بطاقة في مجموعة أوراق اللعب، بدءًا بقيمة واحدة. السؤال التالي. ما عدد الطرق المتاحة لتكديس المجموعة بحيث لا تكون البطاقات ذات القيمة واحد واثنين بجوار بعضها البعض؟

تم تعيين المهمة، والآن دعونا ننتقل إلى حلها. تحتاج أولاً إلى تحديد عدد التباديل لثلاثين عنصرًا، ولهذا نأخذ الصيغة الموضحة أعلاه، فتصبح P_30 = 30!.

بناءً على هذه القاعدة، نكتشف عدد الخيارات المتاحة لطي المجموعة بطرق مختلفة، لكننا نحتاج إلى طرح تلك التي تكون فيها البطاقة الأولى والثانية بجانب بعضها البعض. للقيام بذلك، لنبدأ بالخيار عندما يكون الأول فوق الثاني. اتضح أن البطاقة الأولى يمكن أن تشغل تسعة وعشرين مكانًا - من الأول إلى التاسع والعشرين، والبطاقة الثانية من الثانية إلى الثلاثين، مما يجعل إجمالي تسعة وعشرين مكانًا لزوج من البطاقات. في المقابل، يمكن للباقي قبول ثمانية وعشرين مكانًا، وبأي ترتيب. أي أنه لإعادة ترتيب ثمانية وعشرين بطاقة، هناك ثمانية وعشرون خيارًا P_28 = 28!

ونتيجة لذلك، يتبين أنه إذا نظرنا إلى الحل عندما تكون البطاقة الأولى فوق الثانية، فسيكون هناك 29 ⋅ 28 احتمالًا إضافيًا! = 29!

باستخدام نفس الطريقة، تحتاج إلى حساب عدد الخيارات الزائدة للحالة عندما تكون البطاقة الأولى تحت الثانية. وتبين أيضًا أنها 29 ⋅ 28! = 29!

ويترتب على ذلك أن هناك 2 ⋅ 29 خيارًا إضافيًا!، في حين أن الطرق اللازمة لتجميع المجموعة هي 30! - 2 ⋅ 29!. كل ما تبقى هو العد.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

الآن عليك أن تضرب كل الأرقام من واحد إلى تسعة وعشرين، ثم أخيرًا تضرب كل شيء في 28. الإجابة هي 2.4757335 ⋅〖10〗^32

الحل المثال. صيغة رقم الموضع

في هذه المسألة، عليك معرفة عدد الطرق المتاحة لوضع خمسة عشر مجلدًا على رف واحد، لكن بشرط أن يكون هناك ثلاثون مجلدًا إجمالاً.

حل هذه المشكلة أبسط قليلاً من الحل السابق. باستخدام الصيغة المعروفة بالفعل، من الضروري حساب العدد الإجمالي لترتيبات ثلاثين مجلدا من خمسة عشر.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202843 204931727360000

وبالتالي فإن الجواب سيكون 202،843،204،931،727،360،000.

الآن دعونا نتولى مهمة أكثر صعوبة قليلاً. أنت بحاجة إلى معرفة عدد الطرق المتاحة لترتيب ثلاثين كتابًا على رفين للكتب، علمًا بأن الرف الواحد لا يتسع إلا لخمسة عشر مجلدًا.

قبل البدء بالحل أود أن أوضح أن بعض المشاكل يمكن حلها بعدة طرق، وهذه الطريقة لها طريقتان، لكن كلاهما يستخدم نفس الصيغة.

في هذه المسألة، يمكنك أن تأخذ الإجابة من السؤال السابق، لأننا هناك قمنا بحساب عدد المرات التي يمكنك فيها ملء الرف بخمسة عشر كتابًا بطرق مختلفة. اتضح A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

وسنقوم بحساب الرف الثاني باستخدام صيغة التقليب، لأنه يمكن أن يوضع فيه خمسة عشر كتابا، ويبقى خمسة عشر كتابا فقط. نستخدم الصيغة P_15 = 15!.

اتضح أن المجموع سيكون A_30^15 ⋅ P_15 طرقًا، ولكن بالإضافة إلى ذلك، يجب ضرب حاصل ضرب جميع الأرقام من ثلاثين إلى ستة عشر في حاصل ضرب الأرقام من واحد إلى خمسة عشر، في النهاية سيحصل على حاصل ضرب جميع الأعداد من واحد إلى ثلاثين، أي أن الإجابة تساوي 30!

ولكن يمكن حل هذه المشكلة بطريقة أخرى - أسهل. للقيام بذلك، يمكنك أن تتخيل أن هناك رفًا واحدًا يتسع لثلاثين كتابًا. تم وضعها جميعًا على هذا المستوى، لكن نظرًا لأن الشرط يتطلب وجود رفين، فقد رأينا رفًا واحدًا طويلًا إلى النصف، لذلك حصلنا على اثنين من خمسة عشر. ومن هذا يتبين أنه يمكن أن يكون هناك P_30 = 30 خيارًا للترتيب!.

