वीडियो पाठ 2: तीन लंबवत पर प्रमेय। लिखित

वीडियो पाठ 3: तीन लंबवत पर प्रमेय। एक कार्य

भाषण: एक सीधी रेखा और एक तल की लंबवतता, चिह्न और गुण; लंबवत और तिरछा; तीन लंबवत प्रमेय

आइए याद रखें कि सामान्य रूप से सीधी रेखाओं की लंबवतता क्या होती है। लंबवत रेखाएं वे हैं जो 90 डिग्री के कोण पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस मामले में, उनके बीच का कोण एक निश्चित बिंदु पर चौराहे के मामले में और क्रॉसिंग के मामले में दोनों हो सकता है। यदि कुछ रेखाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो उन्हें लंबवत रेखाएँ भी कहा जा सकता है, यदि समानांतर अनुवाद के कारण, रेखा दूसरी रेखा पर एक बिंदु पर स्थानांतरित हो जाती है।

परिभाषा:यदि कोई रेखा किसी समतल से संबंधित किसी रेखा के लंबवत है, तो इसे इस तल पर लंबवत माना जा सकता है।

विशेषता:यदि किसी तल पर दो लंबवत रेखाएं हों और उनमें से प्रत्येक के लिए कोई तीसरी रेखा लंबवत हो, तो यह तीसरी रेखा विमान के लंबवत होती है।

गुण:

• यदि कुछ रेखाएँ एक तल पर लंबवत हों, तो वे परस्पर एक दूसरे के समानांतर होती हैं।

• यदि दो समांतर तल हैं, साथ ही कुछ सीधी रेखा जो एक तल के लंबवत है, तो यह दूसरे तल पर भी लंबवत है।
• विलोम कथन भी किया जा सकता है: यदि एक निश्चित रेखा दो अलग-अलग विमानों के लंबवत है, तो ऐसे विमान आवश्यक रूप से समानांतर हैं।

परोक्ष

यदि कोई रेखा किसी ऐसे स्वेच्छ बिन्दु को जो तल पर स्थित नहीं है, को तल के किसी बिन्दु से जोड़ती है, तो ऐसी रेखा कहलाती है। परोक्ष.

कृपया ध्यान दें कि यह केवल तभी झुकता है जब इसके और विमान के बीच का कोण 90 डिग्री न हो।

चित्र में, AB समतल की ओर झुका हुआ α है। इस मामले में, बिंदु B को ढलान का आधार कहा जाता है।

यदि आप बिंदु A से समतल तक एक खंड खींचते हैं, जो तल से 90 डिग्री का कोण बनाएगा, तो यह खंड लंबवत कहा जाएगा। लंबवत को तल से सबसे छोटी दूरी भी कहा जाता है।

AC बिंदु A से समतल α पर खींचा गया एक लंब है। बिंदु C को लंब का आधार कहा जाता है।

यदि, इस चित्र में, एक खंड खींचा गया है जो लंबवत (सी) के आधार को झुकाव (बी) के आधार से जोड़ देगा, तो परिणामी खंड कहा जाएगा प्रक्षेपण.

सरल निर्माणों के परिणामस्वरूप, हमें एक समकोण त्रिभुज प्राप्त हुआ। इस त्रिभुज में कोण ABC को तिरछा और प्रक्षेपण के बीच का कोण कहा जाता है।

तीन लंबवत प्रमेय

पाठ 3.2.1

रेखाओं की लंबवतता।

लंबवत और तिरछा।

तीन लंबवत पर प्रमेय।

परिभाषा:अंतरिक्ष में दो रेखाओं को लंबवत (परस्पर लंबवत) कहा जाता है यदि उनके बीच का कोण 90 डिग्री है।

पद. .

पंक्तियों पर विचार करें एकतथा बी.

रेखाएँ प्रतिच्छेद कर सकती हैं, पार कर सकती हैं, समानांतर हो सकती हैं। उनके बीच एक कोण बनाने के लिए, आपको एक बिंदु चुनना होगा और इसके माध्यम से रेखा के समानांतर एक रेखा खींचनी होगी। एक,और रेखा b` रेखा के समानांतर बी.

