عمودية الخطوط في الفضاء. دليل مرئي (2019)

درس الفيديو 2: نظرية على ثلاثة متعامدات. نظرية

درس الفيديو 3: نظرية على ثلاثة متعامدات. مهمة

محاضرة: عمودية الخط المستقيم والمستوى ، العلامات والخصائص ؛ عمودي ومائل. نظرية ثلاثة عمودي

عمودية الخط والمستوى

لنتذكر عمودي الخطوط المستقيمة بشكل عام. الخطوط العمودية هي تلك التي تتقاطع بزاوية 90 درجة. في هذه الحالة ، يمكن أن تكون الزاوية بينهما ، سواء في حالة التقاطع عند نقطة معينة ، أو في حالة العبور. إذا تقاطعت بعض الخطوط بزاوية قائمة ، فيمكن أيضًا تسميتها بالخطوط العمودية إذا تم نقل الخط إلى نقطة في السطر الثاني بسبب الترجمة المتوازية.

تعريف:إذا كان الخط متعامدًا على أي خط ينتمي إلى مستوى ، فيمكن اعتباره متعامدًا مع هذا المستوى.

ميزة:إذا كان هناك خطان متعامدان على مستوى ما وكان هناك خط ثالث متعامد على كل منهما ، فإن هذا الخط الثالث يكون عموديًا على المستوى.

الخصائص:

إذا كانت بعض الخطوط متعامدة على مستوى واحد ، فإنها تكون متوازية مع بعضها البعض.

إذا كان هناك مستويان متوازيان ، بالإضافة إلى خط مستقيم عمودي على أحد المستويين ، فهو أيضًا متعامد مع الثاني.
يمكن أيضًا إجراء العبارة العكسية: إذا كان خط معين عموديًا على مستويين مختلفين ، فإن هذه المستويات تكون بالضرورة متوازية.

منحرف - مائل

إذا كان هناك خط يربط نقطة عشوائية لا تقع على المستوى مع أي نقطة على المستوى ، فسيتم استدعاء هذا الخط منحرف - مائل.

يرجى ملاحظة أنه يميل فقط إذا كانت الزاوية بينه وبين المستوى ليست 90 درجة.

في الشكل ، AB هو α يميل إلى المستوى. في هذه الحالة ، تسمى النقطة B قاعدة المنحدر.

إذا قمت برسم جزء من النقطة A إلى المستوى ، مما يجعل زاوية قياسها 90 درجة مع المستوى ، فإن هذا الجزء سيطلق عليه اسم عمودي. عمودي يسمى أيضا أصغر مسافة للمستوى.

AC عمودي مرسوم من النقطة A إلى المستوى α. النقطة C تسمى قاعدة العمود العمودي.

إذا قمنا ، في هذا الرسم ، برسم مقطع يربط قاعدة العمود العمودي (C) بقاعدة المنحدر (B) ، فسيتم استدعاء المقطع الناتج تنبؤ.

نتيجة التركيبات البسيطة ، حصلنا على مثلث قائم الزاوية. في هذا المثلث ، تسمى الزاوية ABC الزاوية بين المائل والإسقاط.

ثلاثة نظرية عمودية

الدرس 3.2.1

عمودية الخطوط.

عمودي ومائل.

نظرية على ثلاثة متعامدات.

تعريف:يُطلق على خطين في الفضاء اسم عمودي (عمودي بشكل متبادل) إذا كانت الزاوية بينهما 90 درجة.

تعيين. .

ضع في اعتبارك الخطوط أو ب.

يمكن أن تتقاطع الخطوط ، وتتقاطع ، وتكون متوازية. من أجل بناء زاوية بينهما ، تحتاج إلى اختيار نقطة ورسم خط من خلالها موازٍ للخط أ،والخط ب` موازٍ للخط ب.

يتقاطع الخطان a` و b`. الزاوية بينهما هي الزاوية بين الخطوط أو ب.إذا كانت الزاوية 90 درجة ، فإن الخطوط أ و بعمودي.

Lemma: إذا كان أحد الخطين متعامدًا مع الخط الثالث ، فسيكون الخط الآخر أيضًا متعامدًا مع هذا الخط.