الحل المثال. صيغة للرقم المختلط

الآن سننظر في نسخة من المشكلة الثالثة من التوافقيات. من الضروري معرفة عدد الطرق المتاحة لترتيب خمسة عشر كتابًا، بشرط أن تحتاج إلى الاختيار من بين ثلاثين كتابًا متطابقًا تمامًا.

لحل المشكلة، سيتم بالطبع تطبيق صيغة عدد المجموعات. ومن الشرط يتبين أن ترتيب الكتب الخمسة عشر المتطابقة ليس مهما. لذلك، تحتاج في البداية إلى معرفة العدد الإجمالي لمجموعات ثلاثين كتابا من خمسة عشر.

C_30^15 = 30! : ((30-15)) ! : 15! = 155117520

هذا كل شيء. وباستخدام هذه الصيغة، تمكنا من حل هذه المشكلة في أقصر وقت ممكن، وبالتالي فإن الإجابة هي 155,117,520.

الحل المثال. التعريف الكلاسيكي للاحتمال

باستخدام الصيغة أعلاه، يمكنك العثور على الإجابة على مشكلة بسيطة. ولكن هذا سيساعد على رؤية وتتبع التقدم المحرز في الإجراءات بوضوح.

تنص المشكلة على وجود عشر كرات متطابقة تمامًا في الجرة. منها أربعة صفراء وستة زرقاء. يتم أخذ كرة واحدة من الجرة. أنت بحاجة إلى معرفة احتمال الحصول على اللون الأزرق.

لحل المشكلة، من الضروري تعيين الحصول على الكرة الزرقاء كحدث أ. يمكن أن يكون لهذه التجربة عشر نتائج، والتي بدورها أولية وممكنة بنفس القدر. في الوقت نفسه، من أصل عشرة، ستة مؤيدة للحدث أ. نحن نحل باستخدام الصيغة:

ف(أ) = 6: 10 = 0.6

وبتطبيق هذه الصيغة، تعلمنا أن احتمال الحصول على الكرة الزرقاء هو 0.6.

الحل المثال. احتمال مجموع الأحداث

سيتم الآن عرض خيار تم حله باستخدام صيغة احتمالية مجموع الأحداث. إذن، بشرط أن يكون هناك صندوقين، الأول يحتوي على واحدة رمادية وخمس كرات بيضاء، والثاني يحتوي على ثماني كرات رمادية وأربع كرات بيضاء. ونتيجة لذلك، أخذوا واحدًا منهم من الصندوقين الأول والثاني. عليك أن تعرف ما هو احتمال أن تكون الكرات التي تحصل عليها باللونين الرمادي والأبيض.

ولحل هذه المشكلة لا بد من التعرف على الأحداث.

لذا، أ - أخذت كرة رمادية من الصندوق الأول: P(A) = 1/6.
A' - أخذت كرة بيضاء أيضًا من الصندوق الأول: P(A") = 5/6.
ب - تم إخراج كرة رمادية من الصندوق الثاني: P(B) = 2/3.
B' - أخذت كرة رمادية من الصندوق الثاني: P(B") = 1/3.

ووفقاً لشروط المشكلة، لا بد من حدوث إحدى الظواهر: AB’ أو A’B. باستخدام الصيغة، نحصل على: P(AB") = 1/18، P(A"B) = 10/18.

الآن تم استخدام صيغة ضرب الاحتمال. بعد ذلك، لمعرفة الإجابة، عليك تطبيق معادلة جمعهما:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

هذه هي الطريقة التي يمكنك من خلالها حل المشكلات المشابهة باستخدام الصيغة.

خلاصة القول

قدمت المقالة معلومات حول موضوع "نظرية الاحتمالية"، حيث يلعب احتمال وقوع حدث ما دورًا حيويًا. بالطبع، لم يتم أخذ كل شيء في الاعتبار، ولكن بناءً على النص المقدم، يمكنك التعرف نظريًا على هذا القسم من الرياضيات. يمكن أن يكون العلم المعني مفيدًا ليس فقط في الأمور المهنية، ولكن أيضًا في الحياة اليومية. بمساعدتها، يمكنك حساب أي احتمال لأي حدث.

كما تطرق النص إلى تواريخ مهمة في تاريخ تكوين نظرية الاحتمالية كعلم، وأسماء الأشخاص الذين استثمرت أعمالهم فيها. هذه هي الطريقة التي أدى بها فضول الإنسان إلى حقيقة أن الناس تعلموا حساب الأحداث العشوائية. ذات مرة، كانوا مهتمين فقط بهذا، واليوم يعرف الجميع بالفعل عن ذلك. ولن يقول أحد ما ينتظرنا في المستقبل، ما هي الاكتشافات الرائعة الأخرى المرتبطة بالنظرية قيد النظر. ولكن هناك شيء واحد مؤكد - البحث لا يقف ساكنا!

