さまざまな方法で三角形の周囲を見つけます。 三角形の周囲長を見つけるにはどうすればよいですか? 与えられた 2 つの辺とそれらの間の角度に基づいて質問に答えます

三角形の周囲他の図形と同様、すべての辺の長さの合計と呼ばれます。 多くの場合、この値は面積を見つけるのに役立つか、Figure の他のパラメーターを計算するために使用されます。
三角形の周囲長の公式は次のようになります。

三角形の周囲長を計算する例。 辺が a = 4 cm、b = 6 cm、c = 7 cm の三角形があるとします。データを式に代入します。cm

外周の計算式 二等辺三角形次のようになります:

外周の計算式 正三角形:

正三角形の周囲長を計算する例です。 図形のすべての辺が等しい場合、単純に 3 を掛けることができます。 この場合、一辺が 5 cm の正三角形が与えられたとします: cm

一般に、すべての辺が与えられれば、周囲を見つけるのは非常に簡単です。 他の状況では、欠落している辺のサイズを見つける必要があります。 直角三角形では、次のようにして 3 番目の辺を見つけることができます。 ピタゴラスの定理。 たとえば、脚の長さがわかっている場合は、次の公式を使用して斜辺を見つけることができます。

直角二等辺三角形の足の長さがわかっているとして、二等辺三角形の周囲長を計算する例を考えてみましょう。
脚 a =b =5 cm の三角形が与えられた場合、周囲長を求めます。 まず、欠けている c 辺を探します。 cm
次に周囲の長さを計算しましょう: cm
直角二等辺三角形の周囲の長さは17cmになります。

斜辺と片方の脚の長さがわかっている場合は、次の式を使用して不足している脚を見つけることができます。
直角三角形の斜辺と鋭角の 1 つがわかっている場合は、公式を使用して不足している辺が見つかります。

予備情報

平面上の平らな幾何学図形の周囲は、そのすべての辺の長さの合計として定義されます。 トライアングルも例外ではありません。 まず、三角形の概念と、辺に応じた三角形の種類を示します。

定義 1

線分によって互いに接続された 3 つの点で構成される幾何学的図形を三角形と呼びます (図 1)。

定義 2

定義 1 の枠組み内で、これらの点を三角形の頂点と呼びます。

定義 3

定義 1 の枠組み内では、セグメントは三角形の辺と呼ばれます。

明らかに、三角形には 3 つの頂点と 3 つの辺があります。

三角形は、各辺の関係に応じて、不等辺三角形、二等辺三角形、正三角形に分けられます。

定義 4

どの辺も他の辺と等しくない場合、三角形を不等辺三角形と呼びます。

定義5

三角形の 2 つの辺が互いに等しいが、3 番目の辺とは等しくない場合、その三角形を二等辺三角形と呼びます。

定義6

すべての辺が互いに等しい場合、三角形を正三角形と呼びます。

図 2 では、これらの三角形のすべてのタイプを確認できます。

不等辺三角形の周囲長を求めるにはどうすればよいですか?

一辺の長さが $α$、$β$、$γ$ に等しい不等辺三角形が与えられるとします。

結論：不等辺三角形の周囲を見つけるには、その辺の長さをすべて加算する必要があります。

例1

$34$ cm、$12$ cm、$11$ cm に等しい不等辺三角形の周囲長を求めます。

$P=34+12+11=57$ cm

答え: $57$ cm。

例 2

脚が $6$ と $8$ cm である直角三角形の周囲の長さを求めます。

まず、ピタゴラスの定理を使って、この三角形の斜辺の長さを求めてみましょう。 それを $α$ と表すと、

$α=10$ 不等辺三角形の周囲長を計算する規則によれば、次のようになります。

$P=10+8+6=24$ cm

答え: $24$ を参照してください。

二等辺三角形の周囲長を求めるにはどうすればよいですか?