دليل - إثبات:

خذ نقطة اعتباطية م. من خلال النقطة مارسم خطًا موازيًا للخط أوالخط ج` موازٍ للخط ج. ثم الزاوية AMCيساوي 90 درجة.

مستقيم ببالتوازي مع خط مستقيم أمن خلال الافتراض ، يكون الخط a` موازيًا للخط أعن طريق البناء. ومن ثم ، فإن الأسطر a` و بمتوازية.

لدينا ، مباشرة و بمتوازي ، مستقيم معومتوازي في البناء. إذن الزاوية بين السطور بو مع -هي الزاوية بين الخطين a` و b` ، أي الزاوية AMCيساوي 90 درجة. مستقيم جدا بو معهي عمودية ، والتي كان من المقرر إثباتها.

عمودية الخط والمستوى.

التعريف: يُقال إن الخط متعامد على مستوى إذا كان متعامدًا مع أي خط في ذلك المستوى.

ملكية: إذا كان الخط متعامدًا على مستوى ، فإنه يتقاطع مع ذلك المستوى.

(اذا كان أ┴α ، إذن أ∩ α.)

تذكير. الخط والمستوى إما يتقاطعان عند نقطة واحدة ، أو متوازيان ، أو أن الخط يقع في مستوى.

خصائص الخطوط والطائرات العمودية:

النظرية:إذا كان أحد الخطين المتوازيين متعامدًا على مستوى ، فإن الخط الآخر يكون أيضًا متعامدًا مع هذا المستوى.

في الدرس الأول ، درسنا Lemma - إذا تقاطع أحد الخطوط المتوازية مع المستوى ، فإن الخط الموازي الآخر يتقاطع مع المستوى. مستقيم أيتقاطع بزاوية 90 0 ، أي عمودي ، ثم الخط الموازي الآخر متعامد

النظرية:إذا كان الخطان متعامدين على مستوى ، فهذا يعني أنهما متوازيان.

علامة على عمودي الخط المستقيم والمستوى

النظرية:إذا كان الخط متعامدًا مع خطين متقاطعين في مستوى ما ، فإنه يكون عموديًا على المستوى

النظرية:من خلال أي نقطة في الفضاء ، يمر خط مستقيم عمودي على المستوى المحدد ، وعلاوة على ذلك ، يمر خط واحد فقط.

المخروط المقطوع وخصائصه. منطقة المخروط الكامل والجانبي المقطوع.

رقم التذكرة 21.

نظرية على مقاطع من الخطوط المتوازية المحاطة بين المستويات المتوازية.

هرم. المساحة الكلية والجانبية للهرم. حجم الهرم.

رقم التذكرة 22.

نظريات حول خط تقاطع المستويات: أحدهما يمر عبر خط مستقيم موازٍ للمستوى الآخر ؛ كل منها يمر عبر واحد من خطين متوازيين.

علامة على محدب متعدد السطوح. مفهوم تطور متعدد الوجوه.

النظرية هي علامة على محدب متعدد السطوح (نظرية معكوس). إذا كان متعدد الوجوه يقع على جانب واحد من كل وجه من وجوهه ، فهو محدب.

إثبات (بالتناقض):

1) دع متعدد السطوح M يقع على جانب واحد من مستوى كل وجه من وجوهه. افترض أن متعدد السطوح ليس محدبًا. ثم هناك نقطتان A و B بحيث توجد نقطة X على المقطع AB لا تنتمي إلى M. α هي مستوى يحتوي على وجه متعدد الوجوه محدب. افترض أن متعدد السطوح لا يقع على جانب واحد من المستوى α. ثم هناك نقطتان من هذا القبيل A و B ، والتي تقع على جانبي المستوي α. نقوم بتوصيل النقطتين A و B بجميع نقاط الوجه Q الموجودة في المستوى α. يتم الحصول على متعدد الوجوه M 1 ، ويتكون من هرمين برؤوس A و B وقاعدة مشتركة Q. وتتكون هذه الأهرامات من مقطعين AX و BX ، حيث X هي أي نقطة من الوجه Q.

