En logique, le signe est appelé. Le langage de la logique
⊃ peut signifier la même chose que ⇒ (le symbole peut aussi signifier un sur-ensemble).
⇒ (\displaystyle\Rightarrow )
→ (\displaystyle\to )\à
⊃ (\displaystyle\supset )
⟹ (\displaystyle\implique )\implique
U+003A U+229C
:
:= (\displaystyle:=):=
≡ (\displaystyle \equiv )
⇔ (\displaystyle\Leftrightarrow )
- U+2310 ⌐ Annulé NON
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Pologne et Allemagne
En Pologne, le quantificateur universel est parfois écrit comme ∧ (\displaystyle \coin ), et le quantificateur d'existence comme ∨ (\displaystyle\vee ). On observe la même chose dans la littérature allemande.
Conjonction ou multiplication logique (en théorie des ensembles, c'est une intersection)
Une conjonction est une expression logique complexe qui est vraie si et seulement si les deux expressions simples sont vraies. Une telle situation n'est possible que dans un seul cas, dans tous les autres cas la conjonction est fausse.
Désignation : &, $\wedge$, $\cdot$.
Table de vérité pour la conjonction
Image 1.
Propriétés de la conjonction :
- Si au moins une des sous-expressions de la conjonction est fausse sur un ensemble de valeurs variables, alors toute la conjonction sera fausse pour cet ensemble de valeurs.
- Si toutes les expressions de conjonction sont vraies sur un ensemble de valeurs variables, alors la conjonction entière sera également vraie.
- La valeur de la conjonction entière expression complexe ne dépend pas de l'ordre des sous-expressions auxquelles il s'applique (comme en mathématiques, multiplication).
Disjonction ou addition logique (en théorie des ensembles, c'est une union)
Une disjonction est une expression logique complexe qui est presque toujours vraie, sauf lorsque toutes les expressions sont fausses.
Désignation : +, $\vee$.
Table de vérité pour la disjonction
Figure 2.
Propriétés de disjonction :
- Si au moins une des sous-expressions de disjonction est vraie sur un ensemble de valeurs variables, alors toute la disjonction est vraie pour cet ensemble de sous-expressions.
- Si toutes les expressions d'une liste de disjonction sont fausses sur un ensemble de valeurs variables, alors toute la disjonction de ces expressions est également fausse.
- La valeur de la disjonction entière ne dépend pas de l'ordre des sous-expressions (comme en mathématiques - addition).
Négation, négation logique ou inversion (en théorie des ensembles, c'est la négation)
Négation - signifie que la particule NOT ou le mot INCORRECT est ajouté à l'expression logique originale, QUI et par conséquent nous obtenons que si l'expression originale est vraie, alors la négation de l'originale sera fausse et vice versa, si le expression originale est fausse, alors sa négation sera vraie.
Notation : pas $A$, $\bar(A)$, $¬A$.
Table de vérité pour l'inversion
figure 3
Propriétés négatives :
La "double négation" de $¬¬A$ est une conséquence de la proposition $A$, c'est-à-dire qu'elle est une tautologie en logique formelle et est égale à la valeur elle-même en logique booléenne.
Implication ou conséquence logique
Une implication est une expression logique complexe qui est vraie dans tous les cas sauf quand vrai implique faux. C'est-à-dire que cette opération logique relie deux expressions logiques simples, dont la première est la condition ($A$) et la seconde ($A$) est la conséquence de la condition ($A$).
Notation : $\to$, $\Rightarrow$.
Table de vérité pour l'implication
Figure 4
Propriétés d'implication :
- $A \to B = ¬A \vee B$.
- L'implication $A \vers B$ est fausse si $A=1$ et $B=0$.
- Si $A=0$, alors l'implication $A \vers B$ est vraie pour toute valeur de $B$, (vrai peut découler de faux).
Équivalence ou équivalence logique
L'équivalence est une expression logique complexe qui est vraie sur des valeurs égales des variables $A$ et $B$.
Désignations : $\leftrightarrow$, $\Leftrightarrow$, $\equiv$.
Table de vérité pour l'équivalence
Figure 5
Propriétés d'équivalence :
- L'équivalence est vraie sur des ensembles égaux de valeurs des variables $A$ et $B$.
