Un campo di forza è una regione dello spazio in ciascun punto della quale una particella ivi collocata subisce l'azione di una forza che varia naturalmente da punto a punto, ad esempio il campo gravitazionale terrestre o il campo delle forze di resistenza in un liquido (gas) fluire. Se la forza in ciascun punto del campo di forza non dipende dal tempo, viene chiamato tale campo stazionario. È chiaro che un campo di forza stazionario in un sistema di riferimento può rivelarsi non stazionario in un altro sistema di riferimento. In un campo di forza stazionario, la forza dipende solo dalla posizione della particella.

Il lavoro svolto dalle forze del campo quando si sposta una particella da un punto 1 al punto 2 , dipende, in generale, dal percorso. Tuttavia, tra i campi di forza stazionarii ci sono quelli in cui questo lavoro non dipende dal percorso tra i punti 1 E 2 . Questa classe di campi, avendo una serie di proprietà importanti, occupa un posto speciale nella meccanica. Passiamo ora allo studio di queste proprietà.

Spieghiamolo usando l'esempio di una forza di tracciamento. Nella fig. 5.4 mostra il corpo ABCD, al punto DI quale forza viene applicata , invariabilmente connesso con il corpo.

Spostiamo il corpo dalla posizione IO posizionare II in due modi. Scegliamo innanzitutto un punto come polo DI(Fig. 5.4a)) e ruotare il corpo attorno al palo di un angolo π/2 opposto al senso di rotazione in senso orario. Il corpo prenderà una posizione A"B"C"D". Impartiamo ora al corpo un movimento traslatorio in direzione verticale in quantità OO". Il corpo prenderà una posizione II(A"B"C"D"). Il lavoro compiuto da una forza sul movimento perfetto di un corpo da una posizione IO posizionare II uguale a zero. Il vettore spostamento polare è rappresentato dal segmento OO".

Nel secondo metodo, selezioniamo il punto come polo K riso. 5.4b) e ruotare il corpo attorno al palo di un angolo π/2 in senso antiorario. Il corpo prenderà una posizione A"B"C"D"(Fig. 5.4b). Ora spostiamo il corpo verticalmente verso l'alto con il vettore spostamento polare KK", dopodiché diamo al corpo un movimento orizzontale verso sinistra dell'importo K"K". Di conseguenza, il corpo assumerà la posizione II, lo stesso della posizione, Fig. 5.4 UN)Figura 5.4. Tuttavia, ora il vettore di movimento del palo sarà diverso rispetto al primo metodo e il lavoro della forza nel secondo metodo di spostamento del corpo dalla posizione IO posizionare II uguale a A = F K "K", cioè diverso da zero.

Definizione: un campo di forze stazionario in cui il lavoro del campo di forza sul percorso tra due punti qualsiasi non dipende dalla forma del percorso, ma dipende solo dalla posizione di questi punti, è chiamato potenziale e le forze stesse sono conservatore.

Potenziale tali forze ( energia potenziale) è il lavoro da loro svolto per spostare il corpo dalla posizione finale a quella iniziale, e la posizione iniziale può essere scelta arbitrariamente. Ciò significa che l'energia potenziale è determinata entro una costante.

Se questa condizione non è soddisfatta, il campo di forza non è potenziale e vengono richiamate le forze del campo non conservatore.

Nei sistemi meccanici reali esistono sempre forze il cui lavoro durante il movimento effettivo del sistema è negativo (ad esempio, forze di attrito). Tali forze sono chiamate dissipativo. Sono un tipo speciale di forze non conservatrici.

Le forze conservative hanno una serie di proprietà notevoli, per identificare le quali introduciamo il concetto di campo di forze. Lo spazio è chiamato campo di forza(o parte di esso), in cui una certa forza agisce su un punto materiale posto in ciascun punto di questo campo.

Mostriamo che in un campo potenziale, il lavoro delle forze di campo su qualsiasi percorso chiuso è uguale a zero. Infatti, qualsiasi percorso chiuso (Fig. 5.5) può essere arbitrariamente diviso in due parti, 1a2 E 2b1. Poiché il campo è potenziale, allora, per condizione, . D'altro canto è ovvio che. Ecco perché

Q.E.D.