रेखाएँ a` तथा b` प्रतिच्छेद करती हैं। उनके बीच का कोण रेखाओं के बीच का कोण है एकतथा बी।यदि कोण 90° है, तो रेखाएँ ए और बीलंबवत हैं।

लेम्मा: यदि दो रेखाओं में से एक तीसरी रेखा के लंबवत है, तो दूसरी रेखा भी इस रेखा पर लंबवत है।

सबूत:

एक मनमाना बिंदु लें एम. डॉट के माध्यम से एमरेखा के समानांतर एक रेखा खींचे एकऔर रेखा c` रेखा के समानांतर सी. फिर कोण एएमसी 90° के बराबर होता है।

सीधा बीएक सीधी रेखा के समानांतर एकधारणा से, रेखा a` रेखा के समानांतर है एकनिर्माण द्वारा। अत: रेखाएँ a` तथा बीसमानांतर हैं।

हमारे पास है, प्रत्यक्ष और बीसमानांतर, सीधा साथऔर निर्माण में समानांतर। अतः रेखाओं के बीच का कोण बीतथा साथ -रेखाओं के बीच का कोण है a` तथा b`, अर्थात कोण एएमसी 90° के बराबर। इतना सीधा बीतथा साथलंबवत हैं, जिन्हें सिद्ध किया जाना था।

एक रेखा और एक विमान की लंबवतता।

परिभाषा: एक रेखा को एक समतल पर लंबवत कहा जाता है यदि वह उस तल में किसी भी रेखा के लंबवत हो।

संपत्ति: यदि कोई रेखा किसी समतल पर लंबवत है, तो वह उस तल को काटती है।

(यदि एक एकα, फिर एक∩ α.)

अनुस्मारक. एक रेखा और एक तल या तो एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, या समानांतर होते हैं, या रेखा एक समतल में स्थित होती है।

लंबवत रेखाओं और विमानों के गुण:

प्रमेय:यदि दो समानांतर रेखाओं में से एक समतल पर लंबवत है, तो दूसरी रेखा भी उस तल पर लंबवत है।

पहले पाठ में, हमने लेम्मा का अध्ययन किया - यदि समानांतर रेखाओं में से एक समतल को काटती है, तो दूसरी समानांतर रेखा समतल को काटती है। सीधा एक 90 0 के कोण पर, यानी लंबवत पार करता है, तो दूसरी समानांतर रेखा लंबवत होती है

प्रमेय:यदि दो रेखाएँ एक समतल पर लंबवत हैं, तो वे समानांतर हैं।

एक सीधी रेखा और एक समतल के लंबवतता का चिन्ह

प्रमेय:यदि एक रेखा समतल में पड़ी दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लंबवत है, तो यह समतल पर लंबवत है

प्रमेय:अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के माध्यम से दिए गए विमान के लंबवत एक सीधी रेखा गुजरती है और, इसके अलावा, केवल एक।

कटा हुआ शंकु और उसके गुण। पूर्ण और पार्श्व काटे गए शंकु का क्षेत्रफल।

टिकट नंबर 21.

समानांतर विमानों के बीच संलग्न समानांतर रेखाओं के खंडों पर प्रमेय।

पिरामिड। पिरामिड का कुल और पार्श्व सतह क्षेत्र। पिरामिड की मात्रा।

टिकट नंबर 22.

विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा के बारे में प्रमेय: जिनमें से एक दूसरे तल के समानांतर एक सीधी रेखा से गुजरती है; जिनमें से प्रत्येक दो समानांतर रेखाओं में से एक से होकर गुजरता है।

उत्तल बहुफलक का चिन्ह। एक बहुफलक के विकास की अवधारणा।

प्रमेय एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन (उलटा प्रमेय) का संकेत है। यदि एक बहुफलक अपने प्रत्येक फलक के एक ओर स्थित होता है, तो वह उत्तल होता है।

सबूत (विरोधाभास द्वारा):

