Formulare la definizione classica della probabilità di un evento. Teoria della probabilità

Per confrontare quantitativamente gli eventi tra loro secondo il grado della loro possibilità, ovviamente, è necessario associare a ciascun evento un certo numero, che è tanto maggiore quanto più l'evento è possibile. Chiameremo questo numero la probabilità di un evento. Così, probabilità dell'eventoè una misura numerica del grado di possibilità oggettiva di questo evento.

La prima definizione di probabilità va considerata quella classica, nata dall'analisi del gioco d'azzardo e inizialmente applicata in modo intuitivo.

Il metodo classico per determinare la probabilità si basa sul concetto di eventi ugualmente possibili e incompatibili, che sono il risultato di una determinata esperienza e formano un gruppo completo di eventi incompatibili.

L'esempio più semplice di eventi ugualmente possibili e incompatibili che formano un gruppo completo è l'apparizione dell'una o dell'altra palla da un'urna contenente più palline della stessa dimensione, peso e altre caratteristiche tangibili, diverse solo per il colore, accuratamente mescolate prima di essere rimosse.

Pertanto, un test i cui esiti formano un gruppo completo di eventi incompatibili e ugualmente possibili si dice che sia riducibile a uno schema di urne, o a uno schema di casi, o si adatti allo schema classico.

Eventi ugualmente possibili e incompatibili che compongono un gruppo completo saranno chiamati semplicemente casi o possibilità. Inoltre, in ogni esperimento, insieme ai casi, possono verificarsi eventi più complessi.

Esempio: Quando si lancia un dado, insieme ai casi A i - la perdita di i-punti sul lato superiore, possiamo considerare eventi come B - la perdita di un numero pari di punti, C - la perdita di un numero di punti punti multipli di tre...

In relazione a ciascun evento che può verificarsi durante l'esperimento, i casi sono suddivisi in favorevole, in cui tale evento si verifica, e sfavorevole, in cui l'evento non si verifica. Nell'esempio precedente l'evento B è favorito dai casi A 2, A 4, A 6; evento C - casi A 3, A 6.

Probabilità classica il verificarsi di un determinato evento è chiamato rapporto tra il numero di casi favorevoli al verificarsi di questo evento e il numero totale di casi ugualmente possibili e incompatibili che compongono il gruppo completo in un dato esperimento:

Dove P(A)- probabilità di accadimento dell'evento A; M- il numero di casi favorevoli all'evento A; N- numero totale di casi.

Esempi:

1) (vedi esempio sopra) P(B)= , P(C) =.

2) L'urna contiene 9 palline rosse e 6 blu. Trova la probabilità che una o due palline estratte a caso risultino rosse.

UN- una pallina rossa estratta a caso:

M= 9, N= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- due palline rosse estratte a caso:

Le seguenti proprietà derivano dalla definizione classica di probabilità (mostrati):

1) La probabilità di un evento impossibile è 0;

2) La probabilità di un evento affidabile è 1;

3) La probabilità di qualsiasi evento è compresa tra 0 e 1;

4) La probabilità di un evento opposto all'evento A,

La definizione classica di probabilità presuppone che il numero di risultati di una prova sia finito. In pratica, molto spesso ci sono dei test, il cui numero di casi possibili è infinito. Inoltre, il punto debole della definizione classica è che molto spesso è impossibile rappresentare il risultato di un test sotto forma di un insieme di eventi elementari. Ancora più difficile è indicare le ragioni per cui considerare ugualmente possibili gli esiti elementari di una prova. Di solito, l'equipossibilità dei risultati dei test elementari si conclude da considerazioni di simmetria. Tuttavia, tali compiti sono molto rari nella pratica. Per questi motivi, oltre alla definizione classica di probabilità, vengono utilizzate anche altre definizioni di probabilità.

Probabilità statistica evento A è la frequenza relativa con cui si verifica questo evento nei test eseguiti:

dove è la probabilità che si verifichi l'evento A;

Frequenza relativa di occorrenza dell'evento A;

Il numero di prove in cui è apparso l'evento A;

Numero totale di prove.

A differenza della probabilità classica, la probabilità statistica è una caratteristica della probabilità sperimentale.

Esempio: per controllare la qualità dei prodotti di un lotto, sono stati selezionati a caso 100 prodotti, tra i quali 3 prodotti si sono rivelati difettosi. Determina la probabilità del matrimonio.

Il metodo statistico per determinare la probabilità è applicabile solo a quegli eventi che hanno le seguenti proprietà:

Gli eventi in esame dovrebbero essere il risultato solo di quei test che possono essere riprodotti un numero illimitato di volte nelle stesse condizioni.

Gli eventi devono avere stabilità statistica (o stabilità delle frequenze relative). Ciò significa che nelle diverse serie di test la frequenza relativa dell'evento cambia poco.

Il numero di prove che danno luogo all'evento A deve essere piuttosto elevato.

È facile verificare che le proprietà di probabilità derivanti dalla definizione classica vengono preservate anche nella definizione statistica di probabilità.

È improbabile che molte persone si chiedano se sia possibile calcolare eventi più o meno casuali. In termini semplici, è possibile sapere quale sarà il prossimo lato del cubo? Fu questa domanda che si posero due grandi scienziati, che gettarono le basi per una scienza come la teoria della probabilità, in cui la probabilità di un evento è studiata in modo abbastanza approfondito.

Origine

Se provi a definire un concetto come teoria della probabilità, otterrai quanto segue: questo è uno dei rami della matematica che studia la costanza degli eventi casuali. Naturalmente, questo concetto non rivela tutta l'essenza, quindi è necessario considerarlo in modo più dettagliato.