Al contrario, se il lavoro delle forze di campo su qualsiasi percorso chiuso è zero, allora il lavoro di queste forze sul percorso tra punti arbitrari 1 E 2 non dipende dalla forma del percorso, cioè il campo è potenziale. Per dimostrarlo, prendiamo due percorsi arbitrari 1a2 E 1b2(vedi Fig. 5.5). Facciamo un percorso chiuso da loro 1a2b1. Il lavoro su questo percorso chiuso è uguale a zero per condizione, cioè . Da qui. Ma, quindi

Pertanto, l'uguaglianza del lavoro delle forze del campo a zero su qualsiasi percorso chiuso è una condizione necessaria e sufficiente per l'indipendenza del lavoro dalla forma del percorso, e può essere considerata segno distintivo Qualunque campo potenziale forza

Campo di forze centrali. Qualsiasi campo di forza è causato dall'azione di determinati corpi. Forza agente su una particella UN in tale campo è dovuto all'interazione di questa particella con questi corpi. Le forze che dipendono solo dalla distanza tra le particelle interagenti e sono dirette lungo una linea retta che collega queste particelle sono chiamate centrali. Un esempio di queste ultime sono le forze gravitazionali, di Coulomb e quelle elastiche.

Forza centrale che agisce su una particella UN dal lato delle particelle IN, può essere rappresentato in forma generale:

Dove F(R) è una funzione che, per una data natura dell'interazione, dipende solo da R- distanze tra le particelle; - vettore unitario che specifica la direzione del raggio vettore della particella UN rispetto alla particella IN(Fig. 5.6).

Dimostriamolo ogni campo stazionario di forze centrali è potenzialmente.

Per fare ciò, consideriamo innanzitutto il lavoro delle forze centrali nel caso in cui il campo di forze sia causato dalla presenza di una particella stazionaria IN. Il lavoro elementare della forza (5.8) sullo spostamento è . Poiché è la proiezione del vettore sul vettore, o sul corrispondente raggio vettore (Fig. 5.6), allora . Il lavoro di questa forza lungo un percorso arbitrario dal punto 1 al punto 2

L'espressione risultante dipende solo dal tipo di funzione F(R), cioè sulla natura dell'interazione e sui significati r1 E r2 distanze iniziali e finali tra le particelle UN E IN. Non dipende in alcun modo dalla conformazione del sentiero. Ciò significa che questo campo di forza è potenziale.

Generalizziamo il risultato ottenuto ad un campo di forze stazionario causato dalla presenza di un insieme di particelle stazionarie agenti sulla particella UN con forze, ciascuna delle quali è centrale. In questo caso, il lavoro della forza risultante quando si sposta una particella UN da un punto all'altro è pari alla somma algebrica del lavoro compiuto dalle singole forze. E poiché il lavoro di ciascuna di queste forze non dipende dalla forma del percorso, anche il lavoro della forza risultante non dipende da esso.

Pertanto, in effetti, qualsiasi campo stazionario di forze centrali è potenziale.

Energia potenziale di una particella. Il fatto che il lavoro delle forze potenziali del campo dipenda solo dalle posizioni iniziale e finale della particella rende possibile introdurre il concetto estremamente importante di energia potenziale.

Immaginiamo di spostare una particella in un potenziale campo di forza da diversi punti P i ad un punto fisso DI. Poiché il lavoro delle forze del campo non dipende dalla forma del percorso, rimane dipendente solo dalla posizione del punto R(a un punto fisso DI). E questo significa questo questo lavoro sarà una funzione del raggio vettore del punto R. Dopo aver indicato questa funzione, scriviamo

La funzione è chiamata energia potenziale di una particella in un dato campo.

Ora troviamo il lavoro compiuto dalle forze del campo quando una particella si muove da un punto 1 al punto 2 (Fig. 5.7). Poiché il lavoro non dipende dal percorso, prendiamo il percorso che passa per il punto 0. Allora il lavoro è sul percorso 1 02 può essere rappresentato nella forma

o tenendo conto (5.9)

L'espressione a destra è la diminuzione* dell'energia potenziale, cioè la differenza tra i valori dell'energia potenziale di una particella nei punti iniziale e finale del percorso.

_________________

* Modifica di qualsiasi valore X può essere caratterizzato dal suo aumento o dalla sua diminuzione. Incremento di valore X si chiama differenza del finito ( X2) e iniziale ( X1) valori di questa quantità:

incremento Δ X = X2-X1.

