Rezumat pe tema:

Markov, Andrey Andreevich (junior)

Plan:

Introducere

• 1 Biografie
• 2 Cărți în rusă
Note

Introducere

Andrei Andreevici Markov (9 (22) septembrie 1903 ( 19030922 ) , Sankt Petersburg - 11 octombrie 1979, Moscova) - matematician sovietic, fiul celebrului matematician rus A.A. Markov, fondatorul școlii sovietice de matematică constructivă.

1. Biografie

A absolvit al VIII-lea Gimnaziu din Petrograd în 1919; Universitatea de Stat din Leningrad în 1924; studii postuniversitare la Institutul Astronomic (Leningrad) în 1928.

Gradul științific de doctor în științe fizice și matematice a fost acordat fără a susține o dizertație în 1935. Membru corespondent al Academiei de Științe a URSS din 1953.

În 1933-1955 a lucrat la Universitatea din Leningrad (din 1936 - profesor).

Din 1936 până în 1942 și din 1944 până în 1953 a condus departamentul de geometrie la Universitatea de Stat din Leningrad.

În 1939-1972 a lucrat la Institutul de Matematică. Academia de Științe Steklov a URSS.

Până în iulie 1942 a fost în Leningradul asediat.

Din 1959 până în 1979, șef al departamentului de logică matematică la Universitatea de Stat din Moscova universitate de stat ei. M. V. Lomonosov.

Lucrări principale de teoria sistemelor dinamice, topologie, algebră topologică, teoria algoritmilor și matematică constructivă.

A dovedit imposibilitatea de rezolvare a problemei egalității în sistemele asociative (1947), problema homeomorfiei în topologie (1958), a creat o școală de matematică și logică constructivă în URSS și autor al conceptului de algoritm normal.

A fost distins cu Ordinul Insigna de Onoare (1945), Ordinul lui Lenin (1954), Ordinul Steagul Roșu al Muncii (1963), medalia „Pentru muncă curajoasă” (1945) și medalia „Pentru Apărarea Leningradului” (1946). Premiul numit după Academia de Științe Chebyshev a URSS (1969).

A scris poezie.

2. Cărți în limba rusă

• Markov A.A. Teoria algoritmilor. - M.-L., 1954 (Tr. Institutul de Matematică al Academiei de Științe a URSS, vol. 42).
• Markov A.A., Nagorny N.M. Teoria algoritmilor - M.: Nauka, 1984.
• Markov A. A. Lucrări alese. T. II. Teoria algoritmilor si matematica constructiva, logica matematica, informatica si probleme conexe. - M.: MTsNMO, 2003.

Note

1. Dragalin A.G. Intuiționismul matematic. Introducere în teoria dovezilor. M.: Nauka, 1979.

descărcare
Acest rezumat se bazează pe un articol din Wikipedia rusă. Sincronizare finalizată 07/10/11 16:49:23
Rezumate similare: Markov Andrei Andreevici, Markov Andreevici (senior), Markov Dmitri Andreevici, Dmitri Andreevici Markov, Osip Andreevici Markov, Markov Osip Andreevici, Markov Andrei, Andrei Markov, Markov Andrei Alexandrovici.

Categorii: Personalități în ordine alfabetică, Absolvenți ai Universității de Stat din Sankt Petersburg, Cavaleri ai Ordinului lui Lenin,

Markov Andrei Andreevici

M Arkov, Andrey Andreevich - matematician celebru. Născut în 1856, a primit studiile la Universitatea din Sankt Petersburg, la Facultatea de Matematică și Fizică și Matematică. În 1880, Markov a primit o diplomă de master pentru disertația sa „Despre formele pătratice binare ale determinantului pozitiv”. Markov și-a primit doctoratul în 1885 pentru teza sa „Despre unele aplicații ale fracțiilor algebrice continuate”. A fost profesor la Universitatea din Sankt Petersburg, acum un academician obișnuit. Markov a publicat o mulțime de lucrări, dintre care majoritatea au fost publicate în publicațiile Academiei de Științe. Au fost publicate separat „Table des valeurs de l"integrale..." (1888); "Calculul diferențelor finite" (ediția a II-a, 1911); "Calcul probabilităților" (ediția a III-a, 1913). Subiectele preferate de studiu ale lui Markov au fost teoria probabilității și teoria fracțiilor algebrice continuate și teoria numerelor algebrice A participat activ la calculele fondului emerit al Ministerului Justiției, atât la deschiderea, cât și la revizuirea acțiunilor acestuia; primii cinci ani, Markov a luat parte și la Uniunea Academică din 1905 - 1906 și a vorbit de mai multe ori în ziare cu „scrisori către redactor” pe teme politice de actualitate, scrise într-un spirit hotărât democratic.

Alte biografii interesante.

(1856-1922) matematician rus

Andrei Andreevich Markov s-a născut la 2 iunie 1856 la Ryazan în familia unui funcționar. În copilărie, era grav bolnav (medicii au descoperit că avea tuberculoză osoasă) și mergea în cârje pentru că un picior nu se putea îndrepta la genunchi. Familia s-a mutat la Sankt Petersburg, unde celebrul chirurg E. Kade l-a operat pe băiat, iar piciorul i s-a îndreptat. Ulterior, Andrei Andreevici a șchiopătat doar ușor, dar acest lucru nu l-a împiedicat să meargă mult.

În 1866 a fost repartizat la al cincilea gimnaziu din Sankt Petersburg. Mulți dintre absolvenții săi au devenit oameni de știință celebri în domeniul științelor exacte. În 1874, Andrei Markov a intrat la Facultatea de Fizică și Matematică a Universității din Sankt Petersburg. A studiat bine, pe tot parcursul studiului a primit doar două note B, una la chimie i-a fost dată de D.I Mendeleev, cealaltă la teologie. Studentul talentat a primit o bursă imperială și o bursă personală Dymman în ultimul an, iar în al patrulea an a primit o medalie de aur pentru cercetarea ecuațiilor diferențiale. După ce a absolvit Universitatea din Sankt Petersburg, lui Markov, ca unul dintre cei mai buni studenți, i s-a propus să rămână la universitate, unde și-a început cariera didactică.