Vorrei iniziare con gli ideatori della teoria. Come accennato in precedenza, erano due e furono tra i primi a provare a calcolare l'esito di questo o quell'evento utilizzando formule e calcoli matematici. In generale, gli inizi di questa scienza apparvero nel Medioevo. A quel tempo, vari pensatori e scienziati cercarono di analizzare i giochi d'azzardo, come la roulette, il craps e così via, stabilendo così lo schema e la percentuale di un particolare numero che cadeva. La fondazione fu posta nel XVII secolo dagli scienziati sopra menzionati.

Inizialmente, i loro lavori non potevano essere considerati grandi risultati in questo campo, perché tutto ciò che facevano erano semplicemente fatti empirici e gli esperimenti venivano condotti visivamente, senza l'uso di formule. Nel corso del tempo, è stato possibile ottenere grandi risultati, che sono apparsi come risultato dell'osservazione del lancio dei dadi. È stato questo strumento che ha contribuito a ricavare le prime formule intelligibili.

Persone che la pensano allo stesso modo

È impossibile non menzionare una persona come Christiaan Huygens nel processo di studio di un argomento chiamato "teoria della probabilità" (la probabilità di un evento è coperta proprio da questa scienza). Questa persona è molto interessante. Lui, come gli scienziati presentati sopra, ha cercato di derivare lo schema di eventi casuali sotto forma di formule matematiche. È interessante notare che non lo ha fatto insieme a Pascal e Fermat, cioè tutte le sue opere non si sono intersecate con queste menti. Huygens dedusse

Un fatto interessante è che il suo lavoro è uscito molto prima dei risultati del lavoro degli scopritori, o meglio, vent'anni prima. Tra i concetti individuati, i più famosi sono:

il concetto di probabilità come valore del caso;
aspettativa matematica per casi discreti;
teoremi di moltiplicazione e addizione di probabilità.

È anche impossibile non ricordare chi ha dato un contributo significativo allo studio del problema. Conducendo i propri test, indipendentemente da chiunque, è stato in grado di presentare una dimostrazione della legge dei grandi numeri. A loro volta, gli scienziati Poisson e Laplace, che lavorarono all'inizio del diciannovesimo secolo, riuscirono a dimostrare i teoremi originali. Fu da questo momento che la teoria della probabilità cominciò ad essere utilizzata per analizzare gli errori nelle osservazioni. Gli scienziati russi, o meglio Markov, Chebyshev e Dyapunov, non potevano ignorare questa scienza. Basandosi sul lavoro svolto da grandi geni, stabilirono questa materia come una branca della matematica. Queste figure funzionavano già alla fine dell’Ottocento e grazie al loro contributo furono dimostrati i seguenti fenomeni:

legge dei grandi numeri;
Teoria delle catene di Markov;
teorema del limite centrale.

Quindi, con la storia della nascita della scienza e con le principali persone che l'hanno influenzata, tutto è più o meno chiaro. Ora è giunto il momento di chiarire tutti i fatti.

Concetti di base

Prima di toccare leggi e teoremi, vale la pena studiare i concetti di base della teoria della probabilità. In esso l'evento gioca un ruolo di primo piano. Questo argomento è piuttosto voluminoso, ma senza di esso non sarà possibile capire tutto il resto.

Un evento nella teoria della probabilità è qualsiasi insieme di risultati di un esperimento. Ci sono parecchi concetti di questo fenomeno. Pertanto, lo scienziato Lotman, che lavora in quest'area, ha affermato che in questo caso stiamo parlando di ciò che "è successo, anche se potrebbe non essere successo".

Gli eventi casuali (la teoria della probabilità presta loro particolare attenzione) è un concetto che implica assolutamente qualsiasi fenomeno che abbia l'opportunità di verificarsi. Oppure, al contrario, questo scenario potrebbe non verificarsi se vengono soddisfatte molte condizioni. Vale anche la pena sapere che sono gli eventi casuali a catturare l'intero volume dei fenomeni che si sono verificati. La teoria della probabilità indica che tutte le condizioni possono ripetersi costantemente. È la loro condotta che si chiama “esperienza” o “prova”.

Un evento affidabile è un fenomeno che ha il 100% di probabilità di verificarsi in un dato test. Di conseguenza, un evento impossibile è quello che non accadrà.

La combinazione di una coppia di azioni (condizionatamente, caso A e caso B) è un fenomeno che si verifica simultaneamente. Sono designati come AB.

La somma delle coppie di eventi A e B è C, in altre parole, se si verifica almeno uno di essi (A o B), allora si otterrà C. La formula per il fenomeno descritto è scritta come segue: C = A + B.

Gli eventi incongruenti nella teoria della probabilità implicano che due casi si escludano a vicenda. In nessun caso possono verificarsi contemporaneamente. Gli eventi congiunti nella teoria della probabilità sono il loro antipodo. Ciò che si intende qui è che se A accadesse, ciò non impedirebbe in alcun modo B.

Gli eventi opposti (la teoria della probabilità li considera in grande dettaglio) sono facili da capire. Il modo migliore per capirli è il confronto. Sono quasi uguali agli eventi incompatibili nella teoria della probabilità. Ma la loro differenza sta nel fatto che in ogni caso deve verificarsi uno dei tanti fenomeni.

Eventi ugualmente probabili sono quelle azioni la cui ripetizione è uguale. Per renderlo più chiaro, puoi immaginare di lanciare una moneta: perdere una delle sue facce ha la stessa probabilità di far cadere l'altra.

È più facile considerare un evento di buon auspicio con un esempio. Diciamo che ci sono un episodio B e un episodio A. Il primo è il lancio dei dadi con un numero dispari, il secondo è l'apparizione del numero cinque sul dado. Allora risulta che A favorisce B.

Gli eventi indipendenti nella teoria della probabilità vengono proiettati solo su due o più casi e implicano l'indipendenza di qualsiasi azione da un'altra. Ad esempio, A è la perdita di testa quando si lancia una moneta e B è l'estrazione di un jack dal mazzo. Sono eventi indipendenti nella teoria della probabilità. A questo punto è diventato più chiaro.