Diminuzione di valore Xè chiamata differenza della sua iniziale ( X1) e finale ( X2) valori:

declino X1-X2 = -Δ X,

cioè diminuzione del valore X uguale al suo incremento preso con il segno opposto.

Incremento e diminuzione sono quantità algebriche: se X2 > X1, allora l'aumento è positivo e la diminuzione è negativa, e viceversa.

Pertanto, il lavoro delle forze di campo sul percorso 1 - 2 è uguale alla diminuzione dell'energia potenziale della particella.

Ovviamente, ad una particella situata nel punto 0 del campo può sempre essere assegnato un qualsiasi valore preselezionato di energia potenziale. Ciò corrisponde al fatto che misurando il lavoro si può determinare solo la differenza delle energie potenziali in due punti del campo, ma non il suo valore assoluto. Tuttavia, una volta fissato il valore

energia potenziale in qualsiasi punto, i suoi valori in tutti gli altri punti del campo sono determinati univocamente dalla formula (5.10).

La formula (5.10) permette di trovare un'espressione per qualsiasi potenziale campo di forza. Per fare ciò, è sufficiente calcolare il lavoro svolto dalle forze del campo su qualsiasi percorso tra due punti e presentarlo sotto forma di diminuzione di una determinata funzione, che è l'energia potenziale.

Questo è esattamente ciò che è stato fatto quando si calcola il lavoro nei campi di forze elastiche e gravitazionali (di Coulomb), nonché in un campo gravitazionale uniforme [vedi. formule (5.3) - (5.5)]. Da queste formule risulta subito chiaro che l’energia potenziale di una particella in questi campi di forza ha la seguente forma:

1) nel campo delle forze elastiche

2) nel campo di una massa puntiforme (carica)

3) in un campo gravitazionale uniforme

Sottolineiamo ancora una volta quell'energia potenziale Uè una funzione determinata fino all'aggiunta di una costante arbitraria. Questa circostanza, tuttavia, è del tutto irrilevante, poiché tutte le formule includono solo la differenza di valori U in due posizioni delle particelle. Pertanto cade una costante arbitraria, uguale per tutti i punti del campo. A questo proposito solitamente viene omesso, come è stato fatto nelle tre espressioni precedenti.

E un'altra circostanza importante che non dovrebbe essere dimenticata. L'energia potenziale, in senso stretto, non dovrebbe essere attribuita a una particella, ma a un sistema di particelle e corpi che interagiscono tra loro, provocando un campo di forza. Con questo tipo di interazione, l'energia potenziale di interazione di una particella con questi corpi dipende solo dalla posizione della particella rispetto a questi corpi.

Relazione tra energia potenziale e forza. Secondo la (5.10), il lavoro compiuto dalla forza potenziale del campo è uguale alla diminuzione dell'energia potenziale della particella, cioè UN 12 = U 1 - U 2 = - (U 2 - U 1). Per lo spostamento elementare, l'ultima espressione ha la forma dA = - dU, O

F l dl= - dU. (5.14)

cioè la proiezione della forza di campo in un dato punto sulla direzione del movimento è uguale, con segno opposto, alla derivata parziale dell'energia potenziale in una data direzione.

, quindi utilizzando la formula (5.16) abbiamo l'opportunità di ripristinare il campo di forze.

La posizione geometrica dei punti nello spazio in cui si trova l'energia potenziale U ha lo stesso valore e definisce la superficie equipotenziale. È chiaro che ogni valore U corrisponde alla propria superficie equipotenziale.

Dalla formula (5.15) segue che la proiezione del vettore su qualsiasi direzione tangente alla superficie equipotenziale in un dato punto è uguale a zero. Ciò significa che il vettore è normale alla superficie equipotenziale in un dato punto. Inoltre, il segno meno nella (5.15) significa che il vettore è diretto verso una energia potenziale decrescente. Ciò è illustrato dalla Fig. 5.8, relativo al caso bidimensionale; ecco un sistema di equipotenziali, e U1 < U2 < U3 < … .

Le forze conservative sono forze il cui lavoro non dipende dal percorso di transizione di un corpo o sistema dalla posizione iniziale a quella finale. Una proprietà caratteristica di tali forze è che il lavoro su una traiettoria chiusa è zero:

Le forze conservative includono: gravità, forza gravitazionale, forza elastica e altre forze.