Membrii Școlii de Matematică din Sankt Petersburg, profesorii P. L. Cebyshev, E. I. Zolotarev și mai ales A. N. Korkin, au avut o mare influență asupra lui. La universitate, Andrei Andreevici ține prelegeri la toate secțiunile de matematică superioară, iar susținerea tezelor sale de master și doctorat vorbește despre dezvoltarea sa ca matematician. O teză de master genială în teoria numerelor, „Despre formele pătratice binare ale determinantului pozitiv”, a influențat semnificativ cercetările în acest domeniu. Studenții au iubit prelegerile lui Andrei Andreevici, clare și precise, „cu fiecare cuvânt, ca și cum ar bate cui după cui pe o linie dreaptă, de la care nu a lăsat să se abată adevărul”, își amintește profesorul B. P. Weitzberg. Când ținea prelegeri, Markov nu a permis nicio abatere de la subiect, nicio frază introductivă sau vreo artă sau narcisism. Prelegerea ar putea începe chiar la usa din fata când nu se apropiase încă de tablă și amvon, ar fi putut să-i uite de ale lui aspectși despre ce scria pe tablă când a dezvoltat o idee care i s-a părut interesantă.

Pentru studenții săi, Markov nu a fost doar un mare om de știință, ci și un om cu principii, un cetățean și un om cu suflet extrem de direct. Deschis și curajos, nu și-a trădat niciodată convingerile.

La universitate, Andrei Andreevich s-a comportat foarte independent. Odată, când era încă tânăr profesor, a fost inclus în comisia de examen. A refuzat să intre, în ciuda presiunilor din partea autorităților universitare. Markov a spus că acest lucru contrazice carta universității, conform căreia comisiile de testare trebuie să fie separate și independente de universitate. Următorul caz este, de asemenea, tipic: primarul din Sankt Petersburg a salutat-o ​​pe împărăteasa sosită Alexandra Feodorovna în toate ziarele orașului în numele tuturor locuitorilor din Sankt Petersburg. Markov a trimis o respingere ziarului, care a afirmat că el, Andrei Andreevici Markov, nu i-a cerut primarului să o salute pe împărăteasa în numele său.

În 1883, Andrei Andreevich s-a căsătorit cu Masha Valvateva, pe care o cunoștea de mult timp când ea încă studia la gimnaziu. Masha nu se pricepea la matematică, iar studentul Markov a început să studieze cu ea.

În 1889, remarcabilul matematician rus Viktor Yakovlevich Bunyakovsky a murit și s-a deschis un post vacant pentru un academician obișnuit în matematică pură la Academia de Științe din Sankt Petersburg. Această problemă nu a fost rezolvată multă vreme, până când la 2 martie 1896, adunarea generală a Academiei de Științe, cu 21 de voturi pentru și 7 voturi împotrivă, l-a aprobat pe Andrei Andreevici Markov ca academician obișnuit. Acesta a fost ultimul „pas” academic; mai întâi în 1886 a fost ales adjunct al Academiei de Științe din Sankt Petersburg și pentru prima dată a început să participe la adunarea generală, apoi în 1890 a devenit un academician extraordinar. Revista internațională de matematică „Acta mathematica”, care a fost publicată de remarcabilul matematician suedez G. Mittag-Leffler, publică articole de A. A. Markov.

Unul dintre hobby-urile lui Andrei Andreevici a fost șahul. A spune pur și simplu că a jucat șah înseamnă a nu spune nimic. Chiar și în anii de liceu, îi plăcea compoziția de șah, această „poezie a șahului” - compunerea problemelor de șah. Treptat, Markov a devenit un jucător de șah foarte puternic și a participat la turnee profesionale. Prietenia sa cu Mihail Ivanovici Chigorin, fondatorul școlii rusești de șah, este semnificativă.

Andrei Andreevici și Maria Ivanovna nu au avut proprii copii de multă vreme și, în cele din urmă, la 9 septembrie 1903, s-a născut fiul lor, viitorul celebru matematician sovietic Andrei Andreevici Markov (junior). Nașterea fiului lor le-a dat toată viața peste cap, iar acum scopul principal a fost creșterea micuțului Andryusha. Băiatul era foarte bolnav, iar familia Markov a călătorit adesea în străinătate în 1910-1912 pentru a alăpta copilul. Vara au plecat în vacanță într-o stațiune din Baden-Baden, Germania, și au petrecut toamna în Italia sau Elveția.

La 25 februarie 1902, la propunerea academicienilor V. G. Korolenko și V. V. Stasov, M. Gorki a fost ales academician de onoare. Nicolae al II-lea a sugerat Academiei să anuleze această decizie, invocând faptul că Gorki era sub supravegherea poliției. V. G. Korolenko și A. P. Cehov și-au întors diplomele Academiei în semn de protest, iar V. V. Stasov a declarat că nu va mai pune piciorul în Academie. A. A. Markov a scris o scrisoare Președintelui Academiei, Marele Duce K. K. Romanov, foarte emoționantă și cu expresii foarte dure privind arbitrariul și amestecul în treburile întâlnirii științifice.

Prin fire, nu putea suporta compromisuri și era o oaie neagră în mediul „diplomatic” al academicienilor ruși. Dacă argumenta, își exprima punctul de vedere tăios și hotărât, de parcă ar fi efectuat cercetări științifice.

Uneori, remarcile lui Markov au dus la controverse serioase în comunitatea științifică. Acesta a fost cazul lui Kovalevskaya, care i-a scris lui G. Mittag-Leffler: „Markov, apropo, a vorbit public despre munca mea la rotație, că a fost plină de erori grave! Când i s-a cerut să arate aceste greșeli, el a răspuns cu nebunie că nu vrea să facă asta...” Comentariile lui Markov cu privire la teorema lui Kovalevskaya au atras atenția oamenilor de știință asupra acestei probleme și au fost luate în considerare toate cazurile speciale. Aceasta a fost dictată de dorința de a se apropia de adevăr. Și ulterior, remarcabilul matematician rus Alexander Mikhailovici Lyapunov, un prieten al lui Markov, a clarificat raționamentul marelui Kovalevskaya și a demonstrat o teoremă mai generală.

Markov a vorbit la 12 ianuarie 1913 la adunarea generală a Academiei de Științe și a propus sărbătorirea bicentenarului legii numerelor mari - teorema lui Jacob Bernoulli. Este interesant că cu o lună înainte, când Academia a discutat despre pregătirile pentru celebrarea a 300 de ani de la dinastia Romanov, Andrei Andreevici a spus calm că el, academicianul Markov, nu a considerat posibil pentru el însuși să participe la această aniversare. Acestea fiind spuse, s-a apucat de organizarea unui forum științific dedicat lui Jacob Bernoulli și celebra lui teoremă cu energie reînnoită. La o reuniune ceremonială a Academiei de Științe, el a făcut un raport „Eseu privind dezvoltarea legii numerelor mari ca set de teoreme matematice”, care a trezit un mare interes, oamenii stăteau pe culoare, iar publicul vecin a fost, de asemenea, deplin.

