Od jakich czynników zależy pojemność pojedynczego przewodnika? Pojemność elektryczna pojedynczego przewodnika

Energia może być magazynowana poprzez podnoszenie ładunku (zegary z kukułką), skręcanie sprężyny (zwykłe zegary mechaniczne), sprężanie gazu (broń pneumatyczna). Energia może być również magazynowana w postaci pola elektrostatycznego. W tym celu stosuje się urządzenia zwane kondensatorami. W najgrubszym przybliżeniu każdy kondensator to para przewodników (płytek), pomiędzy którymi powstaje pewna różnica potencjałów. Zdolność kondensatora do magazynowania energii w formie pole elektrostatyczne charakteryzuje się pojemnością. Sam termin sięga czasów, kiedy pojawił się pomysł na płyn elektryczny. Wyobraź sobie naczynie, które napełniamy taką cieczą. Jego poziom (różnica wysokości między dnem naczynia a powierzchnią cieczy) odpowiada różnicy potencjałów, do której ładowany jest kondensator. A ilość cieczy w naczyniu to ładunek przekazywany do kondensatora. W zależności od kształtu naczynia, na tym samym poziomie (różnicy potencjałów), dostanie się do niego mniej lub więcej cieczy (ładunków). Stosunek nazywa się pojemnością kondensatora.

Przewodniki samotne mają również pojemność. W tym przypadku rolę drugiej podszewki pełnią nieskończenie odległe punkty przestrzeni. Rozważmy na przykład naładowaną kulę o promieniu . Na zewnątrz kuli znajduje się pole elektryczne kulombowskie

skierowane wzdłuż promienia. Potencjał generowany przez naładowaną kulę w , jest określony wzorem

Wewnątrz sfery przewodzącej, a zatem potencjał we wszystkich punktach tej sfery jest stały i pokrywa się z wartością potencjału na jej powierzchni:

Ta wartość jest zasadniczo różnicą potencjałów między powierzchnią kuli a punktem w nieskończoności. Według definicji pojemności

W SI za jednostkę pojemności przyjmuje się farad (na cześć M. Faradaya): farad to pojemność takiego przewodnika, do którego, aby zwiększyć potencjał o 1 V, należy zgłosić opłata 1 C:

Stosunek pojemności pojedynczej kuli w próżni pokazuje, że 1 F to pojemność kuli o promieniu m, który jest 13 razy większy od promienia Słońca i 1413 razy większy od promienia Ziemi. Zatem pojemność Ziemi wynosi około 1/1413 F, czyli mikrofarad. Innymi słowy, 1 F to ogromna pojemność. Dopiero stosunkowo niedawno nauczyli się wytwarzać kondensatory o takiej pojemności, głównie dzięki ulepszeniu technologii nakładania ultracienkich folii dielektrycznych i metalowych. Np. całkowity rozmiar kondensatora NEC/TOKIN (www.nec-tokin.net/now/english/index.html) o pojemności 1 F wynosi mniej niż 22 mm, a jego masa to 6,7 grama.

Pojemność elektryczna pojedynczego przewodnika

Rozważmy samotnego przewodnika, tj. przewodnika, który jest oddalony od innych przewodników, ciał i ładunków. Jego potencjał, zgodnie z (84.5), jest wprost proporcjonalny do ładunku przewodnika. Z doświadczenia wynika, że różne przewodniki, będąc jednakowo naładowanymi, mają różne potencjały. Dlatego dla samotnego dyrygenta możemy napisać

wartość

nazywa moc elektryczna(lub po prostu Pojemność) samotnego dyrygenta. Pojemność pojedynczego przewodnika jest określona przez ładunek, którego przesłanie do przewodnika zmienia jego potencjał o jeden.

Pojemność przewodnika zależy od jego wielkości i kształtu, ale nie zależy od materiału, stanu skupienia, kształtu i wielkości wnęk wewnątrz przewodnika. Wynika to z faktu, że nadmiarowe ładunki są rozprowadzane na zewnętrznej powierzchni przewodnika. Pojemność również nie zależy od ładunku przewodnika ani od jego potencjału.

Jednostka mocy elektrycznej - farad(F): 1 F jest pojemnością takiego samotnego przewodnika, którego potencjał zmienia się o 1 V, gdy zostanie mu nadany ładunek 1 C.

