Quale figura è la base di un parallelepipedo? Parallelepipedo rettangolare
Un parallelepipedo è un prisma quadrangolare con parallelogrammi alla base. L'altezza di un parallelepipedo è la distanza tra i piani delle sue basi. Nella figura l'altezza è indicata da un segmento 
. Esistono due tipi di parallelepipedi: diritti e inclinati. Di norma, l'insegnante di matematica fornisce prima le definizioni appropriate per un prisma e poi le trasferisce su un parallelepipedo. Faremo lo stesso.
Ricordo che un prisma si dice diritto se i suoi bordi laterali sono perpendicolari alle basi, se non c'è perpendicolarità il prisma si dice inclinato; Questa terminologia è ereditata anche dal parallelepipedo. 
Un parallelepipedo retto non è altro che una specie di prisma rettilineo, il cui bordo laterale coincide con l'altezza. Sono conservate le definizioni di concetti come faccia, bordo e vertice, comuni all'intera famiglia dei poliedri. Appare il concetto di facce opposte. Un parallelepipedo ha 3 paia di facce opposte, 8 vertici e 12 spigoli.
La diagonale di un parallelepipedo (la diagonale di un prisma) è un segmento che collega due vertici di un poliedro e non giace su nessuna delle sue facce.
Sezione diagonale - sezione di un parallelepipedo passante per la sua diagonale e per la diagonale della sua base.
Proprietà di un parallelepipedo inclinato:
1) Tutte le sue facce sono parallelogrammi e le facce opposte sono parallelogrammi uguali.
2)
Le diagonali di un parallelepipedo si intersecano in un punto e in questo punto si bisecano.
3)
Ogni parallelepipedo è costituito da sei piramidi triangolari di uguale volume. Per mostrarli allo studente, il tutor di matematica deve tagliare metà del parallelepipedo con la sua sezione diagonale e dividerlo separatamente in 3 piramidi. Le loro basi devono giacere su facce diverse del parallelepipedo originario. Un tutor di matematica troverà applicazione di questa proprietà nella geometria analitica. Viene utilizzato per ricavare il volume di una piramide attraverso un prodotto misto di vettori.
Formule per il volume di un parallelepipedo:
1), dove è l'area della base, h è l'altezza.
2) Il volume di un parallelepipedo è uguale al prodotto dell'area sezione trasversale sul bordo laterale.
Insegnante di matematica: Come sapete la formula è comune a tutti i prismi e se il tutor l'ha già dimostrata è inutile ripetere la stessa cosa per un parallelepipedo. Tuttavia, quando si lavora con uno studente di livello medio (la formula non è utile per uno studente debole), è consigliabile che l'insegnante agisca esattamente al contrario. Lasciamo da parte il prisma ed eseguiamo un'accurata dimostrazione per il parallelepipedo.
3), dove è il volume di una delle sei piramidi triangolari che compongono il parallelepipedo.
4) Se , allora
L'area della superficie laterale di un parallelepipedo è la somma delle aree di tutte le sue facce:
La superficie totale di un parallelepipedo è la somma delle aree di tutte le sue facce, cioè l'area + due aree della base: .
Sul lavoro di un tutor con un parallelepipedo inclinato:
Un tutor di matematica non lavora spesso su problemi che coinvolgono un parallelepipedo inclinato. La probabilità che si presentino all'Esame di Stato Unificato è piuttosto bassa e la didattica è indecentemente povera. Un problema più o meno decente sul volume di un parallelepipedo inclinato solleva seri problemi associati alla determinazione della posizione del punto H, la base della sua altezza. In questo caso, si può consigliare all'insegnante di matematica di tagliare il parallelepipedo in una delle sue sei piramidi (di cui si parla nella proprietà n. 3), provare a trovare il suo volume e moltiplicarlo per 6.
Se il bordo laterale di un parallelepipedo ha gli angoli uguali ai lati della base, allora H giace sulla bisettrice dell'angolo A della base ABCD. E se, ad esempio, ABCD è un rombo, allora
Compiti del tutor di matematica:
1) Le facce di un parallelepipedo sono uguali tra loro con un lato di 2 cm e un angolo acuto. Trova il volume del parallelepipedo.
