평행육면체의 밑면은 어느 도형입니까? 직육면체

평행육면체는 밑면에 평행사변형이 있는 사각형 프리즘입니다. 평행육면체의 높이는 밑면 사이의 거리입니다. 그림에서 높이는 세그먼트로 표시됩니다. . 평행육면체에는 직선형과 경사형의 두 가지 유형이 있습니다. 일반적으로 수학 교사는 먼저 프리즘에 대한 적절한 정의를 제공한 다음 이를 평행육면체로 옮깁니다. 우리도 똑같이 할 것입니다.

프리즘의 측면 가장자리가 밑면에 수직이면 프리즘을 직선이라고 부르고, 수직성이 없으면 프리즘을 경사라고 합니다. 이 용어는 평행육면체에서도 계승됩니다. 직육면체는 측면 가장자리가 높이와 일치하는 일종의 직선 프리즘에 지나지 않습니다. 다면체 전체에 공통되는 면, 모서리, 꼭지점과 같은 개념의 정의가 유지됩니다. 반대면의 개념이 나타납니다. 평행육면체에는 3쌍의 마주보는 면, 8개의 꼭지점, 12개의 모서리가 있습니다.

평행육면체의 대각선(프리즘의 대각선)은 다면체의 두 꼭지점을 연결하는 선분이며 어느 면에도 놓여 있지 않습니다.

대각선 단면 -대각선과 밑면의 대각선을 통과하는 평행 육면체의 단면입니다.

기울어진 평행육면체의 성질:
1) 모든 면은 평행사변형이고 반대쪽 면은 동일한 평행사변형입니다.
2)평행육면체의 대각선은 한 점에서 교차하고 이 점에서 이등분됩니다.
3)각 평행육면체는 동일한 부피의 6개의 삼각형 피라미드로 구성됩니다. 학생에게 보여주기 위해 수학 교사는 평행육면체의 절반을 대각선 부분으로 잘라서 별도로 3개의 피라미드로 나누어야 합니다. 밑면은 원래 평행육면체의 서로 다른 면에 있어야 합니다. 수학 교사는 분석 기하학에서 이 속성의 적용을 찾을 것입니다. 벡터의 혼합 곱을 통해 피라미드의 부피를 유도하는 데 사용됩니다.

평행 육면체의 부피 공식:
1) 밑면의 면적은 어디이며 h는 높이입니다.
2) 평행육면체의 부피는 넓이의 곱과 같습니다 단면측면 가장자리에.
수학 교사: 아시다시피 이 공식은 모든 프리즘에 공통적이며 교사가 이미 이를 증명했다면 평행육면체에 대해 동일한 것을 반복하는 것은 의미가 없습니다. 그러나 평균 수준의 학생과 함께 작업할 때는(약한 학생에게는 공식이 유용하지 않음) 교사가 정반대로 행동하는 것이 좋습니다. 프리즘을 그대로 두고 평행육면체에 대한 세심한 증명을 수행합니다.
3) , 평행육면체를 구성하는 6개의 삼각뿔 중 하나의 부피는 어디입니까?
4) 그렇다면

평행 육면체의 측면 면적은 모든면의 면적의 합입니다.
평행육면체의 전체 표면은 모든 면의 면적의 합, 즉 면적 + 밑면의 두 면적의 합입니다.

경사 평행 육면체를 사용한 교사의 작업에 대해:
수학 교사는 기울어진 평행육면체와 관련된 문제를 다루지 않는 경우가 많습니다. 통합 상태 시험에 나타날 가능성은 매우 낮으며 교훈은 외설적으로 열악합니다. 기울어진 평행육면체의 부피에 관한 어느 정도 괜찮은 문제는 점 H(높이의 기준)의 위치를 ​​결정하는 것과 관련된 심각한 문제를 야기합니다. 이 경우 수학 교사는 평행육면체를 6개의 피라미드 중 하나로 자르고(속성 3번에서 논의됨) 그 부피를 찾아 6을 곱하도록 조언할 수 있습니다.