1. عرض النظريات الرئيسية وصيغ الاحتمالية: نظرية الجمع، الاحتمال الشرطي، نظرية الضرب، استقلال الأحداث، صيغة الاحتمالية الكلية.

الأهداف:خلق الظروف المواتية لإدخال مفهوم احتمالية الحدث؛ الإلمام بالنظريات والصيغ الأساسية لنظرية الاحتمالات؛ تقديم صيغة الاحتمال الكلي.

تقدم الدرس:

تجربة عشوائية (التجربة)هي عملية يمكن فيها تحقيق نتائج مختلفة، ومن المستحيل التنبؤ مسبقًا بما ستكون عليه النتيجة. تسمى النتائج المحتملة المتبادلة للتجربة بـ الأحداث الابتدائية . نشير إلى مجموعة الأحداث الأولية بواسطة W.

حدث عشوائيهو حدث من المستحيل أن نقول عنه مسبقًا ما إذا كان سيحدث نتيجة للتجربة أم لا. كل حدث عشوائي A حدث نتيجة تجربة يمكن ربطه بمجموعة من الأحداث الأولية من W. تسمى الأحداث الأولية المتضمنة في هذه المجموعة مواتية لوقوع الحدث أ.

يمكن أيضًا اعتبار المجموعة W بمثابة حدث عشوائي. وبما أنه يشمل جميع الأحداث الأولية، فإنه بالتأكيد سيحدث نتيجة للتجربة. يسمى مثل هذا الحدث موثوق .

إذا لم تكن هناك أحداث أولية مواتية لحدث معين من W، فلا يمكن أن يحدث نتيجة للتجربة. يسمى مثل هذا الحدث مستحيل.

تسمى الأحداث ممكن على قدم المساواة ، إذا أدى الاختبار إلى تكافؤ الفرص لحدوث هذه الأحداث. يتم استدعاء حدثين عشوائيين عكس ، إذا حدث أحدهما نتيجة للتجربة إذا وفقط إذا لم يحدث الآخر. يُشار إلى الحدث المقابل للحدث A بالرمز .

يتم استدعاء الأحداث A و B غير متوافق إذا كان ظهور أحدهما ينفي ظهور الآخر. الأحداث A 1، A 2، ...، A n تسمى زوج غير متوافق، إذا كان أي اثنين منهم غير متناسقين. الأحداث أ 1، أ 2، ...، نموذج نظام كامل من الأحداث غير المتوافقة ، إذا كان من المؤكد حدوث واحد منهم فقط نتيجة للاختبار.

مجموع (الاتحاد) من الأحداث A 1، A 2، ...، A n يسمى هذا الحدث C، والذي يتكون من حقيقة أن حدثًا واحدًا على الأقل A 1، A 2، ...، A n يحدث يشار إليها على النحو التالي:

ج = أ 1 + أ 2 +…+ أ ن.

منتج (تقاطع) الأحداث A 1، A 2، ...، A n يسمى هذا الحدث P، والذي يتكون من حقيقة أن جميع الأحداث A 1، A 2، ...، A n حدثت في وقت واحد. يشار إلى إنتاج الأحداث

يعمل الاحتمال P(A) في نظرية الاحتمالات كخاصية عددية لدرجة احتمال حدوث أي حدث عشوائي محدد A عند تكرار الاختبارات عدة مرات.

لنفترض أنه في 1000 رمية نرد، يظهر الرقم 4 160 مرة. تُظهر النسبة 160/1000 = 0.16 التكرار النسبي للرقم 4 في سلسلة معينة من الاختبارات. في حالة أكثر عمومية تردد حدث عشوائي وعند إجراء سلسلة من التجارب فإن نسبة عدد التجارب التي وقع فيها حدث معين إلى إجمالي عدد التجارب تسمى:

حيث P*(A) هو تكرار الحدث A؛ m هو عدد التجارب التي وقع فيها الحدث A؛ n هو العدد الإجمالي للتجارب.

احتمال وقوع حدث عشوائيويسمون رقمًا ثابتًا يتم حوله تجميع ترددات حدث معين مع زيادة عدد التجارب ( التحديد الإحصائي لاحتمال وقوع حدث ما ). يُشار إلى احتمال وقوع حدث عشوائي بالرمز P(A).

وبطبيعة الحال، لن يتمكن أحد على الإطلاق من إجراء عدد غير محدود من الاختبارات لتحديد الاحتمالية. ليست هناك حاجة لهذا. ومن الناحية العملية، يمكن اعتبار تكرار الحدث خلال عدد كبير من التجارب بمثابة احتمال. على سبيل المثال، من خلال أنماط الولادة الإحصائية التي تم تحديدها على مدى سنوات عديدة من المراقبة، فإن احتمالية أن يكون المولود ذكرًا تقدر بـ 0.515.