2) نظرًا لأن متعدد السطوح M الأصلي محدب ، فإن نقاط المقاطع AX و BX ، أي أن جميع نقاط متعدد السطوح M 1 هي نقاط داخلية لمتعدد الوجوه M. وإلا ، فإن متعدد السطوح M 1 موجود بالكامل داخل متعدد السطوح م. هذا يعني أن النقاط الداخلية للمضلع Q تقع داخل متعدد السطوح M 1 ومتعدد السطوح M. وهذا مستحيل ، لأن المضلع Q هو وجه لمتعدد السطوح المحدب M ، وكل نقطة من هذا الوجه هي نقطة حدية. من متعدد الوجوه. تناقض. الافتراض غير صحيح. لذلك ، لا تقع النقطتان A و B على جانبي الوجه المحدد. متعدد الوجوه محدب بحكم التعريف.

سطح متعدد السطوحهو شكل يتكون من عدد محدود من المضلعات ، والتي يتم تطبيقها على بعضها البعض من خلال جوانب متساوية ، وكل جانب من هذه المضلعات مشترك بين اثنين فقط منها. هذا الرقم يسمى سطح متعدد السطوح مغلق.

إذا تم قطع نموذج متعدد الوجوه على طول بعض الحواف وتم نشره على مستوى ، فسيتم الحصول على مضلع يسمى تطوير هذا متعدد السطوح.

تسمى المضلعات التي يتكون منها تطور متعدد السطوح وجوه الاجتياح، جوانب هذه المضلعات ضلوع، رؤوس المضلعات - قم بمسح القمم، والجوانب الملصقة من المضلعات تعتبر حافة واحدة ، والرؤوس الملصقة - كرأس واحد.

من أجل لصق متعدد السطوح المحدب من هذا التطور ، يجب استيفاء الشروط التالية:

1) شرط الإغلاق: يجب لصق كل جانب من كل مضلع في التطوير على جانب واحد إضافي من مضلع واحد وآخر فقط (يسمى مجاورًا للمضلع المحدد).

2) حالة أويلر: إذا كان التطور يتكون من وجوه G ورؤوس B وحواف R ، فإن نظرية ديكارت أويلر تتحقق.

3) حالة التحدب: يجب أن يكون مجموع الزوايا الداخلية للمضلعات (الوجوه) عند كل رأس من رؤوس المسح أقل من 360 درجة.

رقم التذكرة 23.

نظرية الخط المستقيم الموازي لكل مستويين متقاطعين.

الموازي: خصائصه وأنواعه. حجم خط الموازي.

رقم التذكرة 24.

نظريات الخطوط المتعامدة على المستوى.

هندسة
خطط الدروس للصف العاشر

عنوان. خصائص الخط والمستوى متعامدين مع بعضهما البعض

الغرض من الدرس: تكوين معرفة الطلاب بخصائص الخطوط والمستويات المتعامدة.

المعدات: مجموعة قياس الفراغ ، رسم بياني "خصائص خط مستقيم ومستوى متعامد مع بعضهما البعض" (ص 116).

خلال الفصول

أولا التحقق من الواجبات المنزلية

1. مناقشة جماعية لحل المشكلة رقم 10.

2. الإملاء الرياضي.

يتم إعطاء صورة للمكعب: الخيار 1 - شكل. 151 ، الخيار 2 - شكل. 152.

باستخدام الصورة ، اكتب:

1) مستوى يمر عبر النقطة M للخط المستقيم AM ويكون متعامدًا عليه ؛ (نقطتان)

2) خط مستقيم عمودي على المستوى ABC ويمر بالنقطة D ؛ (نقطتان)

3) خط مستقيم عمودي على المستوى ABC ويمر بالنقطة N ؛ (نقطتان)

4) مستوى عمودي على الخط BD ؛ (نقطتان)

5) خطوط مستقيمة عمودية على مستوى AMC ؛ (نقطتان)

6) الطائرات المتعامدة على الخط DC. (نقطتان)

الخيار 1. 1) (MNK) ؛ 2) دينار كويتي ؛ 3) BN ؛ 4) (ASM) ؛ 5) BD و KN ؛ 6) (ADK) و (BCL).

الخيار 2. 1) (MNK) ؛ 2) دل ؛ 3) CN ؛ 4) (ASM) ؛ 5) BD i KL ؛ 6) (BCN) و (ADM).