평행육면체의 측면 모서리가 밑면의 측면과 동일한 각도를 가지면 H는 밑면 ABCD의 각도 A의 이등분선에 위치합니다. 예를 들어 ABCD가 마름모라면

수학 교사 작업:
1) 평행육면체의 두 면은 한 변의 길이가 2cm이고 예각이 서로 같습니다. 평행육면체의 부피를 구하세요.
2) 기울어진 평행육면체의 경우 측면 가장자리는 5cm입니다. 이에 수직인 단면은 길이가 6cm와 8cm인 대각선이 서로 수직인 사각형입니다.
3) 기울어진 평행육면체에서는 , ABCD에서는 밑면이 2cm의 변과 각도를 가진 마름모입니다. 평행 육면체의 부피를 결정하십시오.

수학 교사, Alexander Kolpakov

이 수업에서는 모든 사람이 "직사각형 평행육면체"라는 주제를 공부할 수 있습니다. 수업 시작 부분에서 우리는 임의의 직선 육면체가 무엇인지 반복하고 평행 육면체의 반대면과 대각선의 속성을 기억할 것입니다. 그런 다음 직육면체가 무엇인지 살펴보고 기본 속성에 대해 논의하겠습니다.

주제: 선과 평면의 수직성

교훈: 직육면체

두 개의 동일한 평행사변형 ABCD 및 A 1 B 1 C 1 D 1과 4개의 평행사변형 ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1로 구성된 표면을 호출합니다. 평행 육면체의(그림 1).

쌀. 1 평행육면체

즉, 두 개의 동일한 평행사변형 ABCD 및 A 1 B 1 C 1 D 1(베이스)이 있으며 측면 가장자리 AA 1, BB 1, DD 1, CC 1이 평행하도록 평행 평면에 놓입니다. 따라서 평행사변형으로 구성된 표면을 다음과 같이 부릅니다. 평행 육면체의.

따라서 평행육면체의 표면은 평행육면체를 구성하는 모든 평행사변형의 합입니다.

1. 평행육면체의 반대쪽 면은 평행하고 동일합니다.

(모양이 동일합니다. 즉, 겹쳐서 결합할 수 있습니다.)

예를 들어:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (정의에 따른 평행사변형),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C(AA 1 B 1 B와 DD 1 C 1 C는 평행육면체의 반대면이므로),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C(AA 1 D 1 D와 BB 1 C 1 C는 평행육면체의 반대면이므로).

2. 평행육면체의 대각선은 한 점에서 교차하고 이 점으로 이등분됩니다.

평행육면체 AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B의 대각선은 한 점 O에서 교차하고 각 대각선은 이 점에 의해 반으로 나뉩니다(그림 2).

쌀. 2 평행육면체의 대각선은 교차하며 교차점에 의해 반으로 나뉩니다.

3. 평행육면체의 모서리가 동일하고 평행한 4개의 사각형이 3개 있습니다.: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

정의. 평행육면체는 측면 가장자리가 밑면에 수직인 경우 직선이라고 합니다.

측면 가장자리 AA 1이 베이스에 수직이 되도록 합니다(그림 3). 이는 직선 AA 1이 밑면에 있는 직선 AD 및 AB에 수직임을 의미합니다. 이는 측면에 직사각형이 포함되어 있음을 의미합니다. 그리고 밑면에는 임의의 평행사변형이 포함되어 있습니다. ∠BAD = ψ라고 가정하면 각도 ψ는 무엇이든 될 수 있습니다.

쌀. 3 직육면체

따라서 직육면체는 측면 모서리가 평행육면체의 밑면에 수직인 평행육면체입니다.

정의. 평행육면체는 직육면체라고 부르는데,측면 모서리가 베이스에 수직인 경우. 밑면은 직사각형입니다.

평행 육면체 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1은 직사각형입니다 (그림 4).

1. AA 1 ⊥ ABCD (베이스 평면에 수직인 측면 모서리, 즉 직선 평행육면체).

2. ∠BAD = 90°, 즉 밑변이 직사각형입니다.

쌀. 4 직육면체

직육면체는 임의의 평행육면체의 모든 특성을 갖습니다.그러나 직육면체의 정의에서 파생되는 추가 속성이 있습니다.

그래서, 직육면체은 측면 모서리가 밑면에 수직인 평행육면체입니다. 직육면체의 밑면은 직사각형이다.

1. 직육면체에서는 여섯 개의 면이 모두 직사각형입니다.

ABCD와 A 1 B 1 C 1 D 1은 정의상 직사각형입니다.

2. 측면 갈비뼈는 베이스에 수직입니다.. 이는 직육면체의 모든 측면이 직사각형임을 의미합니다.

3. 직육면체의 모든 2면각은 옳습니다.