Le forze non conservative sono forze il cui lavoro dipende dal percorso di transizione di un corpo o sistema dalla posizione iniziale a quella finale. Il lavoro di queste forze su una traiettoria chiusa è diverso da zero. Le forze non conservative includono: forza di attrito, forza di trazione e altre forze.

Un campo di forze è uno spazio fisico che soddisfa la condizione in cui sui punti di un sistema meccanico situati in questo spazio agiscono forze che dipendono dalla posizione di questi punti o dalla posizione dei punti e dal tempo. Campo di forza. le cui forze non dipendono dal tempo è detto stazionario. Un campo di forze stazionario si dice potenziale se esiste una funzione che dipende unicamente dalle coordinate dei punti del sistema, per cui le proiezioni della forza sugli assi coordinati in ciascun punto del campo sono espresse come segue: X i = ∂υ/∂x io ; Y io =∂υ/∂y io ; Z i = ∂υ/∂z i.

Ogni punto del campo potenziale corrisponde da un lato ad un certo valore del vettore forza agente sul corpo e, dall'altro, ad un certo valore dell'energia potenziale. Pertanto, deve esserci una certa relazione tra forza ed energia potenziale.

Per stabilire questa connessione, calcoliamo il lavoro elementare compiuto dalle forze di campo durante un piccolo spostamento del corpo che avviene lungo una direzione nello spazio scelta arbitrariamente, che indicheremo con la lettera . Questo lavoro è uguale a

dove è la proiezione della forza nella direzione.

Poiché in questo caso il lavoro viene svolto grazie alla riserva di energia potenziale, esso è pari alla perdita di energia potenziale sul segmento dell'asse:

Dalle ultime due espressioni otteniamo

L'ultima espressione fornisce il valore medio sull'intervallo. A

per ottenere il valore nel punto è necessario andare al limite:

Poiché può cambiare non solo quando ci si muove lungo l'asse, ma anche quando ci si muove lungo altre direzioni, il limite in questa formula rappresenta la cosiddetta derivata parziale di rispetto a:

Questa relazione è valida per qualsiasi direzione dello spazio, in particolare per le direzioni degli assi cartesiani x, y, z:

Questa formula determina la proiezione del vettore forza sugli assi coordinati. Se queste proiezioni sono note, il vettore forza stesso risulta essere determinato:

nel vettore di matematica ,

dove a è una funzione scalare di x, y, z, chiamata gradiente di questo scalare ed è denotata dal simbolo . Pertanto la forza è uguale al gradiente di energia potenziale preso con il segno opposto

campo di forza

una parte dello spazio in ciascun punto della quale una forza di una certa grandezza e direzione agisce su una particella posta lì, a seconda delle coordinate di questo punto, e talvolta del tempo. Nel primo caso, il campo di forza è chiamato stazionario e nel secondo non stazionario.

Campo di forza

una parte di spazio (limitata o illimitata), in ciascun punto della quale una forza di una certa grandezza e direzione agisce su una particella materiale ivi collocata, dipendendo solo dalle coordinate x, y, z di questo punto, oppure dalle coordinate x, y, z e tempo t . Nel primo caso il processo stazionario si dice stazionario, nel secondo caso si dice non stazionario. Se la forza in tutti i punti di un percorso lineare ha lo stesso valore, cioè non dipende dalle coordinate o dal tempo, allora il movimento lineare si dice omogeneo. Uno spazio in cui il lavoro delle forze di campo che agiscono su una particella materiale che si muove al suo interno dipende solo dalla posizione iniziale e finale della particella e non dipende dal tipo della sua traiettoria, si chiama potenziale. Questo lavoro può essere espresso attraverso l'energia potenziale della particella P (x, y, z) dall'uguaglianza A = P (x1, y1, z

≈ P(x2, y2, z

Dove x1, y1, z1 e x2, y2, z2 ≈ coordinate rispettivamente della posizione iniziale e finale della particella. Quando una particella si muove in uno spazio potenziale sotto l'influenza delle sole forze del campo, si verifica la legge di conservazione dell'energia meccanica, che consente di stabilire la relazione tra la velocità della particella e la sua posizione nel campo.