إذا لم تكن هناك أسباب أثناء الاختبار لظهور حدث عشوائي واحد أكثر من غيره ( الأحداث الممكنة على قدم المساواة) ، يمكن تحديد الاحتمال بناءً على الاعتبارات النظرية. على سبيل المثال، لنكتشف في حالة رمي قطعة نقود مدى تكرار سقوط شعار النبالة (الحدث أ). أظهر مجربون مختلفون عبر عدة آلاف من الاختبارات أن التكرار النسبي لمثل هذا الحدث يأخذ قيمًا قريبة من 0.5. مع الأخذ في الاعتبار أن ظهور شعار النبالة والجانب الآخر للعملة (الحدث B) هما حدثان محتملان بنفس القدر، إذا كانت العملة متماثلة، فيمكن إصدار الحكم P(A) = P(B) = 0.5 دون تحديد تواتر هذه الأحداث. واستنادا إلى مفهوم "الاحتمال المتساوي" للأحداث، تمت صياغة تعريف آخر للاحتمال.

دع الحدث A قيد النظر يحدث في حالات m، والتي تسمى مواتية لـ A، ولا تحدث في الحالات n-m المتبقية، غير مواتية لـ A.

إذن فإن احتمال الحدث A يساوي نسبة عدد الأحداث الأولية المواتية له إلى العدد الإجمالي لها(التعريف الكلاسيكي لاحتمال وقوع حدث ما):

حيث m هو عدد الأحداث الأولية المؤاتية للحدث A؛ ن - العدد الإجمالي للأحداث الابتدائية.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:

المثال رقم 1:تحتوي الجرة على 40 كرة: 10 سوداء و30 بيضاء. أوجد احتمال أن تكون الكرة المختارة عشوائيًا سوداء اللون.

عدد الحالات المفضلة يساوي عدد الكرات السوداء في الجرة: م = 10. إجمالي عدد الأحداث المحتملة بالتساوي (إخراج كرة واحدة) يساوي إجمالي عدد الكرات في الجرة: ن = 40. هذه الأحداث غير متناسقة، حيث يتم إخراج كرة واحدة فقط. ف(أ) = 10/40 = 0.25

المثال رقم 2:أوجد احتمال الحصول على عدد زوجي عند رمي حجر النرد.

عند رمي النرد، تحدث ستة أحداث غير متوافقة محتملة بشكل متساوٍ: ظهور رقم واحد: 1،2،3،4،5 أو 6، أي. n = 6. الحالات المفضلة هي حدوث أحد الأرقام 2,4 أو 6: m = 3. الاحتمال المرغوب P(A) = m/N = 3/6 = ½.

كما نرى من تعريف احتمال وقوع حدث ما، لجميع الأحداث

0 < Р(А) < 1.

من الواضح أن احتمال وقوع حدث موثوق هو 1، واحتمال وقوع حدث مستحيل هو 0.

نظرية إضافة الاحتمالية: احتمال وقوع حدث واحد (بغض النظر عن أي حدث) من عدة أحداث غير متوافقة يساوي مجموع احتمالاتها.

بالنسبة للحدثين غير المتوافقين A وB، فإن احتمالات هذين الحدثين تساوي مجموع احتمالاتهما:

ف(أ أو ب) = ف(أ) + ف(ب).

المثال رقم 3:أوجد احتمال الحصول على ١ أو ٦ عند رمي حجر النرد.

الحدثان A (دحرجة 1) وب (دحرجة 6) ممكنان بالتساوي: P(A) = P(B) = 1/6، وبالتالي P(A أو B) = 1/6 + 1/6 = 1/3

إضافة الاحتمالات صالحة ليس فقط لاثنين، ولكن أيضًا لأي عدد من الأحداث غير المتوافقة.

المثال رقم 4:هناك 50 كرة في الجرة: 10 كرات بيضاء، و20 كرة سوداء، و5 كرات حمراء، و15 كرة زرقاء. أوجد احتمال ظهور كرة بيضاء، أو سوداء، أو حمراء أثناء عملية واحدة لإزالة الكرة من الجرة.

احتمال سحب الكرة البيضاء (الحدث أ) هو P(A) = 10/50 = 1/5، والكرة السوداء (الحدث B) هي P(B) = 20/50 = 2/5 والكرة الحمراء ( الحدث C) هو P (C) = 5/50 = 1/10. من هنا، باستخدام صيغة جمع الاحتمالات، نحصل على P(A أو B أو C) = P(A) + P(B) = P(C) = 1/5 + 2/5 + 1/10 = 7/ 10

مجموع احتمالات حدثين متضادين، كما يلي من نظرية جمع الاحتمالات، يساوي واحدًا:

ف(أ) + ف() = 1

في المثال أعلاه، إخراج كرة بيضاء وسوداء وحمراء سيكون الحدث A 1، P(A 1) = 7/10. الحدث المعاكس للرقم 1 هو سحب الكرة الزرقاء. بما أن هناك 15 كرة زرقاء، والعدد الإجمالي للكرات هو 50، نحصل على P(1) = 15/50 = 3/10 وP(A) + P() = 7/10 +3/10 = 1.

