피라미드. 피라미드의 공식 및 속성
정의. 측면 가장자리- 이것은 하나의 각도가 피라미드의 상단에 있고 반대쪽이 밑면 (다각형)의 측면과 일치하는 삼각형입니다.
정의. 옆갈비- 측면의 공통 측면입니다. 피라미드에는 다각형의 각도만큼 많은 모서리가 있습니다.
정의. 피라미드 높이- 이것은 피라미드의 꼭대기에서 바닥까지 수직으로 내려간 것입니다.
정의. 아포템- 이것은 피라미드의 측면에 수직이며 피라미드 상단에서 밑면 측면으로 낮아졌습니다.
정의. 대각선 부분- 이것은 피라미드의 꼭대기와 밑면의 대각선을 통과하는 평면에 의한 피라미드의 단면입니다.
정의. 올바른 피라미드밑면이 정다각형이고 높이가 밑면의 중심으로 내려오는 피라미드이다.
피라미드의 부피와 표면적
공식. 피라미드의 부피기본 면적과 높이를 통해:
피라미드의 속성
모든 측면 모서리가 동일하면 피라미드 밑면 주위에 원을 그릴 수 있으며 밑면의 중심은 원의 중심과 일치합니다. 또한 위에서 내린 수선은 밑면(원)의 중심을 통과합니다.
모든 측면 가장자리가 동일하면 동일한 각도로 바닥 평면에 기울어집니다.
측면 모서리는 밑면과 동일한 각도를 형성하거나 피라미드 밑면 주위에 원이 설명될 수 있는 경우 동일합니다.
측면이 밑면에 대해 같은 각도로 기울어지면 피라미드의 밑면에 원이 새겨지고 피라미드의 상단이 중심으로 투영됩니다.
측면이 베이스 평면에 대해 동일한 각도로 기울어져 있으면 측면의 변위점이 동일합니다.
일반 피라미드의 속성
1. 피라미드의 꼭대기는 밑면의 모든 모서리에서 등거리에 있습니다.
2. 모든 측면 모서리가 동일합니다.
3. 모든 측면 리브는 베이스와 동일한 각도로 기울어져 있습니다.
4. 모든 측면의 변심은 동일합니다.
5. 모든 측면의 면적은 동일합니다.
6. 모든 면은 동일한 2면체(평면) 각도를 갖습니다.
7. 피라미드 주위에 구를 묘사할 수 있습니다. 외접 구의 중심은 모서리의 중앙을 통과하는 수직선의 교차점이 됩니다.
8. 구를 피라미드에 맞출 수 있습니다. 내접된 구의 중심은 모서리와 밑면 사이의 각도에서 나오는 이등분선의 교차점이 됩니다.
9. 내접 구의 중심이 외접 구의 중심과 일치하면 꼭지점의 평면 각도의 합은 π와 같거나 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 한 각도는 π/n과 같습니다. 여기서 n은 숫자입니다. 피라미드 바닥의 각도.
피라미드와 구의 연결
피라미드의 밑면에 원을 묘사할 수 있는 다면체가 있을 때(필요충분조건) 구는 피라미드 주위에 묘사될 수 있습니다. 구의 중심은 피라미드 측면 가장자리의 중간점을 수직으로 통과하는 평면의 교차점이 됩니다.
삼각형이나 정뿔형 피라미드 주위의 구를 묘사하는 것은 항상 가능합니다.
피라미드의 내부 2면각의 이등분선 평면이 한 지점에서 교차하는 경우(필요 및 충분 조건) 구는 피라미드에 내접할 수 있습니다. 이 점이 구의 중심이 됩니다.
원뿔과 피라미드의 연결
꼭지점이 일치하고 원뿔의 밑면이 피라미드의 밑면에 내접되어 있으면 원뿔이 피라미드에 내접한다고 합니다.
피라미드의 변심점이 서로 같으면 원뿔이 피라미드에 새겨질 수 있습니다.
꼭지점이 일치하고 원뿔의 밑면이 피라미드의 밑면 주위에 외접하는 경우 원뿔이 피라미드 주위에 외접한다고 합니다.
피라미드의 모든 측면 모서리가 서로 같으면 피라미드 주위에 원뿔을 설명할 수 있습니다.
피라미드와 원통의 관계
피라미드의 꼭대기가 원통의 한 밑면에 있고 피라미드의 밑면이 원통의 다른 밑면에 새겨져 있는 경우 피라미드를 원통에 내접했다고 합니다.
원이 피라미드의 밑면 주위에 설명될 수 있다면 원통은 피라미드 주위에 설명될 수 있습니다.
사면체에는 4개의 면과 4개의 꼭지점, 6개의 모서리가 있으며, 두 모서리는 공통 꼭지점을 가지지 않지만 서로 닿지 않습니다.