2) In un parallelepipedo inclinato il bordo laterale misura 5 cm. La sezione perpendicolare ad essa è un quadrilatero con le diagonali tra loro perpendicolari aventi lunghezze di 6 cm e 8 cm. Calcola il volume del parallelepipedo.
3) In un parallelepipedo inclinato si sa che , e in ABCD la base è un rombo con il lato di 2 cm e un angolo . Determina il volume del parallelepipedo.
Tutor di matematica, Alexander Kolpakov
In questa lezione tutti potranno studiare l'argomento “Pallellelepipedo rettangolare”. All'inizio della lezione ripeteremo cosa sono i parallelepipedi arbitrari e diritti, ricorderemo le proprietà delle loro facce opposte e delle diagonali del parallelepipedo. Poi vedremo cos'è un cuboide e ne discuteremo le proprietà di base.
Argomento: Perpendicolarità di rette e piani
Lezione: cuboide
Si chiama una superficie composta da due parallelogrammi uguali ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 e quattro parallelogrammi ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 parallelepipedo(Fig. 1).
Riso. 1 Parallelepipedo
Cioè: abbiamo due parallelogrammi uguali ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 (basi), giacciono su piani paralleli in modo che i bordi laterali AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 siano paralleli. Pertanto, viene chiamata una superficie composta da parallelogrammi parallelepipedo.
Pertanto la superficie di un parallelepipedo è la somma di tutti i parallelogrammi che compongono il parallelepipedo.
1. Le facce opposte di un parallelepipedo sono parallele e uguali.
(le forme sono uguali, cioè si possono unire sovrapponendole)
Per esempio:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (parallelogrammi uguali per definizione),
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (poiché AA 1 B 1 B e DD 1 C 1 C sono facce opposte del parallelepipedo),
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (poiché AA 1 D 1 D e BB 1 C 1 C sono facce opposte del parallelepipedo).
2. Le diagonali di un parallelepipedo si intersecano in un punto e in questo punto sono divise in due.
Le diagonali del parallelepipedo AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B si intersecano in un punto O, e ciascuna diagonale è divisa a metà da questo punto (Fig. 2).
Riso. 2 Le diagonali di un parallelepipedo si intersecano e sono divise a metà dal punto di intersezione.
3. Ci sono tre quadrupli di lati uguali e paralleli di un parallelepipedo: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.
Definizione. Un parallelepipedo si dice diritto se i suoi spigoli laterali sono perpendicolari alle basi.
Lasciare che il bordo laterale AA 1 sia perpendicolare alla base (Fig. 3). Ciò significa che la retta AA 1 è perpendicolare alle rette AD e AB, che giacciono nel piano della base. Ciò significa che le facce laterali contengono rettangoli. E le basi contengono parallelogrammi arbitrari. Indichiamo ∠BAD = φ, l'angolo φ può essere qualsiasi.
Riso. 3 Parallelepipedo destro
Quindi un parallelepipedo retto è un parallelepipedo in cui gli spigoli laterali sono perpendicolari alle basi del parallelepipedo.
Definizione. Il parallelepipedo si dice rettangolare, se i suoi bordi laterali sono perpendicolari alla base. Le basi sono rettangoli.
Il parallelepipedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 è rettangolare (Fig. 4), se:
1. AA 1 ⊥ ABCD (spigolo laterale perpendicolare al piano della base, cioè un parallelepipedo rettilineo).
2. ∠BAD = 90°, cioè la base è un rettangolo.
Riso. 4 Parallelepipedo rettangolare
Un parallelepipedo rettangolare ha tutte le proprietà di un parallelepipedo arbitrario. Ma ci sono ulteriori proprietà che derivano dalla definizione di cuboide.
COSÌ, cuboideè un parallelepipedo i cui bordi laterali sono perpendicolari alla base. La base di un cuboide è un rettangolo.
1. In un parallelepipedo rettangolare tutte e sei le facce sono rettangoli.
ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 sono rettangoli per definizione.