Zgodnie z (84.5), potencjał samotnej kuli o promieniu R , znajduje się w jednorodnym ośrodku o przenikalności ε jest równe

Korzystając ze wzoru (93.1) otrzymujemy, że pojemność kuli

Z tego wynika, że samotna kula w próżni o promieniu ≈9∙106 km, czyli około 1400 razy większym od promienia Ziemi (pojemność elektryczna Ziemi mF), miałaby pojemność 1 F. W związku z tym farad ma bardzo dużą wartość, dlatego w praktyce stosuje się jednostki podwielokrotne - milifarad (mF), mikrofarad (μF), nanofarad (nF), pikofarad (pF). Ze wzoru (93.2) wynika również, że jednostką stałej elektrycznej ε 0 jest farad na metr (F/m) (patrz (78.3)).

§ 94. Kondensatory

Jak wynika z § 93, aby dyrygent miał Duża pojemność, musi mieć bardzo duże rozmiary. W praktyce jednak potrzebne są urządzenia, które przy niewielkich rozmiarach i małych potencjałach w stosunku do otaczających ciał mogą akumulować znaczne ładunki, innymi słowy, mają dużą pojemność. Te urządzenia nazywają się kondensatory.

Jeśli inne ciała zbliżą się do naładowanego przewodnika, to pojawiają się na nich ładunki indukowane (na przewodniku) lub związane (na dielektryku), a ładunki najbliższe indukującemu Q, opłaty będą miały przeciwny znak. Ładunki te naturalnie osłabiają pole wytworzone przez ładunek Q, tj. obniżają potencjał przewodnika, co prowadzi (patrz (93.1)) do wzrostu jego pojemności elektrycznej.

Kondensator składa się z dwóch przewodów (płyt) oddzielonych dielektrykiem. Otaczające elementy nie powinny wpływać na pojemność kondensatora, dlatego przewody są ukształtowane w taki sposób, aby pole wytworzone przez nagromadzone ładunki było skoncentrowane w wąskiej szczelinie między płytami kondensatora. Warunek ten jest spełniony (patrz § 82): 1) dwie płaskie tabliczki; 2) dwa współosiowe cylindry; 3) dwie koncentryczne kule. Dlatego w zależności od kształtu płytek kondensatory dzielą się na płaskie, cylindryczne i kuliste.

Ponieważ pole jest skoncentrowane wewnątrz kondensatora, linie napięcia zaczynają się na jednej płycie i kończą na drugiej, dlatego swobodne ładunki powstające na różnych płytach są równe wartościom bezwzględnym przeciwległym ładunkom. Pojemność kondensatora wynosi wielkość fizyczna, równy stosunkowi ładowania Q, nagromadzone w kondensatorze, do różnicy potencjałów między jego płytkami:

(94.1)

Obliczamy pojemność płaskiego kondensatora, składającego się z dwóch równoległych płytek metalowych o powierzchni S każda , położony na odległość d od siebie i mając ładunki + Q oraz - Q,. Jeżeli odległość między płytami jest mała w porównaniu z ich wymiarami liniowymi, wówczas efekty krawędziowe można pominąć, a pole między płytami można uznać za jednolite. Można go obliczyć za pomocą wzorów (86.1) i (94,1). W obecności dielektryka między płytkami, różnica potencjałów między nimi, zgodnie z (86.1),

(94.2)

gdzie ε - stała dielektryczna. Następnie ze wzoru (94.1), zastępując Z biorąc pod uwagę (94.2), otrzymujemy wyrażenie na pojemność płaskiego kondensatora:

Aby określić pojemność cylindrycznego kondensatora składającego się z dwóch pustych współosiowych cylindrów o promieniach r 1 i r 2 (r2>r1), wstawione jeden w drugi, ponownie pomijając efekty brzegowe, uważamy, że pole jest promieniowo symetryczne i skoncentrowane pomiędzy płytami cylindrycznymi. Różnicę potencjałów między płytami oblicza się ze wzoru (86,3) dla pola równomiernie naładowanego nieskończonego cylindra o gęstości liniowej (l- długość podszewki). W obecności dielektryka między płytkami różnica potencjałów

(94.4)

Zastępując (94,4) w (94,1) otrzymujemy wyrażenie na pojemność kondensatora cylindrycznego:

