مساحة متوازي الأضلاع بمعلومية ارتفاعين وزاوية. كيفية إيجاد مساحة متوازي الأضلاع
منطقة متوازي الأضلاع
نظرية 1
تُعرَّف مساحة متوازي الأضلاع بأنها حاصل ضرب طول ضلعها في الارتفاع المرسوم عليه.
حيث $ a $ هو جانب متوازي الأضلاع ، و $ h $ هو الارتفاع المرسوم على هذا الجانب.
دليل - إثبات.
لنحصل على متوازي الأضلاع $ ABCD $ مع $ AD = BC = a $. لنرسم الارتفاعات $ DF $ و $ AE $ (الشكل 1).
الصورة 1.
من الواضح أن الرقم $ FDAE $ عبارة عن مستطيل.
\ [\ زاوية BAE = (90) ^ 0- \ زاوية أ ، \ \] \ [\ زاوية CDF = \ زاوية د- (90) ^ 0 = (180) ^ 0- \ زاوية أ- (90) ^ 0 = (90) ^ 0- \ زاوية أ = \ زاوية BAE \]
لذلك ، بما أن $ CD = AB ، \ DF = AE = h $ ، $ \ triangle BAE = \ triangle CDF $ ، بمقدار $ I $ اختبار مساواة المثلث. ثم
لذلك وفقًا لنظرية منطقة المستطيل:
لقد تم إثبات النظرية.
نظرية 2
يتم تعريف مساحة متوازي الأضلاع على أنها حاصل ضرب طول أضلاعه المجاورة في جيب الزاوية بين هذين الجانبين.
رياضيا ، يمكن كتابة هذا على النحو التالي
حيث $ a ، \ b $ هي ضلعي متوازي الأضلاع ، و $ \ alpha $ هي الزاوية بينهما.
دليل - إثبات.
لنحصل على متوازي الأضلاع $ ABCD $ مع $ BC = a ، \ CD = b ، \ \ angle C = \ alpha $. ارسم الارتفاع $ DF = h $ (الشكل 2).
الشكل 2.
من خلال تعريف الجيب ، نحصل عليه
بالتالي
ومن ثم ، من خلال Theorem $ 1 $:
لقد تم إثبات النظرية.
مساحة المثلث
نظرية 3
تُعرَّف مساحة المثلث بأنها نصف حاصل ضرب طول ضلعه والارتفاع المرسوم عليه.
رياضيا ، يمكن كتابة هذا على النحو التالي
حيث $ a $ هو ضلع المثلث ، و $ h $ هو الارتفاع المرسوم على هذا الجانب.
دليل - إثبات.
الشكل 3
لذلك من خلال Theorem $ 1 $:
لقد تم إثبات النظرية.
نظرية 4
تُعرّف مساحة المثلث على أنها نصف حاصل ضرب طول أضلاعه المجاورة في جيب الزاوية بين هذين الجانبين.
رياضيا ، يمكن كتابة هذا على النحو التالي
حيث $ a ، \ b $ هي أضلاع المثلث ، و $ \ alpha $ هي الزاوية بينهما.
دليل - إثبات.
لنحصل على مثلث $ ABC $ مع $ AB = a $. ارسم الارتفاع $ CH = h $. لنقم ببنائه حتى متوازي الأضلاع $ ABCD $ (الشكل 3).
من الواضح أن $ \ triangle ACB = \ triangle CDB $ by $ I $. ثم
لذلك من خلال Theorem $ 1 $:
لقد تم إثبات النظرية.
منطقة شبه منحرف
نظرية 5
تُعرَّف مساحة شبه المنحرف على أنها نصف حاصل ضرب مجموع أطوال قواعده مضروبًا في ارتفاعه.
رياضيا ، يمكن كتابة هذا على النحو التالي
دليل - إثبات.
لنحصل على شبه منحرف $ ABCK $ ، حيث $ AK = a ، \ BC = b $. لنرسم ارتفاعات $ BM = h $ و $ KP = h $ ، وكذلك القطر $ BK $ (الشكل 4).
الشكل 4
بواسطة Theorem $ 3 دولار ، نحصل عليه
لقد تم إثبات النظرية.
مثال المهمة
مثال 1
أوجد مساحة مثلث متساوي الأضلاع إذا كان طول ضلعه $ a. $
المحلول.
بما أن المثلث متساوي الأضلاع ، فإن كل زواياه تساوي $ (60) ^ 0 $.