2. Le nervature laterali sono perpendicolari alla base. Ciò significa che tutte le facce laterali di un parallelepipedo rettangolare sono rettangoli.
3. Tutti gli angoli diedri di un parallelepipedo rettangolo sono retti.
Consideriamo, ad esempio, l'angolo diedro di un parallelepipedo rettangolo con lo spigolo AB, cioè l'angolo diedro tra i piani ABC 1 e ABC.
AB è un bordo, il punto A 1 si trova su un piano - nel piano ABB 1, e il punto D nell'altro - nel piano A 1 B 1 C 1 D 1. Allora l'angolo diedro in esame può essere indicato anche come segue: ∠A 1 ABD.
Prendiamo il punto A sul bordo AB. AA 1 è perpendicolare allo spigolo AB nel piano АВВ-1, AD è perpendicolare allo spigolo AB nel piano ABC. Ciò significa che ∠A 1 AD è l'angolo lineare di un dato angolo diedro. ∠A 1 AD = 90°, il che significa che l'angolo diedro sul bordo AB è 90°.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
Allo stesso modo, è dimostrato che qualsiasi angolo diedro di un parallelepipedo rettangolare è retto.
Il quadrato della diagonale di un parallelepipedo rettangolo è uguale alla somma dei quadrati delle sue tre dimensioni.
Nota. Le lunghezze dei tre bordi che partono da un vertice di un cuboide sono le misure del cuboide. A volte sono chiamati lunghezza, larghezza, altezza.
Dato: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - parallelepipedo rettangolare (Fig. 5).
Dimostrare: .
Riso. 5 Parallelepipedo rettangolare
Prova:
La retta CC 1 è perpendicolare al piano ABC, e quindi alla retta AC. Ciò significa che il triangolo CC 1 A è rettangolo. Secondo il teorema di Pitagora:
Consideriamo il triangolo rettangolo ABC. Secondo il teorema di Pitagora:
Ma a.C. e d.C. - lati opposti rettangolo. Quindi a.C. = d.C. Poi:
Perché , UN , Quello. Poiché CC 1 = AA 1, questo è ciò che doveva essere dimostrato.
Le diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono uguali.
Indichiamo le dimensioni del parallelepipedo ABC come a, b, c (vedi Fig. 6), quindi AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
Un parallelepipedo è una figura geometrica le cui 6 facce sono parallelogrammi.
A seconda della tipologia di questi parallelogrammi si distinguono i seguenti tipi di parallelepipedo:
- diretto;
- inclinato;
- rettangolare.
Un parallelepipedo retto è un prisma quadrangolare i cui bordi formano un angolo di 90° con il piano della base.
Un parallelepipedo rettangolare è un prisma quadrangolare, le cui facce sono tutte rettangoli. Un cubo è un tipo di prisma quadrangolare in cui tutte le facce e i bordi sono uguali tra loro.
Le caratteristiche di una figura predeterminano le sue proprietà. Questi includono le seguenti 4 affermazioni:
È semplice ricordare tutte le proprietà di cui sopra, sono facili da comprendere e derivano logicamente in base al tipo e alle caratteristiche del corpo geometrico. Tuttavia, semplici affermazioni possono essere incredibilmente utili quando si risolvono i tipici compiti USE e faranno risparmiare il tempo necessario per superare il test.
Formule del parallelepipedo
Per trovare risposte al problema non è sufficiente conoscere solo le proprietà della figura. Potresti anche aver bisogno di alcune formule per trovare l'area e il volume di un corpo geometrico.
L'area delle basi si trova allo stesso modo del corrispondente indicatore di un parallelogramma o di un rettangolo. Puoi scegliere tu stesso la base del parallelogramma. Di norma, quando si risolvono i problemi, è più facile lavorare con un prisma, la cui base è un rettangolo.
La formula per trovare la superficie laterale di un parallelepipedo può essere necessaria anche nelle attività di test.
Esempi di risoluzione di compiti tipici dell'Esame di Stato Unificato
Compito 1.
Dato: un parallelepipedo rettangolare con dimensioni di 3, 4 e 12 cm.