Aby określić pojemność kondensatora kulistego, składającego się z dwóch koncentrycznych płytek oddzielonych kulistą warstwą dielektryczną, używamy wzoru (86,2) na różnicę potencjałów między dwoma punktami leżącymi w odległości r 1 i r 2 (r2>r1) od środka naładowanej kulistej powierzchni. W obecności dielektryka między płytkami różnica potencjałów

(94.6)

Podstawiając (94,6) do (94,1) otrzymujemy

(94.7)

Jeśli wtedy i Ponieważ 4πg 2 to powierzchnia kulistej okładziny, otrzymujemy wzór (94,3). Tak więc, przy małej szczelinie w porównaniu z promieniem kuli, wyrażenia na pojemność kondensatorów sferycznych i płaskich pokrywają się. Ten wniosek dotyczy również kondensatora cylindrycznego: przy niewielkiej szczelinie między cylindrami w porównaniu z ich promieniami, wzór (94,5) można rozszerzyć do szeregu, ograniczonego tylko do członu pierwszego rzędu. W rezultacie ponownie dochodzimy do wzoru (94,3).

Ze wzorów (94,3), (94,5) i (94,7) wynika, że pojemność kondensatorów dowolnego kształtu jest wprost proporcjonalna do stałej dielektrycznej dielektryka wypełniającego przestrzeń między płytkami. Dlatego zastosowanie ferroelektryków jako warstwy znacznie zwiększa pojemność kondensatorów.

Rozważać samotny dyrygent, czyli przewodnik, który jest usunięty z innych przewodników, ciał i ładunków. Jego potencjał, zgodnie z (84.5), jest wprost proporcjonalny do ładunku przewodnika. Z doświadczenia wynika, że różne przewodniki, będąc jednakowo naładowanymi, mają różne potencjały. Dlatego dla samotnego dyrygenta możemy napisać

wartość

Jednostka mocy elektrycznej - farad(F): 1 F jest pojemnością takiego samotnego przewodnika, którego potencjał zmienia się o 1 V, gdy zostanie mu nadany ładunek 1 C.

Zgodnie z (84.5), potencjał pojedynczej kuli o promieniu R, położony w jednorodnym ośrodku o przenikalności e, jest równy

Korzystając ze wzoru (93.1) otrzymujemy, że pojemność kuli

Wynika z tego, że samotna kula, znajdująca się w próżni i mająca promień R= C/ (4pe 0)»9×106 km, co jest około 1400 razy większe niż promień Ziemi (pojemność elektryczna Ziemi Z» 0,7 mF). W związku z tym farad ma bardzo dużą wartość, dlatego w praktyce stosuje się jednostki podwielokrotne - milifarad (mF), mikrofarad (μF), nanofarad (nF), pikofarad (pF). Ze wzoru (93.2) wynika również, że jednostką stałej elektrycznej e 0 jest farad na metr (F / m) (patrz (78.3)).

Kondensatory

aby przewodnik miał dużą pojemność, musi być bardzo duży. W praktyce jednak potrzebne są urządzenia, które przy niewielkich rozmiarach i małych potencjałach w stosunku do otaczających ciał mogą akumulować znaczne ładunki, innymi słowy, mają dużą pojemność. Te urządzenia nazywają się kondensatory.

Jeśli inne ciała zbliżą się do naładowanego przewodnika, to pojawiają się na nich ładunki indukowane (na przewodniku) lub związane (na dielektryku), a ładunki najbliższe indukującemu Q opłaty będą miały przeciwny znak. Ładunki te naturalnie osłabiają pole wytworzone przez ładunek Q, tj. obniżają potencjał przewodnika, co prowadzi (patrz (93.1)) do wzrostu jego pojemności elektrycznej.