二等辺三角形が与えられたとします。辺の長さは $α$ に等しく、底辺の長さは $β$ に等しくなります。

平坦な幾何学的図形の周囲長を決定すると、次のことが得られます。

$P=α+α+β=2α+β$

結論：二等辺三角形の周囲長を求めるには、辺の長さの 2 倍を底辺の長さに加えます。

例 3

二等辺三角形の辺が $12$ cm、底辺が $11$ cm の場合、その周囲の長さを求めます。

上で説明した例から、次のことがわかります。

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

答え: $35$ を参照してください。

例 4

底辺までの高さが $8$ cm、底辺が $12$ cm の場合の二等辺三角形の周囲長を求めます。

問題の条件に従って図面を見てみましょう。

三角形は二等辺なので、$BD$ は中央値でもあり、したがって $AD=6$ cm になります。

ピタゴラスの定理を使用して、三角形 $ADB$ から辺を求めます。 それを $α$ と表すと、

二等辺三角形の周囲長を計算するルールによれば、次のようになります。

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

答え: $32$ を参照してください。

正三角形の周囲長を求めるにはどうすればよいですか?

すべての辺の長さが $α$ に等しい正三角形が与えられるとします。

平坦な幾何学的図形の周囲長を決定すると、次のことが得られます。

$P=α+α+α=3α$

結論：正三角形の周囲長を求めるには、三角形の辺の長さに $3$ を掛けます。

例5

正三角形の一辺が $12$ cm の場合、その周囲の長さを求めます。

上で説明した例から、次のことがわかります。

$P=3\cdot 12=36$ cm

三角形の周囲長は、図形の境界線の長さになります。 これを計算するには、この多角形のすべての辺の合計を見つける必要があります。

与えられた辺の長さから計算

それらの意味が分かれば、これは簡単です。 これらのパラメーターを文字 m、n、k で表し、周囲を文字 P で表すと、計算式: P = m+n+k が得られます。 課題: 三角形の辺の長さは 13.5 デシメートル、12.1 デシメートル、4.2 デシメートルであることが知られています。 周囲を調べます。 この多角形の辺が a = 13.5 dm、b = 12.1 dm、c = 4.2 dm である場合、P = 29.8 dm を解きます。 答え: P = 29.8 dm。

2つの等しい辺を持つ三角形の周囲長

このような三角形を二等辺三角形といいます。 これらの等しい辺の長さが a センチメートル、3 番目の辺の長さが b センチメートルである場合、周長は簡単に求められます: P = b + 2a。 課題: 三角形の 2 辺は 10 デシメートル、底辺は 12 デシメートルです。 P を求めます。 解: 側面 a = c = 10 dm、底面 b = 12 dm とします。 辺の合計 P = 10 dm + 12 dm + 10 dm = 32 dm。 答え: P = 32 デシメートル。

正三角形の周囲長

三角形の 3 つの辺すべてに同じ数の測定単位がある場合、その三角形は正三角形と呼ばれます。 別の名前が正しいです。 正三角形の周囲長は、次の公式を使用して求められます: P = a+a+a = 3・a。 問題: 正三角形の土地があります。 一辺は6メートルです。 このエリアを囲むことができるフェンスの長さを求めます。 解決策: この多角形の一辺が a = 6 m の場合、フェンスの長さは P = 3 6 = 18 (m) です。 答え: P = 18 メートル。