ثم ، من خلال نظرية $ 4 ، لدينا
إجابه:$ \ frac (a ^ 2 \ sqrt (3)) (4) $.
لاحظ أنه يمكن استخدام نتيجة هذه المسألة لإيجاد مساحة أي مثلث متساوي الأضلاع مع ضلع معين.
صيغة لمساحة متوازي الأضلاع
مساحة متوازي الأضلاع تساوي حاصل ضرب جانبه والارتفاع المنخفض لهذا الجانب.
دليل - إثبات
إذا كان متوازي الأضلاع مستطيلًا ، فإن المساواة تتحقق من خلال نظرية منطقة المستطيل. علاوة على ذلك ، نفترض أن زوايا متوازي الأضلاع ليست صحيحة.
لنفترض أن $ \ angle BAD $ زاوية حادة في متوازي الأضلاع $ ABCD $ و $ AD> AB $. خلاف ذلك ، سنعيد تسمية الرؤوس. ثم الارتفاع $ BH $ من الرأس $ B $ إلى السطر $ AD $ يقع على الجانب $ AD $ ، لأن الضلع $ AH $ أقصر من الوتر $ AB $ و $ AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.
لنقارن مساحة متوازي الأضلاع $ ABCD $ ومساحة المستطيل $ HBCK $. تكون مساحة متوازي الأضلاع أكبر بالمساحة $ \ مثلث ABH $ ، لكن أقل بالمساحة $ \ مثلث DCK $. نظرًا لأن هذه المثلثات متطابقة ، فإن مناطقها متطابقة أيضًا. هذا يعني أن مساحة متوازي الأضلاع تساوي مساحة المستطيل بطول ضلعه وارتفاعه.
صيغة مساحة متوازي الأضلاع من حيث الأضلاع والجيب
مساحة متوازي الأضلاع تساوي حاصل ضرب الأضلاع المتجاورة وجيب الزاوية بينهما.
دليل - إثبات
ارتفاع متوازي الأضلاع $ ABCD $ المخفض للضلع $ AB $ يساوي حاصل ضرب القطعة $ BC $ وجيب الزاوية $ \ الزاوية ABC $. يبقى لتطبيق التأكيد السابق.
صيغة مساحة متوازي الأضلاع بدلالة الأقطار
مساحة متوازي الأضلاع تساوي نصف حاصل ضرب الأقطار وجيب الزاوية بينهما.
دليل - إثبات
دع أقطار متوازي الأضلاع $ ABCD $ تتقاطع عند النقطة $ O $ بزاوية $ \ alpha $. ثم $ AO = OC $ و $ BO = OD $ بواسطة خاصية متوازي الأضلاع. إن جيوب الزوايا التي يصل مجموعها إلى 180 دولارًا ^ \ circ $ هي $ \ angle AOB = \ angle COD = 180 ^ \ circ - \ angle BOC = 180 ^ \ circ - \ angle AOD $. ومن ثم ، فإن جيوب الزوايا عند تقاطع الأقطار تساوي $ \ sin \ alpha $.
$ S_ (ABCD) = S _ (\ triangle AOB) + S _ (\ triangle BOC) + S _ (\ triangle COD) + S _ (\ triangle AOD) $
وفقًا لبديهية قياس المساحة. طبق صيغة مساحة المثلث $ S_ (ABC) = \ dfrac (1) (2) \ cdot AB \ cdot BC \ sin \ angle ABC $ لهذه المثلثات والزوايا عند تقاطع الأقطار. أضلاع كل منهما تساوي نصف الأقطار ، كما أن الجيبين متساويان. لذلك ، فإن مناطق المثلثات الأربعة هي $ S = \ dfrac (1) (2) \ cdot \ dfrac (AC) (2) \ cdot \ dfrac (BD) (2) \ cdot \ sin \ alpha = \ dfrac ( AC \ cdot BD) (8) \ sin \ alpha $. تلخيصًا لكل ما سبق ، حصلنا عليه
$ S_ (ABCD) = 4S = 4 \ cdot \ dfrac (AC \ cdot BD) (8) \ sin \ alpha = \ dfrac (AC \ cdot BD \ cdot \ sin \ alpha) (2) $
عند حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع ، بالإضافة إلى الخصائص الأساسية متوازي الاضلاعوالصيغ المقابلة ، يمكنك تذكر وتطبيق ما يلي:
- منصف الزاوية الداخلية لمتوازي أضلاع يقطع منه مثلث متساوي الساقين
- منصفات الزوايا الداخلية المتاخمة لأحد جانبي متوازي الأضلاع متعامدة بشكل متبادل
- تأتي المنصفات من زوايا داخلية متقابلة في متوازي الأضلاع ، موازية لبعضها البعض أو تقع على خط مستقيم واحد
- مجموع مربعات الأقطار في متوازي الأضلاع يساوي مجموع مربعات أضلاعه
- مساحة متوازي الأضلاع هي نصف حاصل ضرب الأقطار في جيب الزاوية بينهما.
