Come trovare l'area di un parallelogramma. Come trovare l'area di un parallelogramma? Trova l'area di un parallelogramma se si conoscono il lato e l'altezza
Un parallelogramma è una figura geometrica che si trova spesso nei problemi di un corso di geometria (sezione planimetria). Le caratteristiche fondamentali di questo quadrilatero sono l'uguaglianza degli angoli opposti e la presenza di due paia di lati opposti paralleli. Casi particolari di parallelogramma sono il rombo, il rettangolo, il quadrato.
Il calcolo dell'area di questo tipo di poligono può essere effettuato in diversi modi. Diamo un'occhiata a ciascuno di essi.
Trova l'area di un parallelogramma se si conoscono il lato e l'altezza
Per calcolare l'area di un parallelogramma, puoi utilizzare i valori del suo lato, nonché la lunghezza dell'altezza abbassata su di esso. In questo caso, i dati ottenuti saranno affidabili sia per il caso di un lato noto - la base della figura, sia se si dispone del lato laterale della figura. In questo caso il valore richiesto sarà ottenuto utilizzando la formula:
S = a * h (a) = b * h (b),
- S è l'area che avrebbe dovuto essere determinata,
- a, b – lato noto (o calcolato),
- h è l'altezza abbassata su di esso.
Esempio: il valore della base di un parallelogramma è 7 cm, la lunghezza della perpendicolare calata su di essa dal vertice opposto è 3 cm.
Soluzione:S = a * h (a) = 7 * 3 = 21.
Trova l'area di un parallelogramma se sono noti 2 lati e l'angolo compreso tra loro
Consideriamo il caso in cui conosci le dimensioni di due lati di una figura, nonché la misura in gradi dell'angolo che formano tra loro. I dati forniti possono essere utilizzati anche per trovare l'area di un parallelogramma. In questo caso, l'espressione della formula sarà simile alla seguente:
S = a * c * sinα = a * c * sinβ,
- a – lato,
- c – base nota (o calcolata),
- α, β – angoli tra i lati a e c.
Esempio: la base di un parallelogramma è 10 cm, il suo lato è 4 cm in meno. L'angolo ottuso della figura è 135°.
Soluzione: determinare il valore del secondo lato: 10 – 4 = 6 cm.
S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135° = 60 * sin(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2.
Trova l'area di un parallelogramma se conosci le diagonali e l'angolo compreso tra loro
La presenza di valori noti delle diagonali di un dato poligono, nonché dell'angolo che formano come risultato della loro intersezione, consente di determinare l'area della figura.
S = (d1*d2)/2*senγ,
S = (d1*d2)/2*senφ,
S è l'area da determinare,
d1, d2 – diagonali note (o calcolate mediante calcoli),
γ, φ – angoli tra le diagonali d1 e d2.
Parallelogrammaè un quadrilatero i cui lati sono paralleli a coppie.
In questa figura lati opposti e gli angoli sono uguali tra loro. Le diagonali di un parallelogramma si intersecano in un punto e lo dividono in due. Le formule per l'area di un parallelogramma ti permettono di trovare il valore attraverso i lati, l'altezza e le diagonali. In casi particolari può essere presentato anche un parallelogramma. Sono considerati un rettangolo, un quadrato e un rombo.
Innanzitutto, consideriamo un esempio di calcolo dell'area di un parallelogramma in base all'altezza e al lato su cui è abbassato.
Questo caso è considerato classico e non richiede ulteriori indagini. È meglio considerare la formula per calcolare l'area attraverso due lati e l'angolo tra di loro. Lo stesso metodo viene utilizzato nei calcoli. Se vengono forniti i lati e l'angolo compreso tra loro, l'area viene calcolata come segue: 
Supponiamo di avere un parallelogramma con i lati a = 4 cm, b = 6 cm. L'angolo compreso tra loro è α = 30°. Troviamo l'area: 
Area di un parallelogramma passante per le diagonali
La formula per l'area di un parallelogramma utilizzando le diagonali consente di trovare rapidamente il valore.
Per i calcoli avrai bisogno della dimensione dell'angolo situato tra le diagonali.