각 꼭지점은 다음을 형성하는 세 개의 면과 모서리로 구성됩니다. 삼각형 각도 .
정사면체의 꼭지점과 반대면의 중심을 연결하는 선분을 이라고 합니다. 사면체의 중앙값(GM).
바이미디어닿지 않는 반대쪽 가장자리의 중간점을 연결하는 세그먼트(KL)라고 합니다.
사면체의 모든 양중선과 중앙값은 한 점(S)에서 교차합니다. 이 경우 양중값은 반으로 나누어 위에서부터 3:1의 비율로 중앙값을 나눈다.
정의. 예각 피라미드-변심이 밑변 길이의 절반보다 긴 피라미드.
정의. 둔각 피라미드-변심이 밑변 길이의 절반 미만인 피라미드.
정의. 정사면체- 네 면이 모두 정삼각형인 사면체. 정다각형 5개 중 하나입니다. 정사면체에서는 모든 2면체 각도(면 사이)와 3면체 각도(꼭지점)가 동일합니다.
정의. 직사각형 사면체는 꼭지점의 세 모서리 사이에 직각을 이루는 사면체입니다(모서리는 수직입니다). 세 개의 얼굴이 형성됨 직사각형 삼각형 각도면은 직각 삼각형이고 밑면은 임의의 삼각형입니다. 모든 면의 변심은 변심이 있는 밑변의 절반과 같습니다.
정의. 등면체 사면체옆면이 서로 같고 밑면이 정삼각형인 정사면체라 한다. 이러한 사면체는 이등변삼각형인 면을 가지고 있습니다.
정의. 직교 사면체위에서 반대면까지 내려간 높이(수직)가 모두 한점에서 교차하는 것을 사면체라 한다.
정의. 스타 피라미드밑면이 별인 다면체라고 합니다.
밑면이 정육각형이고 옆면이 정삼각형으로 이루어진 피라미드를 피라미드라고 합니다. 육각형.
이 다면체에는 다음과 같은 많은 속성이 있습니다.
- 밑면의 모든 측면과 각도는 서로 동일합니다.
- 피라미드의 모든 모서리와 2면체 석탄도 서로 동일합니다.
- 변을 형성하는 삼각형은 각각 동일하며 면적, 변 및 높이가 동일합니다.
정육각형 피라미드의 면적을 계산하려면 육각형 피라미드의 측면 표면적에 대한 표준 공식이 사용됩니다.
여기서 P는 밑면의 둘레이고, a는 피라미드 변심의 길이입니다. 대부분의 경우 이 공식을 사용하여 측면 면적을 계산할 수 있지만 때로는 다른 방법을 사용할 수도 있습니다. 피라미드의 옆면은 등삼각형으로 이루어져 있기 때문에 삼각형 하나의 넓이를 구한 후 변의 수를 곱하면 됩니다. 육각형 피라미드에는 6개가 있습니다. 하지만 이 방법은 육각형 피라미드의 측면 표면적을 계산하는 경우에도 사용할 수 있습니다.
변심이 a = 7cm이고 밑면이 b = 3cm인 정육각형 피라미드를 생각해 보면 다면체의 측면 면적을 계산합니다.
먼저 밑면의 둘레를 구해 봅시다. 피라미드는 정육각형이므로 밑면에 정육각형이 있습니다. 이는 모든 측면이 동일하고 둘레는 다음 공식으로 계산됨을 의미합니다.
데이터를 공식으로 대체합니다.
이제 찾은 값을 기본 공식에 대입하면 측면 표면적을 쉽게 찾을 수 있습니다. 
또한 기본 영역을 검색하는 것도 중요합니다. 육각형 피라미드의 밑면적에 대한 공식은 정육각형의 특성에서 파생됩니다. 
이전 예의 조건을 기초로 육각형 피라미드의 밑면 면적을 계산하는 예를 고려해 보겠습니다. 이로부터 밑변 b = 3cm를 공식에 대입합니다. : 
육각형 피라미드의 면적에 대한 공식은 밑면 면적과 측면 스캔 면적의 합입니다. 
육각형 피라미드의 면적을 계산하는 예를 고려해 보겠습니다.
밑변이 b = 4 cm인 정육각형이 있는 피라미드가 있다고 하자. 주어진 다면체의 변심은 a = 6 cm이다.
우리는 전체 영역이 기본 스캔 영역과 측면 스캔 영역으로 구성되어 있음을 알고 있습니다. 그러니 먼저 찾아보자. 둘레를 계산해 봅시다:
이제 측면 표면적을 구해 보겠습니다. 
다음으로 정육각형이 놓인 밑면의 면적을 계산합니다. 
이제 결과를 합산할 수 있습니다.
삼각뿔는 밑면이 정삼각형인 다면체이다.