예를 들어 모서리 AB를 가진 직육면체의 2면각, 즉 평면 ABC 1과 ABC 사이의 2면각을 생각해 보겠습니다.

AB는 모서리이고, 점 A 1은 한 평면(ABB 1 평면)에 있고 점 D는 다른 평면(A 1 B 1 C 1 D 1)에 있습니다. 그러면 고려 중인 2면각은 다음과 같이 표시될 수도 있습니다: ∠A 1 ABD.

가장자리 AB의 점 A를 살펴보겠습니다. AA 1은 평면 АВВ-1의 모서리 AB에 수직이고, AD는 평면 ABC의 모서리 AB에 수직입니다. 이는 ∠A 1 AD가 주어진 2면각의 선형 각도임을 의미합니다. ∠A 1 AD = 90°, 이는 모서리 AB의 2면각이 90°임을 의미합니다.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

마찬가지로, 직육면체의 모든 2면각이 옳다는 것이 증명되었습니다.

직육면체의 대각선의 제곱은 세 차원의 제곱의 합과 같습니다.

메모. 직육면체의 한 꼭지점에서 나오는 세 모서리의 길이는 직육면체의 측정값입니다. 때로는 길이, 너비, 높이라고도 합니다.

주어진 : ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - 직육면체 (그림 5).

입증하다: .

쌀. 5 직육면체

증거:

직선 CC 1은 평면 ABC에 수직이므로 직선 AC에 수직입니다. 이는 삼각형 CC 1 A가 직각임을 의미합니다. 피타고라스의 정리에 따르면:

직각삼각형 ABC를 생각해 보세요. 피타고라스의 정리에 따르면:

그러나 BC와 AD- 반대편구형. 그러니까 BC=AD. 그 다음에:

왜냐하면 , 에이 , 저것. CC 1 = AA 1이므로 이것이 증명되어야 합니다.

직육면체의 대각선은 동일합니다.

평행육면체 ABC의 치수를 a, b, c(그림 6 참조)로 표시하면 AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

평행육면체는 6개의 면이 모두 평행사변형인 기하학적 도형입니다.

이러한 평행사변형의 유형에 따라 다음 유형의 평행육면체가 구분됩니다.

• 직접;
• 경향;
• 직사각형.

직육면체는 모서리가 밑면과 90°의 각도를 이루는 사각형 프리즘입니다.

직육면체는 모든 면이 직사각형인 사각기둥입니다. 정육면체는 모든 면과 모서리가 서로 동일한 사각형 프리즘의 일종입니다.

그림의 특징은 해당 속성을 미리 결정합니다. 여기에는 다음 4가지 진술이 포함됩니다.

위의 모든 속성을 기억하면 간단하고 이해하기 쉽고 기하학적 몸체의 유형과 특성을 기반으로 논리적으로 파생됩니다. 그러나 간단한 명령문은 일반적인 USE 작업을 해결할 때 매우 유용할 수 있으며 테스트를 통과하는 데 필요한 시간을 절약해 줍니다.

평행육면체 공식

문제에 대한 답을 찾기 위해서는 도형의 속성만 아는 것만으로는 충분하지 않습니다. 기하학적 몸체의 면적과 부피를 구하려면 몇 가지 공식이 필요할 수도 있습니다.

밑면의 면적은 평행 사변형 또는 직사각형의 해당 표시와 동일한 방식으로 발견됩니다. 평행사변형의 밑변을 직접 선택할 수 있습니다. 일반적으로 문제를 해결할 때 밑면이 직사각형인 프리즘을 사용하는 것이 더 쉽습니다.

평행육면체의 측면을 찾는 공식은 테스트 작업에도 필요할 수 있습니다.

일반적인 통합 상태 시험 문제 해결의 예

작업 1.

주어진: 3, 4, 12cm 크기의 직육면체.
필요한그림의 주대각선 중 하나의 길이를 구하세요.
해결책: 기하학적 문제에 대한 모든 해결책은 "주어진" 값과 원하는 값이 표시되는 정확하고 명확한 도면의 구성에서 시작되어야 합니다. 아래 그림은 예를 보여줍니다. 올바른 디자인임무 조건.