角度が90°の三角形

長方形といいます。 直角の存在により、三角関数の定義とピタゴラスの定理を使用して未知の辺を見つけることが可能になります。 最も長い辺は斜辺と呼ばれ、c と指定されます。 さらに 2 つの面 a と b があります。 ピタゴラスにちなんで名付けられた定理に従って、 c 2 = a 2 + b 2 が得られます。 脚 a = √ (c 2 - b 2) および b = √ (c 2 - a 2)。 2 本の脚 a と b の長さがわかっているので、斜辺を計算します。 次に、これらの値を加算して、図の辺の合計を求めます。 課題: 直角三角形の足の長さは 8.3 センチメートルと 6.2 センチメートルです。 三角形の周囲長を計算する必要があります。 脚を a = 8.3 cm、b = 6.2 cm とします。ピタゴラスの定理に従い、斜辺 c = √ (8.3 2 + 6.2 2) = √ (68.89 + 38.44) = √107 .33 = 10.4 ( cm）。 P = 24.9 (cm)。 または、P = 8.3 + 6.2 + √ (8.3 2 + 6.2 2) = 24.9 (cm)。 答え: P = 24.9 cm ルートの値は 10 分の 1 の精度で取得されました。 斜辺と脚の値がわかっている場合は、P = √ (c 2 - b 2) + b + c を計算して P の値を取得します。 問題 2: 90 度の角度の反対側にある土地のセクション、12 km、一方の脚は 8 km です。 時速 4 キロメートルの速度で移動した場合、エリア全体を歩き回るにはどのくらい時間がかかりますか? 解決策: 最大のセグメントが 12 km、小さいセグメントが b = 8 km の場合、パス全体の長さは P = 8 + 12 + √ (12 2 - 8 2) = 20 + √80 = 20 + となります。 8.9 = 28.9 ( km)。 経路を速度で割ることで時間を求めます。 28.9:4 = 7.225 (時間)。 答え: 7.3 時間で解決できます。平方根の値を計算し、10 分の 1 まで正確に答えます。 直角三角形の辺の 1 つと鋭角の 1 つの値が指定されていれば、その辺の合計を求めることができます。 脚の長さ b とその反対側の角度 β の値がわかれば、未知の辺 a = b/tan β がわかります。 斜辺 c = a: sinα を求めます。 結果の値を加算することで、そのような図形の周囲長を求めます。 P = a + a/ sinα + a/ Tan α、または P = a(1 / sin α+ 1+1 / Tan α)。 タスク: 直角 C を持つ長方形 Δ ABC では、脚 BC の長さは 10 m、角度 A は 29 度です。 辺の合計 Δ ABC を見つける必要があります。 解決策: 既知の辺 BC = a = 10 m、その反対側の角度 ∟A = α = 30°、そして辺 AC = b = 10: 0.58 = 17.2 (m)、斜辺 AB = c = 10 を表します。 0.5 = 20 (メートル)。 P = 10 + 17.2 + 20 = 47.2 (メートル)。 または、P = 10 · (1 + 1.72 + 2) = 47.2 m となります。 P = 47.2 m 辺と周囲の長さを 10 分の 1 に丸めた精度の三角関数の値を取得します。 脚 α と隣接する角度 β の値があれば、2 番目の脚が何に等しいかがわかります: b = atan β。 この場合の斜辺は、脚を角度 β の余弦で割ったものに等しくなります。 周長は、P = a + a tan β + a: cos β = (tg β + 1+1: cos β)・a という式で求められます。 課題: 角度が 90 度の三角形の脚の長さは 18 cm、隣接する角度は 40 度です。 P を求めます。 解: 既知の辺 BC = 18 cm、∟β = 40° と表します。 すると、未知辺 AC = b = 18 ・ 0.83 = 14.9 (cm)、斜辺 AB = c = 18: 0.77 = 23.4 (cm) となります。 図形の各辺の合計は P = 56.3 (cm) です。 または、P = (1 + 1.3 + 0.83) * 18 = 56.3 cm 答え: P = 56.3 cm 斜辺の長さ c と角度 α がわかっている場合、脚は斜辺の積に等しくなります。 1 つ目はサインで、2 つ目はこの角度のコサインで計算します。 この図の周囲長は P = (sin α + 1+ cos α)*c です。 割り当て: 直角三角形の斜辺 AB = 9.1 センチメートル、角度は 50 度です。 この図形の辺の和を求めます。 解決策: 斜辺を表します: AB = c = 9.1 cm、∟A= α = 50°、すると、脚 BC の 1 つの長さは a = 9.1 · 0.77 = 7 (cm)、脚 AC = b = 9 となります。 1・0.64＝5.8（cm）となります。 これは、この多角形の周囲長が P = 9.1 + 7 + 5.8 = 21.9 (cm) であることを意味します。 または、P = 9.1・(1 + 0.77 + 0.64) = 21.9 (cm) となります。 答え: P = 21.9 センチメートル。