- CNF $A \equiv B = (\bar(A) \vee B) \cdot (A \cdot \bar(B))$
- DNF $A \equiv B = \bar(A) \cdot \bar(B) \vee A \cdot B$
Disjonction stricte ou addition modulo 2 (en théorie des ensembles, c'est l'union de deux ensembles sans leur intersection)
Une disjonction stricte est vraie si les valeurs des arguments ne sont pas égales.
Pour l'électronique, cela signifie que la mise en œuvre de circuits est possible en utilisant un élément typique (bien qu'il s'agisse d'un élément coûteux).
Ordre d'exécution des opérations logiques dans une expression logique complexe
- Inversion(négation);
- Conjonction (multiplication logique);
- Disjonction et disjonction stricte (addition logique) ;
- Implication (conséquence);
- Équivalence (identité).
Pour modifier l'ordre d'exécution spécifié des opérations logiques, vous devez utiliser des parenthèses.
Les propriétés générales
Pour un ensemble de $n$ booléens, il y a exactement $2^n$ valeurs distinctes. La table de vérité d'une expression booléenne dans des variables $n$ contient $n+1$ colonnes et $2^n$ lignes.
Le langage de ce livre, comme la plupart des textes mathématiques, se compose d'un langage ordinaire et d'un certain nombre de symboles spéciaux pour les théories présentées. Parallèlement à ces symboles spéciaux, qui seront introduits au besoin, nous utilisons les symboles communs de la logique mathématique pour désigner, respectivement, la négation de "non" et les connecteurs "ou", "implique", "équivalent".
Prenons, par exemple, trois déclarations d'intérêts indépendants :
L. « Si les désignations sont propices aux découvertes, alors le travail de la pensée est étonnamment réduit » Leibniz).
R. « Les mathématiques sont l'art d'appeler des choses différentes du même nom » (A. Poincaré).
G. "Le grand livre de la nature est écrit dans le langage des mathématiques" (G. Galileo).
Puis, selon la notation indiquée :
Nous voyons qu'il n'est pas toujours raisonnable d'utiliser uniquement la notation formelle, en évitant le langage familier.
Nous remarquons, de plus, qu'en écrivant des énoncés complexes composés d'énoncés plus simples, on utilise des parenthèses qui remplissent la même fonction syntaxique que lors de l'écriture d'expressions algébriques. Comme en algèbre, pour économiser les parenthèses, on peut s'entendre sur un "ordre des opérations". A cet effet, convenons de l'ordre de priorité des caractères suivant :
Avec un tel accord, l'expression doit être déchiffrée comme un rapport - comme, mais pas comme.
La notation , signifiant que A implique B ou, de manière équivalente, B découle de A, nous donnerons souvent une autre interprétation verbale, en disant que B est une caractéristique nécessaire ou une condition nécessaire de A et, à son tour, A est une condition suffisante ou une caractéristique suffisante B. Ainsi, le rapport A B peut être lu de l'une des manières suivantes :
A est nécessaire et suffisant pour B ;
A si et seulement si B
A si et seulement si B;
A est équivalent à B.
Ainsi, écrire A B signifie que A implique B et, en même temps, B implique A.
L'utilisation de l'union et dans l'expression ne nécessite pas d'explication.
Cependant, il convient de noter que dans l'expression l'union ou la non-séparation, c'est-à-dire que l'énoncé est considéré comme vrai si au moins un des énoncés A, B est vrai. Par exemple, soit x tel
est un nombre réel, qui On peut alors écrire que la relation suivante est vraie :
2. Remarques sur les preuves.
Un énoncé mathématique typique a la forme , où A est une prémisse, une conclusion. La preuve d'un tel énoncé consiste à construire une chaîne de conséquences dont chaque élément est soit considéré comme un axiome, soit déjà un énoncé prouvé.
Dans les preuves nous suivrons règle classique conclusion : si A est vrai, alors B est également vrai.
Lors de la preuve par contradiction, nous utiliserons également le principe du tiers exclu, en vertu duquel l'énoncé (A ou non A) est considéré comme vrai quel que soit le contenu spécifique de l'énoncé A. Par conséquent, nous acceptons simultanément que, c'est-à-dire, la négation répétée est équivalente à la déclaration originale.