În teoria probabilităților, Markov a fost primul care a dat o demonstrație completă și riguroasă a teoremei limitei principale. Continuându-și cercetările, a venit cu o idee nouă și absolut minunată a „testelor în lanț”. A apărut o nouă știință - teoria lanțurilor Markov. Acest nume a fost propus de academicianul francez Jacques Hadamard, unul dintre patriarhii matematicii moderne, care a trăit jumătate din secolul al XIX-lea și jumătate din secolul al XX-lea.

În 1917, Markov și familia sa au mers în orașul Zaraysk din provincia Ryazan, unde locuiau rudele sale. Petrogradul trecea prin vremuri grele în septembrie 1917, oamenii au stat la porțile lui. trupele germane. În Zaraisk, omul de știință predă matematică la școala reală din Zaraisk și la sfârșitul anului primește o scrisoare de mulțumire, în care scrie: „...N-ai ratat nicio lecție, nu numai că, în sărbătorile de Crăciun, pe Duminica și în sărbători vă neobosit și fructuos, fără a se cruța, dădeau lecții suplimentare elevilor lor. Datorită ție, iubita noastră școală adevărată a ocupat imediat o poziție specială printre alte instituții de învățământ din Rusia, având ca profesor un academician obișnuit și un matematician talentat.”

În cele din urmă, în toamna anului 1918, soții Markov s-au întors la Petrograd, Andrei Andreevici a fost invitat la Universitatea din Petrograd pentru a susține prelegeri.

ÎN ultimii aniÎn viața sa, sănătatea matematicianului se deteriorează, este chinuit de glaucom, care a început când locuia în Zaraysk, dar continuă să vorbească la Universitatea din Petrograd despre probleme de reformă. liceu. În primăvara anului 1922, după o formă severă de radiculită, a fost necesară o intervenție chirurgicală pentru îndepărtarea unui anevrism la nivelul piciorului. După operație, câteva zile mai târziu, temperatura a crescut brusc, iar medicii au diagnosticat o intoxicație generală a sângelui. Omul de știință a murit pe 19 iulie 1922.

Marele matematician Andrei Andreevich Markov a intrat în secolul XXI odată cu descoperirea lanțurilor Markov în teoria probabilității a fost genial, cinstit și incoruptibil, curajul său civic este admirabil.

Tatăl meu, Andrei Andreevich Markov, s-a născut pe 2 iunie (stil vechi) 1856 la Ryazan. Era fiul unui funcționar, Andrei Grigorievici Markov, care a servit în Departamentul Silvic cu gradul de consilier colegial, apoi s-a pensionat și a lucrat ca avocat privat, sau „intercesor pentru cauze”, așa cum se numea atunci această profesie. Tatăl lui Andrei Grigorievici, Grigory Markovich Markov, a fost un diacon rural undeva lângă Ryazan.

Demisia lui Andrei Grigorievici s-a datorat faptului că a demascat abuzurile angajaților superiori ai Direcției Silvice. Pentru a ascunde urmele trucurilor lor, escrocii influenți l-au forțat să demisioneze.

Andrei Grigorievici a fost căsătorit de două ori. Din prima soție, fiica unui funcționar, Nadejda Petrovna, a avut șase copii: Peter, Pavel (care a murit în copilărie), Maria, Evgenia, Andrei și Mihail; de la a doua soție, Anna Iosifovna, trei: Vladimir, Lydia și Ekaterina.

Din frații tatălui său a devenit celebrul Vladimir Andreevici (1871–1897). S-a arătat a fi un matematician de primă clasă, dar tuberculoza l-a adus în mormânt la vârsta de 26 de ani.

Sora tatălui meu, Evgenia Andreevna, a fost una dintre primele femei doctorițe ruse. De profesie este psihiatru de multi ani a lucrat în diferite spitale pentru bolnavi mintal. Ea a murit în 1920.

Sora tatălui meu, Ekaterina Andreevna (născută în 1875), care locuiește acum la Leningrad, este și ea medic. Sora Lydia Andreevna a fost profesoară în școlile secundare. Ea a murit la Leningrad la începutul anului 1942. Fratele tatălui ei, Mihail Andreevici, care a murit la bătrânețe, cu puțin timp înaintea Marelui Războiul Patriotic, a fost pădurar în Ucraina de mulți ani.

La începutul anilor 60 ai secolului trecut, Andrei Grigorievich s-a mutat împreună cu familia la Sankt Petersburg. La pensionare, a obținut un loc de muncă în gestionarea moșiei Ekaterinei Alexandrovna Valvateva. A avut două fiice: Maria (1860–1942) și Elizabeth.

Andryusha Markov era un copil bolnav. A suferit de tuberculoză a articulației genunchiului și a mers în cârje. Cu toate acestea, a știut să se descurce fără ele, dar apoi a galopat pe un picior - celălalt era îndoit la genunchi și nu putea fi îndreptat. În aceste metode de mișcare, însă, a obținut o mare perfecțiune și a putut chiar să joace cu succes la arzătoare.

Când Andryusha avea 10 ani, a fost operat. Celebrul chirurg Kade și-a îndreptat piciorul și a putut să meargă normal. Adevărat, a umblat mai târziu cu o ușoară șchiopătare toată viața, dar asta nu l-a împiedicat să devină un bun pieton, un iubitor al plimbărilor lungi. „Vei fi în viață atâta timp cât ești în mișcare”, îi plăcea să citeze cuvintele unui doctor spus unui poștaș.

În 1866, Andryusha a fost trimis la Gimnaziul 5 din Sankt Petersburg. este "clasic" institutie de invatamant băiatului nu i-a plăcut stilul său oficial. Pentru tot restul vieții, a păstrat o amintire sumbră a acestui loc, unde au încercat nu atât să-l învețe, cât să-l găurize și să-l plictisească, ceea ce a fost facilitat în special de predarea limbilor antice (latina). și greacă), construită pe învățarea din memorie a nenumărate reguli și excepții - există tot felul de „sunt multe nume în is - masculini generis”, etc. A studiat prost la majoritatea disciplinelor și a primit adesea note nesatisfăcătoare. Singura excepție a fost matematica, în care Andryusha a primit invariabil A-uri drepte.