إذا كانت الأحداث A 1، A 2، ...، A n تشكل نظامًا كاملاً من الأحداث غير المتوافقة الزوجية، فإن مجموع احتمالاتها يساوي 1.

بشكل عام، يتم حساب احتمال مجموع الحدثين A و B على النحو التالي

ف(أ+ب) = ف(أ) + ف(ب) - ف(AB).

نظرية الضرب الاحتمالية:

يتم استدعاء الأحداث A و B مستقل ، إذا كان احتمال وقوع الحدث أ لا يعتمد على ما إذا كان الحدث ب قد وقع أم لا، والعكس صحيح، فإن احتمال وقوع الحدث ب لا يعتمد على ما إذا كان الحدث أ قد وقع أم لا.

احتمال وقوع أحداث مستقلة بشكل مشترك يساوي حاصل ضرب احتمالاتها. لحدثين P(A وB)=P(A)·P(B).

مثال:تحتوي إحدى الجرة على 5 كرات سوداء و10 كرات بيضاء، بينما تحتوي الأخرى على 3 كرات سوداء و17 كرات بيضاء. أوجد احتمال أنه عند سحب الكرات لأول مرة من كل جرة، ستكون الكرتان باللون الأسود.

الحل: احتمال سحب كرة سوداء من الجرة الأولى (الحدث أ) هو P(A) = 5/15 = 1/3، وكرة سوداء من الجرة الثانية (الحدث B) هي P(B) = 3/ 20

P(A وB)=P(A)·P(B) = (1/3)(3/20) = 3/60 = 1/20.

من الناحية العملية، غالبًا ما يعتمد احتمال وقوع الحدث B على ما إذا كان حدث آخر A قد وقع أم لا. في هذه الحالة يتحدثون عنها احتمال مشروط ، أي. احتمال وقوع الحدث B بشرط وقوع الحدث A. يُشار إلى الاحتمال الشرطي بالرمز P(B/A).

يُظهر الاحتمال إمكانية وقوع حدث معين بعدد معين من التكرارات. هو عدد النتائج المحتملة التي لها نتيجة واحدة أو أكثر مقسومة على إجمالي عدد الأحداث المحتملة. يتم حساب احتمالية الأحداث المتعددة عن طريق تقسيم المشكلة إلى احتمالات فردية ثم ضرب هذه الاحتمالات.