3. Certaines désignations spéciales.
Pour la commodité du lecteur et la réduction du texte, nous convenons de marquer respectivement le début et la fin de la preuve par des signes.
On conviendra aussi, quand cela conviendra, d'introduire les définitions au moyen d'un symbole spécial (égalité par définition), dans lequel le deux-points est placé du côté de l'objet à définir.
définit le côté gauche par le côté droit, dont la signification est supposée connue.
De même, des abréviations sont introduites pour les expressions déjà définies. Par exemple, l'entrée
introduit une notation pour la somme à gauche d'une forme spéciale.
4. Remarques finales.
Il convient de noter que nous n'avons parlé ici, pour l'essentiel, que de notation, sans analyser le formalisme des inférences logiques et sans toucher aux questions profondes de vérité, de prouvabilité, de dérivabilité, qui sont l'objet d'étude de la logique mathématique.
Comment construire l'analyse mathématique si l'on ne dispose pas d'une formalisation de la logique ? Une certaine consolation ici peut résider dans le fait que nous savons toujours, ou, pour mieux dire, que nous sommes capables de faire plus que ce que nous sommes capables de formaliser pour le moment. Le sens de la dernière phrase peut être expliqué par la parabole bien connue selon laquelle le mille-pattes a même oublié comment marcher lorsqu'on lui a demandé d'expliquer exactement comment elle contrôle tous ses membres.
L'expérience de toutes les sciences nous convainc que ce qui était hier clair ou simple et indivisible peut aujourd'hui être révisé ou affiné. Il en était ainsi (et il en sera sans doute encore) de nombreux concepts d'analyse mathématique, dont les théorèmes et appareils les plus importants ont été découverts en XVII-XVIII siècles, mais n'a acquis une forme moderne formalisée, interprétée sans ambiguïté et, probablement, par conséquent, une forme généralement accessible qu'après la création de la théorie des limites et de la théorie logiquement complète des nombres réels qui lui sont nécessaires (XIXe siècle).
C'est à partir de ce niveau de la théorie des nombres réels que nous commencerons au chapitre II la construction de tout l'édifice de l'analyse.
Comme déjà noté dans la préface, ceux qui souhaitent se familiariser rapidement avec les concepts de base et l'appareil efficace du calcul différentiel et intégral proprement dit peuvent commencer immédiatement à partir du chapitre III, en ne revenant à certains endroits des deux premiers chapitres qu'en cas de nécessité.
Des exercices
Nous marquerons les affirmations vraies avec le symbole 1, et les affirmations fausses avec le symbole 0. Ensuite, chacune des affirmations peut être associée à la table dite de vérité, qui indique sa vérité en fonction de la vérité des affirmations A, B. Ces tables sont une définition formelle des opérations logiques. Les voici :
1. Vérifiez si tout dans ces tableaux est cohérent avec votre idée de l'opération logique correspondante. (Notez, en particulier, que si A est faux, alors l'implication est toujours vraie.)
2. Montrez que les relations suivantes, simples mais très importantes et largement utilisées dans le raisonnement mathématique, sont vraies :
De plus, aucun symbole logique spécial n'est utilisé. Cependant, étant donné que le lecteur peut être amené à lire des livres dans lesquels de tels symboles sont utilisés, nous donnerons à titre d'exemple les principaux symboles logiques les plus fréquemment utilisés.
Depuis plus de deux mille ans, la logique traditionnelle utilise le langage ordinaire pour décrire la pensée. Seulement au 19ème siècle l'idée s'est progressivement établie qu'aux fins de la logique, un langage artificiel spécial est nécessaire, construit selon des règles strictement formulées. Ce langage n'est pas destiné à la communication. Cela ne devrait servir qu'à une seule tâche - révéler les connexions logiques de nos pensées, mais cette tâche devrait être résolue avec la plus grande efficacité.
Les principes de construction d'un langage logique artificiel sont bien développés dans la logique moderne. Sa création eut à peu près la même signification dans le domaine de la pensée pour la technique de l'inférence logique, qui dans le domaine de la production fit passer du travail manuel au travail mécanisé.