Esempi di potenziali campi gravitazionali: un campo gravitazionale uniforme, per cui P = mgz, dove m ≈ massa delle particelle, g ≈ accelerazione gravitazionale (l'asse z è diretto verticalmente verso l'alto); Campo gravitazionale newtoniano, per cui P = ≈ fm/r, dove r ≈ la distanza della particella dal centro di attrazione, f ≈ costante per di questo campo coefficiente

Tecnicamente distinto:

• campi di forza stazionari, la cui grandezza e direzione possono dipendere esclusivamente da un punto nello spazio (coordinate x, y, z), e
• campi di forza non stazionari, anche in funzione del momento temporale t.

• campo di forze uniforme, per cui la forza che agisce sulla particella di prova è la stessa in tutti i punti dello spazio e

• campo di forze disomogeneo, che non ha questa proprietà.

Il più semplice da studiare è un campo di forza stazionario omogeneo, ma rappresenta anche il caso meno generale.

Campo di forza

Campo di forza è un termine polisemantico utilizzato nei seguenti significati:

• Campo di forza- campo vettoriale delle forze in fisica;
• Campo di forza- qualche barriera invisibile, funzione principale che è la protezione di alcune aree o obiettivi da penetrazioni esterne o interne.

Campo di forza (fantasia)

Campo di forza O scudo di potenza O scudo protettivo- un termine diffuso nella letteratura fantasy e di fantascienza, così come nella letteratura fantasy, che denota una barriera invisibile, la cui funzione principale è proteggere qualche area o obiettivo da penetrazioni esterne o interne. Questa idea può basarsi sul concetto di campo vettoriale. In fisica, questo termine ha anche diversi significati specifici (vedi Campo di forza).

Consideriamo ancora un sistema chiuso costituito da due punti A e B. In virtù della prima legge di Newton, se non ci fosse un punto B nel sistema e il punto A fosse libero, allora la velocità del punto A rispetto al sistema di riferimento inerziale sarebbe non cambiare e avremmo .

Tuttavia, a causa dell'interazione dei punti A e B, la derivata è diversa da zero. Come accennato in precedenza, la meccanica non risponde alla domanda sul perché la presenza del punto B influisce sul movimento del punto A, ma parte dal fatto che tale influenza ha luogo e identifica il risultato di questa influenza con il vettore. L'influenza del punto B sullo spostamento del punto A si chiama forza e si dice che il punto B agisce sul punto A con una forza rappresentata dal vettore

È questa uguaglianza (usando il termine “forza”) che viene solitamente chiamata la seconda legge di Newton.

Lasciamo inoltre che lo stesso punto A interagisca con più oggetti materiali. Ciascuno di questi oggetti, se ce ne fosse uno, causerebbe di conseguenza l’emergere della forza. In questo caso si postula il cosiddetto principio di indipendenza dell'azione delle forze: una forza causata da una qualsiasi fonte non dipende dalla presenza di forze causate da altre fonti. Centrale a questo riguardo è il presupposto che le forze applicate sullo stesso punto possano essere sommate secondo le consuete regole della somma vettoriale e che la forza così ottenuta sia equivalente a quelle originali. Grazie al presupposto dell'indipendenza dell'azione delle forze, molte influenze applicate ad un punto materiale possono essere sostituite da un'azione, rispettivamente rappresentata da una forza, che si ottiene sommando geometricamente i vettori di tutte le forze agenti.

La forza è il risultato dell'interazione di oggetti materiali. Ciò significa che se è dovuto alla presenza del punto B, allora, al contrario, è dovuto alla presenza del punto A. La relazione tra le forze è stabilita dal terzo postulato (legge) di Newton. Secondo questo postulato, durante l'interazione tra oggetti materiali, le forze e sono di uguale grandezza, agiscono lungo una linea retta, ma sono dirette verso lati opposti. Questa legge è talvolta formulata brevemente come segue: “ogni azione è uguale e contraria alla sua reazione”.

Questa affermazione è un nuovo postulato. Esso non nasce in alcun modo da presupposti iniziali precedenti e, in generale, è possibile costruire la meccanica senza questo postulato o con una sua diversa formulazione.