دعنا نفكر في المهام في الحل التي تُستخدم فيها هذه الخصائص.
مهمة 1.
منصف الزاوية C من متوازي الأضلاع ABCD يتقاطع مع الجانب AD عند النقطة M وامتداد الجانب AB بعد النقطة A عند النقطة E. أوجد محيط متوازي الأضلاع إذا كان AE = 4، DM \ u003d 3.
المحلول.
1. مثلث CMD متساوي الساقين. (خاصية 1). لذلك ، CD = MD = 3 سم.
2. مثلث EAM متساوي الساقين.
لذلك ، AE = AM = 4 سم.
3. AD = AM + MD = 7 سم.
4. محيط ABCD = 20 سم.
إجابه. 20 سم
المهمة 2.
يتم رسم الأقطار في شكل رباعي محدب ABCD. من المعروف أن مساحات المثلثات ABD و ACD و BCD متساوية. إثبات أن الشكل الرباعي المعطى متوازي أضلاع.
المحلول.
1. لنفترض أن يكون ارتفاع المثلث ABD و CF هو ارتفاع المثلث ACD. بما أن مناطق المثلثات متساوية وفقًا لظروف المشكلة ولديها قاعدة مشتركة AD ، فإن ارتفاعات هذه المثلثات متساوية. BE = CF.
2. تكون BE ، CF متعامدة مع AD. تقع النقطتان B و C على نفس الجانب من الخط AD. BE = CF. لذلك ، الخط BC || ميلادي. (*)
3. دع AL يكون ارتفاع المثلث ACD ، BK ارتفاع المثلث BCD. نظرًا لأنه وفقًا لظروف المشكلة ، فإن مساحات المثلثات متساوية ولديها قرص مضغوط مشترك أساسي ، فإن ارتفاعات هذه المثلثات متساوية. AL = BK.
4. AL و BK عموديان على القرص المضغوط. النقطتان B و A تقعان على نفس الجانب من القرص المضغوط للخط المستقيم. AL = BK. لذلك ، الخط AB || قرص مضغوط (**)
5. تشير الشروط (*) ، (**) إلى أن ABCD هو متوازي أضلاع.
إجابه. مثبت. ABCD متوازي أضلاع.
المهمة 3.
على الجانبين BC و CD من متوازي الأضلاع ABCD ، يتم تمييز النقطتين M و H ، على التوالي ، بحيث يتقاطع المقطعان BM و HD عند النقطة O ؛<ВМD = 95 о,
المحلول.
1. في المثلث DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. في المثلث الأيمن DHC ثم<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 لكن CD = AB. ثم AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = الجواب: AB: HD = 2: 1 ،<А = <С = 30 о, <В = المهمة 4. أحد قطري متوازي أضلاع طوله 4√6 يصنع زاوية 60 درجة مع القاعدة ، والقطري الثاني يصنع زاوية 45 درجة مع نفس القاعدة. أوجد القطر الثاني. المحلول.
1. AO = 2√6. 2. طبق نظرية الجيب على المثلث AOD. AO / sin D = OD / sin A. 2√6 / sin 45 o = OD / sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3 / 2) / (√2 / 2) = 2√18 / √2 = 6. الجواب: 12.
المهمة 5. بالنسبة إلى متوازي أضلاع ضلعين 5√2 و 7√2 ، فإن الزاوية الأصغر بين القطرين تساوي الزاوية الأصغر في متوازي الأضلاع. أوجد مجموع أطوال الأقطار. المحلول.