Un langage spécialement créé pour les besoins de la logique est dit formalisé. Les mots du langage ordinaire sont remplacés par des lettres individuelles et divers caractères spéciaux. Une langue formalisée est une langue « complètement symbolique » dans laquelle il n'y a pas un seul mot de la langue courante. Dans un langage formalisé, les expressions significatives sont remplacées par des lettres, et comme symboles logiques
(constantes logiques) des symboles avec une signification strictement définie sont utilisés.
Dans la littérature logique, divers systèmes de notation sont utilisés, donc deux ou plusieurs variantes de symboles sont données ci-dessous.
Signes servant à indiquer la négation ; lire : « non », « ce n'est pas vrai » ;
Signes pour désigner un connecteur logique appelé conjonction; lire et";
Un signe pour désigner un connecteur logique appelé une disjonction non exclusive; lire : "ou" ;
Un signe pour désigner une disjonction stricte ou exclusive; lire : "soit, soit" ;
Signes pour indiquer l'implication ; lire : "si, alors" ;
Signes pour indiquer l'équivalence des déclarations ; lire : "si et seulement si" ;
Quantificateur général ; on y lit : « pour tout le monde », « tout le monde » ;
Quantificateur d'existence ; lire "existe", "il y en a au moins un" ;
L, N, - signes pour désigner l'opérateur modal de nécessité ; lire : « il faut que » ;
M - un signe pour la désignation de l'opérateur modal de possibilité ; se lit comme suit : "éventuellement".
Parallèlement à ce qui précède, d'autres symboles spécifiques sont utilisés dans divers systèmes de logique, et chaque fois, il est expliqué ce que signifie exactement tel ou tel symbole et comment il est lu.
En tant que signes de ponctuation dans les langages artificiels de la logique, les crochets sont utilisés, comme dans le langage des mathématiques.
Prenons, par exemple, quelques énoncés significatifs et donnons côte à côte leur récit dans le langage de la logique :
A) "Celui qui pense clairement, parle clairement" -; la lettre A désigne l'énoncé «Une personne pense clairement», B - l'énoncé «Une personne parle clairement», - un tas de «si, alors»;
B) "C'est une personne instruite et ce n'est pas vrai qu'il ne connaît pas les sonnets de Shakespeare" - ; A - la déclaration "C'est une personne éduquée", B - "Il ne connaît pas les sonnets de Shakespeare", - un tas de "et",
C) "Si la lumière a une nature ondulatoire, alors lorsqu'elle est présentée comme un flux de particules (corpuscules), une erreur est commise" -
; A - "La lumière a une nature ondulatoire", B - "La lumière est représentée comme un flux de particules", C - "Une erreur est commise" ;
D) "Si vous étiez à Paris, alors vous avez vu le Louvre ou vu la Tour Eiffel" - "Vous étiez à Paris", B - "Vous avez vu le Louvre", C - "Vous avez vu la Tour Eiffel" ;
4. Symbolisme logique
E) "Si une substance est chauffée, elle va fondre ou s'évaporer, mais elle peut aussi exploser" - (A ^ (B v C v D)); A - "La substance s'échauffe", B - "La substance fond", C - "La substance s'évapore", D - "La substance explose".
Donnons encore un exemple simple du passage d'un langage artificiel de la logique à un langage ordinaire. Soit la variable A représente l'énoncé "la théorie de Darwin est scientifique", B - "la théorie de Darwin peut être confirmée par des données expérimentales", C - "la théorie de Darwin peut être réfutée par des données expérimentales". Quelles déclarations significatives sont exprimées par des formules:
A) UN ^ (B ^ C);
B) (B l ~ C) ^ ~ A;
B) (~ V l ~ C) ^ ~ A ?
La réponse à cette question est, respectivement, trois affirmations :
A) Si la théorie de Darwin est scientifique, alors si elle peut être confirmée par des données expérimentales, elle peut aussi être réfutée par elles ;
B) Si la théorie de Darwin peut être confirmée par des données expérimentales, mais ne peut être réfutée par elles, elle n'est pas scientifique ;
C) Si la théorie de Darwin ne peut pas être confirmée par des données expérimentales et ne peut être réfutée par elles, elle n'est pas scientifique.