Quando si considera un sistema di punti materiali, è conveniente dividere in due classi tutte le forze che agiscono sui punti del sistema considerato. La prima classe comprende le forze che sorgono a causa delle interazioni dei punti materiali inclusi in un dato sistema. Le forze di questo tipo sono chiamate interne. Le forze che sorgono a causa dell'influenza sui punti materiali del sistema in considerazione di altri oggetti materiali non inclusi in questo sistema sono chiamate esterne.

2. Lavoro della forza.

Il prodotto scalare , dove è un incremento infinitesimo del raggio vettore quando un punto materiale viene spostato lungo la sua traiettoria, è chiamato lavoro elementare della forza ed è indicato con . La somma del lavoro elementare di tutte le forze agenti sui punti del sistema è chiamata lavoro elementare delle forze del sistema e si indica

Esprimendo prodotti scalari attraverso proiezioni di fattori sugli assi coordinati, otteniamo

(18)

Se le proiezioni delle forze e gli incrementi di coordinate sono espressi attraverso lo stesso parametro scalare (ad esempio, attraverso il tempo t o, nel caso di un sistema costituito da un punto, attraverso lo spostamento elementare), allora le quantità sui membri destri delle uguaglianze ( 17) e (18) possono essere rappresentate come funzioni di questo parametro moltiplicate per il suo differenziale, e possono essere integrate su questo parametro, ad esempio su t nell'intervallo da a . Il risultato dell'integrazione è indicato e chiamato rispettivamente lavoro totale della forza e lavoro totale delle forze del sistema nel tempo.

Nel calcolare il lavoro elementare e totale di tutte le forze del sistema, è necessario tenere conto di tutte le forze, sia esterne che interne. Il fatto che le forze interne siano uguali a due a due e dirette in modo opposto risulta non essere importante, poiché nel calcolo del lavoro gioca un ruolo anche lo spostamento dei punti, e quindi il lavoro delle forze interne, in generale, è diverso da zero.

Consideriamo caso speciale, quando le quantità a destra delle uguaglianze (17) e (18) possono essere rappresentate come differenziali completi

Anche in questo caso è naturale accettare le notazioni e le definizioni introdotte sopra:

Dalle uguaglianze (21) e (22) segue che nei casi in cui il lavoro elementare è il differenziale totale di qualche funzione Ф, il lavoro su qualsiasi intervallo finito dipende solo dai valori di Ф all'inizio e alla fine di questo intervallo e non dipende dai valori intermedi di Ф , cioè da come è avvenuto lo spostamento.

3. Campo di forza.

In molti problemi di meccanica, spesso abbiamo a che fare con forze che dipendono dalla posizione dei punti considerati (e, forse, dal tempo) e non dipendono dalla loro velocità. Ad esempio, la forza può dipendere dalla distanza tra i punti interagenti. Nei problemi tecnici le forze provocate dalle molle dipendono dalla deformazione delle molle, cioè anche dalla posizione nello spazio del punto o corpo considerato.

Consideriamo innanzitutto il caso in cui si studia il movimento di un punto e quindi si considera una sola forza, dipendente dalla posizione del punto. In questi casi il vettore forza non è associato al punto su cui avviene l'impatto, ma a punti nello spazio. Si assume che ad ogni punto dello spazio, definito in un sistema di riferimento inerziale, sia associato un nettore che rappresenta la forza che agirebbe sul punto materiale se quest'ultimo fosse posto in quel punto dello spazio. Pertanto, si ritiene convenzionalmente che lo spazio sia “riempito” di vettori ovunque. Questo insieme di vettori è chiamato campo di forza.

Un campo di forze si dice stazionario se le forze in questione non dipendono esplicitamente dal tempo. Altrimenti il ​​campo di forza è detto non stazionario.

Un campo si dice potenziale se esiste una funzione scalare delle coordinate di un punto (e, eventualmente, del tempo) tale che le derivate parziali di questa funzione rispetto a e siano uguali alle proiezioni della forza F su x, y e assi z, rispettivamente:

Dato che la forza F è una funzione di un punto nello spazio, cioè delle coordinate e, forse, del tempo, anche le sue proiezioni sono funzioni di variabili.