Consideriamo un esempio di calcolo dell'area di un parallelogramma utilizzando le diagonali. Sia dato un parallelogramma con le diagonali D = 7 cm, d = 5 cm L'angolo compreso tra loro è α = 30°. Sostituiamo i dati nella formula: 
Un esempio di calcolo dell'area di un parallelogramma attraverso la diagonale ci ha dato un risultato eccellente: 8,75.
Conoscendo la formula per l'area di un parallelogramma attraverso la diagonale, puoi risolvere molti problemi interessanti. Diamo un'occhiata a uno di loro.
Compito: Dato un parallelogramma con area di 92 mq. vedi Il punto F si trova a metà del suo lato BC. Troviamo l'area del trapezio ADFB, che si troverà nel nostro parallelogramma. Per prima cosa disegniamo tutto ciò che abbiamo ricevuto in base alle condizioni.
Arriviamo alla soluzione: 
Secondo le nostre condizioni, ah =92 e, di conseguenza, l'area del nostro trapezio sarà uguale a 
Come nella geometria euclidea il punto e la retta sono gli elementi principali della teoria dei piani, così il parallelogramma è una delle figure chiave dei quadrilateri convessi. Da esso, come i fili di una palla, fluiscono i concetti di “rettangolo”, “quadrato”, “rombo” e altre quantità geometriche.
Definizione di parallelogramma
quadrilatero convesso, costituito da segmenti di linea, ciascuna coppia dei quali è parallela, è noto in geometria come parallelogramma.
L'aspetto di un parallelogramma classico è rappresentato da un quadrilatero ABCD. I lati si chiamano basi (AB, BC, CD e AD), la perpendicolare tracciata da un vertice qualsiasi al lato opposto a tale vertice si chiama altezza (BE e BF), le linee AC e BD si chiamano diagonali.
Attenzione! Quadrato, rombo e rettangolo sono casi particolari di parallelogramma.
Lati e angoli: caratteristiche della relazione
Le proprietà chiave, in generale, predeterminato dalla designazione stessa, sono dimostrati dal teorema. Queste caratteristiche sono le seguenti:
- I lati opposti sono identici a coppie.
- Gli angoli opposti tra loro sono uguali a coppie.
Dimostrazione: Consideriamo ∆ABC e ∆ADC, che si ottengono dividendo il quadrilatero ABCD con la retta AC. ∠BCA=∠CAD e ∠BAC=∠ACD, poiché AC è comune per loro ( angoli verticali rispettivamente per BC||AD e AB||CD). Ne consegue: ∆ABC = ∆ADC (il secondo segno di uguaglianza dei triangoli).
I segmenti AB e BC in ∆ABC corrispondono a coppie alle linee CD e AD in ∆ADC, il che significa che sono identici: AB = CD, BC = AD. Pertanto, ∠B corrisponde a ∠D e sono uguali. Poiché ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, anch'essi identici a coppie, allora ∠A = ∠C. La proprietà è stata dimostrata.
Caratteristiche delle diagonali di una figura
Caratteristica principale di queste linee di un parallelogramma: il punto di intersezione le divide a metà.
Dimostrazione: Sia i.e. il punto di intersezione delle diagonali AC e BD della figura ABCD. Formano due triangoli commisurati: ∆ABE e ∆CDE.
AB=CD poiché sono opposti. Secondo le rette e la secante, ∠ABE = ∠CDE e ∠BAE = ∠DCE.
Per il secondo criterio di uguaglianza, ∆ABE = ∆CDE. Ciò significa che gli elementi ∆ABE e ∆CDE: AE = CE, BE = DE e allo stesso tempo sono parti proporzionali di AC e BD. La proprietà è stata dimostrata.
Caratteristiche degli angoli adiacenti
I lati adiacenti hanno la somma degli angoli pari a 180°, poiché giacciono dalla stessa parte delle rette parallele e di una trasversale. Per il quadrilatero ABCD:
∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º
Proprietà della bisettrice:
- , abbassati da un lato, sono perpendicolari;
- i vertici opposti hanno bisettrici parallele;
- il triangolo ottenuto disegnando una bisettrice sarà isoscele.
Determinazione delle caratteristiche di un parallelogramma mediante il teorema
Le caratteristiche di questa figura derivano dal suo teorema principale, che afferma quanto segue: un quadrilatero è considerato un parallelogramma nel caso in cui le sue diagonali si intersecano e questo punto le divide in segmenti uguali.