Anche gli eventi dipendenti nella teoria della probabilità sono ammessi solo per un insieme di essi. Implicano la dipendenza dell'uno dall'altro, cioè il fenomeno B può verificarsi solo se A è già accaduto o, al contrario, non è avvenuto, quando questa è la condizione principale per B.

Il risultato di un esperimento casuale costituito da un componente sono eventi elementari. La teoria della probabilità spiega che questo è un fenomeno accaduto una sola volta.

Formule di base

Quindi, i concetti di "evento" e "teoria della probabilità" sono stati discussi sopra; è stata anche data una definizione dei termini fondamentali di questa scienza. Ora è il momento di conoscere direttamente le formule importanti. Queste espressioni confermano matematicamente tutti i concetti principali in un argomento così complesso come la teoria della probabilità. Anche qui la probabilità di un evento gioca un ruolo enorme.

È meglio iniziare con quelli di base e prima di iniziare con loro, vale la pena considerare cosa sono.

La combinatoria è principalmente una branca della matematica; si occupa dello studio di un numero enorme di numeri interi, nonché di varie permutazioni sia dei numeri stessi che dei loro elementi, di vari dati, ecc., Che portano alla comparsa di una serie di combinazioni. Oltre alla teoria della probabilità, questo ramo è importante per la statistica, l'informatica e la crittografia.

Quindi, ora possiamo passare alla presentazione delle formule stesse e alla loro definizione.

Il primo di essi sarà l'espressione per il numero di permutazioni, assomiglia a questo:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

L'equazione viene applicata solo se gli elementi differiscono solo nell'ordine della loro disposizione.

Ora verrà presa in considerazione la formula di posizionamento, che assomiglia a questa:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Questa espressione è applicabile non solo all'ordine di posizionamento dell'elemento, ma anche alla sua composizione.

La terza equazione della combinatoria, ed è anche l'ultima, si chiama formula per il numero di combinazioni:

C_n^m = n! : ((n - m))! :M!

Una combinazione si riferisce a selezioni che non sono ordinate, ad esse si applica questa regola;

Era facile comprendere le formule combinatorie; ora si può passare alla definizione classica di probabilità. Questa espressione assomiglia a questa:

In questa formula, m è il numero di condizioni favorevoli all'evento A, e n è il numero di tutti i risultati ugualmente possibili ed elementari.

Le espressioni sono numerose; l'articolo non le tratterà tutte, ma verranno toccate quelle più importanti, come ad esempio la probabilità della somma degli eventi:

P(A + B) = P(A) + P(B) - questo teorema serve ad aggiungere solo eventi incompatibili;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - e questo serve per aggiungere solo quelli compatibili.

Probabilità che si verifichino eventi:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - questo teorema vale per eventi indipendenti;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - e questo è per il dipendente.

L'elenco degli eventi sarà completato dalla formula degli eventi. La teoria della probabilità ci parla del teorema di Bayes, che assomiglia a questo:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., N

In questa formula, H 1, H 2, ..., H n è un gruppo completo di ipotesi.

Esempi

Se studi attentamente qualsiasi sezione della matematica, non è completa senza esercizi e soluzioni di esempio. Lo stesso vale per la teoria della probabilità: eventi ed esempi qui sono una componente integrale che conferma i calcoli scientifici.

Formula per il numero di permutazioni

Diciamo che ci sono trenta carte in un mazzo di carte, a partire da un valore pari a uno. Prossima domanda. Quanti modi ci sono per impilare il mazzo in modo che le carte con valore uno e due non siano una accanto all'altra?

Il compito è stato impostato, ora passiamo a risolverlo. Per prima cosa devi determinare il numero di permutazioni di trenta elementi, per questo prendiamo la formula presentata sopra, risulta P_30 = 30!.

Sulla base di questa regola, scopriamo quante opzioni ci sono per piegare il mazzo in modi diversi, ma dobbiamo sottrarre da esse quelle in cui la prima e la seconda carta sono una accanto all'altra. Per fare ciò, iniziamo con l'opzione quando il primo è superiore al secondo. Risulta che la prima carta può occupare ventinove posti, dal primo al ventinovesimo, e la seconda carta dal secondo al trentesimo, per un totale di ventinove posti per una coppia di carte. A loro volta, gli altri possono accettare ventotto posti, in qualsiasi ordine. Cioè, per riordinare ventotto carte, ci sono ventotto opzioni P_28 = 28!

Di conseguenza, se consideriamo la soluzione in cui la prima carta è sopra la seconda, ci saranno 29 ⋅ 28 possibilità extra! = 29!

Utilizzando lo stesso metodo, è necessario calcolare il numero di opzioni ridondanti nel caso in cui la prima carta sia sotto la seconda. Risulta anche essere 29 ⋅ 28! = 29!

Ne consegue che ci sono 2 ⋅ 29 opzioni extra!, mentre i modi necessari per assemblare un mazzo sono 30! - 2 ⋅ 29!. Non resta che contare.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Ora devi moltiplicare tutti i numeri da uno a ventinove e infine moltiplicare tutto per 28. La risposta è 2.4757335 ⋅〖10〗^32

Soluzione di esempio. Formula per il numero di posizionamento

In questo problema, devi scoprire quanti modi ci sono per mettere quindici volumi su uno scaffale, a condizione che ci siano trenta volumi in totale.

La soluzione a questo problema è un po’ più semplice della precedente. Utilizzando la formula già nota, è necessario calcolare il numero totale di arrangiamenti di trenta volumi su quindici.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

La risposta, di conseguenza, sarà pari a 202.843.204.931.727.360.000.

Ora prendiamo un compito leggermente più difficile. Devi scoprire quanti modi ci sono per disporre trenta libri su due scaffali, dato che uno scaffale può contenere solo quindici volumi.