Necessario trova la lunghezza di una delle diagonali principali della figura.
Soluzione: Qualsiasi soluzione ad un problema geometrico deve iniziare con la costruzione di un disegno corretto e chiaro, sul quale sarà indicato “dato” e il valore desiderato. L'immagine qui sotto mostra un esempio progettazione corretta condizioni del compito.
Dopo aver esaminato il disegno realizzato e ricordando tutte le proprietà del corpo geometrico, arriviamo all'unico metodo di soluzione corretto. Applicando la 4a proprietà di un parallelepipedo otteniamo la seguente espressione:
Dopo semplici calcoli otteniamo l'espressione b2=169, quindi b=13. La risposta all'attività è stata trovata; non è necessario dedicare più di 5 minuti a cercarla e disegnarla.
Compito 2.
Dato: un parallelepipedo inclinato con lo spigolo laterale di 10 cm, un rettangolo KLNM di dimensioni 5 e 7 cm, che è una sezione trasversale della figura parallela allo spigolo specificato.
Necessario trova l'area della superficie laterale del prisma quadrangolare.
Soluzione: Per prima cosa devi abbozzare il dato.
Per risolvere questo compito è necessario usare l'ingegno. La figura mostra che i lati KL e AD sono disuguali, così come lo sono la coppia ML e DC. Tuttavia, i perimetri di questi parallelogrammi sono ovviamente uguali.
Di conseguenza, l'area laterale della figura sarà uguale all'area della sezione moltiplicata per il bordo AA1, poiché per condizione il bordo è perpendicolare alla sezione. Risposta: 240 cm2.
Definizione
Poliedro chiameremo una superficie chiusa composta da poligoni e che delimita una certa parte dello spazio.
Vengono chiamati i segmenti che costituiscono i lati di questi poligoni costolette poliedro e i poligoni stessi lo sono bordi. I vertici dei poligoni sono chiamati vertici dei poliedri.
Considereremo solo i poliedri convessi (questo è un poliedro che si trova su un lato di ciascun piano contenente la sua faccia).
I poligoni che compongono un poliedro ne formano la superficie. La parte di spazio delimitata da un dato poliedro si chiama interno.
Definizione: prisma
Consideriamo due poligoni uguali \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) situati su piani paralleli in modo che i segmenti \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) parallelo. Un poliedro formato dai poligoni \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) , nonché dai parallelogrammi \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), è chiamato (\(n\)-gonale) prisma.
I poligoni \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) sono chiamati basi prismatiche, parallelogrammi \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– facce laterali, segmenti \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- nervature laterali.
Pertanto, i bordi laterali del prisma sono paralleli e uguali tra loro.
Consideriamo un esempio: un prisma \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), alla cui base si trova un pentagono convesso.
Altezza I prismi sono una perpendicolare lasciata cadere da un punto qualsiasi di una base al piano di un'altra base.
Se i bordi laterali non sono perpendicolari alla base, viene chiamato tale prisma inclinato(Fig. 1), altrimenti – diretto. In un prisma rettilineo, i bordi laterali sono altezze e le facce laterali sono rettangoli uguali.
Se un poligono regolare si trova alla base di un prisma rettilineo, allora si chiama prisma corretto.
Definizione: concetto di volume
L'unità di misura del volume è un cubo unitario (un cubo che misura \(1\times1\times1\) unità\(^3\), dove unità è una determinata unità di misura).
Possiamo dire che il volume di un poliedro è la quantità di spazio che questo poliedro limita. Altrimenti: si tratta di una quantità il cui valore numerico indica quante volte un cubo unitario e le sue parti rientrano in un dato poliedro.
Il volume ha le stesse proprietà dell'area:
1. I volumi di cifre uguali sono uguali.
2. Se un poliedro è composto da più poliedri non intersecanti, il suo volume è uguale alla somma dei volumi di questi poliedri.
3. Il volume è una quantità non negativa.
4. Il volume è misurato in cm\(^3\) (centimetri cubi), m\(^3\) (metri cubi), ecc.
Teorema
1. L'area della superficie laterale del prisma è uguale al prodotto del perimetro della base e dell'altezza del prisma.
L'area della superficie laterale è la somma delle aree delle facce laterali del prisma.