Dimostrazione: si intersechino le rette AC e BD del quadrilatero ABCD i.e. Poiché ∠AED = ∠BEC e AE+CE=AC BE+DE=BD, allora ∆AED = ∆BEC (per il primo criterio di uguaglianza dei triangoli). Cioè, ∠EAD = ∠BCE. Sono anche gli angoli trasversali interni della secante AC per le rette AD e BC. Quindi, per definizione di parallelismo - AD || a.C. Si deriva anche una proprietà simile delle linee BC e CD. Il teorema è stato dimostrato.
Calcolo dell'area di una figura
Area di questa figura trovato con diversi metodi uno dei più semplici: moltiplicare l'altezza e la base a cui è disegnato.
Dimostrazione: traccia le perpendicolari BE e CF dai vertici B e C. ∆ABE e ∆DCF sono uguali, poiché AB = CD e BE = CF. ABCD ha le stesse dimensioni del rettangolo EBCF, poiché sono costituiti da cifre proporzionate: S ABE e S EBCD, nonché S DCF e S EBCD. Ne consegue che l'area di questa figura geometrica è uguale a quella di un rettangolo:
S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.
Per determinare la formula generale dell'area di un parallelogramma, indichiamo l'altezza come hb, e il lato - B. Rispettivamente:
Altri modi per trovare l'area
Calcoli dell'area attraverso i lati del parallelogramma e l'angolo, che formano, è il secondo metodo noto.
,
Spr-ma: zona;
a e b sono i suoi lati
α è l'angolo tra i segmenti a e b.
Questo metodo è praticamente basato sul primo, ma non è noto nel caso in cui. si interrompe sempre triangolo rettangolo, i cui parametri sono trovati da identità trigonometriche, cioè . Trasformando la relazione, otteniamo . Nell'equazione del primo metodo sostituiamo l'altezza con questo prodotto e otteniamo una prova della validità di questa formula.
Attraverso le diagonali di un parallelogramma e l'angolo, che creano quando si intersecano, puoi anche trovare l'area.
Dimostrazione: AC e BD si intersecano per formare quattro triangoli: ABE, BEC, CDE e AED. La loro somma è uguale all'area di questo quadrilatero.
L'area di ciascuno di questi ∆ può essere trovata dall'espressione , dove a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Dal momento che , i calcoli utilizzano un singolo valore seno. Questo è . Poiché AE+CE=AC= d 1 e BE+DE=BD= d 2, la formula dell'area si riduce a:
.
Applicazioni in algebra vettoriale
Le caratteristiche delle parti costitutive di questo quadrilatero hanno trovato applicazione nell'algebra vettoriale, ovvero nell'addizione di due vettori. Lo afferma la regola del parallelogramma se dati i vettoriENonsono collineari, la loro somma sarà uguale alla diagonale di questa figura, le cui basi corrispondono a questi vettori.
Dimostrazione: da un inizio scelto arbitrariamente - cioè - costruire vettori e . Successivamente, costruiamo un parallelogramma OASV, dove i segmenti OA e OB sono lati. Pertanto, il sistema operativo si trova sul vettore o sulla somma.
Formule per il calcolo dei parametri di un parallelogramma
Le identità sono assegnate alle seguenti condizioni:
- aeb, α - lati e l'angolo tra loro;
- d 1 e d 2, γ - diagonali e nel punto della loro intersezione;
- h a e h b - altezze ribassate ai lati a e b;
| Parametro | Formula |
| Trovare i lati | |
| lungo le diagonali e il coseno dell'angolo compreso tra loro | 
|
| lungo le diagonali e i lati | 
|
| attraverso l'altezza e il vertice opposto | |
| Trovare la lunghezza delle diagonali | |
| sui lati e la dimensione dell'apice tra di loro | |
| lungo i lati e una delle diagonali | 
ConclusioneIl parallelogramma, come una delle figure chiave della geometria, viene utilizzato nella vita, ad esempio, nella costruzione quando si calcola l'area di un sito o altre misurazioni. Pertanto, la conoscenza di caratteristiche distintive e i modi per calcolarne i vari parametri possono essere utili in qualsiasi momento della vita. |
Cos'è un parallelogramma? Un parallelogramma è un quadrilatero i cui lati opposti sono paralleli a coppie.