„Sunt calm în legătură cu fiicele mele Masha și Yeni”, a spus odată Andrei Grigorievich, „ele studiază bine”. Dar sunt probleme cu Andrey! Din nou am fost chemat la director. Andrei nu vrea să facă nimic în afară de matematică!

Andrey a fost într-adevăr foarte pasionat de matematică chiar și în anii săi de școală și a studiat această știință pe cont propriu. La un moment dat i se părea că a inventat noua metoda integrarea ecuaţiilor diferenţiale liniare obişnuite cu coeficienţi constanţi. El a raportat această descoperire unor matematicieni ruși celebri din acea vreme: Bunyakovsky, Zolotarev și Korkin. Dintre aceștia, primul nu a răspuns la scrisoarea elevului de liceu Markov, în timp ce ceilalți doi i-au explicat în detaliu și în detaliu că această metodă nu este de fapt nouă. Așa a făcut cunoștință tatăl meu cu profesorii de la Universitatea din Sankt Petersburg A. N. Korkin și E. I. Zolotarev.

Andrei Grigorievici Markov, însă, s-a înșelat când a crezut că Andrei nu este interesat de altceva decât de matematică. De fapt, a citit articole ale marilor publiciști din anii șaizeci - Chernyshevsky, Dobrolyubov, Pisarev, sub influența cărora se afla atunci cea mai bună parte a tinerilor studenți. Într-unul dintre eseurile sale școlare despre „Eugene Onegin”, el a interpretat această lucrare în spiritul lui Pisarev, pentru care a primit următoarea remarcă de la profesor: „Ați citit o mulțime de mâzgălitori care neagă simțul frumosului”.

În ultimul an al lui Andrey, a avut loc un incident care aproape a dus la excluderea lui din școală. Într-o zi, în timpul rugăciunii după predare, punea cărți într-o servietă. Din nefericire pentru el, ultima lecție a fost predată de un „german” care căuta cu sârguință motive pentru a găsi vina. El nu s-a rugat atât de mult, ci a monitorizat comportamentul discipolilor săi în timpul rugăciunii. „Încalci sentimentul de reverență al clasei”, i-a spus el la sfârșitul rugăciunii „Voi informa directorul”. Când prietenul lui Andrei, Kapustin (mai târziu fizician, profesor la Universitatea din Sankt Petersburg), încercând să-l apere, i-a spus profesorului că sentimentul de reverență al clasei nu a fost încălcat, profesorul înfuriat a strigat: „Nu ești avocat. ! Du-te la celula de pedeapsă!” Profesorul s-a plâns directorului; Directorul l-a chemat pe Andrei Grigorievich Markov și i-a spus că nu va tolera „atei și nihiliştii” în gimnaziul său. Istoria tace despre mijloacele la care a trebuit să recurgă Andrei Grigorievici pentru a potoli furia regizorului, un triplu renegat, care și-a schimbat de mai multe ori religia și s-a așezat în cele din urmă pe Ortodoxie.

În 1874, tatăl meu a absolvit liceul și a intrat la Universitatea din Sankt Petersburg. Acolo a ascultat prelegeri ale lui Pafnutiy Lvovich Cebyshev, a căror influență s-a reflectat de-a lungul vieții. activitate științifică. I-a ascultat și pe profesorii A.N Korkin și E.I Zolotarev, care, pe lângă prelegeri, au condus grupuri de studiu cu cei mai buni studenți. A participat la aceste cursuri, rezolvând rapid problemele dificile care se puneau acolo. După recunoașterea lui, conversațiile cu Korkin au servit drept început pentru multe dintre lucrările sale independente.

La 31 mai 1878, a absolvit Universitatea din Sankt Petersburg la categoria matematică a Facultății de Fizică și Matematică cu diplomă de candidat. În același an, i s-a acordat o medalie de aur pentru un eseu pe tema propusă de facultate, „Despre integrarea ecuațiilor diferențiale folosind fracții continuate” și a fost reținut la Universitate „pentru a se pregăti pentru o profesie”.

În 1880, el a susținut celebra sa teză de master „Despre formele pătratice binare ale determinantului pozitiv”, care l-a pus imediat în fruntea matematicienilor ruși.

În 1881 și-a susținut teza de doctorat „Despre unele aplicații ale fracțiilor algebrice continuate”.

În 1880, cariera sa de profesor a început la Universitatea din Sankt Petersburg ca profesor privat. În anii academici 1880/81 şi 1881/82. a predat un curs repetat de calcul diferenţial şi integral. În 1883, a primit cursul „Introducere în analiză”, predat anterior de Yu V. Sokhotsky și K. A. Posse. În același an, Cebyshev a părăsit Universitatea, iar tatăl meu a predat pentru prima dată un curs de teoria probabilității. Din anul școlar 1885/86 a predat acest curs continuu de la an la an.

În 1883 s-a căsătorit cu Maria Ivanovna Valvateva. Cunoștința părinților mei a început în anii copilăriei, la casa Ekaterinei Alexandrovna Valvateva. Apoi, când tatăl era deja student, iar mama studia la gimnaziu și nu se pricepea la matematică, Ekaterina Aleksandrovna Valvatyeva l-a invitat pe „fiul managerului” ca profesor de matematică la fiica ei.

Curând, i-a cerut Ekaterina Alexandrovna mâna fiicei sale în căsătorie. El, însă, nu a primit imediat consimțământul. Bunica a ezitat multă vreme, temându-se să-și căsătorească fiica cu o persoană care, în opinia ei, nu era bună și nu avea un „loc” anume. Abia în 1883, când tatăl meu era deja asistent universitar particular, urma să-și susțină teza de doctorat, iar pe viitor avea un post de profesor, Ekaterina Alexandrovna și-a dat acordul și a avut loc nunta.

La 13 decembrie 1886, la propunerea lui Cebyshev, tatăl a fost ales adjunct al Academiei de Științe, la 3 martie 1890, academician extraordinar, iar la 2 martie 1896, academician obișnuit. În 1886 a fost numit profesor extraordinar la Universitatea din Sankt Petersburg, iar în 1893 - ordinar. În 1905, tatăl meu s-a pensionat de la Universitate cu titlul de profesor emerit, dar a continuat să predea cursul de teoria probabilităților. În efortul de a găsi aplicații practice utile pentru această specialitate științifică principală, el a luat parte activ la calculele Fondului Emerital al Ministerului Justiției la înființarea acestuia și la revizuirea activităților acestuia.