2. Il volume del prisma è uguale al prodotto dell'area di base e dell'altezza del prisma: \
Definizione: parallelepipedo
Parallelepipedoè un prisma con alla base un parallelogramma.
Tutte le facce del parallelepipedo (ci sono \(6\) : \(4\) facce laterali e \(2\) basi) sono parallelogrammi, e le facce opposte (parallele tra loro) sono parallelogrammi uguali (Fig. 2) .
Diagonale di un parallelepipedoè un segmento che collega due vertici di un parallelepipedo che non giacciono sulla stessa faccia (ce ne sono \(8\): \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) ecc.).
Parallelepipedo rettangolareè un parallelepipedo retto con alla base un rettangolo.
Perché Poiché questo è un parallelepipedo retto, le facce laterali sono rettangoli. Ciò significa che in generale tutte le facce di un parallelepipedo rettangolare sono rettangoli.
Tutte le diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono uguali (questo deriva dall'uguaglianza dei triangoli \(\triangolo ACC_1=\triangolo AA_1C=\triangolo BDD_1=\triangolo BB_1D\) ecc.).
Commento
Quindi un parallelepipedo ha tutte le proprietà di un prisma.
Teorema
La superficie laterale di un parallelepipedo rettangolare è \
La superficie totale di un parallelepipedo rettangolare è \
Teorema
Il volume di un cuboide è uguale al prodotto dei suoi tre bordi che emergono da un vertice (tre dimensioni del cuboide): \
Prova
Perché In un parallelepipedo rettangolare gli spigoli laterali sono perpendicolari alla base, quindi sono anche le sue altezze, cioè \(h=AA_1=c\) Poiché la base è un rettangolo, quindi \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Ecco da dove viene questa formula.
Teorema
La diagonale \(d\) di un parallelepipedo rettangolo si trova utilizzando la formula (dove \(a,b,c\) sono le dimensioni del parallelepipedo) \
Prova
Diamo un'occhiata alla Fig. 3. Perché la base è un rettangolo, quindi \(\triangolo ABD\) è rettangolare, quindi per il teorema di Pitagora \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .
Perché tutti gli spigoli laterali sono quindi perpendicolari alle basi \(BB_1\perp (ABC) \Freccia destra BB_1\) perpendicolare a qualsiasi linea retta in questo piano, cioè \(BB_1\perp BD\) . Ciò significa che \(\triangolo BB_1D\) è rettangolare. Quindi, per il teorema di Pitagora \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.
Definizione: cubo
Cuboè un parallelepipedo rettangolare le cui facce sono tutte quadrate uguali.
Pertanto, le tre dimensioni sono uguali tra loro: \(a=b=c\) . Quindi è vero quanto segue
Teoremi
1. Il volume di un cubo con bordo \(a\) è uguale a \(V_(\text(cube))=a^3\) .
2. La diagonale del cubo si trova utilizzando la formula \(d=a\sqrt3\) .
3. Superficie totale di un cubo \(S_(\text(cubo intero))=6a^2\).
Gli studenti spesso chiedono con indignazione: "Come mi sarà utile nella vita?" Su qualsiasi argomento di ogni argomento. L'argomento relativo al volume di un parallelepipedo non fa eccezione. Ed è qui che puoi semplicemente dire: “Ti tornerà utile”.
Come puoi, ad esempio, sapere se un pacco entra in una casella postale? Naturalmente, puoi scegliere quello giusto per tentativi ed errori. E se ciò non fosse possibile? Quindi i calcoli verranno in soccorso. Conoscendo la capacità della scatola, puoi calcolare il volume del pacco (almeno approssimativamente) e rispondere alla domanda posta.
Parallelepipedo e sue tipologie
Se traduciamo letteralmente il suo nome dal greco antico, si scopre che questa è una figura composta da piani paralleli. Esistono le seguenti definizioni equivalenti di parallelepipedo:
- un prisma con base a forma di parallelogramma;
- un poliedro le cui facce sono ciascuna un parallelogramma.