Ponieważ pole jest skoncentrowane wewnątrz kondensatora, linie napięcia zaczynają się na jednej płycie i kończą na drugiej, dlatego swobodne ładunki powstające na różnych płytach są równe wartościom bezwzględnym przeciwległym ładunkom. Pod pojemność kondensatora jest rozumiany jako wielkość fizyczna równa stosunkowi ładunku Q nagromadzone w kondensatorze do różnicy potencjałów (j 1 - j 2) pomiędzy jej okładzinami:

(94.1)

Obliczamy pojemność płaskiego kondensatora składającego się z dwóch równoległych metalowych płytek o powierzchni S każdy znajduje się w pewnej odległości d od siebie i mając opłaty + Q oraz – Q. Jeżeli odległość między płytami jest mała w porównaniu z ich wymiarami liniowymi, wówczas efekty krawędziowe można pominąć, a pole między płytami można uznać za jednolite. Można go obliczyć za pomocą wzorów (86.1) i (94,1). W obecności dielektryka między płytkami, różnica potencjałów między nimi, zgodnie z (86.1),

(94.2)

gdzie e jest przenikalnością. Następnie ze wzoru (94.1), zastępując Q= sS, biorąc pod uwagę (94.2), otrzymujemy wyrażenie na pojemność płaskiego kondensatora:

(94.3)

Aby określić pojemność kondensatora cylindrycznego, składającego się z dwóch pustych współosiowych cylindrów o promieniach r 1 i r 2 (r 2 > r 1) wstawione jedna w drugą, ponownie pomijając efekty krawędziowe, uważamy, że pole jest promieniowo symetryczne i skoncentrowane między płytami cylindrycznymi. Różnicę potencjałów między płytami obliczamy za pomocą wzoru (86.3) dla pola równomiernie naładowanego nieskończonego cylindra o gęstości liniowej t = Q/ ja (ja- długość podszewki). W obecności dielektryka między płytkami różnica potencjałów

(94.4)

Zastępując (94,4) w (94,1) otrzymujemy wyrażenie na pojemność kondensatora cylindrycznego:

(94.5)

Aby określić pojemność kondensatora kulistego, składającego się z dwóch koncentrycznych płytek oddzielonych kulistą warstwą dielektryczną, posługujemy się wzorem (86,2) na różnicę potencjałów między dwoma punktami leżącymi w odległości r 1 i r 2 (r 2 > r 1) od środka naładowanej kulistej powierzchni. W obecności dielektryka między płytkami różnica potencjałów

(94.6)

Podstawiając (94,6) do (94,1) otrzymujemy

Jeśli d= r 2 - r1<<r 1 , następnie r 2 » r jeden " r oraz C= 4pe 0 e r 2 /d. Od 4p r 2 to powierzchnia kulistej okładziny, wówczas otrzymujemy wzór (94,3). Tak więc, przy małej szczelinie w porównaniu z promieniem kuli, wyrażenia na pojemność kondensatorów sferycznych i płaskich pokrywają się. Ten wniosek dotyczy również kondensatora cylindrycznego: z niewielką przerwą między cylindrami w porównaniu z ich promieniami we wzorze (94,5) ln ( r 2 /r 1) można rozszerzyć do serii, ograniczonej tylko terminem pierwszego rzędu. W rezultacie ponownie dochodzimy do wzoru (94,3).

Kondensatory są scharakteryzowane napięcie przebicia- różnica potencjałów między płytkami kondensatora, przy której awaria- wyładowanie elektryczne przez warstwę dielektryczną w kondensatorze. Napięcie przebicia zależy od kształtu płytek, właściwości dielektryka i jego grubości.

Aby zwiększyć pojemność i zmienić jej możliwe wartości, kondensatory są łączone w baterie, wykorzystując ich połączenia równoległe i szeregowe.

1. Równoległe połączenie kondensatorów(Rys. 144). W przypadku kondensatorów połączonych równolegle różnica potencjałów na płytkach kondensatora jest taka sama i równa j A – j B. Jeżeli pojemności poszczególnych kondensatorów Z 1 , Z 2 , ..., Z n , wówczas zgodnie z (94.1) ich opłaty są równe

i ładunek baterii kondensatorów

Pełna pojemność baterii

tj. gdy kondensatory są połączone równolegle, jest równa sumie pojemności poszczególnych kondensatorów.

2. Szeregowe połączenie kondensatorów(Rys. 145). W przypadku kondensatorów połączonych szeregowo ładunki wszystkich płytek są równe co do wielkości, a różnica potencjałów na zaciskach akumulatora

gdzie dla dowolnego z rozważanych kondensatorów D j i = Q/Z i. Z drugiej strony,

tj. gdy kondensatory są połączone szeregowo, odwrotności pojemności są sumowane. Tak więc, gdy kondensatory są połączone szeregowo, wynikowa pojemność Z zawsze mniej niż najmniejsza pojemność używana w akumulatorze.