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Mode d'utilisation |
Nom |
lire |
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conjonction | |||
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disjonction | |||
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R v q |
Disjonction stricte |
soit p soit q |
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implication |
si p alors q |
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équivalence |
p si et seulement si q |
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négation |
Ce n'est pas vrai que r |
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Quantificateur universel |
Pour tout x il est vrai que P(x) |
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Quantificateur d'existence |
Il existe x tel que P(x) |
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Variables individuelles |
Désignations de tout objet de l'univers (le domaine de notre raisonnement) |
||
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Variables propositionnelles |
Notation des propositions (phrases pouvant être évaluées comme vraies ou fausses) |
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Variables de prédicat |
Variables dont les valeurs sont des noms de propriété ou de relation |
LOGIQUE ET LANGAGE. CATÉGORIES SÉMANTIQUES DU LANGAGE
La logique formelle moderne est appelée symbolique parce qu'elle utilise un langage spécial pour analyser la structure et les lois de la pensée.
Le lien nécessaire entre la pensée et le langage, dans lequel le langage agit comme une enveloppe matérielle des pensées, signifie que l'identification des structures logiques n'est possible qu'à travers l'analyse des expressions linguistiques. De même que le noyau d'une noix ne peut être atteint qu'en ouvrant sa coque, de même les formes logiques ne peuvent être révélées qu'en analysant le langage.
Le langage logique est basé sur certaines prémisses. D'une part, il s'agit d'hypothèses ontologiques philosophiques. Ontologie - du grec ontos - être et logos - doctrine, c'est-à-dire la doctrine de l'être. Les hypothèses ontologiques s'expriment dans une certaine image du monde, dans la connaissance de la structure du monde, de ses propriétés et de ses régularités. D'autre part, puisque la théorie logique de la pensée est basée sur l'analyse des propriétés de la pensée linguistique, la théorie logique inclut certaines hypothèses sur la langue et sa structure.
Le matériau de construction principal dans la construction de la langue sont les signes qui y sont utilisés. Signe- il s'agit de tout objet (sensuellement perçu (visuellement, auditivement ou autrement) qui agit comme un représentant d'un autre objet. Parmi les différents signes, on distingue deux types : les signes-images et les signes-symboles.
Signes-images avoir une certaine ressemblance avec les objets désignés. Exemples de tels signes : copies de documents ; photographies; certains panneaux routiers représentant des enfants, des piétons et d'autres objets.
Signes-symboles n'ont aucune ressemblance avec les objets désignés. Par exemple : signes musicaux ; Caractères du code Morse ; lettres dans les alphabets des langues nationales.
L'ensemble des signes initiaux de la langue en fait alphabet.
Une étude approfondie de la langue est réalisée par la théorie générale des systèmes de signes - sémiotique, qui analyse la langue sous trois aspects : syntaxique, sémantique et pragmatique.
Syntaxe- Il s'agit d'une section de sémiotique qui étudie la structure du langage : les voies de formation, de transformation et de connexion entre les signes. Sémantique traite du problème de l'interprétation, c'est-à-dire analyse de la relation entre les signes et les objets désignés. Pragmatique analyse la fonction communicative de la langue - les relations émotionnelles, psychologiques, esthétiques, économiques et autres d'un locuteur natif avec la langue elle-même.
Considérons brièvement la composition et la structure de ce langage.
Destiné à l'analyse logique du raisonnement, le langage de la logique des prédicats reflète structurellement et suit de près les caractéristiques sémantiques du langage naturel. La principale catégorie sémantique (sémantique) du langage de la logique des prédicats est le concept de nom.
Nom- il s'agit d'une expression linguistique qui a une certaine signification sous la forme d'un mot ou d'une phrase distincte, désignant ou désignant un objet extralinguistique. Le nom en tant que catégorie linguistique a donc deux caractéristiques ou significations obligatoires : le sens sujet et le sens sémantique.
Sujet sens (dénotation) du nom- il s'agit d'un ou d'un ensemble d'objets désignés par ce nom. Par exemple, la dénotation du nom "maison" en russe sera toute la variété des structures que ce nom désigne : bois, brique, pierre ; à un étage et à plusieurs étages, etc.