Prima di iniziare la soluzione, vorrei chiarire che alcuni problemi possono essere risolti in diversi modi, e questo ha due metodi, ma entrambi utilizzano la stessa formula.

In questo problema puoi prendere la risposta dal precedente, perché lì abbiamo calcolato quante volte puoi riempire uno scaffale con quindici libri in modi diversi. Risultò A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Calcoleremo il secondo scaffale utilizzando la formula di permutazione, perché al suo interno si possono inserire quindici libri, mentre ne rimangono solo quindici. Usiamo la formula P_15 = 15!.

Si scopre che il totale sarà A_30^15 ⋅ P_15 modi, ma, oltre a questo, il prodotto di tutti i numeri da trenta a sedici dovrà essere moltiplicato per il prodotto dei numeri da uno a quindici, alla fine si otterrà il prodotto di tutti i numeri da uno a trenta, ovvero la risposta è uguale a 30!

Ma questo problema può essere risolto in un altro modo: più semplice. Per fare questo, puoi immaginare che ci sia uno scaffale per trenta libri. Sono tutti posizionati su questo piano, ma poiché la condizione richiede che ci siano due scaffali, ne abbiamo visto uno lungo a metà, quindi ne otteniamo due da quindici ciascuno. Da ciò risulta che ci possono essere P_30 = 30 opzioni per la disposizione!.

Soluzione di esempio. Formula per il numero di combinazione

Considereremo ora una versione del terzo problema della combinatoria. È necessario scoprire quanti modi esistono per disporre quindici libri, a patto di sceglierne tra trenta assolutamente identici.

Per risolvere, ovviamente, verrà applicata la formula del numero di combinazioni. Dalla condizione diventa chiaro che l'ordine dei quindici libri identici non è importante. Pertanto, inizialmente è necessario scoprire il numero totale di combinazioni di trenta libri su quindici.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520

Questo è tutto. Utilizzando questa formula siamo riusciti a risolvere questo problema nel più breve tempo possibile la risposta è quindi 155.117.520;

Soluzione di esempio. Definizione classica di probabilità

Utilizzando la formula sopra, puoi trovare la risposta a un semplice problema. Ma questo aiuterà a vedere e monitorare chiaramente lo stato di avanzamento delle azioni.

Il problema afferma che nell'urna ci sono dieci palline assolutamente identiche. Di questi, quattro sono gialli e sei sono blu. Si estrae una pallina dall'urna. Devi scoprire la probabilità di diventare blu.

Per risolvere il problema, è necessario designare l'ottenimento della pallina blu come evento A. Questo esperimento può avere dieci risultati, che, a loro volta, sono elementari e ugualmente possibili. Allo stesso tempo, su dieci, sei sono favorevoli all'evento A. Risolviamo utilizzando la formula:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Applicando questa formula, abbiamo appreso che la probabilità di ottenere la pallina blu è 0,6.

Soluzione di esempio. Probabilità della somma degli eventi

Verrà ora presentata un'opzione che viene risolta utilizzando la formula della probabilità della somma degli eventi. Quindi, la condizione è che ci siano due scatole, la prima contenga una pallina grigia e cinque bianche, e la seconda contenga otto palline grigie e quattro bianche. Di conseguenza, ne presero uno dalla prima e dalla seconda scatola. Devi scoprire qual è la probabilità che le palline che otterrai siano grigie e bianche.

Per risolvere questo problema, è necessario identificare gli eventi.

Quindi, A - ha preso una pallina grigia dalla prima casella: P(A) = 1/6.
A’ - ha preso una pallina bianca anche dalla prima casella: P(A") = 5/6.
B - dalla seconda casella è stata rimossa una pallina grigia: P(B) = 2/3.
B’ - ha preso una pallina grigia dalla seconda casella: P(B") = 1/3.

A seconda delle condizioni del problema è necessario che si verifichi uno dei fenomeni: AB’ o A’B. Usando la formula, otteniamo: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Ora è stata utilizzata la formula per moltiplicare la probabilità. Successivamente, per trovare la risposta, è necessario applicare l'equazione della loro addizione:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Ecco come puoi risolvere problemi simili usando la formula.

In conclusione

L'articolo presentava informazioni sul tema "Teoria della probabilità", in cui la probabilità di un evento gioca un ruolo fondamentale. Naturalmente, non tutto è stato preso in considerazione, ma in base al testo presentato puoi teoricamente familiarizzare con questa sezione della matematica. La scienza in questione può essere utile non solo in ambito professionale, ma anche nella vita di tutti i giorni. Con il suo aiuto, puoi calcolare qualsiasi possibilità di qualsiasi evento.

Il testo toccava anche date significative nella storia della formazione della teoria della probabilità come scienza e i nomi delle persone il cui lavoro vi era investito. È così che la curiosità umana ha portato al fatto che le persone hanno imparato a calcolare anche eventi casuali. Una volta interessavano semplicemente a questo, ma oggi lo sanno già tutti. E nessuno dirà cosa ci aspetta in futuro, quali altre brillanti scoperte verranno fatte legate alla teoria in esame. Ma una cosa è certa: la ricerca non si ferma!

1. Presentazione dei principali teoremi e formule di probabilità: teorema di addizione, probabilità condizionata, teorema di moltiplicazione, indipendenza degli eventi, formula di probabilità totale.

Obiettivi: creare condizioni favorevoli per introdurre il concetto di probabilità di un evento; familiarità con i teoremi e le formule fondamentali della teoria della probabilità; introdurre la formula della probabilità totale.

Avanzamento della lezione:

Esperimento casuale (esperienza)è un processo in cui sono possibili diversi risultati ed è impossibile prevedere in anticipo quale sarà il risultato. I possibili risultati mutuamente esclusivi di un esperimento sono chiamati suoi eventi elementari . Indichiamo l'insieme degli eventi elementari con W.