I suoi tipi si distinguono a seconda di quale figura si trova alla sua base e di come sono dirette le nervature laterali. IN caso generale parlare di parallelepipedo inclinato, la cui base e tutte le facce sono parallelogrammi. Se le facce laterali della vista precedente diventano rettangoli, sarà necessario chiamarla diretto. E rettangolare e anche la base ha angoli di 90º.
Inoltre, in geometria cercano di rappresentare quest'ultimo in modo tale che sia evidente che tutti i bordi sono paralleli. Qui, tra l’altro, sta la principale differenza tra matematici e artisti. È importante che quest'ultimo trasmetta il corpo nel rispetto della legge della prospettiva. E in questo caso il parallelismo delle nervature è del tutto invisibile.
Sulle notazioni introdotte
Nelle formule sottostanti valgono le notazioni indicate in tabella.
Formule per un parallelepipedo inclinato
Primo e secondo per le aree:
Il terzo è calcolare il volume di un parallelepipedo:
Poiché la base è un parallelogramma, per calcolarne l'area dovrai utilizzare le apposite espressioni.
Formule per un parallelepipedo rettangolare
Simile al primo punto: due formule per le aree:
E ancora uno per il volume:
Primo compito
Condizione. Dato un parallelepipedo rettangolare di cui occorre trovare il volume. È noto la diagonale - 18 cm - e il fatto che forma angoli di 30 e 45 gradi rispettivamente con il piano della faccia laterale e con il bordo laterale.
Soluzione. Per rispondere alla domanda del problema, dovrai conoscere tutti i lati di tre triangoli rettangoli. Daranno i valori necessari dei bordi in base ai quali è necessario calcolare il volume.
Per prima cosa devi capire dove si trova l'angolo di 30º. Per fare ciò, devi disegnare una diagonale della faccia laterale dallo stesso vertice da cui è stata disegnata la diagonale principale del parallelogramma. L'angolo tra loro sarà ciò che serve.
Il primo triangolo che darà uno dei valori dei lati della base sarà il seguente. Contiene il lato richiesto e due diagonali disegnate. È rettangolare. Ora devi utilizzare il rapporto tra la gamba opposta (lato della base) e l'ipotenusa (diagonale). È uguale al seno di 30º. Cioè, il lato sconosciuto della base sarà determinato come la diagonale moltiplicata per il seno di 30º o ½. Sia designato con la lettera “a”.
Il secondo sarà un triangolo contenente una diagonale nota e uno spigolo con cui forma 45º. È anche rettangolare e puoi usare nuovamente il rapporto tra cateto e ipotenusa. In altre parole, dal bordo laterale alla diagonale. È uguale al coseno di 45º. Cioè, “c” è calcolato come il prodotto della diagonale e del coseno di 45º.
c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).
Nello stesso triangolo devi trovare un'altra gamba. Ciò è necessario per calcolare quindi la terza incognita: "in". Sia designato con la lettera “x”. Può essere facilmente calcolato utilizzando il teorema di Pitagora:
x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (cm).
Ora dobbiamo considerare un altro triangolo rettangolo. Contiene già partiti conosciuti“c”, “x” e quello da contare, “b”:
in = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (cm).
Tutte e tre le quantità sono note. Puoi utilizzare la formula per il volume e calcolarlo:
V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).
Risposta: il volume del parallelepipedo è 729√2 cm 3.
Secondo compito
Condizione. Devi trovare il volume di un parallelepipedo. È noto che i lati del parallelogramma che si trova alla base misurano 3 e 6 cm, così come il suo angolo acuto - 45º. La nervatura laterale ha una pendenza alla base di 30º ed è pari a 4 cm.
Soluzione. Per rispondere alla domanda del problema, è necessario prendere la formula scritta per il volume di un parallelepipedo inclinato. Ma in esso entrambe le quantità sono sconosciute.
L'area della base, cioè di un parallelogramma, sarà determinata da una formula in cui occorre moltiplicare i lati noti per il seno dell'angolo acuto compreso tra essi.
S o = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (cm 2).