이러한 피라미드에서는 밑면의 가장자리와 측면의 가장자리가 서로 같습니다. 따라서, 옆면의 넓이는 세 개의 동일한 삼각형의 넓이의 합으로 구됩니다. 공식을 사용하여 일반 피라미드의 측면 표면적을 찾을 수 있습니다. 그리고 계산을 몇 배 더 빠르게 할 수 있습니다. 이렇게하려면 삼각형 피라미드의 측면 표면적에 대한 공식을 적용해야합니다.
여기서 p는 밑면의 둘레이고 모든 변은 b와 같습니다. a는 꼭대기에서 이 밑면까지 낮아진 변심입니다. 삼각뿔의 면적을 계산하는 예를 생각해 봅시다.
문제: 정규 피라미드를 만들어 보겠습니다. 밑변의 삼각형의 변은 b = 4 cm이고, 피라미드의 변심은 a = 7 cm입니다. 피라미드의 옆면의 면적을 구하십시오.
문제의 조건에 따라 필요한 모든 요소의 길이를 알고 있으므로 둘레를 구합니다. 정삼각형에서는 모든 변이 동일하므로 둘레는 다음 공식으로 계산됩니다.
데이터를 대체하고 값을 찾아보겠습니다.
이제 둘레를 알면 측면 표면적을 계산할 수 있습니다. 
전체 값을 계산하기 위해 삼각형 피라미드의 면적에 대한 공식을 적용하려면 다면체의 밑면의 면적을 찾아야합니다. 이렇게 하려면 다음 공식을 사용하세요. 
삼각뿔의 밑면 면적에 대한 공식은 다를 수 있습니다. 주어진 수치에 대한 모든 매개변수 계산을 사용할 수 있지만 대부분의 경우에는 이것이 필요하지 않습니다. 삼각뿔의 밑면 면적을 계산하는 예를 고려해 보겠습니다.
문제: 일반 피라미드에서 밑면에 있는 삼각형의 한 변은 a = 6cm입니다. 밑면의 면적을 계산하세요.
계산하려면 피라미드 밑면에 있는 정삼각형의 변의 길이만 있으면 됩니다. 데이터를 공식으로 대체해 보겠습니다. 
종종 다면체의 전체 면적을 찾아야 합니다. 이렇게하려면 측면과 밑면의 면적을 더해야합니다. 
삼각뿔의 면적을 계산하는 예를 생각해 봅시다.
문제: 정삼각뿔을 생각해 보자. 밑면의 변은 b = 4 cm, 변심은 a = 6 cm입니다. 피라미드의 전체 면적을 구하십시오.
먼저, 이미 알려진 공식을 이용하여 옆면의 넓이를 구해보겠습니다. 둘레를 계산해 봅시다:
데이터를 공식으로 대체합니다. 
이제 기지의 면적을 찾아 보겠습니다. 
밑면과 측면의 면적을 알면 피라미드의 전체 면적을 알 수 있습니다. 
정다각형 피라미드의 면적을 계산할 때 밑면이 정삼각형이고 이 다면체의 많은 요소가 서로 동일하다는 사실을 잊어서는 안됩니다.
수학 통합 국가 시험을 준비할 때 학생들은 대수학과 기하학에 대한 지식을 체계화해야 합니다. 예를 들어 피라미드 면적을 계산하는 방법과 같이 알려진 모든 정보를 결합하고 싶습니다. 또한 바닥과 측면 가장자리부터 시작하여 전체 표면적까지. 측면의 상황이 삼각형이기 때문에 명확하다면 밑면은 항상 다릅니다.
피라미드 바닥의 면적을 찾는 방법은 무엇입니까?
임의의 삼각형부터 n각형까지 모든 그림이 될 수 있습니다. 그리고 이 밑면은 각도의 수에 따른 차이 외에도 규칙적인 형태일 수도 있고 불규칙한 형태일 수도 있습니다. 학생들이 관심을 갖는 통합 상태 시험 과제에는 기본에 올바른 수치가 있는 과제만 있습니다. 그러므로 우리는 그들에 대해서만 이야기하겠습니다.
정삼각형
즉, 등변입니다. 모든 변이 동일하고 문자 "a"로 표시되는 것입니다. 이 경우 피라미드 밑면의 면적은 다음 공식으로 계산됩니다.
S = (a 2 * √3) / 4.
정사각형
면적을 계산하는 공식이 가장 간단합니다. 여기서 "a"는 다시 측면입니다.
임의의 정n각형
다각형의 측면에도 동일한 표기법이 있습니다. 각도 수에는 라틴 문자 n이 사용됩니다.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180°/n)).
측면 및 전체 표면적을 계산할 때 어떻게 해야 합니까?
밑면이 정삼각형이므로 피라미드의 모든 면은 동일합니다. 또한 측면 가장자리가 동일하므로 각각은 이등변 삼각형입니다. 그런 다음 피라미드의 측면 면적을 계산하려면 동일한 단항식의 합으로 구성된 공식이 필요합니다. 항의 수는 밑면의 변의 수에 따라 결정됩니다.