Evento casualeè un evento di cui è impossibile dire in anticipo se accadrà in seguito all'esperienza o meno. Ogni evento casuale A verificatosi a seguito di un esperimento può essere associato a un gruppo di eventi elementari di W. Gli eventi elementari compresi in questo gruppo sono chiamati favorevole al verificarsi dell’evento A.

Anche l'insieme W può essere considerato un evento casuale. Poiché comprende tutti gli eventi elementari, avverrà necessariamente come risultato dell'esperienza. Un tale evento è chiamato affidabile .

Se per un dato evento non ci sono eventi elementari favorevoli da W, allora esso non potrà verificarsi come risultato dell'esperimento. Un tale evento è chiamato impossibile.

Gli eventi vengono chiamati ugualmente possibile , se il test dà luogo a pari opportunità affinché questi eventi si verifichino. Vengono chiamati due eventi casuali opposto , se a seguito dell'esperimento uno di essi si verifica se e solo se l'altro non si verifica. L'evento opposto all'evento A è indicato con .

Vengono chiamati gli eventi A e B incompatibile , se la comparsa dell'uno esclude la comparsa dell'altro. Si chiamano eventi A 1, A 2, ..., A n incompatibili a coppie, se due di essi sono incoerenti. Eventi A 1, A 2, ..., An forma un sistema completo di eventi incompatibili a coppie , se uno ed uno solo di essi è sicuro che si verificherà come risultato del test.

La somma (unione) degli eventi A 1, A 2, ..., A n è chiamato tale evento C, che consiste nel fatto che almeno uno degli eventi A 1, A 2, ..., A n si verifica. La somma degli eventi è indicato come segue:

C = LA 1 + LA 2 +…+A n.

Il prodotto (intersezione) di eventi A 1, A 2, ..., A n è chiamato tale evento P, che consiste nel fatto che tutti gli eventi A 1, A 2, ..., A n si sono verificati simultaneamente. Viene indicata la produzione degli eventi

La probabilità P(A) nella teoria della probabilità agisce come una caratteristica numerica del grado di possibilità del verificarsi di qualsiasi evento casuale specifico A quando i test vengono ripetuti molte volte.

Diciamo che su 1000 lanci di dado il numero 4 appare 160 volte. Il rapporto 160/1000 = 0,16 mostra la frequenza relativa del numero 4 in una data serie di test. In un caso più generale frequenza di un evento casuale E quando si conducono una serie di esperimenti, il rapporto tra il numero di esperimenti in cui si è verificato un dato evento e il numero totale di esperimenti è chiamato:

dove P*(A) è la frequenza dell'evento A; m è il numero di esperimenti in cui si è verificato l'evento A; n è il numero totale di esperimenti.

La probabilità di un evento casuale E chiamano un numero costante attorno al quale si raggruppano le frequenze di un dato evento all'aumentare del numero di esperimenti ( determinazione statistica della probabilità di un evento ). La probabilità di un evento casuale è indicata con P(A).

Naturalmente nessuno potrà mai effettuare un numero illimitato di test per determinare la probabilità. Non ce n'è bisogno. In pratica, la frequenza di un evento su un gran numero di prove può essere considerata una probabilità. Ad esempio, dai modelli statistici di nascita stabiliti in molti anni di osservazione, la probabilità che il neonato sia un maschio è stimata a 0,515.

Se durante il test non ci sono motivi per cui un evento casuale si presenta più spesso di altri ( eventi altrettanto possibili), la probabilità può essere determinata sulla base di considerazioni teoriche. Ad esempio, scopriamo nel caso del lancio di una moneta la frequenza con cui cade lo stemma (evento A). diversi sperimentatori nel corso di diverse migliaia di test hanno dimostrato che la frequenza relativa di un tale evento assume valori prossimi a 0,5. Considerando che la comparsa dello stemma e la faccia opposta della moneta (evento B) sono eventi ugualmente possibili, se la moneta fosse simmetrica si potrebbe formulare il giudizio P(A) = P(B) = 0,5 senza determinare il frequenza di questi eventi. Sulla base del concetto di “eguale possibilità” degli eventi viene formulata un'altra definizione di probabilità.

Sia l’evento A in esame a verificarsi in m casi, che si dicono favorevoli ad A, e non a verificarsi nei restanti n-m, sfavorevoli ad A.

Allora la probabilità dell'evento A è pari al rapporto tra il numero degli eventi elementari ad esso favorevoli e il loro numero totale(definizione classica della probabilità di un evento):

dove m è il numero di eventi elementari favorevoli all'evento A; n - Numero totale di eventi elementari.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi:

Esempio n. 1:Un'urna contiene 40 palline: 10 nere e 30 bianche. Trovare la probabilità che una pallina scelta a caso sia nera.

Il numero di casi favorevoli è uguale al numero di palline nere nell'urna: m = 10. Il numero totale di eventi ugualmente possibili (estrarre una pallina) è uguale al numero totale di palline nell'urna: n = 40. Questi eventi sono incoerenti, poiché viene eliminata una ed una sola pallina. P(A) = 10/40 = 0,25

Esempio n.2:Trova la probabilità di ottenere un numero pari lanciando un dado.

Quando si lancia un dado si verificano sei eventi incompatibili ugualmente possibili: la comparsa di un numero: 1,2,3,4,5 o 6, cioè n = 6. casi favorevoli sono la presenza di uno dei numeri 2,4 o 6: m = 3. la probabilità desiderata P(A) = m/N = 3/6 = ½.

Come vediamo dalla definizione di probabilità di un evento, per tutti gli eventi

0 < Р(А) < 1.

Ovviamente la probabilità di un evento affidabile è 1, la probabilità di un evento impossibile è 0.

Teorema dell'addizione delle probabilità: la probabilità che si verifichi un evento (non importa quale) tra più eventi incompatibili è uguale alla somma delle loro probabilità.

Per due eventi incompatibili A e B, le probabilità di questi eventi sono pari alla somma delle loro probabilità:

P(A o B) = P(A) + P(B).