La seconda incognita è l’altezza. Può essere disegnato da uno qualsiasi dei quattro vertici sopra la base. Si può ricavare da un triangolo rettangolo in cui l'altezza è il cateto e il lato è l'ipotenusa. In questo caso, di fronte all'altezza sconosciuta si trova un angolo di 30º. Ciò significa che possiamo usare il rapporto tra la gamba e l'ipotenusa.
n = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.
Ora tutti i valori sono noti e il volume può essere calcolato:
V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).
Risposta: il volume è 18 √2 cm 3.
Terzo compito
Condizione. Trovare il volume di un parallelepipedo se è noto che è diritto. I lati della sua base formano un parallelogramma e sono pari a 2 e 3 cm. L'angolo acuto tra loro è di 60º. La diagonale minore del parallelepipedo è uguale alla diagonale maggiore della base.
Soluzione. Per trovare il volume di un parallelepipedo usiamo la formula con la superficie di base e l'altezza. Entrambe le quantità sono sconosciute, ma sono facili da calcolare. Il primo è l'altezza.
Poiché la diagonale minore del parallelepipedo coincide in grandezza con la base maggiore, possono essere designati con la stessa lettera d. L'angolo maggiore di un parallelogramma è 120º, poiché forma 180º con quello acuto. Sia indicata la seconda diagonale della base con la lettera “x”. Ora per le due diagonali della base possiamo scrivere i teoremi del coseno:
d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120º,
x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.
Non ha senso trovare valori senza quadrati, poiché in seguito verranno nuovamente elevati alla seconda potenza. Sostituendo i dati otteniamo:
d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,
x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.
Ora l'altezza, che è anche il bordo laterale del parallelepipedo, risulterà essere una gamba del triangolo. L'ipotenusa sarà la diagonale nota del corpo e il secondo cateto sarà “x”. Possiamo scrivere il teorema di Pitagora:
n2 = d2 - x 2 = 19 - 7 = 12.
Quindi: n = √12 = 2√3 (cm).
Ora la seconda incognita è l'area della base. Può essere calcolato utilizzando la formula menzionata nel secondo problema.
S o = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (cm 2).
Combinando tutto nella formula del volume, otteniamo:
V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).
Risposta: V = 18 cm 3.
Quarto compito
Condizione. Occorre determinare il volume di un parallelepipedo che soddisfi le seguenti condizioni: la base è un quadrato con il lato di 5 cm; le facce laterali sono rombi; uno dei vertici posti sopra la base è equidistante da tutti i vertici posti alla base.
Soluzione. Per prima cosa devi affrontare la condizione. Non ci sono domande con il primo punto sul quadrato. La seconda, riguardante i rombi, chiarisce che il parallelepipedo è inclinato. Inoltre tutti i suoi bordi sono pari a 5 cm, poiché i lati del rombo sono gli stessi. E dal terzo diventa chiaro che le tre diagonali da esso disegnate sono uguali. Questi sono due che giacciono sulle facce laterali, e l'ultimo è all'interno del parallelepipedo. E queste diagonali sono uguali al bordo, cioè hanno anche una lunghezza di 5 cm.
Per determinare il volume avrai bisogno di una formula scritta per un parallelepipedo inclinato. Anche in questo caso non sono presenti quantità note. Tuttavia l’area della base è facile da calcolare perché è un quadrato.
S o = 5 2 = 25 (cm 2).
La situazione con l'altezza è un po' più complicata. Sarà così in tre figure: un parallelepipedo, piramide quadrangolare e un triangolo isoscele. È opportuno sfruttare quest'ultima circostanza.
Poiché è l'altezza, è una gamba dentro triangolo rettangolo. L'ipotenusa in esso sarà un bordo noto e la seconda gamba sarà uguale alla metà della diagonale del quadrato (l'altezza è anche la mediana). E la diagonale della base è facile da trovare:
d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).
L'altezza dovrà essere calcolata come differenza tra la seconda potenza dello spigolo e il quadrato della metà della diagonale e poi ricordarsi di ricavare la radice quadrata:
n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).
V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (cm 3).
Risposta: 62,5√2 (cm3).