辺の 1 つが不明な任意の三角形

2 つの辺 a と c の値、およびこれらの辺の間の角度 γ がわかっている場合、コサイン定理によって 3 番目の値を求めます: b 2 = c 2 + a 2 - 2 ac cos β、ここで β は角度ですa面とc面の間にあります。 次に、周囲を見つけます。 タスク: Δ ABC には、長さ 15 dm のセグメント AB と、長さ 30.5 dm のセグメント AC があります。 これらの辺の間の角度は 35 度です。 辺の合計 Δ ABC を計算します。 解決策: コサイン定理を使用して、3 番目の辺の長さを計算します。 BC 2 = 30.5 2 + 15 2 - 2 30.5 15 0.82 = 930.25 + 225 - 750.3 = 404.95。 BC = 20.1 cm、P = 30.5 + 15 + 20.1 = 65.6 (dm) となります: P = 65.6 dm。

2 辺の長さが不明な任意の三角形の辺の合計

1 つの線分のみの長さと 2 つの角度の値がわかっている場合は、正弦定理を使用して未知の 2 つの辺の長さを知ることができます。「三角形では、辺は常に次の正弦の値に比例します。」反対の角度。」 ここで、 b = (a* sin β)/ sin a です。 同様に、c = (a sin γ): sin a。 この場合の周囲長は、P = a + (a sin β)/ sin a + (a sin γ)/ sin a となります。 タスク: Δ ABC があります。 この図では、辺 BC の長さは 8.5 mm、角度 C の値は 47°、角度 B は 35 度です。 この図形の辺の和を求めます。 解決策: 辺の長さを BC = a = 8.5 mm、AC = b、AB = c、∟ A = α= 47°、∟B = β = 35°、∟ C = γ = 180° - ( 47° + 35°) = 180° - 82° = 98°。 正弦定理から得られる関係から、脚 AC = b = (8.5 0.57): 0.73 = 6.7 (mm)、AB = c = (7 0.99): 0.73 = 9.5 (mm) が求められます。 したがって、この多角形の辺の合計は P = 8.5 mm + 5.5 mm + 9.5 mm = 23.5 mm となります。 答え: P = 23.5 mm。 1 つのセグメントの長さと 2 つの隣接する角度の値のみがある場合、最初に既知の辺の反対側の角度を計算します。 この図のすべての角度を合計すると 180 度になります。 したがって、∟A = 180° - (∟B + ∟C) となります。 次に、正弦定理を使用して未知のセグメントを見つけます。 タスク: Δ ABC があります。 10 cm に等しいセグメント BC があり、角度 B の値は 48 度、角度 C は 56 度です。 辺の合計 Δ ABC を求めます。 解決策: まず、辺 BC の反対側の角度 A の値を求めます。 ∟A = 180° - (48° + 56°) = 76°。 さて、正弦定理を使って辺の長さ AC = 10・0.74: 0.97 = 7.6 (cm) を計算します。 AB = BC* sin C/sin A = 8.6。 三角形の周囲長は、P = 10 + 8.6 + 7.6 = 26.2 (cm) となります。 結果: P = 26.2 cm。

三角形に内接する円の半径を使用して三角形の周囲長を計算する

場合によっては、問題のどちらの側も不明であることがあります。 ただし、三角形の面積とそれに内接する円の半径には値があります。 これらの量には関連性があります: S = r p。 三角形の面積と半径 r の値がわかれば、半周長 p を求めることができます。 p = S: r がわかります。 問題: 区画の面積は 24 m2、半径 r は 3 m です。隣接する 2 つの木の間隔が 2 メートルである必要がある場合、この区画を囲む線に沿って均等に植える必要がある木の数を求めます。 。 解決策: この図の辺の合計は次のように求めます: P = 2 · 24: 3 = 16 (m)。 次に、2で割ります。 16:2= 8。合計: 8 本の木。