Esempio n.3:trovare la probabilità di ottenere 1 o 6 lanciando un dado.

Gli eventi A (lancia 1) e B (lancia 6) sono ugualmente possibili: P(A) = P(B) = 1/6, quindi P(A o B) = 1/6 + 1/6 = 1/3

La somma delle probabilità è valida non solo per due, ma anche per qualsiasi numero di eventi incompatibili.

Esempio n.4:Nell'urna ci sono 50 palline: 10 bianche, 20 nere, 5 rosse e 15 blu. Trova la probabilità che appaia una pallina bianca, nera o rossa durante una singola operazione di rimozione di una pallina dall'urna.

La probabilità di estrarre la pallina bianca (evento A) è P(A) = 10/50 = 1/5, la pallina nera (evento B) è P(B) = 20/50 = 2/5 e la pallina rossa ( l'evento C) è P (C) = 5/50 = 1/10. Da qui, utilizzando la formula per sommare le probabilità, otteniamo P(A o B o C) = P(A) + P(B) = P(C) = 1/5 + 2/5 + 1/10 = 7/ 10

La somma delle probabilità di due eventi opposti, come segue dal teorema della somma delle probabilità, è uguale a uno:

P(A) + P() = 1

Nell'esempio sopra, eliminare una pallina bianca, nera e rossa sarà l'evento A 1, P(A 1) = 7/10. L'evento opposto a 1 è l'estrazione della pallina blu. Poiché ci sono 15 palline blu e il numero totale di palline è 50, otteniamo P(1) = 15/50 = 3/10 e P(A) + P() = 7/10 +3/10 = 1.

Se gli eventi A 1, A 2, ..., A n formano un sistema completo di eventi incompatibili a coppie, allora la somma delle loro probabilità è uguale a 1.

In generale, la probabilità della somma di due eventi A e B viene calcolata come

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Teorema della moltiplicazione delle probabilità:

Vengono chiamati gli eventi A e B indipendente , se la probabilità del verificarsi dell'evento A non dipende dal verificarsi o meno dell'evento B, e viceversa, la probabilità del verificarsi dell'evento B non dipende dal verificarsi o meno dell'evento A.

La probabilità del verificarsi congiunto di eventi indipendenti è pari al prodotto delle loro probabilità. Per due eventi P(A e B)=P(A)·P(B).

Esempio: Un'urna contiene 5 palline nere e 10 bianche, l'altra contiene 3 palline nere e 17 bianche. Trovare la probabilità che quando si estraggono per la prima volta le palline da ciascuna urna, entrambe le palline siano nere.

Soluzione: la probabilità di estrarre una pallina nera dalla prima urna (evento A) è P(A) = 5/15 = 1/3, una pallina nera dalla seconda urna (evento B) è P(B) = 3/ 20

P(A e B)=P(A)·P(B) = (1/3)(3/20) = 3/60 = 1/20.

In pratica, la probabilità dell'evento B dipende spesso dal fatto che si sia verificato o meno qualche altro evento A. In questo caso ne parlano probabilità condizionata , cioè. la probabilità dell’evento B dato che si verifica l’evento A. La probabilità condizionata è indicata con P(B/A).

La probabilità mostra la possibilità che si verifichi un particolare evento dato un certo numero di ripetizioni. È il numero di possibili risultati con uno o più risultati diviso per il numero totale di possibili eventi. La probabilità di eventi multipli viene calcolata dividendo il problema in probabilità individuali e quindi moltiplicando queste probabilità.