La signification sémantique (signification ou concept) d'un nom est une information sur les objets, c'est-à-dire leurs propriétés inhérentes, à l'aide desquelles une variété d'objets sont distingués. Dans l'exemple ci-dessus, la signification du mot "maison" sera les caractéristiques suivantes de toute maison : 1) cette structure (bâtiment), 2) construite par l'homme, 3) destinée à l'habitation. Le nom dénote, c'est-à-dire désigne les objets uniquement par le sens, et non directement. Une expression linguistique qui n'a pas de sens ne peut pas être un nom, car elle n'est pas signifiante, et donc non objectivée, c'est-à-dire n'a pas de dénotation.
Les types de noms du langage logique des prédicats, déterminés par les spécificités des objets de dénomination et représentant ses principales catégories sémantiques, sont les noms de : 1) objets, 2) attributs et 3) phrases. Noms d'éléments désignent des objets uniques, des phénomènes, des événements ou leurs ensembles. L'objet de recherche dans ce cas peut être à la fois matériel (avion, foudre, pin) et idéal (volonté, capacité juridique, rêve).
La composition distingue les noms Facile, qui n'incluent pas d'autres noms (état), et complexe, y compris d'autres noms (satellite de la Terre). Par dénotation, les noms sont Célibataire et général. Un nom unique désigne un objet et est représenté dans la langue par un nom propre (Aristote) ou donné de manière descriptive (le plus grand fleuve d'Europe). Le nom commun désigne un ensemble composé de plusieurs objets ; dans la langue, il peut être représenté par un nom commun (loi) ou donné de manière descriptive (grande maison en bois).
Les noms des caractéristiques - qualités, propriétés ou relations - sont appelés précopores. Dans une phrase, ils jouent généralement le rôle d'un prédicat (par exemple, "être bleu", "courir", "donner", "aimer", etc.). Le nombre de noms d'éléments auxquels un prédicteur fait référence est appelé sa localité. Prédicateurs exprimant des propriétés inhérentes éléments individuels, sont appelés célibataires (par exemple, "le ciel est bleu"). Les prédicateurs exprimant des relations entre deux ou plusieurs objets sont appelés multiplaces. Par exemple, le prédicateur "aimer" fait référence à deux places ("Marie aime Pierre"), et le prédicateur "donner" - à trois places ("Père donne un livre à son fils").
Les phrases sont des noms d'expressions linguistiques dans lesquelles quelque chose est affirmé ou nié. Selon leur sens logique, ils expriment vrai ou faux.
L'alphabet du langage logique des prédicats comprend les types de signes (symboles) suivants :
1) un , b, avec,...- les symboles des noms uniques (propres ou descriptifs) d'objets ; elles sont appelées constantes sujet, ou constantes ;
2) X,y,z, ... - symboles de noms communs d'objets qui prennent des valeurs dans l'un ou l'autre domaine ; elles sont appelées variables objet ;
3) R 1 , O 1 , K 1 ,... - symboles pour les prédicats, indices sur lesquels expriment leur localité; elles sont appelées variables de prédicat ;
4) R,q, r, ... - symboles pour les déclarations, appelées variables propositionnelles ou propositionnelles (du latin proposito - "déclaration");
5) , - symboles pour les caractéristiques quantitatives des déclarations; ils sont appelés quantificateurs : -quantificateur général ; il symbolise des expressions - tout, tout le monde, tout le monde, toujours, etc. ; - quantificateur existentiel ; il symbolise des expressions - certaines, parfois, se produisent, se produisent, existent, etc. ;
6) liens logiques :
– conjonction (conjonction « et »); - disjonction (conjonction "ou");
-> - implication (conjonction "si ..., alors, ..");
- équivalence, ou double implication (conjonction "si et seulement si..., alors...");
- négation ("ce n'est pas vrai que...").
Caractères techniques de la langue : (,) - crochets gauche et droit.
Cet alphabet ne comprend pas d'autres caractères. Admissible, c'est-à-dire les expressions qui ont un sens dans le langage de la logique des prédicats sont appelées formules bien formées - WPF. Le concept de PPF est introduit par les définitions suivantes :
1. Toute variable propositionnelle - p, q, r ... est une PFF.
2. Toute variable prédicat prise avec une suite de variables sujet ou contact dont le numéro correspond à sa localité est une PFF : ET 1 (x), un 2 (x, y), A 3 (X, y, z), UNE n (X, y, … , n) , où ET 1 , ET 2 , ET 3 , UNE n sont des signes de métalangage pour les prédicateurs.