La funzione, se esiste, è chiamata funzione forza. Naturalmente la funzione di forza non esiste per ogni campo di forza e le condizioni per la sua esistenza, cioè le condizioni perché il campo sia potenziale, non vengono spiegate in un corso di matematica e sono determinate dalle uguaglianze

Quando si studia il movimento di N punti interagenti è necessario tenere conto della presenza di N forze che agiscono su di essi. In questo caso viene introdotto uno spazio bidimensionale di coordinate puntuali. Specificare un punto in questo spazio determina la posizione di tutti gli N punti materiali del sistema in esame. Successivamente viene preso in considerazione un vettore bidimensionale con coordinate e si presuppone convenzionalmente che lo spazio bidimensionale sia densamente riempito di tali vettori ovunque. Quindi specificando un punto in questo spazio bidimensionale si determina non solo la posizione di tutti i punti materiali rispetto al sistema di riferimento originale, ma anche tutte le forze che agiscono sui punti materiali del sistema. Un tale campo di forza bidimensionale è chiamato potenziale se esiste una funzione di forza Ф di tutte le coordinate tale che

Se le forze possono essere rappresentate come la somma di due termini

in modo che i termini soddisfino le relazioni (24), ma i termini non le soddisfano, sono chiamate forze potenziali e non potenziali.

Un sistema di punti materiali è detto conservativo se esiste una funzione di forza che non dipende esplicitamente dal tempo (il campo di forze è stazionario) e tale che tutte le forze agenti sui punti soddisfano le relazioni (24).

Lavoro elementare delle forze di un sistema conservatore

è conveniente presentarlo in una forma diversa, esprimendo i prodotti scalari attraverso proiezioni di vettori di fattori (formula (18)). Tenendo conto dell'esistenza della funzione forza Ф, in virtù della (23) otteniamo

cioè il lavoro elementare è uguale al differenziale totale della funzione forza

Pertanto, quando si sposta un sistema conservativo, il lavoro elementare è espresso dal differenziale totale di qualche funzione, e quindi

Ipersuperfici

chiamate superfici piane.

Nella formula (26), i simboli e indicano i valori di Ф nei momenti di inizio e fine del movimento. Pertanto, per qualsiasi movimento del sistema, il cui inizio corrisponde ad un punto situato sulla superficie del livello

e la fine è un punto sulla superficie del livello

il lavoro viene calcolato utilizzando la formula (26). Di conseguenza, quando un sistema conservativo si muove, il lavoro non dipende dal percorso, ma solo da quali superfici piane è iniziato e terminato il movimento. In particolare il lavoro è nullo se il movimento inizia e termina su una stessa superficie piana.

Campo di forzaè uno spazio fisico che soddisfa la condizione che sui punti di un sistema meccanico situati in questo spazio agiscono forze che dipendono dalla posizione di questi punti o dalla posizione dei punti e dal tempo (ma non dalla loro velocità).

Campo di forza, le cui forze non dipendono dal tempo si chiama stazionario(esempi di campo di forza sono il campo di gravità, il campo elettrostatico, il campo di forza elastico).

Campo di forza potenziale.

Campo di forza stazionario chiamato potenziale, se il lavoro delle forze di campo che agiscono su un sistema meccanico non dipende dalla forma delle traiettorie dei suoi punti ed è determinato solo dalle loro posizioni iniziali e finali. Queste forze sono chiamate forze potenziali o forze conservative.

Dimostriamo che la condizione di cui sopra è soddisfatta se esiste una funzione di coordinata unica:

chiamata funzione di campo, le cui derivate parziali rispetto alle coordinate di un qualsiasi punto M i (i=1, 2...n) sono uguali alla proiezione zioni della forza applicata a questo punto sugli assi corrispondenti, vale a dire

Il lavoro elementare della forza applicata a ciascun punto può essere determinato dalla formula:

Il lavoro elementare delle forze applicate a tutti i punti del sistema è pari a:

Usando le formule otteniamo:

Come si può vedere da questa formula, il lavoro elementare delle forze potenziali del campo è uguale al differenziale totale della funzione forza. Il lavoro delle forze del campo sullo spostamento finale del sistema meccanico è pari a:

cioè, il lavoro delle forze che agiscono sui punti di un sistema meccanico in un campo potenziale è uguale alla differenza nei valori della funzione forza nelle posizioni finale e iniziale del sistema e non dipende dalla forma di le traiettorie dei punti di questo sistema. posizioni del sistema e non dipende dalla forma delle traiettorie dei punti di questo sistema. Ne consegue che il campo di forza per il quale esiste la funzione di forza esiste effettivamente potenziale.