Passi

Probabilità di un singolo evento casuale

Seleziona un evento con risultati mutualmente esclusivi. La probabilità può essere calcolata solo se l'evento in questione si verifica o non si verifica. È impossibile ottenere contemporaneamente un evento e il suo risultato opposto. Esempi di tali eventi sono il lancio di un 5 su un dado o la vittoria di un certo cavallo ad una corsa. Cinque ne verranno fuori oppure no; un certo cavallo arriverà prima oppure no.
- Ad esempio, è impossibile calcolare la probabilità di un evento del genere: con un lancio di dado appariranno 5 e 6 contemporaneamente.
Identificare tutti i possibili eventi e risultati che potrebbero verificarsi. Supponiamo che tu debba determinare la probabilità che lanciando un dado con 6 numeri otterrai un tre. "Lanciare un tre" è un evento e poiché sappiamo che è possibile lanciare uno qualsiasi dei 6 numeri, il numero di risultati possibili è sei. Sappiamo quindi che in questo caso ci sono 6 possibili risultati e un evento, di cui vogliamo determinare la probabilità. Di seguito sono riportati altri due esempi.
- Esempio 1. In questo caso, l'evento è “scegliere un giorno che cade nel fine settimana” e il numero di risultati possibili è pari al numero di giorni della settimana, cioè sette.
- Esempio 2. L'evento è “estrarre una pallina rossa” e il numero di risultati possibili è pari al numero totale di palline, cioè venti.
Dividere il numero di eventi per il numero di possibili risultati. In questo modo determinerai la probabilità di un singolo evento. Se consideriamo il caso di lanciare un dado come 3, il numero di eventi è 1 (il 3 è su solo un lato del dado) e il numero totale di risultati è 6. Il risultato è un rapporto di 1/6, 0,166, o 16,6%. La probabilità di un evento per i due esempi precedenti si trova come segue:
- Esempio 1. Qual è la probabilità di selezionare casualmente un giorno che cade nel fine settimana? Il numero di eventi è 2, poiché ci sono due giorni liberi in una settimana, e il numero totale di risultati è 7. Pertanto, la probabilità è 2/7. Il risultato ottenuto può anche essere scritto come 0,285 o 28,5%.
- Esempio 2. La scatola contiene 4 palline blu, 5 rosse e 11 bianche. Se estrai una pallina a caso da una scatola, qual è la probabilità che sia rossa? Il numero di eventi è 5, poiché nella scatola ci sono 5 palline rosse e il numero totale di risultati è 20. Troviamo la probabilità: 5/20 = 1/4. Il risultato ottenuto può anche essere scritto come 0,25 o 25%.
Somma le probabilità di tutti gli eventi possibili e vedi se la somma totale è 1. La probabilità totale di tutti gli eventi possibili deve essere 1, ovvero 100%. Se non ottieni il 100%, molto probabilmente hai commesso un errore e ti sei perso uno o più eventi possibili. Controlla i tuoi calcoli e assicurati di aver considerato tutti i possibili risultati.
- Ad esempio, la probabilità di ottenere un 3 lanciando un dado è 1/6. In questo caso, anche la probabilità che qualsiasi altro numero cada dai restanti cinque è pari a 1/6. Di conseguenza, otteniamo 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, cioè 100%.
- Se, ad esempio, ti dimentichi del numero 4 sul dado, sommando le probabilità otterrai solo 5/6, ovvero l'83%, che non è uguale a uno e indica un errore.
Esprimi la probabilità di un risultato impossibile come 0. Ciò significa che l'evento non può accadere e la sua probabilità è 0. In questo modo puoi tenere conto degli eventi impossibili.
- Ad esempio, se dovessi calcolare la probabilità che la Pasqua cada di lunedì nel 2020, otterresti 0 perché la Pasqua si celebra sempre di domenica.
Probabilità di più eventi casuali
1. Quando si considerano eventi indipendenti, calcolare ciascuna probabilità separatamente. Una volta determinate quali sono le probabilità degli eventi, è possibile calcolarle separatamente. Supponiamo di voler conoscere la probabilità di lanciare un dado due volte di seguito e di ottenere un 5. Sappiamo che la probabilità di ottenere un 5 è 1/6, e anche la probabilità di ottenere un secondo 5 è 1/6. Il primo risultato non è correlato al secondo.
  - Vengono chiamati diversi tiri di cinque eventi indipendenti, poiché ciò che accade la prima volta non influisce sul secondo evento.
2. Considerare l'influenza dei risultati precedenti nel calcolo della probabilità per eventi dipendenti. Se il primo evento influenza la probabilità del secondo risultato si parla di calcolo della probabilità eventi dipendenti. Ad esempio, se selezioni due carte da un mazzo da 52 carte, dopo aver pescato la prima carta, la composizione del mazzo cambia, il che influisce sulla selezione della seconda carta. Per calcolare la probabilità del secondo dei due eventi dipendenti, è necessario sottrarre 1 dal numero di possibili risultati quando si calcola la probabilità del secondo evento.
  - Esempio 1. Consideriamo il seguente evento: Si estraggono casualmente due carte dal mazzo, una dopo l'altra. Qual è la probabilità che entrambe le carte siano di fiori? La probabilità che la prima carta sia di seme di fiori è 13/52, o 1/4, poiché nel mazzo ci sono 13 carte dello stesso seme.
    - Dopodiché, la probabilità che la seconda carta sia di seme di fiori è 12/51, poiché una carta di fiori non è più presente. Questo perché il primo evento influenza il secondo. Se peschi il Tre di Fiori e non lo rimetti a posto, ci sarà una carta in meno nel mazzo (51 invece di 52).
  - Esempio 2. Nella scatola ci sono 4 palline blu, 5 rosse e 11 bianche. Se si estraggono tre palline a caso, qual è la probabilità che la prima sia rossa, la seconda sia blu e la terza sia bianca?
    - La probabilità che la prima pallina sia rossa è 5/20, o 1/4. La probabilità che la seconda pallina sia blu è 4/19, poiché nella scatola è rimasta una pallina in meno, ma ne restano ancora 4 blu palla. Infine, la probabilità che la terza pallina sia bianca è 11/18 poiché abbiamo già estratto due palline.
3. Moltiplicare le probabilità di ogni singolo evento. Indipendentemente dal fatto che si tratti di eventi indipendenti o dipendenti, o del numero di risultati (potrebbero essere 2, 3 o anche 10), puoi calcolare la probabilità complessiva moltiplicando tra loro le probabilità di tutti gli eventi in questione. Di conseguenza, otterrai la probabilità di diversi eventi, i seguenti uno dopo l'altro. Ad esempio, il compito è Calcola la probabilità che lanciando un dado due volte di seguito ottenga 5. Si tratta di due eventi indipendenti, la probabilità di ciascuno dei quali è 1/6. Pertanto, la probabilità di entrambi gli eventi è 1/6 x 1/6 = 1/36, ovvero 0,027 o 2,7%.
  - Esempio 1. Si estraggono a caso due carte dal mazzo, una dopo l'altra. Qual è la probabilità che entrambe le carte siano di fiori? La probabilità del primo evento è 13/52. La probabilità del secondo evento è 12/51. Troviamo la probabilità totale: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17, cioè 0,058, ovvero 5,8%.
  - Esempio 2. La scatola contiene 4 palline blu, 5 rosse e 11 bianche. Se si estraggono a caso tre palline una dopo l'altra da una scatola, qual è la probabilità che la prima sia rossa, la seconda sia blu e la terza sia bianca? La probabilità del primo evento è 5/20. La probabilità del secondo evento è 4/19. La probabilità del terzo evento è 11/18. Quindi la probabilità totale è 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0,032, o 3,2%.

Breve teoria

Per confrontare quantitativamente gli eventi in base al grado di possibilità che si verifichino, viene introdotta una misura numerica, chiamata probabilità di un evento. La probabilità di un evento casualeè un numero che esprime la misura della possibilità oggettiva che un evento si verifichi.

Le quantità che determinano quanto siano significative le ragioni oggettive per aspettarsi il verificarsi di un evento sono caratterizzate dalla probabilità dell'evento. Va sottolineato che la probabilità è una quantità oggettiva che esiste indipendentemente dal conoscente ed è condizionata dall'intero insieme di condizioni che concorrono al verificarsi di un evento.