1. L'area di un parallelogramma è calcolata dalla formula:
\[ \GRANDE S = a \cdot h_(a)\]
Dove:
a è il lato del parallelogramma,
h a – altezza tracciata da questo lato.
2. Se si conoscono le lunghezze di due lati adiacenti di un parallelogramma e l'angolo tra di essi, l'area del parallelogramma viene calcolata con la formula:
\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]
3. Se vengono fornite le diagonali di un parallelogramma e l'angolo tra di esse è noto, l'area del parallelogramma viene calcolata con la formula:
\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]
Proprietà di un parallelogramma
In un parallelogramma i lati opposti sono uguali: \(AB = CD\), \(BC = AD\)
In un parallelogramma gli angoli opposti sono uguali: \(\angolo A = \angolo C\), \(\angolo B = \angolo D\)
Le diagonali di un parallelogramma nel punto di intersezione sono divise a metà \(AO = OC\) , \(BO = OD\)
La diagonale di un parallelogramma lo divide in due triangoli uguali.
La somma degli angoli di un parallelogramma adiacenti ad un lato è 180°:
\(\angolo A + \angolo B = 180^(o)\), \(\angolo B + \angolo C = 180^(o)\)
\(\angolo C + \angolo D = 180^(o)\), \(\angolo D + \angolo A = 180^(o)\)
Le diagonali e i lati di un parallelogramma sono legati dalla seguente relazione:
\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)
In un parallelogramma l'angolo formato dalle altezze è uguale al suo angolo acuto: \(\angolo K B H =\angolo A \) .
Le bisettrici degli angoli adiacenti ad un lato di un parallelogramma sono mutuamente perpendicolari.
Le bisettrici di due angoli opposti di un parallelogramma sono parallele.
Segni di un parallelogramma
Un quadrilatero sarà un parallelogramma se:
\(AB = CD\) e \(AB || CD\)
\(AB = CD\) e \(BC = AD\)
\(AO = OC\) e \(BO = OD\)
\(\angolo A = \angolo C\) e \(\angolo B = \angolo D\)
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Quando si risolvono problemi su questo argomento, eccetto proprietà di base parallelogramma e le formule corrispondenti, puoi ricordare e applicare quanto segue:
- La bisettrice dell'angolo interno di un parallelogramma taglia da esso un triangolo isoscele
- Le bisettrici degli angoli interni adiacenti ad uno dei lati di un parallelogramma sono mutuamente perpendicolari
- Le bisettrici provenienti da angoli interni opposti di un parallelogramma sono parallele tra loro o giacciono sulla stessa retta
- La somma dei quadrati delle diagonali di un parallelogramma è uguale alla somma dei quadrati dei suoi lati
- L'area di un parallelogramma è uguale alla metà del prodotto delle diagonali per il seno dell'angolo compreso tra loro
Consideriamo i problemi in cui vengono utilizzate queste proprietà.
Compito 1.
La bisettrice dell'angolo C del parallelogramma ABCD interseca il lato AD nel punto M e la continuazione del lato AB oltre il punto A nel punto E. Trova il perimetro del parallelogramma se AE = 4, DM = 3.
Soluzione.
1. Il triangolo CMD è isoscele. (Proprietà 1). Pertanto CD = MD = 3 cm.
2. Il triangolo EAM è isoscele.
Pertanto AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Perimetro ABCD = 20 cm.
Risposta. 20cm.
Compito 2.
Le diagonali sono disegnate in un quadrilatero convesso ABCD. È noto che le aree dei triangoli ABD, ACD, BCD sono uguali. Dimostrare che questo quadrilatero è un parallelogramma.
Soluzione.
1. Sia BE l'altezza del triangolo ABD, CF l'altezza del triangolo ACD. Poiché, secondo le condizioni del problema, le aree dei triangoli sono uguali e hanno una base comune AD, allora le altezze di questi triangoli sono uguali. ESSERE = CF.