만들어진 그림을 조사하고 기하학적 몸체의 모든 속성을 기억한 후 우리는 유일한 올바른 해결 방법에 도달했습니다. 평행육면체의 네 번째 속성을 적용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

간단한 계산을 통해 b2=169, 즉 b=13이라는 표현을 얻게 됩니다. 작업에 대한 답을 찾았습니다. 답을 찾고 그리는 데 5분 이상 소요되지 않습니다.

작업 2.

주어진: 측면 가장자리가 10cm인 경사 평행육면체, 지정된 가장자리에 평행한 그림의 단면인 5cm와 7cm 크기의 직사각형 KLNM입니다.
필요한사각기둥의 옆면적을 구하세요.
해결책: 먼저 주어진 것을 스케치해야 합니다.

이 문제를 해결하려면 독창성을 사용해야 합니다. 그림은 KL과 AD의 쌍이 ML과 DC 쌍과 마찬가지로 동일하지 않음을 보여줍니다. 그러나 이 평행사변형의 둘레는 분명히 동일합니다.

결과적으로, 그림의 측면 면적은 단면적에 모서리 AA1을 곱한 것과 같습니다. 조건에 따라 모서리가 단면에 수직이기 때문입니다. 답: 240cm2.

정의

다면체다각형으로 구성되고 공간의 특정 부분을 경계로 하는 닫힌 표면을 호출하겠습니다.

이 다각형의 변인 세그먼트를 호출합니다. 갈비 살다면체, 그리고 다각형 자체는 가장자리. 다각형의 꼭지점을 다면체 꼭지점이라고 합니다.

우리는 볼록한 다면체(면을 포함하는 각 평면의 한쪽에 위치한 다면체)만을 고려할 것입니다.

다면체를 구성하는 다각형은 표면을 형성합니다. 주어진 다면체로 둘러싸인 공간의 일부를 내부라고 합니다.

정의: 프리즘

평행 평면에 위치한 두 개의 동일한 다각형 \(A_1A_2A_3...A_n\) 및 \(B_1B_2B_3...B_n\)을 고려하여 세그먼트가 \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\)평행한. 다각형 \(A_1A_2A_3...A_n\) 및 \(B_1B_2B_3...B_n\) 과 평행사변형으로 형성된 다면체 \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), (\(n\)-gonal)이라고 합니다. 프리즘.

다각형 \(A_1A_2A_3...A_n\) 및 \(B_1B_2B_3...B_n\)을 프리즘 밑면, 평행사변형이라고 합니다. \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– 측면, 세그먼트 \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- 측면 갈비뼈.
따라서 프리즘의 측면 가장자리는 서로 평행하고 동일합니다.

예를 들어 보겠습니다 - 프리즘 \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), 그 밑면에는 볼록한 오각형이 있습니다.

키프리즘은 한 밑면의 한 점에서 다른 밑면의 평면까지 수직으로 떨어진 것입니다.

측면 가장자리가 밑면에 수직이 아닌 경우 이러한 프리즘을 호출합니다. 기울어진(그림 1), 그렇지 않은 경우 - 직접. 직선 프리즘에서는 측면 가장자리가 높이이고 측면이 동일한 직사각형입니다.

정다각형이 직선 프리즘의 밑면에 있으면 프리즘이라고 합니다. 옳은.

정의: 부피의 개념

부피 측정 단위는 단위 입방체(\(1\times1\times1\) 단위\(^3\)를 측정하는 입방체, 여기서 단위는 특정 측정 단위)입니다.

다면체의 부피는 이 다면체가 제한하는 공간의 양이라고 말할 수 있습니다. 그렇지 않은 경우: 이것은 단위 입방체와 그 부분이 주어진 다면체에 몇 번이나 들어가는지를 숫자 값으로 나타내는 수량입니다.

볼륨은 면적과 동일한 속성을 갖습니다.

1. 같은 숫자의 부피는 같습니다.

2. 다면체가 교차하지 않는 여러 개의 다면체로 구성되면 그 부피는 이들 다면체의 부피의 합과 같습니다.

3. 거래량은 음수가 아닌 수량입니다.

4. 부피는 cm\(^3\)(입방 센티미터), m\(^3\)(입방 미터) 등으로 측정됩니다.

정리

1. 프리즘의 측면 면적은 밑면의 둘레와 프리즘의 높이를 곱한 것과 같습니다.
측면 표면적은 프리즘 측면의 면적의 합입니다.