3. Pour toute formule avec des variables de sujet, dans laquelle l'une des variables est associée à un quantificateur, les expressions xA(x) et xA(x) il y aura aussi PPF.
4. Si A et B sont des formules (A et B sont des signes de métalangage pour exprimer des schémas de formules), alors les expressions :
sont aussi des formules.
5. Toutes les autres expressions, en plus de celles fournies aux paragraphes 1 à 4, ne sont pas des PFF de ce langage. A l'aide du langage logique donné, un système logique formaté est construit, appelé calcul des prédicats. Des éléments du langage de la logique des prédicats seront utilisés dans ce qui suit pour analyser des fragments individuels de langage naturel.
Le concept comme forme de pensée. Formation conceptuelle.
Mot et concept. Formation conceptuelle
Le langage et la pensée sont inextricablement liés dans notre cognition. Le mot est un puissant outil d'analyse du monde, il nous emmène au-delà des limites de l'expérience sensible et nous permet de pénétrer dans le domaine du rationnel.
La signification d'un mot est une fonction de mise en évidence des caractéristiques individuelles d'un objet, de leur généralisation et de l'introduction de l'objet dans un certain système de catégories.
Les principales étapes de la formation des concepts.
Tout d'abord, nous distinguons les caractéristiques individuelles du sujet qui nous intéresse (nous faisons une analyse).
Ensuite, nous considérons les caractéristiques sélectionnées séparément (l'opération d'abstraction).
L'opération suivante est la comparaison, elle implique la sélection des caractéristiques communes et le rejet des caractéristiques privées.
Au stade de la synthèse, nous combinons des caractéristiques communes en un tout unique, en une image mentale d'un objet.
Et enfin, à l'aide de la généralisation cognitive sur la base des caractéristiques sélectionnées, nous pensons à l'ensemble des objets qui possèdent cette caractéristique.
Explication des concepts utilisés
Une analyse- démembrement mental des objets en leurs composants, sélection mentale des signes en eux.
abstraction- sélection mentale de certaines caractéristiques de l'objet et distraction des autres; souvent, la tâche consiste à mettre en évidence les caractéristiques essentielles et à faire abstraction des caractéristiques secondaires non essentielles.
Comparaison- établissement mental de la similitude ou de la différence des objets selon des caractéristiques essentielles ou non essentielles.
Synthèse- une connexion mentale en un seul ensemble des parties d'un objet ou de ses caractéristiques obtenues au cours du processus d'analyse et de comparaison.
Généralisation cognitive- une association mentale d'objets séparés dans un certain concept.
Le concept est inextricablement lié à l'unité linguistique - le mot. Les concepts sont exprimés et fixés dans des mots et des phrases, par exemple, « droit », « loi », « complicité », etc. Les mots sont la base matérielle et linguistique des concepts, sans laquelle il est impossible de les former ou de les faire fonctionner.
Chaque mot désigne non seulement un sujet, mais produit également un travail beaucoup plus profond. Il désigne un signe essentiel pour ce sujet, analyse ce sujet.
panneaux- est celui dans lequel les objets sont similaires entre eux ou différents les uns des autres ; les propriétés ou les relations sont des attributs.
Les signes sont essentiels et non essentiels.
Caractéristique essentielle- c'est, d'une part, un signe inhérent à tous les objets d'une classe donnée, et d'autre part, un signe sans lequel on ne peut penser à cet objet. La deuxième caractéristique d'un trait essentiel reflète la relativité du concept philosophique d'essence. L'essence d'une chose est le reflet de la profondeur de notre connaissance de cette chose à un moment donné. Par exemple, les anciens Grecs distinguaient certains éléments primaires comme le commencement de toutes choses : l'eau, le feu, l'air et la terre. Mais ces éléments primaires eux-mêmes pourraient être déterminés par des combinaisons de qualités de base : humide, sec, chaud, froid. L'eau avec cette approche a été définie comme humide et froide, cela a été compris comme son essence. Et pour un étudiant moderne, l'essence de l'eau sera exprimée par la formule H 2 O.