デカルト座標における三角形の辺の合計

Δ ABC の頂点の座標は、A (x 1 ; y 1)、B (x 2 ; y 2)、C(x 3 ; y 3) です。 各辺の二乗を求めてみましょう AB 2 = (x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 ; BC 2 = (x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2; AC 2 = (x 1 - x 3) 2 + (y 1 - y 3) 2. 周囲長を見つけるには、すべてのセグメントを合計するだけです。 割り当て: 頂点の座標 Δ ABC: B (3; 0)、A (1; -3)、C (2; 5)。 この図形の辺の和を求めます。 解決策: 対応する座標の値を周長の式に代入すると、P = √(4 + 9) + √(1 + 25) + √(1 + 64) = √13 + √26 + √65 = となります。 3.6 + 5.1 + 8.0 = 16.6。 P = 16.6 となります。 Figure が平面上ではなく空間上にある場合、各頂点には 3 つの座標があります。 したがって、辺の和の公式には項が 1 つ多くなります。

ベクトル法

図形が頂点の座標で与えられる場合、ベクトル法を使用して周長を計算できます。 ベクトルは方向を持つセグメントです。 そのモジュール (長さ) は記号 ƀᾱƀ で示されます。 点間の距離は、対応するベクトルの長さ、またはベクトルの絶対値です。 平面上にある三角形を考えてみましょう。 頂点の座標が A (x 1; y 1)、M(x 2; y 2)、T (x 3; y 3) である場合、各辺の長さは次の式を使用して求められます。 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2) 2)、quMTqu = √ ((x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2)、quATqu = √ ((x 1 - x 3) ) 2 + ( y 1 - y 3) 2)。 ベクトルの長さを加算することで三角形の周囲長を取得します。 同様に、空間内の三角形の辺の合計を求めます。

三角形の定義

三角形直列に接続された 3 つの点で構成される幾何学図形です。

三角形には 3 つの辺と 3 つの角があります。

三角形には多くの種類があり、それぞれに異なる特性があります。 三角形の主なタイプをリストします。

  1. 多用途(すべての辺の長さが異なります);
  2. 二等辺三角形(2 つの辺が等しく、底面の 2 つの角度が等しい)。
  3. 等辺(すべての辺とすべての角度が等しい)。

ただし、すべてのタイプの三角形に対して、三角形の周囲長を求めるための普遍的な公式が 1 つあります。これは、三角形のすべての辺の長さの合計です。

オンライン計算機

三角形の周囲長の計算式

P = a + b + c P = a + b + c P=α+b+c

A、b、c a、b、c a、b、c- 三角形の辺の長さ。

三角形の周長を求める問題を見てみましょう。

タスク

三角形の辺は a = 28 cm、b = 46 cm、c = 51 cm です。三角形の周囲の長さはいくらですか?

解決
三角形の周囲長を求める公式を使って代入してみましょう。 ああ ある, bb bそして c c cそれらの数値:
P = a + b + c P = a + b + c P=α+b+c
P = 28 + 46 + 51 = 125 cm P = 28 + 46 + 51 = 125\テキスト( cm)P=2 8 + 4 6 + 5 1 = 1 2 5 cm

答え：
P = 125 cm。P = 125 \text( cm.)P=1 2 5 cm 。

タスク

三角形は一辺が23cmの正三角形です。三角形の周囲の長さは何センチですか?

解決

P = a + b + c P = a + b + c P=α+b+c

しかし、条件によれば、正三角形、つまりすべての辺が等しいことがわかります。 この場合、式は次の形式になります。

P = a + a + a = 3a P = a + a + a = 3aP=α+α+a =3a

数値を式に代入して、三角形の周囲長を求めます。

P = 3 ⋅ 23 = 69 cm P = 3\cdot23 = 69\text( cm)P=3 ⋅ 2 3 = 6 9 cm

答え
P = 69 cm. P = 69 \text( cm.)P=6 9 cm 。

タスク

二等辺三角形の辺bは14cm、底辺aは9cmです。三角形の周囲の長さを求めます。

解決
三角形の周囲長を求める公式を使用してみましょう。

P = a + b + c P = a + b + c P=α+b+c

しかし、条件によれば、二等辺三角形、つまり辺が等しいことがわかります。 この場合、式は次の形式になります。

P = a + b + b = 2 b + a P = a + b + b = 2b + aP=α+b+b =2b+ある

式に数値を代入して、三角形の周囲長を求めます。

P = 2 ⋅ 14 + 9 = 28 + 9 = 37 cm P = 2 \cdot 14 + 9 = 28 + 9 = 37 \text( cm)P=2 ⋅ 1 4 + 9 = 2 8 + 9 = 3 7 cm