لنفترض أن د 1 ، د 2 هما قطري متوازي الأضلاع ، والزاوية بين الأقطار والزاوية الأصغر في متوازي الأضلاع هي φ. 1. دعونا نعد اثنين مختلفين S ABCD \ u003d AB AD sin A \ u003d 5√2 7√2 sin f ، S ABCD \ u003d 1/2 AC BD sin AOB \ u003d 1/2 d 1 d 2 sin f. نحصل على المساواة 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f أو 2 5√2 7√2 = د 1 د 2 ؛ 2. باستخدام النسبة بين الأضلاع والأقطار في متوازي الأضلاع ، نكتب المساواة (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = د 1 2 + د 2 2. د 1 2 + د 2 2 = 296. 3. لنصنع نظامًا: (د 1 2 + د 2 2 = 296 ، اضرب المعادلة الثانية للنظام في 2 وأضفها إلى الأولى. نحصل على (د 1 + د 2) 2 = 576. ومن هنا معرف 1 + د 2 أنا = 24. بما أن d 1 ، d 2 هي أطوال قطري متوازي الأضلاع ، إذن d 1 + d 2 = 24. الجواب: 24.
المهمة 6. أضلاع متوازي الأضلاع هما 4 و 6. الزاوية الحادة بين القطرين 45 o. أوجد مساحة متوازي الأضلاع. المحلول.
1. من المثلث AOB ، باستخدام نظرية جيب التمام ، نكتب العلاقة بين ضلع متوازي الأضلاع والأقطار. AB 2 \ u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 \ u003d (د 1/2) 2 + (د 2/2) 2-2 (د 1/2) (د 2/2) cos 45 o ؛ د 1 2/4 + د 2 2/4 - 2 (د 1/2) (د 2/2) √2 / 2 = 16. د 1 2 + د 2 2 - د 1 د 2 √2 = 64. 2. وبالمثل ، نكتب علاقة المثلث AOD. نحن نأخذ ذلك في الاعتبار<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. نحصل على المعادلة د 1 2 + د 2 2 + د 1 د 2 √2 = 144. 3. لدينا نظام بطرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية ، نحصل على 2d 1 d 2 √2 = 80 أو د 1 د 2 = 80 / (2√2) = 20√2 4. S ABCD \ u003d 1/2 AC BD sin AOB \ u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \ u003d 1/2 20√2 √2 / 2 \ u003d 10. ملحوظة:في هذه المسألة وفي المسألة السابقة ، ليست هناك حاجة لحل النظام بالكامل ، مع توقع أننا في هذه المسألة نحتاج إلى حاصل ضرب الأقطار لحساب المساحة. الجواب: 10. المهمة 7. مساحة متوازي الأضلاع 96 وضلعه 8 و 15. أوجد مربع القطر الأصغر. المحلول.
1. S ABCD \ u003d AB AD sin VAD. لنقم بالتعويض في الصيغة. نحصل على 96 = 8 15 sin VAD. ومن ثم الخطيئة VAD = 4/5. 2. أوجد cos BAD. الخطيئة 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25. وفقًا لحالة المسألة ، نحسب طول القطر الأصغر. سيكون القطر BD أصغر إذا كانت الزاوية BAD حادة. ثم cos BAD = 3/5. 3. من المثلث ABD ، باستخدام نظرية جيب التمام ، نجد مربع القطر BD. 2 دينار بحريني \ u003d AB 2 + AD 2-2 AB BD cos BAD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3/5 = 145. الجواب: 145.