خطوات

احتمال وقوع حدث عشوائي واحد

حدد حدثًا له نتائج حصرية متبادلة.لا يمكن حساب الاحتمال إلا في حالة وقوع الحدث المعني أو عدم حدوثه. من المستحيل الحصول على حدث ونتيجته المعاكسة في نفس الوقت. ومن أمثلة هذه الأحداث رمي الرقم 5 على النرد أو الفوز بحصان معين في السباق. خمسة إما أن يأتي أو لا؛ إما أن يأتي حصان معين أولاً أم لا.
- على سبيل المثال، من المستحيل حساب احتمالية حدوث مثل هذا الحدث: برمي نرد واحد، سيظهر الرقمان 5 و6 في نفس الوقت.
تحديد جميع الأحداث والنتائج المحتملة التي يمكن أن تحدث.لنفترض أنك بحاجة إلى تحديد احتمال أنه عند رمي لعبة نرد مكونة من 6 أرقام، ستحصل على الرقم ثلاثة. "رمي ثلاثة" هو حدث، وبما أننا نعلم أنه يمكن ظهور أي من الأرقام الستة، فإن عدد النتائج المحتملة هو ستة. ومن ثم، فإننا نعلم أنه في هذه الحالة هناك 6 نتائج محتملة وحدث واحد، نريد تحديد احتماليته. وفيما يلي مثالين آخرين.
- مثال 1. وفي هذه الحالة، يكون الحدث هو "اختيار يوم يقع في عطلة نهاية الأسبوع"، وعدد النتائج المحتملة يساوي عدد أيام الأسبوع، أي سبعة.
- مثال 2. الحدث هو "سحب كرة حمراء"، وعدد النتائج المحتملة يساوي إجمالي عدد الكرات، أي عشرين.
قسمة عدد الأحداث على عدد النتائج المحتملة.بهذه الطريقة ستحدد احتمالية وقوع حدث واحد. إذا اعتبرنا حالة رمي حجر النرد كرقم 3، فإن عدد الأحداث هو 1 (الرقم 3 موجود على جانب واحد فقط من حجر النرد) والعدد الإجمالي للنتائج هو 6. والنتيجة هي نسبة 1/6، 0.166 أي 16.6%. يمكن العثور على احتمال وقوع حدث في المثالين أعلاه كما يلي:
- مثال 1. ما هو احتمال أن تختار عشوائيًا يومًا يقع في عطلة نهاية الأسبوع؟عدد الأحداث هو 2، حيث أن هناك يومين إجازة في أسبوع واحد، والعدد الإجمالي للنتائج هو 7. وبالتالي، فإن الاحتمال هو 2/7. يمكن أيضًا كتابة النتيجة التي تم الحصول عليها على أنها 0.285 أو 28.5%.
- مثال 2. يحتوي الصندوق على 4 كرات زرقاء و 5 كرات حمراء و 11 كرة بيضاء. إذا أخرجت كرة عشوائية من الصندوق، ما احتمال أن تكون حمراء؟عدد الأحداث هو 5، حيث يوجد 5 كرات حمراء في الصندوق، والعدد الإجمالي للنتائج هو 20. نجد الاحتمال: 5/20 = 1/4. يمكن أيضًا كتابة النتيجة التي تم الحصول عليها على أنها 0.25 أو 25%.
اجمع احتمالات جميع الأحداث المحتملة وانظر ما إذا كان المجموع 1.يجب أن يكون الاحتمال الإجمالي لجميع الأحداث المحتملة 1 أو 100%. إذا لم تحصل على 100%، فمن المرجح أنك ارتكبت خطأً وفقدت حدثًا محتملاً أو أكثر. تحقق من حساباتك وتأكد من أنك قد أخذت في الاعتبار جميع النتائج المحتملة.
- على سبيل المثال، احتمال الحصول على 3 عند رمي النرد هو 1/6. وفي هذه الحالة، فإن احتمال سقوط أي رقم آخر من الخمسة المتبقية يساوي أيضًا 1/6. ونتيجة لذلك، نحصل على 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6، أي 100٪.
- على سبيل المثال، إذا نسيت الرقم 4 الموجود على حجر النرد، فإن جمع الاحتمالات سيعطيك 5/6 فقط، أو 83%، وهو ما لا يساوي واحدًا ويشير إلى خطأ.
عبر عن احتمال النتيجة المستحيلة بـ 0.هذا يعني أن الحدث لا يمكن أن يحدث واحتماله هو 0. وبهذه الطريقة يمكنك حساب الأحداث المستحيلة.
- على سبيل المثال، إذا كنت تريد حساب احتمالية أن يصادف عيد الفصح يوم الاثنين في عام 2020، فستحصل على 0 لأن عيد الفصح يتم الاحتفال به دائمًا يوم الأحد.
احتمال عدة أحداث عشوائية
1. عند النظر في الأحداث المستقلة، احسب كل احتمال على حدة.بمجرد تحديد احتمالات الأحداث، يمكن حسابها بشكل منفصل. لنفترض أننا نريد معرفة احتمال رمي حجر النرد مرتين متتاليتين والحصول على 5. نحن نعلم أن احتمال الحصول على 5 هو 1/6، واحتمال الحصول على 5 ثانية هو أيضًا 1/6. النتيجة الأولى لا علاقة لها بالثانية.
  - يتم استدعاء عدة لفات من الخمسات أحداث مستقلةلأن ما يحدث في المرة الأولى لا يؤثر على الحدث الثاني.
2. ضع في اعتبارك تأثير النتائج السابقة عند حساب احتمالية الأحداث التابعة.إذا كان الحدث الأول يؤثر على احتمالية النتيجة الثانية، فإننا نتحدث عن حساب الاحتمال الأحداث التابعة. على سبيل المثال، إذا قمت بتحديد ورقتين من مجموعة مكونة من 52 بطاقة، فبعد سحب البطاقة الأولى، يتغير تكوين المجموعة، مما يؤثر على اختيار البطاقة الثانية. لحساب احتمال الحدث الثاني من حدثين تابعين، تحتاج إلى طرح 1 من عدد النتائج المحتملة عند حساب احتمال الحدث الثاني.
  - مثال 1. خذ بعين الاعتبار الحدث التالي: يتم سحب ورقتين بشكل عشوائي من المجموعة، واحدة تلو الأخرى. ما هو احتمال أن تكون كلا البطاقتين من الأندية؟احتمال أن تكون البطاقة الأولى من نوع النادي هو 13/52، أو 1/4، نظرًا لوجود 13 بطاقة من نفس النوع في المجموعة.
    - بعد ذلك، احتمال أن تكون البطاقة الثانية هي بدلة النادي هو 12/51، نظرًا لأن بطاقة النادي الواحدة لم تعد موجودة. وذلك لأن الحدث الأول يؤثر على الثاني. إذا قمت بسحب النوادي الثلاثة ولم تقم بإعادتها، فسيكون هناك بطاقة واحدة أقل في المجموعة (51 بدلاً من 52).
  - مثال 2. هناك 4 كرات زرقاء و5 حمراء و11 كرة بيضاء في الصندوق. إذا سحبنا ثلاث كرات عشوائيًا، فما احتمال أن تكون الأولى حمراء، والثانية زرقاء، والثالثة بيضاء؟
    - احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء هو 5/20، أو 1/4. احتمال أن تكون الكرة الثانية زرقاء هو 4/19، نظرًا لوجود كرة واحدة أقل في الصندوق، ولكن لا يزال 4 أزرقكرة. وأخيرًا، احتمال أن تكون الكرة الثالثة بيضاء هو 11/18 بما أننا قد سحبنا كرتين بالفعل.
3. اضرب احتمالات كل حدث على حدة.بغض النظر عما إذا كنت تتعامل مع أحداث مستقلة أو تابعة، أو عدد النتائج (يمكن أن يكون هناك 2، 3، أو حتى 10)، يمكنك حساب الاحتمال الإجمالي عن طريق ضرب احتمالات جميع الأحداث المعنية في بعضها البعض. ونتيجة لذلك، سوف تحصل على احتمال عدة أحداث، ما يلي واحدا تلو الآخر. على سبيل المثال، المهمة هي أوجد احتمال أنه عند رمي حجر النرد مرتين متتاليتين ستحصل على الرقم 5. وهذان حدثان مستقلان، احتمال كل منهما هو 1/6. وبالتالي فإن احتمال كلا الحدثين هو 1/6 × 1/6 = 1/36، أي 0.027 أو 2.7%.
  - مثال 1. يتم سحب ورقتين من المجموعة بشكل عشوائي، واحدة تلو الأخرى. ما هو احتمال أن تكون كلا البطاقتين من الأندية؟احتمال الحدث الأول هو 13/52. احتمال الحدث الثاني هو 12/51. نجد الاحتمال الإجمالي: 13/52 × 12/51 = 12/204 = 1/17، أي 0.058 أو 5.8%.
  - مثال 2. يحتوي الصندوق على 4 كرات زرقاء و 5 كرات حمراء و 11 كرة بيضاء. إذا سحبنا ثلاث كرات عشوائيًا من صندوق واحدة تلو الأخرى، فما احتمال أن تكون الأولى حمراء، والثانية زرقاء، والثالثة بيضاء؟احتمال الحدث الأول هو 5/20. احتمال الحدث الثاني هو 4/19. احتمال الحدث الثالث هو 11/18. لذا فإن الاحتمال الإجمالي هو 5/20 × 4/19 × 11/18 = 44/1368 = 0.032، أو 3.2%.