Le spiegazioni che abbiamo dato per il concetto di probabilità non sono una definizione matematica, poiché non quantificano il concetto. Esistono diverse definizioni della probabilità di un evento casuale, che sono ampiamente utilizzate nella risoluzione di problemi specifici (definizione classica, geometrica della probabilità, statistica, ecc.).

Definizione classica di probabilità di evento riduce questo concetto al concetto più elementare di eventi ugualmente possibili, che non è più soggetto a definizione e si presuppone intuitivamente chiaro. Ad esempio, se un dado è un cubo omogeneo, la perdita di una qualsiasi delle facce di questo cubo sarà un evento ugualmente possibile.

Dividiamo un evento attendibile in casi ugualmente possibili, la cui somma dà l'evento. Cioè, i casi in cui si rompe sono detti favorevoli all'evento, poiché l'apparizione di uno di essi ne garantisce l'accadimento.

La probabilità di un evento sarà indicata dal simbolo.

La probabilità di un evento è pari al rapporto tra il numero dei casi ad esso favorevoli, sul numero totale dei casi unicamente possibili, ugualmente possibili e incompatibili, e il numero, cioè

Questa è la classica definizione di probabilità. Pertanto, per trovare la probabilità di un evento, è necessario, considerati i vari esiti del test, trovare un insieme di casi univocamente possibili, ugualmente possibili e incompatibili, calcolare il loro numero totale n, il numero di casi m favorevoli per un dato evento, quindi eseguire il calcolo utilizzando la formula precedente.

Si chiama probabilità di un evento pari al rapporto tra il numero di esiti sperimentali favorevoli all’evento e il numero totale di esiti sperimentali probabilità classica evento casuale.

Dalla definizione derivano le seguenti proprietà della probabilità:

Proprietà 1. La probabilità di un evento affidabile è pari a uno.

Proprietà 2. La probabilità di un evento impossibile è zero.

Proprietà 3. La probabilità di un evento casuale è un numero positivo compreso tra zero e uno.

Proprietà 4. La probabilità che si verifichino eventi che formano un gruppo completo è pari a uno.

Proprietà 5. La probabilità che si verifichi l'evento opposto è determinata allo stesso modo della probabilità che si verifichi l'evento A.

Il numero di casi favorevoli al verificarsi di un evento opposto. Quindi la probabilità che si verifichi l’evento opposto è pari alla differenza tra l’unità e la probabilità che si verifichi l’evento A:

Un vantaggio importante della definizione classica della probabilità di un evento è che con il suo aiuto è possibile determinare la probabilità di un evento senza ricorrere all'esperienza, ma sulla base del ragionamento logico.

Quando una serie di condizioni viene soddisfatta, si verificherà sicuramente un evento affidabile, ma sicuramente non si verificherà un evento impossibile. Tra gli eventi che possono verificarsi o meno quando si crea un insieme di condizioni, si può contare con buona ragione sul verificarsi di alcuni e con meno ragione sul verificarsi di altri. Se, ad esempio, in un'urna ci sono più palline bianche che palline nere, allora c'è più motivo di sperare nella comparsa di una pallina bianca quando viene estratta a caso dall'urna che nella comparsa di una pallina nera.

La pagina successiva discute.

Esempio di soluzione del problema

Esempio 1

Una scatola contiene 8 palline bianche, 4 nere e 7 rosse. Si estraggono a caso 3 palline. Trovare le probabilità dei seguenti eventi: – viene estratta almeno 1 pallina rossa, – vengono estratte almeno 2 palline dello stesso colore, – vengono estratte almeno 1 pallina rossa e 1 pallina bianca.

Soluzione del problema

Troviamo il numero totale di risultati del test come il numero di combinazioni di 19 (8+4+7) elementi di 3:

Troviamo la probabilità dell'evento– viene estratta almeno 1 pallina rossa (1,2 o 3 palline rosse)

Probabilità richiesta:

Lasciamo che l'evento– ci sono almeno 2 palline dello stesso colore (2 o 3 palline bianche, 2 o 3 palline nere e 2 o 3 palline rosse)

Numero di esiti favorevoli all'evento:

Probabilità richiesta:

Lasciamo che l'evento– ci sono almeno una pallina rossa e 1 bianca

(1 rosso, 1 bianco, 1 nero o 1 rosso, 2 bianchi o 2 rossi, 1 bianco)

Numero di esiti favorevoli all'evento:

Probabilità richiesta:

Risposta: P(A)=0,773;P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Esempio 2

Si lanciano due dadi. Trova la probabilità che la somma dei punti sia almeno 5.

Soluzione

Lascia che l'evento abbia un punteggio pari ad almeno 5

Usiamo la classica definizione di probabilità:

Numero totale di possibili risultati del test

Numero di prove favorevoli all'evento di interesse

Sul lato caduto del primo dado possono apparire un punto, due punti..., sei punti. allo stesso modo, sono possibili sei risultati quando si lancia il secondo dado. Ciascuno dei risultati del lancio del primo dado può essere combinato con ciascuno dei risultati del secondo. Pertanto, il numero totale di possibili esiti delle prove elementari è pari al numero di posizionamenti con ripetizioni (scelta con posizionamenti di 2 elementi da una serie del volume 6):

Troviamo la probabilità dell'evento opposto: la somma dei punti è inferiore a 5

Le seguenti combinazioni di punti persi favoriranno l'evento:

№

1° osso

2° osso

Media il costo per risolvere un test è di 700 - 1200 rubli (ma non meno di 300 rubli per l'intero ordine). Il prezzo è fortemente influenzato dall'urgenza della decisione (da un giorno a diverse ore). Il costo dell'aiuto online per un esame/test è di 1000 rubli. per risolvere il ticket.

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