Semnificația muncii tatălui meu pentru știință este tratată în detaliu în articolul din această colecție, „Eseu despre lucrările lui A. A. Markov despre teoria numerelor și teoria probabilității”, și nu voi atinge acest lucru aici. Aș dori să subliniez alte aspecte ale activităților sale și să vorbesc despre cum a fost el ca persoană și cetățean.

A fost un om deschis, direct și curajos, care nu și-a trădat niciodată convingerile și toată viața sa luptat cu înverșunare împotriva a tot ceea ce el considera stupid și dăunător. Curajul lui civic a fost foarte persistent: nu a ținut cont nici de persoanele împotriva cărora a vorbit, nici de consecințele pe care discursurile sale le-ar putea avea asupra lui. Când s-au opus odată la una dintre propunerile lui că ar fi contrară „cel mai înalt decret”, el a spus public: „Îți spun asta, iar tu ești cel mai înalt decret pentru mine!”

Iată câteva fapte și documente care îl caracterizează pe tată.

După cum știți, la 25 februarie 1902, la o ședință comună a Departamentului de Limbă și Literatură Rusă și a Clasei de Literatură Frumoasă a Academiei de Științe, A. M. Gorki a fost ales academician de onoare. Pe 1 martie, în Monitorul Guvernului a apărut un mesaj oficial despre aceasta. L-a înfuriat pe țarul Nicolae al II-lea, care a decis să anuleze imediat alegerile. În acest scop, țarul, prin ministrul educației publice P. S. Vannovsky, a cerut ca președintele „august” al Academiei de Științe să conducă. carte Konstantin Konstantinovich Romanov a publicat în aceeași „Gazetă a Guvernului” un anunț despre casarea alegerilor în numele Academiei de Științe însăși. Un astfel de anunț a fost publicat, deși mai întâi (10 martie) nu în numele Academiei de Științe și abia apoi (12 martie), la noua insistență a lui Vannovsky, în numele acesteia. Ca motiv de casare, anunțul face referire la faptul că Gorki se presupune că era sub supraveghere deschisă a poliției. La acest act de tiranie grosolană a „autocratului” și a președintelui Academiei de Științe, care era îngrozit de el, acționând în numele Academiei fără știrea și acordul Adunării Generale a acesteia, părintele a răspuns cu următoarea declarație :

Am onoarea să propun Adunării ca anunțul de casare a alegerii domnului Peșkov ca academician onorific să fie declarat nul sau corectat, întrucât, în primul rând, acest anunț a fost făcut în numele Academiei, care de fapt a făcut-o. nu casează alegerea domnului Peshkov și, în al doilea rând, în al doilea rând, motivul de casare prezentat în anunț este lipsit de sens.
A. Markov.
6 aprilie 1902

A vrut să-și citească declarația la o ședință a Adunării Generale a Academiei de Științe, dar acest lucru nu a fost permis prin voința președintelui. Secretarul permanent de atunci al Academiei, N. Dubrovin, a impus o rezoluție asupra declarației: „Păstrați-o sub actele de protocol”. Aceasta a însemnat că declarația nu va fi publicată în procesul-verbal al Academiei de Științe. Așa că slujitorii țarului au încercat apoi să înece orice discurs public al oamenilor de știință împotriva tiraniei țarului.

Tatăl meu a făcut apoi un pas în continuare: la 8 aprilie 1902 și-a prezentat demisia președintelui. Nu cunosc textul acestei petiții, iar însăși existența ei este cunoscută doar din alte documente. Președintele, desigur, a încercat să o ascundă de public. În legătură cu demisia sa, tatăl său a anunțat, de asemenea, că nu va mai participa la publicarea lucrărilor lui Cebyshev de către Academia de Științe. Demisia sa nu a fost însă acceptată și și-a reluat activitatea de publicare a lucrărilor lui Cebyshev, temându-se, după toate probabilitățile, să transfere această chestiune responsabilă în alte mâini.

La începutul anului 1905, el și-a reînnoit protestul împotriva casarii alegerilor lui Gorki.

El a trimis următoarea declarație Academiei de Științe:

La Adunarea Generală a Academiei de Științe.
Dorind să creadă și să sperăm că cel mai înalt decret din 12 decembrie 1904, în care se recunoștea ca urgent „... să se ia măsuri efective pentru ocrotirea întregii forțe a legii, ... pentru ca inviolabila și egală executare a acesteia pt. toată lumea este considerată datoria primordială a tuturor autorităților subordonate nouă și locuri...”, deschide o nouă eră a legalității pentru Rusia, consider că este de datoria mea să amintesc Adunarea generală despre un caz fără precedent de încălcare a legii privind academicianul de onoare domnul Peshkov, care încă nu este inclus pe lista academică și este lipsit de posibilitatea de a exercita drepturile de academician de onoare.
Desigur, casarea alegerii domnului Peshkov ca academician de onoare a fost anunțată în ziare, parcă de către Academia de Științe, dar știm că acest anunț este fals. Asemenea declarații pot fi valabile numai acolo unde domnește un arbitrar nelimitat și cad de la sine odată cu eliminarea acestuia din urmă.
Prin urmare, îmi propun să adaug numele domnului Peshkov pe lista academicienilor de onoare și să-l invit să ia parte la viața Academiei în conformitate cu legea.
Academicianul A. Markov.
8 ianuarie 1905

De asemenea, această declarație nu a fost permisă să fie făcută publică în temeiul clauzelor 97 și 98 din statutul Academiei. Gorki a fost invitat la o întâlnire a Departamentului de limbă și literatură rusă și a clasei de literatură fină abia după Revoluția din februarie 1917.

În martie 1903, tatăl meu a înaintat următoarea declarație Consiliului de administrație al Academiei de Științe:

Către Consiliul Academiei de Științe.
Având în vedere sesizarea mie transmisă, prin definiția Consiliului, cu privire la procedura de efectuare a deducerilor pentru comenzi, am onoarea să solicit cu umilință CA să țină seama că nu solicit nicio comandă și nu doresc să primiți-le. A. Markov.
23 martie 1903

Esența acestei afirmații nu era, desigur, că tatăl nu dorea să plătească deducerile pentru ordinele care erau apoi încasate de la purtătorii de ordine - aceste deduceri erau foarte nesemnificative. Aceasta a constat în refuzul său de a mai primi ordine de la guvernul țarist și în disprețul său față de ordinele disponibile. A profitat de prima ocazie care s-a prezentat pentru a declara acest lucru.