نظرية مختصرة

ولمقارنة الأحداث كميا وفقا لدرجة احتمال حدوثها، يتم تقديم مقياس عددي، وهو ما يسمى احتمال وقوع حدث ما. احتمال وقوع حدث عشوائيهو رقم يعبر عن مقياس الاحتمال الموضوعي لحدوث حدث ما.

الكميات التي تحدد مدى أهمية الأسباب الموضوعية لتوقع وقوع حدث ما، تتميز باحتمالية وقوع الحدث. يجب التأكيد على أن الاحتمال هو كمية موضوعية موجودة بشكل مستقل عن العارف ومشروطة بمجموعة كاملة من الشروط التي تساهم في وقوع حدث ما.

إن التفسيرات التي قدمناها لمفهوم الاحتمال ليست تعريفًا رياضيًا، لأنها لا تحدد المفهوم. هناك عدة تعريفات لاحتمال وقوع حدث عشوائي، والتي تستخدم على نطاق واسع في حل مشاكل محددة (التعريف الكلاسيكي والهندسي للاحتمال، والإحصائي، وما إلى ذلك).

التعريف الكلاسيكي لاحتمال الحدثيختزل هذا المفهوم إلى المفهوم الأكثر ابتدائية للأحداث الممكنة بشكل متساوٍ، والذي لم يعد خاضعًا للتعريف ويُفترض أنه واضح بشكل حدسي. على سبيل المثال، إذا كان حجر النرد مكعبًا متجانسًا، فإن فقدان أي وجه من وجوه هذا المكعب سيكون حدثًا محتملًا بنفس القدر.

دع حدثًا موثوقًا ينقسم إلى حالات محتملة متساوية، مجموعها يعطي الحدث. أي أن الحالات التي ينهار منها تسمى مواتية للحدث، لأن ظهور أحدهم يضمن حدوثه.

سيتم الإشارة إلى احتمال وقوع حدث بالرمز.

إن احتمالية وقوع حدث ما تساوي نسبة عدد الحالات المؤاتية له، من إجمالي عدد الحالات الممكنة بشكل فريد والمتساوية وغير المتوافقة، إلى العدد، أي.

هذا هو التعريف الكلاسيكي للاحتمال. وبالتالي، للعثور على احتمالية حدث ما، من الضروري، بعد النظر في النتائج المختلفة للاختبار، العثور على مجموعة من الحالات المحتملة الفريدة والمتساوية وغير المتوافقة، وحساب العدد الإجمالي لها n، وعدد الحالات m المواتية لـ حدث معين، ثم قم بإجراء الحساب باستخدام الصيغة أعلاه.

يسمى احتمال وقوع حدث يساوي نسبة عدد النتائج التجريبية المواتية للحدث إلى العدد الإجمالي للنتائج التجريبية الاحتمال الكلاسيكيحدث عشوائي.