2. 프리즘의 부피는 밑면 면적과 프리즘 높이의 곱과 같습니다. \

정의: 평행육면체

평행육면체밑면에 평행사변형이 있는 프리즘입니다.

평행육면체의 모든 면(\(6\) : \(4\)개의 옆면과 \(2\)개의 밑면이 있음)은 평행사변형이고, 반대쪽 면(서로 평행한)은 동일한 평행사변형입니다(그림 2). .

평행육면체의 대각선같은 면에 있지 않은 평행육면체의 두 꼭지점을 연결하는 선분입니다(\(8\)개가 있습니다: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\)등.).

직육면체밑면에 직사각형이 있는 직육면체입니다.
왜냐하면 직육면체이므로 옆면은 직사각형이다. 이는 일반적으로 직육면체의 모든 면이 직사각형임을 의미합니다.

직육면체의 모든 대각선은 동일합니다(이것은 삼각형의 동일성에서 따릅니다). \(\삼각형 ACC_1=\삼각형 AA_1C=\삼각형 BDD_1=\삼각형 BB_1D\)등.).

논평

따라서 평행육면체는 프리즘의 모든 특성을 갖습니다.

정리

직육면체의 측면 표면적은 다음과 같습니다. \

직육면체의 전체 표면적은 다음과 같습니다. \

정리

직육면체의 부피는 한 꼭지점(직육면체의 3차원)에서 나오는 세 모서리의 곱과 같습니다. \

증거

왜냐하면 직육면체에서 측면 모서리는 밑면에 수직이며 높이이기도 합니다. 즉, \(h=AA_1=c\) 왜냐하면 밑면이 직사각형이면 \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). 이 공식은 여기서 유래되었습니다.

정리

직육면체의 대각선 \(d\)는 다음 공식을 사용하여 구합니다(여기서 \(a,b,c\)는 평행육면체의 치수임) \

증거

그림을 살펴보자. 3. 왜냐면 밑변은 직사각형이고 \(\triangle ABD\) 는 직사각형이므로 피타고라스 정리 \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) 에 따릅니다.

왜냐하면 모든 측면 모서리가 베이스에 수직인 경우 \(BB_1\perp(ABC) \오른쪽 화살표 BB_1\)이 평면의 모든 직선에 수직입니다. 즉, \(BB_1\perp BD\) . 이는 \(\triangle BB_1D\)가 직사각형임을 의미합니다. 그러면 피타고라스의 정리에 의해 \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), 일.

정의: 큐브

입방체는 모든 면이 정사각형인 직육면체입니다.

따라서 세 차원은 서로 동일합니다: \(a=b=c\) . 따라서 다음은 사실입니다.

정리

1. 모서리가 \(a\)인 입방체의 부피는 \(V_(\text(cube))=a^3\) 과 같습니다.

2. 큐브의 대각선은 \(d=a\sqrt3\) 공식을 사용하여 구합니다.

3. 큐브의 전체 표면적 \(S_(\text(완전한 큐브))=6a^2\).

학생들은 종종 분개하여 “이것이 내 인생에서 어떻게 도움이 될까요?”라고 묻습니다. 각 주제의 모든 주제에 대해. 평행 육면체의 부피에 관한 주제도 예외는 아닙니다. 그리고 여기서는 "유용할 것입니다."라고 말할 수 있습니다.

예를 들어, 소포가 우편함에 들어갈 수 있는지 어떻게 알 수 있습니까? 물론 시행착오를 거쳐 올바른 것을 선택할 수 있습니다. 이것이 불가능하다면 어떻게 될까요? 그러면 계산이 구출될 것입니다. 상자의 용량을 알면 소포의 부피를 (적어도 대략적으로) 계산하고 제기된 질문에 답할 수 있습니다.

평행 육면체 및 그 유형

문자 그대로 고대 그리스어에서 그 이름을 번역하면 이것이 다음으로 구성된 인물이라는 것이 밝혀졌습니다. 평행면. 평행육면체에는 다음과 같은 동등한 정의가 있습니다.

• 평행사변형 형태의 밑면을 가진 프리즘;
• 각 면이 평행사변형인 다면체.

그 유형은 바닥에 어떤 모양이 있는지와 측면 갈비뼈가 어떻게 향하는지에 따라 구별됩니다. 안에 일반적인 경우이야기하다 기울어진 평행육면체, 밑면과 모든 면이 평행사변형입니다. 이전 뷰의 측면이 직사각형이 되면 호출해야 합니다. 직접. 그리고 직사각형베이스에도 90° 각도가 있습니다.