이등변삼각형의 면적은 밑변의 곱의 절반에 높이를 곱하는 공식으로 계산됩니다. 피라미드의 이 높이를 변심이라고 합니다. 명칭은 "A"이다. 측면 표면적에 대한 일반 공식은 다음과 같습니다.
S = ½ P*A, 여기서 P는 피라미드 밑면의 둘레입니다.
밑면의 측면을 알 수 없지만 측면 가장자리(c)와 정점의 평평한 각도(α)가 제공되는 상황이 있습니다. 그런 다음 피라미드의 측면 면적을 계산하려면 다음 공식을 사용해야 합니다.
S = n/2 * 2 sin α에서 .
과제 1번
상태.밑면의 변이 4 cm이고 변심의 값이 √3 cm인 경우 피라미드의 전체 면적을 구하십시오.
해결책.베이스의 둘레를 계산하는 것부터 시작해야 합니다. 이것은 정삼각형이므로 P = 3*4 = 12 cm입니다. 변심점이 알려져 있으므로 전체 측면 표면의 면적을 즉시 계산할 수 있습니다: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.
밑면에 있는 삼각형의 경우 다음과 같은 면적 값을 얻습니다: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.
전체 면적을 결정하려면 두 개의 결과 값인 6√3 + 4√3 = 10√3cm 2를 더해야 합니다.
답변. 10√3cm 2.
문제 2번
상태. 정사각형 피라미드가 있습니다. 베이스 측면의 길이는 7mm, 측면 가장자리는 16mm입니다. 표면적을 알아내는 것이 필요합니다.
해결책.다면체는 정사각형이고 정다면체이므로 밑면은 정사각형입니다. 밑면과 옆면의 면적을 알면 피라미드의 면적을 계산할 수 있습니다. 정사각형의 공식은 위에 나와 있습니다. 그리고 옆면의 경우 삼각형의 모든 변이 알려져 있습니다. 따라서 Heron의 공식을 사용하여 면적을 계산할 수 있습니다.
첫 번째 계산은 간단하며 다음 숫자로 이어집니다: 49 mm 2. 두 번째 값의 경우 반경을 계산해야 합니다: (7 + 16*2): 2 = 19.5mm. 이제 이등변삼각형의 면적을 계산할 수 있습니다: √(19.5*(19.5-7)*(19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 mm 2. 그러한 삼각형은 4개뿐이므로 최종 숫자를 계산할 때 4를 곱해야 합니다.
결과는 49 + 4 * 54.644 = 267.576mm 2입니다.
답변. 원하는 값은 267.576mm 2입니다.
문제 3번
상태. 정사각형 피라미드의 경우 면적을 계산해야 합니다. 정사각형의 한 변의 길이는 6cm, 높이는 4cm로 알려져 있습니다.
해결책.가장 쉬운 방법은 둘레와 변심의 곱으로 공식을 사용하는 것입니다. 첫 번째 값은 쉽게 찾을 수 있습니다. 두 번째는 조금 더 복잡합니다.
우리는 피타고라스의 정리를 기억하고 피라미드의 높이와 빗변인 변심으로 이루어진다는 점을 생각해야 할 것이다. 두 번째 다리는 다면체의 높이가 중앙에 떨어지기 때문에 정사각형 측면의 절반과 같습니다.
추구된 변심(빗변) 직각삼각형)는 √(3 2 + 4 2) = 5(cm)와 같습니다.
이제 필요한 값을 계산할 수 있습니다: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
답변. 96cm 2.
문제 4번
상태.올바른 측면이 제공됩니다. 베이스의 측면은 22mm이고 측면 가장자리는 61mm입니다. 이 다면체의 옆면적은 얼마입니까?
해결책.그 이유는 작업 번호 2에 설명된 것과 동일합니다. 밑면에 정사각형이 있는 피라미드만 주어졌는데 지금은 육각형입니다.
우선, 위의 공식을 사용하여 기본 면적을 계산합니다: (6*22 2) / (4*tg (180°/6)) = 726/(tg30°) = 726√3 cm 2.
이제 이등변삼각형의 옆면인 반둘레를 알아야 합니다. (22+61*2):2 = 72cm 남은 것은 헤론의 공식을 사용하여 각 삼각형의 면적을 계산한 다음 6을 곱하고 밑변에 대해 얻은 값에 더하는 것입니다.
헤론의 공식을 사용한 계산: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. 측면 표면적을 계산하면 660 * 6 = 3960 cm 2입니다. 전체 표면을 알아내기 위해 그것들을 더해야 합니다: 5217.47≒5217 cm 2.
답변.밑면은 726√3cm 2, 측면은 3960cm 2, 전체 면적은 5217cm 2입니다.