II. الإدراك والوعي بالمواد الجديدة

خصائص الخط والمستوى متعامدين مع بعضهما البعض

نظرية 1.

إذا كان المستوى متعامدًا على أحد الخطين المتوازيين ، فإنه يكون أيضًا عموديًا على الآخر.

جلب

دع a1 || a2 و a1α. دعونا نثبت أن αa2 (الشكل 153). النقطتان A1 و A2 هما نقطتا تقاطع a1 و a2 مع المستوى α.

ارسم خطًا عشوائيًا x2 عبر النقطة A2 في المستوى α ، وارسم خطًا x1 عبر النقطة A1 بحيث تكون x1 || x2. منذ a1 || a2، x1 || x2 و a1x1 ، ثم بواسطة النظرية 3.1 a2x2. نظرًا لأن x2 يتم اختياره بشكل تعسفي في المستوى α ، ثم a2α.

نظرية 2.

إذا كان الخطان متعامدين على نفس المستوى ، فإن الخطين يكونان متوازيين.

جلب

دع aα ، bα. دعونا نثبت أن || ب (الشكل 154). لنفترض أن أب. ثم عبر النقطة C على الخط b ، نرسم b 1 بالتوازي مع a. ومنذ ذلك الحين α ، ثم b1α بالنظرية المثبتة ، وبالشرط bα. إذا كانت النقطتان A و B هما نقطتا تقاطع الخطين b 1 و b مع المستوى α ، فإنه يتبع من الافتراض أنه في المثلث A \ u003d B \ u003d 90 ° ، والذي لا يمكن أن يكون. لذلك ، و || ب.

حل المشاكل

1. حدد نوع الرباعي AA 1B 1B إذا:

أ) AA1α ؛ AA1 || BB1 ؛ Aα ، Bα ؛ AA 1 ≠ BB1 (الشكل 155) ؛

ب) AA1α ؛ BB1α ؛ α ، Вα (الشكل 156) ؛

ج) α ؛ α ؛ AA1α ؛ BB1α ؛ AA1 = BB1 (الشكل 156).

2. المهمة رقم 12 من الكتاب المدرسي (ص 35).

3. المهمة رقم 13 من الكتاب المدرسي (ص 35).

4. المهمة رقم 16 من الكتاب المدرسي (ص 35).

نظرية 3.

إذا كان الخط متعامدًا على أحد المستويين المتوازيين ، فإنه يكون أيضًا عموديًا على الآخر.

جلب

دع α || β ، aα. دعونا نثبت أن α β. (الشكل 157). دع النقطتين A و B هما نقطتا تقاطع الخط a مع المستويين α و. في المستوى β نرسم خطًا عشوائيًا ب يمر بالنقطة ب. من خلال الخط b والنقطة A ، نرسم المستوى γ ، الذي يتقاطع مع α على طول الخط c ، ومع || ب. ومنذ ذلك الحين α ، ثم ac (بالتعريف ، خط مستقيم عمودي على المستوى). اذن ايه ب || c و a و b و c تكمن في γ ثم ab. بالنظر إلى أن b خط مستقيم اعتباطي للمستوى β ، لدينا aβ.

نظرية 4.

إذا كان مستويان متعامدين على نفس الخط ، فهذا يعني أنهما متوازيان.

جلب

لنفترض أن α a β a ، نثبت أن α || ^ (الشكل 158). دع النقطتين A و B هما نقطتا تقاطع الخط a مع المستويين α و. افترض أن α β. خذ النقطة C على خط تقاطع المستويين α و. Ca ، لأن مستويين مختلفين α و سيمران بالنقطة C ، متعامدة على الخط a ، وهو أمر مستحيل. دعونا نرسم المستوى γ عبر النقطة C والخط أ ؛ يتقاطع هذا المستوى مع α و على طول الخطين AC و BC على التوالي. ومنذ ذلك الحين α ، ثم aAC ، بشكل مشابه لـ aBC. وبالتالي ، يمر خطان متميزان AC و BC عبر النقطة C في المستوى α وعموديان على الخط a ، وهو أمر مستحيل. لذلك ، α || β.