또한 기하학에서는 모든 모서리가 평행하다는 것이 눈에 띄는 방식으로 후자를 묘사하려고 합니다. 그런데 여기에 수학과 예술가의 주요 차이점이 있습니다. 후자는 원근법에 따라 신체를 전달하는 것이 중요합니다. 그리고 이 경우 갈비뼈의 평행성은 완전히 보이지 않습니다.

도입된 표기법에 대하여

아래 공식에서는 표에 표시된 표기법이 유효합니다.

기울어진 평행육면체의 공식

첫 번째와 두 번째 영역:

세 번째는 평행육면체의 부피를 계산하는 것입니다.

밑면은 평행사변형이므로 면적을 계산하려면 적절한 표현식을 사용해야 합니다.

직육면체의 공식

첫 번째 점과 유사합니다 - 면적에 대한 두 가지 공식:

그리고 볼륨에 대해 하나 더:

첫 번째 작업

상태. 직육면체의 부피를 구해야 합니다. 대각선은 18cm로 알려져 있으며 측면 및 측면 가장자리의 평면과 각각 30도 및 45도의 각도를 형성한다는 사실이 있습니다.

해결책.문제 질문에 답하려면 직각삼각형 3개의 변을 모두 알아야 합니다. 볼륨을 계산하는 데 필요한 모서리 값을 제공합니다.

먼저 30° 각도가 어디에 있는지 알아내야 합니다. 이렇게 하려면 평행사변형의 주 대각선이 그려진 동일한 꼭지점에서 측면의 대각선을 그려야 합니다. 그들 사이의 각도가 필요할 것입니다.

밑변의 값 중 하나를 제공하는 첫 번째 삼각형은 다음과 같습니다. 여기에는 필요한 측면과 두 개의 그려진 대각선이 포함됩니다. 직사각형이에요. 이제 반대쪽 다리(밑면)와 빗변(대각선)의 비율을 사용해야 합니다. 이는 30°의 사인과 같습니다. 즉, 밑면의 알려지지 않은 면은 대각선에 사인 30° 또는 ½을 곱하여 결정됩니다. 문자 "a"로 지정하겠습니다.

두 번째는 알려진 대각선과 45°를 형성하는 모서리를 포함하는 삼각형입니다. 또한 직사각형이므로 다리와 빗변의 비율을 다시 사용할 수 있습니다. 즉, 측면 가장자리에서 대각선으로. 이는 45°의 코사인과 같습니다. 즉, "c"는 대각선과 45°의 코사인의 곱으로 계산됩니다.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2(cm).

같은 삼각형에서 다른 다리를 찾아야 합니다. 이는 세 번째 미지수인 "in"을 계산하는 데 필요합니다. 문자 "x"로 지정하겠습니다. 피타고라스 정리를 사용하여 쉽게 계산할 수 있습니다.

x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (cm).

이제 우리는 또 다른 직각삼각형을 고려해야 합니다. 이미 포함되어 있습니다 알려진 정당"c", "x" 및 계산해야 하는 "v":

in = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (cm).

세 가지 양이 모두 알려져 있습니다. 부피 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).

답변:평행 육면체의 부피는 729√2 cm 3입니다.

두 번째 과제

상태. 평행육면체의 부피를 구해야 합니다. 밑면에 있는 평행사변형의 변은 3cm와 6cm이고 예각은 45°로 알려져 있습니다. 측면 갈비뼈는 바닥에 대한 경사가 30°이고 4cm와 같습니다.

해결책.문제에 대한 질문에 답하려면 경사 평행육면체의 부피에 대해 작성된 공식을 사용해야 합니다. 그러나 두 수량 모두 알려지지 않았습니다.

밑변, 즉 평행사변형의 면적은 알려진 변과 그 사이의 예각의 사인을 곱해야 하는 공식에 의해 결정됩니다.

So = 3 * 6 sin 45° = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (cm 2).

두 번째로 알 수 없는 수량은 높이입니다. 밑면 위의 4개 꼭지점 중 하나에서 그릴 수 있습니다. 높이가 다리이고 옆변이 빗변인 직각삼각형에서 구할 수 있습니다. 이 경우 30°의 각도는 알 수 없는 높이의 반대편에 있습니다. 이는 다리와 빗변의 비율을 사용할 수 있음을 의미합니다.

n = 4 * 죄 30° = 4 * 1/2 = 2.