După cum se știe, la 3 iunie 1907, guvernul țarist a dizolvat a doua Duma de Stat, ceea ce nu i-a plăcut, și a emis noua lege privind alegerile pentru Duma a Treia de Stat, încălcând astfel manifestul acesteia din 17 octombrie 1905, conform căruia trebuia să emită noi legi numai cu acordul Dumei. În acest sens, părintele s-a adresat Consiliului de Administrație al Academiei de Științe cu următoarea solicitare:

Consiliul Academiei de Științe.
Solicitare de la academicianul A. A. Markov
Datorită faptului că convocarea III Duma de Stat legat de o încălcare a legii și deci nu va fi o adunare a reprezentanților poporului, ci un fel de adunare ilegală, am onoarea să cer cu umilință Consiliului de Administrație să nu-mi includă numele în listele electorale.
Academicianul A. Markov.
11 iunie 1907
Vilmanstrand (Finlanda)
Skinarilla moșie.

Pe această declarație, secretarul permanent de atunci al Academiei de Științe S. Oldenburg a impus o rezoluție: „Plecați fără consecințe”.

În 1908, Ministerul Învățământului Public a emis o circulară în legătură cu tulburările studenților, în care încerca să atribuie funcții de poliție profesorilor universitari. În acest sens, părintele a depus la Minister următoarea declarație:

Excelenţa Sa domnule ministru al învăţământului public
Declarația lui Andrei Markov
Având în vedere cunoscuta circulară, care se bazează pe clarificarea Senatului și mi-a fost prezentată în biroul Universității din Sankt Petersburg la 25 septembrie, consider că este de datoria mea să informez Excelența Voastră că refuz hotărât să fiu un agent al guvernului la Universitate, deși, conform dorințelor Facultății de Fizică și Matematică, rețin predarea de teoria probabilității.
Academicianul A. Markov.
2 octombrie 1908
V.O., 7 rând, 2.

Pe acest document există o rezoluție a ministerului: „Returnați cererea la academicianul Markov ca fiind depusă necorespunzător”.

După cum știți, „Sfântul” Sinod l-a excomunicat pe marele scriitor rus L. din Biserica Ortodoxă. N. Tolstoi. Pentru a dezvălui ridicolul acestei acțiuni, care mirosea a Ev Mediu, la 12 februarie 1912, părintele însuși a înaintat o cerere la Sinod pentru a-l excomunica din biserică.

Iată textul integral al acestei petiții.

La Sfântul Sinod Guvernator
Petiție din partea academicianului A. A. Markov
Am onoarea de a cere cu umilință Sfântului Sinod să mă excomunica din biserică.
Sper că o bază suficientă pentru excomunicare poate fi o referire la cartea mea „Calculul probabilităților”, unde atitudinea mea negativă față de legendele care stau la baza religiilor evreiești și creștine este exprimată clar.
Iată un fragment din această carte (p. 213–214): „Indiferent de formule matematice, pe care nu ne vom opri fără să le dăm de mare importanță, este clar că poveștile despre evenimente incredibile care ar fi avut loc cu mult timp în urmă ar trebui tratate cu îndoială extremă. Și nu putem fi de acord cu academicianul. Bunyakovsky, („Foundations of the Mathematical Theory of Probability”, p. 326), că este necesar să evidențiem o anumită clasă de povești, pe care le consideră condamnabile la îndoială.
„Pentru a nu avea de-a face cu judecători și mai severi și pentru a evita acuzațiile de zguduire a fundațiilor, nu ne oprim pe acest subiect, care nu are legătură directă cu matematica”.
Pentru ca să nu existe nicio îndoială despre ceea ce vorbim aici, voi oferi extrasul corespunzător din cartea lui Bunyakovsky: „Unii filosofi, în moduri reprobabile, au încercat să aplice formule legate de slăbirea probabilității dovezilor și tradiției credințelor religioase. și astfel scuturați-i.”
Dacă fragmentul de mai sus nu este suficient, atunci vă rog cu umilință să țineți cont de faptul că nu văd o diferență semnificativă între icoane și idoli, care, desigur, nu sunt zei, ci imaginile lor și nu simpatizez cu toate religiile, care, ca și Ortodoxia, sunt susținute de foc și sabie și ele însele le servesc.
Academicianul A. Markov.
12 februarie 1912.
St. Petersburg, V. O., 7 line, 2 (Academia de Științe).

Declarația acestui tată nu a mai putut fi returnată ca „depusă în mod necorespunzător”. A provocat o agitație teribilă în tabăra guvernamentală. Ziarele Black Hundred au scos un urlet sălbatic. Mitropolitul din Sankt Petersburg a trimis un „păstor spiritual”, protopopul Ornatsky, la tatăl său pentru „învățătură și îndemnare”. să se potrivească deloc duhovnicului Sinodul a trebuit să dea curs cererii tatălui său, în legătură cu care s-a făcut o anchetă amuzantă dacă era sectar, dacă era botezat, cine erau părinții lui etc.

În 1913, din ordinul guvernului, s-au sărbătorit 300 de ani de la dinasstia Romanov. Spre deosebire de această falsă aniversare a sutei negre, tatăl meu a organizat o aniversare științifică - cea de-a 200-a aniversare a legii numerelor mari.

Într-una dintre scrisorile sale către S. F. Oldenburg, Alexei Nikolaevich Krylov scrie despre această luptă dintre tatăl său și fostul guvern „pentru adevăr”:

„Îți amintești, bineînțeles, protestul lui acut exprimat Academiei cu privire la excluderea, prin ordinul ministrului Sipiaghin, a lui Gorki din Academie, probabil că ți-ai amintit și asta chiar la prima ședință a Academiei de Științe din martie 1917, pe Andrei Andreevici a făcut o propunere, unanim acceptată, pentru includerea din nou a Gorki printre academicienii de onoare De câte ori a protestat Markov împotriva evenimentelor de la universitate? fostul guvern iar poliția în raport cu universitatea și studenții – la un moment dat a fost chiar demis din funcția de profesor pentru aceste discursuri. Amintiți-vă de protestul său împotriva Sinodului cu privire la excomunicarea lui Tolstoi din biserică; la urma urmei, astfel de proteste, întotdeauna declarate deschis și clar, nu pot fi enumerate și, desigur, chiar numele și faima științifică a lui Markov le-au dat putere și răspândire, ceea ce nu a contribuit la întărirea fostului guvern.”