خصائص الاحتمال التالية تتبع من التعريف:

الخاصية 1. احتمال وقوع حدث موثوق يساوي واحدًا.

الخاصية 2. احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر.

الخاصية 3. احتمال وقوع حدث عشوائي هو رقم موجب يقع بين صفر وواحد.

الخاصية 4. احتمال وقوع الأحداث التي تشكل مجموعة كاملة يساوي واحدًا.

الخاصية 5. يتم تحديد احتمالية وقوع الحدث المعاكس بنفس طريقة تحديد احتمالية وقوع الحدث أ.

عدد الحالات التي ترجح وقوع حدث معاكس. ومن ثم فإن احتمال وقوع الحدث المعاكس يساوي الفرق بين الوحدة واحتمال وقوع الحدث أ:

من المزايا المهمة للتعريف الكلاسيكي لاحتمال وقوع حدث ما هو أنه بمساعدته يمكن تحديد احتمالية الحدث دون اللجوء إلى الخبرة، ولكن بناءً على التفكير المنطقي.

عند استيفاء مجموعة من الشروط، سيحدث بالتأكيد حدث موثوق، لكن الحدث المستحيل لن يحدث بالتأكيد. ومن بين الأحداث التي قد تحدث أو لا تحدث عند نشوء مجموعة من الظروف، يمكن الاعتماد على حدوث بعضها بسبب وجيه، وحدوث البعض الآخر بسبب أقل. على سبيل المثال، إذا كان هناك عدد أكبر من الكرات البيضاء في الجرة مقارنة بالكرات السوداء، فهذا يعني أن هناك سببًا للأمل في ظهور كرة بيضاء عند سحبها عشوائيًا من الجرة أكثر من ظهور كرة سوداء.

الصفحة التالية تناقش.

مثال على حل المشكلة

مثال 1

صندوق يحتوي على 8 كرات بيضاء و4 سوداء و7 كرات حمراء. تم سحب 3 كرات عشوائيا . أوجد احتمالات الأحداث التالية: - تم سحب كرة حمراء واحدة على الأقل، - يوجد على الأقل كرتان من نفس اللون، - هناك على الأقل كرة حمراء وكرة بيضاء واحدة.

حل المشكلة

نجد العدد الإجمالي لنتائج الاختبار كعدد مجموعات من 19 عنصرًا (8+4+7) من 3:

دعونا نجد احتمال الحدث- يتم سحب كرة حمراء واحدة على الأقل (1،2 أو 3 كرات حمراء)

الاحتمالية المطلوبة:

دع الحدث– يوجد على الأقل كرتان من نفس اللون (2 أو 3 كرات بيضاء، 2 أو 3 كرات سوداء و2 أو 3 كرات حمراء)

عدد النتائج المؤاتية للحدث:

الاحتمالية المطلوبة:

دع الحدث– هناك على الأقل كرة حمراء واحدة وكرة بيضاء واحدة

(1 أحمر، 1 أبيض، 1 أسود أو 1 أحمر، 2 أبيض أو 2 أحمر، 1 أبيض)

عدد النتائج المؤاتية للحدث:

الاحتمالية المطلوبة:

إجابة:ف (أ) = 0.773؛ ف (ج) = 0.7688؛ ف (د) = 0.6068

مثال 2

يتم رمي اثنين من النرد. أوجد احتمال أن يكون مجموع النقاط 5 على الأقل.

حل

دع الحدث يكون على درجة لا تقل عن 5

دعونا نستخدم التعريف الكلاسيكي للاحتمال:

العدد الإجمالي لنتائج الاختبار المحتملة

عدد التجارب التي تؤيد الحدث محل الاهتمام

على الجانب المسقط من النرد الأول، نقطة واحدة، نقطتان...، قد تظهر ست نقاط. وبالمثل، هناك ست نتائج ممكنة عند رمي حجر النرد الثاني. يمكن دمج كل نتيجة من نتائج رمي حجر النرد الأول مع كل نتيجة من نتائج الثانية. وبالتالي، فإن العدد الإجمالي لنتائج الاختبار الأولي المحتملة يساوي عدد المواضع مع التكرار (الاختيار مع مواضع عنصرين من مجموعة المجلد 6):

لنجد احتمال الحدث المعاكس - مجموع النقاط أقل من 5

المجموعات التالية من النقاط المسقطة ستفضل الحدث:

№

العظم الأول

العظم الثاني

متوسطتكلفة حل الاختبار هي 700 - 1200 روبل (ولكن ليس أقل من 300 روبل للطلب بأكمله). يتأثر السعر بشكل كبير بمدى إلحاح القرار (من يوم إلى عدة ساعات). تكلفة المساعدة عبر الإنترنت للامتحان/الاختبار تبدأ من 1000 روبل. لحل التذكرة.

يمكنك ترك طلب مباشرة في الدردشة، بعد أن أرسلت مسبقًا شروط المهام وأبلغتك بالمواعيد النهائية للحل الذي تحتاجه. وقت الاستجابة هو بضع دقائق.