2. BE, CF sono perpendicolari ad AD. I punti B e C si trovano dalla stessa parte rispetto alla retta AD. ESSERE = CF. Pertanto la retta BC || a.D. (*)
3. Sia AL l'altezza del triangolo ACD, BK l'altezza del triangolo BCD. Poiché, secondo le condizioni del problema, le aree dei triangoli sono uguali e hanno una base comune CD, allora le altezze di questi triangoli sono uguali. AL = BK.
4. AL e BK sono perpendicolari a CD. I punti B e A si trovano dalla stessa parte rispetto alla retta CD. AL = BK. Pertanto la retta AB || CD (**)
5. Dalle condizioni (*), (**) segue che ABCD è un parallelogramma.
Risposta. Comprovato. ABCD è un parallelogramma.
Compito 3.
Sui lati BC e CD del parallelogramma ABCD sono segnati rispettivamente i punti M e H, in modo che i segmenti BM e HD si intersecano nel punto O;<ВМD = 95 о,
Soluzione.
1. Nel triangolo DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. In un triangolo rettangolo DHC Poi<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Ma CD = AB. Quindi AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Risposta: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Compito 4. Di un parallelogramma lungo 4√6 una delle diagonali forma un angolo di 60° con la base, e la seconda diagonale forma un angolo di 45° con la stessa base. Trova la seconda diagonale. Soluzione.
1. AO = 2√6. 2. Applichiamo il teorema del seno al triangolo AOD. AO/sen D = OD/sen A. 2√6/sen 45 o = DE/sen 60 o. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Risposta: 12.
Compito 5. Per un parallelogramma con i lati 5√2 e 7√2, l'angolo minore tra le diagonali è uguale all'angolo minore del parallelogramma. Trova la somma delle lunghezze delle diagonali. Soluzione.
Siano d 1, d 2 le diagonali del parallelogramma e l'angolo tra le diagonali e l'angolo minore del parallelogramma è uguale a φ. 1. Contiamo due diversi S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f, S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f. Otteniamo l'uguaglianza 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f or 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Usando la relazione tra i lati e le diagonali del parallelogramma, scriviamo l'uguaglianza (AB2 + AD2) 2 = AC2 + BD2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d12 + d22 = 296. 3. Creiamo un sistema: (d12 + d22 = 296, Moltiplichiamo la seconda equazione del sistema per 2 e aggiungiamola alla prima. Otteniamo (d 1 + d 2) 2 = 576. Quindi Id 1 + d 2 I = 24. Poiché d 1, d 2 sono le lunghezze delle diagonali del parallelogramma, allora d 1 + d 2 = 24. Risposta: 24.
Compito 6. I lati del parallelogramma sono 4 e 6. L'angolo acuto tra le diagonali è di 45 gradi. Trova l'area del parallelogramma. Soluzione.
1. Dal triangolo AOB, utilizzando il teorema del coseno, scriviamo la relazione tra il lato del parallelogramma e le diagonali. AB2 = AO2 + VO22 · AO · VO · cos AOB. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 (d 1 /2) (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Allo stesso modo, scriviamo la relazione per il triangolo AOD. Teniamone conto<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Otteniamo l'equazione d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Abbiamo un sistema Sottraendo la prima dalla seconda equazione otteniamo 2d 1 · d 2 √2 = 80 ovvero d1d2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Nota: In questo e nel problema precedente non è necessario risolvere completamente il sistema, anticipando che in questo problema abbiamo bisogno del prodotto delle diagonali per calcolare l'area. Risposta: 10. Compito 7. L'area del parallelogramma è 96 e i suoi lati sono 8 e 15. Trova il quadrato della diagonale più corta. Soluzione.
1. S ABCD = AB · AD · peccato ВAD. Facciamo una sostituzione nella formula. Otteniamo 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Quindi peccato ВAD = 4/5. 2. Troviamo cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25. A seconda delle condizioni del problema, troviamo la lunghezza della diagonale minore. La diagonale ВАD sarà più piccola se l'angolo ВАD è acuto. Quindi cos VAD = 3/5. 3. Dal triangolo ABD, utilizzando il teorema del coseno, troviamo il quadrato della diagonale BD. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD. ÂD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145. Risposta: 145.
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(
(Poiché in un triangolo rettangolo il cateto opposto all'angolo di 30° è pari alla metà dell'ipotenusa).
modi la sua area.
(d1 + d2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
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