هل لديك اسئلة؟ لا أعرف كيف تحل مشكلة الهندسة؟ الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر. ما هو متوازي الاضلاع؟ متوازي الأضلاع هو شكل رباعي الأضلاع المتقابلة متوازية. 1. يتم حساب مساحة متوازي الأضلاع بالصيغة: \ [\ LARGE S = a \ cdot h_ (a) \] أين: 2. إذا كان طول ضلعين متجاورين من متوازي الأضلاع والزاوية بينهما معروفين ، فإن مساحة متوازي الأضلاع تُحسب بالصيغة التالية: \ [\ LARGE S = a \ cdot b \ cdot sin (\ alpha) \] 3. إذا تم إعطاء أقطار متوازي الأضلاع وكانت الزاوية بينهما معروفة ، فإن مساحة متوازي الأضلاع تُحسب بالصيغة التالية: \ [\ LARGE S = \ frac (1) (2) \ cdot d_ (1) \ cdot d_ (2) \ cdot sin (\ alpha) \] في متوازي الأضلاع ، الأضلاع المتقابلة متساوية: \ (AB = CD \) ، \ (BC = AD \) في متوازي الأضلاع ، الزوايا المقابلة هي: \ (\ الزاوية أ = \ الزاوية ج \) ، \ (\ الزاوية ب = \ الزاوية د \) يتم تقسيم أقطار متوازي الأضلاع عند نقطة التقاطع \ (AO = OC \) ، \ (BO = OD \) قطري متوازي الأضلاع يقسمه إلى مثلثين متساويين. مجموع زوايا متوازي الأضلاع المجاورة لأحد أضلاعه يساوي 180 درجة: \ (\ الزاوية أ + \ الزاوية ب = 180 ^ (س) \) ، \ (\ الزاوية ب + \ الزاوية ج = 180 ^ (س) \) \ (\ زاوية ج + \ زاوية د = 180 ^ (س) \) ، (\ زاوية د + \ زاوية أ = 180 ^ (س) \) ترتبط أقطار وجوانب متوازي الأضلاع بالعلاقة التالية: \ (d_ (1) ^ (2) + d_ (2) ^ 2 = 2a ^ (2) + 2b ^ (2) \) في متوازي الأضلاع ، الزاوية بين الارتفاعات تساوي زاويتها الحادة: \ (\ زاوية ك ب ح = \ زاوية أ \). منصفات الزوايا المتاخمة لجانب واحد من متوازي الأضلاع متعامدة بشكل متبادل. منصف زاويتين متقابلتين في متوازي أضلاع متوازيان. الرباعي هو متوازي أضلاع إذا: \ (AB = CD \) و \ (AB || CD \) \ (AB = CD \) و \ (BC = AD \) \ (AO = OC \) و \ (BO = OD \) \ (\ الزاوية أ = \ الزاوية ج \) و \ (\ الزاوية ب = \ الزاوية د \) قبل أن نتعلم كيفية إيجاد مساحة متوازي الأضلاع ، علينا أن نتذكر ما هو متوازي الأضلاع وما يسمى ارتفاعه. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي الأضلاع المتقابلة متوازية (تقع على خطوط متوازية). يُطلق على العمود العمودي المرسوم من نقطة عشوائية على الجانب المقابل للخط الذي يحتوي على هذا الجانب ارتفاع متوازي الأضلاع. المربع والمستطيل والمعين هي حالات خاصة لمتوازي الأضلاع. يشار إلى مساحة متوازي الأضلاع (S). S = a * h ، حيث a هي القاعدة ، h هو الارتفاع المرسوم للقاعدة. S = a * b * sinα ، حيث a و b هما القاعدتان ، و α هي الزاوية بين القاعدتين a و b. S \ u003d p * r ، حيث p هو نصف المحيط ، r هو نصف قطر الدائرة المدرجة في متوازي الأضلاع. مساحة متوازي الأضلاع المكونة من المتجهين أ و ب تساوي معامل حاصل ضرب المتجهات المعينة ، وهي: تأمل في المثال رقم 1: يوجد متوازي أضلاع طول ضلعه 7 سم وارتفاعه 3 سم ، وكيفية إيجاد مساحة متوازي الأضلاع نحتاج إلى صيغة لحلها. إذن S = 7x3. S = 21. الجواب: 21 سم 2. تأمل المثال رقم 2: القاعدتان 6 و 7 سم ، والزاوية بين القاعدتين 60 درجة. كيف تجد مساحة متوازي الأضلاع؟ الصيغة المستخدمة لحل: وهكذا ، نجد أولًا جيب الزاوية. جيب 60 \ u003d 0.5 ، على التوالي S \ u003d 6 * 7 * 0.5 \ u003d 21 الإجابة: 21 سم 2. آمل أن تساعدك هذه الأمثلة في حل المشكلات. وتذكر أن الشيء الرئيسي هو معرفة الصيغ والانتباه
(
(بما أن الضلع الذي يقع في المثلث القائم الزاوية يساوي نصف طول الوتر).
طرق منطقتها.
(د 1 + د 2 = 140.
(د 1 2 + د 2 2 - د 1 د 2 2 = 64 ،
(د 1 2 + د 2 2 + د 1 د 2 2 = 144.
للحصول على مساعدة مدرس - سجل.
الدرس الأول مجاني!
أ هو جانب متوازي الأضلاع ،
h a هو الارتفاع المرسوم على هذا الجانب.خصائص متوازي الأضلاع
ميزات متوازي الأضلاع
يجب تمكين عناصر تحكم ActiveX لإجراء العمليات الحسابية!
صيغ لإيجاد مساحة متوازي الأضلاع