Tatăl meu a acordat foarte multă atenție organizării predării matematicii în liceu. A protestat energic împotriva diferitelor experimente dăunătoare în acest domeniu. În special, profesorul de la Universitatea din Moscova P. A. Nekrasov, un membru al Sutei Negre și mistic care a căutat să facă din matematică un suport pentru ortodoxie și autocrație, a încercat să efectueze astfel de experimente. În 1915, Nekrasov, asociat cu conducerea Ministerului Educației Publice și fost administrator al unui district educațional, a venit cu P. S. Florov cu un proiect pentru introducerea teoriei probabilităților în cursurile de liceu. În esență, acest proiect s-a rezumat la introducerea în mintea școlarilor a opiniilor confuze, pseudoștiințifice ale autorilor săi cu privire la teoria probabilității, statistica matematică și matematica în general. La inițiativa tatălui său, la Academia de Științe a fost creată o „Comisie pentru a discuta anumite probleme legate de predarea matematicii în școlile secundare”, care a supus proiectul unor critici usturătoare.

Proiectul nu a fost implementat, deși Florov a făcut câteva experimente în această direcție la școala reală Uryupinsk, pe care a condus-o.

În anul școlar 1917/18, însuși tatăl meu a predat la o școală secundară. În septembrie 1917, a decis să meargă direct din dacha lui (locuim atunci într-o dacha de lângă orașul Staritsa din fosta provincie Tver) în orașul Zaraysk (fosta provincie Ryazan), unde locuiau atunci rudele sale. A cerut Academiei de Științe o călătorie de afaceri „pentru a continua studiile științifice, timp de un an în interiorul Rusiei” și am petrecut iarna anului 1917/18 la Zaraysk. („Noi” suntem în acest caz părinții mei, mătușa mamei mele, Serafima Aleksandrovna Moskvina și eu). A trebuit să trec din clasa a V-a a gimnaziului a VIII-a din Petrograd în clasa a VI-a a școlii reale din Zaraisk. Matematica in clasa a VI-a a fost predata de directorul scolii, Gilweg, care era harnic si pedant. El a cerut cu strictețe la lecțiile de geometrie ca toate desenele să fie făcute cu atenție: ca liniile drepte să fie trase cu o riglă, cercuri să fie trase cu busole etc. Dintr-o dată, s-a retras, iar clasele de înalt nivel au rămas fără matematician. Pentru a ajuta școala și poate pentru a-și satisface nevoia constantă de activitate didactică (la urma urmei, anterior predase la universitate timp de 37 de ani la rând!), tatăl meu și-a oferit serviciile de profesor de matematică gratuit. . Această ofertă a fost acceptată cu recunoștință și am devenit astfel studentul oficial al tatălui meu.

Prima sa lecție ne-a oarecum speriat și nedumerit. Nu a fost nimic aici ca puritatea exterioară a predecesorului său. Nici formulele scrise de tatăl meu nu erau foarte înalte. Apoi au început să se obișnuiască cu „profesorul” (cum își spuneau tinerii studenți tatăl), dar abilitățile învățate de la Gilweg au interferat de ceva timp cu înțelegerea reciprocă. Așa că, într-o zi, tatăl meu, chemând la tablă pe unul dintre cei mai buni elevi în timpul unei lecții de geometrie, s-a înfuriat când, în loc să prezinte soluția problemei, a început să facă încet pe tablă un desen atent cu o busolă și riglă. „Avem o lecție de geometrie aici, nu de desen!”, strigă furios tatăl.

Principalul accent al tatălui meu a fost pe rezolvarea problemelor. Pentru cei care doreau să se perfecționeze în această chestiune, a predat cursuri suplimentare în timpul sărbătorilor și duminica. Aceste cursuri opționale au fost frecventate cu nerăbdare de mulți studenți și le-au adus beneficii. Pentru toată această activitate scurtă, dar intensă, tatăl meu a primit o adresă de mulțumire de la consiliul pedagogic al Școlii Reale din Zaraisk, care se păstrează și acum de autorul acestor rânduri.

În toamna anului 1918, familia noastră s-a întors la Petrograd. Tatăl, care s-a străduit mereu să-și dea toată puterea pentru binele Patriei, a fost atras irezistibil de iubitul său. munca pedagogică la universitate, care a început să se îmbunătățească în acel moment.

La Petrograd a trebuit să fie operat la ochi. De câțiva ani suferea de glaucom sever. boala de ochi, care s-a manifestat la bătrânețe la mulți reprezentanți ai familiei noastre.

Operația la ochi a fost efectuată cu succes de dr. Vygodsky. Viziunea tatălui său s-a îmbunătățit și a reluat cursurile la Universitatea din Petrograd. Cu toate acestea, mutarea de la Zaraysk la Petrograd a avut un efect negativ asupra sănătății generale a tatălui meu. În anul universitar 1920–21, l-am dus la cursuri pe brațul meu, care nu fuseseră niciodată solicitate până acum. Acestea au fost prelegeri despre teoria probabilității, corespunzătoare celebrei sale cărți. Ca unul dintre ascultători, pot să mărturisesc că au fost citite impecabil, în ciuda faptului că lectorul abia stătea în picioare.

În aceeași perioadă, tatăl meu a lucrat din greu la cea de-a patra ediție (publicată după moartea sa) a cărții sale „Calculul probabilităților”. După cum știți, această ediție este semnificativ diferită de cea anterioară.

În toamna lui 1921, tatăl meu s-a culcat. Avea o formă severă de radiculită cu dureri chinuitoare. În primăvara anului 1922, aceasta a fost însoțită de o nouă boală - un anevrism care s-a format în picior. A început sângerarea. Tatăl, însă, până atunci era foarte obosit să stea întins în pat. A început să caute aer, în sânul naturii. Medicul care l-a tratat i-a permis să se mute la sanatoriul Comisiei pentru îmbunătățirea vieții de viață a oamenilor de știință situat în Detskoye Selo (acum orașul Pușkin). Aceasta a fost probabil o greșeală, deoarece mersul în mașină a avut un efect nefavorabil asupra tatălui meu. Sângerarea a crescut și medic sef Sanatoriul a recunoscut necesitatea revenirii imediate la Petrograd pentru o intervenție chirurgicală de îndepărtare a anevrismului. După operație, tatăl meu s-a simțit mai bine și i-a scăzut temperatura. Dar, după câteva zile, au apărut simptome amenințătoare și temperatura a crescut brusc. Un consiliu de medici a stabilit otrăvirea generală a sângelui și a declarat starea tatălui fără speranță. Pe 20 iulie 1922, la ora 22, tatăl meu a murit.