이제 모든 값을 알고 볼륨을 계산할 수 있습니다.

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).

답변:부피는 18 √2 cm 3 입니다.

세 번째 과제

상태. 평행육면체의 부피를 구하면 직선인 것으로 알려져 있습니다. 밑면의 측면은 평행사변형을 이루며 2cm와 3cm 사이의 예각은 60°입니다. 평행육면체의 작은 대각선은 밑면의 큰 대각선과 같습니다.

해결책.평행육면체의 부피를 알아내기 위해 우리는 밑면적과 높이를 포함한 공식을 사용합니다. 두 수량 모두 알 수 없지만 계산하기 쉽습니다. 첫 번째는 높이입니다.

평행육면체의 더 작은 대각선의 크기가 더 큰 밑면과 일치하므로 동일한 문자 d로 지정할 수 있습니다. 평행사변형의 가장 큰 각도는 예각과 180°를 이루므로 120°입니다. 밑면의 두 번째 대각선을 문자 "x"로 지정합니다. 이제 밑변의 두 대각선에 대해 코사인 정리를 작성할 수 있습니다.

d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120°,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60°.

나중에 다시 2제곱으로 올라가기 때문에 정사각형 없이 값을 찾는 것은 의미가 없습니다. 데이터를 대체하면 다음을 얻습니다.

d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120° = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60° = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

이제 평행육면체의 측면 가장자리이기도 한 높이는 삼각형의 다리가 됩니다. 빗변은 몸체의 알려진 대각선이고 두 번째 다리는 "x"입니다. 우리는 피타고라스 정리를 쓸 수 있습니다:

n 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.

따라서 n = √12 = 2√3(cm)입니다.

이제 두 번째로 알려지지 않은 수량은 밑면의 면적입니다. 두 번째 문제에서 언급한 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

그래서 = 2 * 3 sin 60° = 6 * √3/2 = 3√3 (cm 2).

모든 것을 부피 공식으로 결합하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

V = 3√3 * 2√3 = 18(cm 3).

답: V = 18cm 3.

네 번째 과제

상태. 다음 조건을 충족하는 평행육면체의 부피를 알아내야 합니다. 밑면은 한 변의 길이가 5cm인 정사각형입니다. 측면은 마름모입니다. 밑면 위에 있는 꼭지점 중 하나는 밑면에 있는 모든 꼭지점과 등거리에 있습니다.

해결책.먼저 상태를 처리해야합니다. 사각형에 대한 첫 번째 요점에는 질문이 없습니다. 두 번째는 마름모에 관한 것으로서 평행육면체가 기울어져 있음을 분명히 합니다. 또한 마름모의 측면이 동일하기 때문에 모든 모서리는 5cm와 같습니다. 그리고 세 번째부터 그로부터 그려지는 세 개의 대각선이 동일하다는 것이 분명해집니다. 이것들은 측면에 있는 두 개이고, 마지막 하나는 평행육면체 내부에 있습니다. 그리고 이 대각선은 가장자리와 같습니다. 즉, 길이도 5cm입니다.

부피를 결정하려면 경사 평행육면체에 대해 작성된 공식이 필요합니다. 그 안에 알려진 수량은 다시 없습니다. 하지만 밑면의 넓이는 정사각형이기 때문에 계산하기 쉽습니다.

그래서 = 5 2 = 25 (cm 2).

높이의 상황은 좀 더 복잡합니다. 세 가지 그림으로 표현하면 다음과 같습니다: 평행육면체, 사각뿔그리고 이등변삼각형. 이 마지막 상황을 활용해야 합니다.

키가 크니까 다리가 들어가네요 직각삼각형. 빗변은 알려진 가장자리이고 두 번째 다리는 정사각형 대각선의 절반과 같습니다(높이도 중앙값임). 그리고 밑면의 대각선은 찾기 쉽습니다.

d = √(2 * 5 2) = 5√2(cm).

높이는 모서리의 두 번째 거듭제곱과 대각선 절반의 제곱 사이의 차이로 계산되어야 하며, 그런 다음 제곱근을 취하는 것을 기억해야 합니다.

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2.5 √2 (cm).

V = 25 * 2.5 √2 = 62.5 √2 (cm 3).

답변: 62.5 √2(cm3).