答え
P = 37 cm。P = 37\テキスト( cm.)P=3 7 cm 。

三角形の周囲長を求めるにはどうすればよいですか? 私たちはそれぞれ、学校で勉強しているときにこの質問をしました。 この驚くべき人物について知っていることをすべて思い出して、尋ねられた質問にも答えてみましょう。

三角形の周囲をどのように見つけるかという質問に対する答えは通常非常に簡単です。すべての辺の長さを加算する手順を実行するだけです。 ただし、目的の値を見つけるためのさらに簡単な方法がいくつかあります。

アドバイス

三角形に内接する円の半径 (r) とその面積 (S) がわかっていれば、三角形の周囲長を求める方法という質問に答えるのは非常に簡単です。 これを行うには、通常の公式を使用する必要があります。

辺に隣接する 2 つの角度、たとえば α と β、および辺そのものの長さがわかっている場合、非常によく使われる次の公式を使用して周長を求めることができます。

sinβ∙а/(sin(180° - β - α)) + sinα∙а/(sin(180° - β - α)) + а

隣接する辺の長さとそれらの間の角度 β がわかっている場合、周囲長を求めるにはコサイン定理を使用する必要があります。 外周は次の式を使用して計算されます。

P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙а∙cosβ),

ここで、b2 と a2 は隣接する辺の長さの 2 乗です。 根号式は、コサイン定理を使用して表される未知の 3 番目の辺の長さです。

二等辺三角形の周囲を見つける方法が分からない場合でも、実際には何も複雑なことはありません。 次の式を使用して計算します。

ここで、b は三角形の底辺、a はその辺です。

正三角形の周囲長を求めるには、最も単純な公式を使用します。

ここで、a は辺の長さです。

三角形の周囲に外接する円、または三角形に内接する円の半径だけがわかっている場合、三角形の周囲長を見つけるにはどうすればよいでしょうか? 三角形が正三角形の場合は、次の公式を適用する必要があります。

P = 3R√3 = 6r√3、

ここで、R と r はそれぞれ外接円と内接円の半径です。

三角形が二等辺の場合、次の式が適用されます。

P=2R (sinβ + 2sinα)、

ここで、α は底面の角度、β は底面の反対側の角度です。

多くの場合、数学的問題を解決するには、詳細な分析と、必要な式を見つけて導出する特別な能力が必要ですが、これは、多くの人が知っているように、非常に困難な作業です。 ただし、一部の問題は 1 つの公式だけで解決できます。

さまざまな種類の三角形に関連して、三角形の周囲長を求める方法の基本となる公式を見てみましょう。

もちろん、三角形の周囲長を見つけるための主なルールは次のとおりです。三角形の周囲長を見つけるには、適切な公式を使用してすべての辺の長さを加算する必要があります。

ここで、b、a、c は三角形の辺の長さ、P は三角形の周囲長です。

この式には特殊なケースがいくつかあります。 問題が次のように定式化されているとします。「直角三角形の外周を見つける方法は?」 この場合、次の式を使用する必要があります。

P = b + a + √(b2 + a2)

この式では、b と a は直角三角形の脚の直接の長さです。 (斜辺) の側の代わりに、古代の偉大な科学者ピタゴラスの定理から得られた式が使用されていることは容易に推測できます。

三角形が相似である問題を解決する必要がある場合、このステートメントを使用するのが論理的です。つまり、周囲の比率が相似係数に対応します。 2 つの相似な三角形、ΔABC と ΔA1B1C1 があるとします。 次に、類似係数を求めるには、周囲長 ΔABC を周囲長 ΔA1B1C1 で割る必要があります。

結論として、三角形の周囲長は、所有する初期データに応じて、さまざまな手法を使用して見つけることができることがわかります。 直角三角形には特殊なケースがいくつかあることを付け加えておきます。



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