Este înmormântat la cimitirul Mitrofanievsky din Leningrad.

În 1923, Academia de Științe a sărbătorit aniversarea morții sale. Prietenul său, pe atunci vicepreședinte al Academiei de Științe Vladimir Andreevici Steklov, a ținut un discurs viu despre tatăl său ca om de știință, om și cetățean.

Au trecut 30 de ani de la moartea lui Andrei Andreevici Markov. Dar Markov, omul de știință, nu a murit și nu va muri. Ideile și rezultatele sale – celebrele „lanțuri Markov”, dovada legii numerelor mari, teoreme privind minimul formelor pătratice și alte realizări strălucitoare – au intrat în fundamentul principal al științei și vor trăi timp de secole.

A. Markov

În biografia tatălui său, inclusă în ediția postumă a cărții sale „Calcul probabilităților” (M., 1924), se raportează în mod eronat că Andrei Grigorievici însuși era un diacon sătesc. Din păcate, această eroare a fost transmisă în alte biografii ale tatălui meu.

Tatăl meu a închiriat o dacha pe această proprietate de pe malul lacului Saimaa în 1907 și 1908.

Arhiva Academiei de Științe a URSS, F. 173, op. 1, N 65.

A. N. Krylov, Colecția. Proceedings, vol. I, partea 2, p. 320.

Matematician și logician rus, fondator al așa-zisei școli. matematică constructivă; fiul unui matematician A.A. Markova.

A.A. Markov a clarificat conceptul de algoritm normal.

„La începutul anilor ’50, în lucru A.A. Markova(ale căror prime publicații despre teoria algoritmilor datează din a doua jumătate a anilor 1940) s-a dezvoltat ideea că toți algoritmii matematici se pot reduce la repetarea aceluiași tip de operații elementare, efectuate în strictă conformitate cu o prescripție clar enunțată, care, după o explicație foarte simplă în limbaj natural sau chiar demonstrații cu exemple devin clare pentru toată lumea.
În 1951, a fost publicat un articol în „Proceedings of the Mathematical Institute of the URSS Academy of Sciences” (vol. XXXVIII) A.A. Markova„Theory of Algorithms”, care stabilește un nou concept, iar în 1954 a fost publicată monografia sa mare. În zilele noastre, îi place munca BisericăŞi Turing, aparține clasicilor logici.”

Biryukov B.V., Trostnikov V.N., Căldura numerelor reci și patosul logicii nepasionale. Formalizarea gândirii din cele mai vechi timpuri până în epoca ciberneticii, M., „Editorial URSS”, 2004, pp. 147-148.

„... din teorema dovedită în logica matematică despre posibilitatea implementării oricărui proces recursiv pe o mașină Turing Rezultă că, cu ajutorul algoritmilor Markov, tot ceea ce este fezabil prin utilizarea aparatului de funcții recursive este fezabil. Dar algoritmii Markov nu permit o gamă mai largă de proceduri? La urma urmei, alfabetele și listele de formule de substituție pot fi extrem de diverse.

La scurt timp după ce Markov și-a creat teoria, în 1953, a fost publicată o teoremă, dovedită de studentul său V.K Detlovs, conform căreia orice proces implementat folosind un algoritm normal poate fi implementat și folosind o funcție recursivă.

Aceasta înseamnă că funcțiile și mașinile recursive Turing sunt „egale ca volum” cu algoritmii normali și că tezele BisericăŞi Turing primiți întărire sub forma unui principiu numit de A. A. Markov principiul normalizării (este firesc să-l numim și teza lui Markov): Orice prescripție precisă, de înțeles în general, care definește un proces arbitrar potențial fezabil de procesare a cuvintelor în orice alfabet, care duce de la variația datelor inițiale la un anumit rezultat, poate fi reprezentată sub forma unui anumit algoritm normal.

Generalitatea și semnificația acestui principiu devin clare de îndată ce luăm în considerare că orice proces de calcul, în plus, orice alt proces strict determinat, care are loc într-un mediu variabil, dar uniform, poate fi interpretat ca procesarea cuvintelor dintr-un anumit alfabet.

Exact cum am făcut eu A. Bisericaîntr-un articol din 1936, A.A. Markov oferă o serie de argumente în favoarea tezei sale. La fel ca Church, aceasta nu este o dovadă, ci doar considerații, care pot fi clasificate drept „convingătoare”.

Ei se bazează în primul rând pe practica vie a matematicii. Cercetările lui Markov, care i-au permis să prezinte motive rezonabile în favoarea principiului normalizării, ar trebui considerate o piatră de hotar importantă în formarea ipotezei principale a teoriei algoritmilor (teoria calculabilității efective) - o ipoteză, generală. sensul căruia este afirmația că diverse clarificări ale ideii de algoritm și calculabilitate care s-au dovedit a fi echivalente între ele - funcții recursive, mașini Turing, algoritmi normali - descriu exhaustiv (fiecare în termenii propriului limbaj specific) această idee.

Statutul cognitiv al acestei ipoteze o face similară cu legea conservării energiei.

Este imposibil să o demonstrăm așa cum demonstrează matematicienii teoremele. Dar această lege este o poziție confirmată de argumente științifice venite din mai multe părți. […]

Deci până la începutul anilor 1950, adică până când computerul a intrat în scenă, ca urmare a dezvoltării logicii și a bazelor matematicii și ca rezultat direct al cercetării. Gödel, Biserica, Turing, Markovși alți pionieri ai teoriei computabilității efective, au început să apară o gamă largă de procese cu următoarele proprietăți.

1. Sunt, în principiu, strict determinate, adică fiecare etapă (etape) anterioare o determină complet pe următoarea.

2. Sunt potențial fezabile - în sensul că, dacă apar pentru o perioadă suficient de lungă fără interferențe externe, conduc (mai precis, pot duce) la rezultatul real.

3. Au structură atomică – sunt alcătuite dintr-un set de operații elementare, dintre care există doar câteva tipuri și care sunt atât de simple și clare încât sunt ușor de explicat oricărei persoane.

4. Ele constau în prelucrarea unor obiecte care sunt clar distinse și identificabile și – din această cauză – ușor accesibile percepției umane, memorării și gândirii.”

Biryukov B.V., Trostnikov V.N., Căldura numerelor reci și patosul logicii nepasionale, M., „Editorial URSS”, 2004, pp. 150 și 151.