1) मान लीजिए कि बहुफलक M इसके प्रत्येक फलक के तल के एक ओर स्थित है। मान लें कि पॉलीहेड्रॉन उत्तल नहीं है। फिर दो बिंदु A और B इस प्रकार हैं कि खंड AB पर एक बिंदु X है जो M से संबंधित नहीं है। α एक समतल है जिसमें उत्तल बहुफलक का फलक होता है। मान लें कि पॉलीहेड्रॉन विमान α के एक तरफ नहीं है। फिर दो ऐसे बिंदु A और B हैं, जो समतल α के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं। हम बिंदु A और B को समतल α में स्थित फलक Q के सभी बिंदुओं से जोड़ते हैं। एक पॉलीहेड्रॉन एम 1 प्राप्त किया जाता है, जिसमें ए और बी के साथ दो पिरामिड होते हैं और एक सामान्य आधार क्यू होता है। ये पिरामिड एएक्स और बीएक्स खंडों से बने होते हैं, जहां एक्स चेहरे क्यू का कोई बिंदु होता है।

2) चूंकि मूल पॉलीहेड्रॉन एम उत्तल है, इसलिए सेगमेंट एएक्स और बीएक्स के बिंदु, यानी पॉलीहेड्रॉन एम 1 के सभी बिंदु पॉलीहेड्रॉन एम के आंतरिक बिंदु हैं। अन्यथा, पॉलीहेड्रॉन एम 1 पूरी तरह से पॉलीहेड्रॉन के अंदर समाहित है। एम। इसका मतलब है कि बहुभुज क्यू के आंतरिक बिंदु पॉलीहेड्रॉन एम 1 और पॉलीहेड्रॉन एम के अंदर स्थित हैं। यह असंभव है, क्योंकि बहुभुज क्यू उत्तल पॉलीहेड्रॉन एम का एक चेहरा है, और इस चेहरे का प्रत्येक बिंदु एक सीमा बिंदु है पॉलीहेड्रॉन का। अंतर्विरोध। धारणा गलत है। इसलिए, बिंदु A और B चयनित फलक के विपरीत दिशा में नहीं स्थित हैं। एक पॉलीहेड्रॉन परिभाषा के अनुसार उत्तल है।

एक बहुफलक की सतहबहुभुजों की एक परिमित संख्या से बनी एक आकृति है, जो समान भुजाओं द्वारा एक-दूसरे पर लागू होती हैं, और इनमें से किसी भी बहुभुज की प्रत्येक भुजा उनमें से केवल दो के लिए समान होती है। यह आंकड़ा कहा जाता है बंद बहुफलकीय सतह.

यदि पॉलीहेड्रॉन मॉडल को कुछ किनारों के साथ काट दिया जाता है और एक विमान पर तैनात किया जाता है, तो एक बहुभुज प्राप्त होता है, जिसे कहा जाता है इस बहुफलक का विकास.

बहुभुज जो एक बहुफलक के विकास को बनाते हैं, कहलाते हैं झाडू के चेहरे, इन बहुभुजों की भुजाएँ हैं पसलियां, बहुभुजों के शीर्ष - स्कैन कोने, और बहुभुजों के चिपके हुए पक्षों को एक किनारे के रूप में माना जाता है, और चिपके हुए कोने - एक शीर्ष के रूप में।

उत्तल पॉलीहेड्रॉन को इस विकास से चिपकाए जाने के लिए, निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:

1) बंद करने की स्थिति: विकास में प्रत्येक बहुभुज के प्रत्येक पक्ष को एक के एक और पक्ष और केवल एक अन्य बहुभुज (दिए गए एक के निकट कहा जाता है) से चिपका होना चाहिए।

2) यूलर कंडीशन: यदि विकास में G फलक, B शीर्ष और R किनारे होते हैं, तो डेसकार्टेस-यूलर प्रमेय पूरा होता है।

3) उत्तलता की स्थिति: प्रत्येक स्वीप शीर्ष पर बहुभुजों (फलकों) के आंतरिक कोणों का योग 360° से कम होना चाहिए।

टिकट नंबर 23.

दो प्रतिच्छेदी तलों में से प्रत्येक के समानांतर एक सीधी रेखा पर प्रमेय।

समानांतरपिंड: इसके गुण और प्रकार। समानांतर चतुर्भुज का आयतन।

टिकट नंबर 24.

विमान के लंबवत रेखाओं पर प्रमेय।

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