Caractéristiques insignifiantes- ce sont des signes qui ne sont pas déterminants par rapport aux spécificités qualitatives des objets généralisés dans le concept.
Les signes sont distinctifs et non distinctifs.
Les caractéristiques distinctives d'une classe d'objets sont des caractéristiques qui ne sont inhérentes qu'aux objets de cette classe.
Les caractéristiques non distinctives sont des caractéristiques qui n'appartiennent pas seulement à ces objets.
Le concept est la forme de pensée de base par laquelle nous distinguons certaines classes de choses et les distinguons les unes des autres. Le concept apparaît, premièrement, à la suite de l'abstraction et de la comparaison, c'est-à-dire la sélection mentale et la séparation des propriétés essentielles des choses du non-essentiel, et, d'autre part, comme une généralisation de ces propriétés essentielles et un concept unique.
Donnons une définition plus concise : Un concept est une pensée qui fait l'objet d'un certain ensemble et distingue cet ensemble selon ses traits essentiels et distinctifs..
Dans le langage, les concepts sont notés des noms. Les noms propres ("Moscou", "Pouchkine") correspondent à des objets spécifiques, des noms communs ("capitale", "homme") - des ensembles entiers d'objets. On peut dire que le concept est la signification du nom.
Le mot non seulement désigne une chose, mais généralise également les choses, les réfère à une certaine catégorie. Par exemple, « un crime est un acte socialement dangereux prévu par le droit pénal ».
Dans la notion " le crime» nous identifions deux caractéristiques essentielles et (ensemble) distinctives : (1) être un acte socialement dangereux ; (2) être prévue par le droit pénal.
Le mot désigne non seulement un objet, mais remplit également la fonction d'analyser l'objet, transmet l'expérience qui s'est formée au cours du processus de développement historique de générations de personnes. Ainsi, « samovar » désigne un objet qui se cuisine lui-même ; "téléphone" fait référence à un objet qui transmet le son à distance, "télévision" fait référence à un objet qui vous permet de voir à distance.
Les noms et les concepts sont les moyens initiaux et élémentaires de comprendre, de former et d'exprimer la pensée. Les concepts sont constitués, les jugements sont constitués de raisonnements : explications, doutes, objections, preuves et toutes autres manières de « dérouler » les pensées. C'est pourquoi les concepts agissent comme la signification du nom, comme quelque chose qui doit être compris dans une communication adéquate, dans le transfert d'informations scientifiques ou commerciales.
Des caractéristiques de compréhension telles que la clarté de la perception, la précision dans l'expression et la compréhension du sens, une conscience claire de toutes les relations entre les concepts dépendent de :
Degrés de systématisation des connaissances ;
Degrés de certitude des connaissances et de leur expression ;
Degrés de développement des formulations, exhaustivité de la divulgation des détails.
Dans la communication en direct, le succès dépend en grande partie de la capacité à «saisir» l'essence de la conversation dans son ensemble, de la capacité à clarifier les détails en analysant et en identifiant les détails, à la capacité d'anticiper les interprétations possibles et les interprétations des concepts. Dans les situations de conflit, ils sacrifient souvent la certitude et la cohérence de la présentation, autorisant le flou et une formulation simplifiée afin de parvenir à un accord.
Si nous avons à l'esprit des connaissances (scientifiques) systématisées, alors le canon est le suivant: il est nécessaire de donner clairement, clairement et en détail des informations sur les objets généralisés dans le concept. A cet effet, en logique, on distingue le volume et le contenu des concepts.
Le concept est la forme de pensée de base par laquelle nous distinguons certaines classes de choses et les distinguons les unes des autres. Le concept apparaît, premièrement, à la suite de l'abstraction et de la comparaison, c'est-à-dire sélection mentale et séparation des propriétés essentielles des choses de celles non essentielles, et, deuxièmement, comme une généralisation de ces propriétés essentielles dans un seul concept. Pour former un concept, il est nécessaire de mettre en évidence les traits essentiels du sujet, en utilisant à cet effet un certain nombre de techniques logiques : comparaison, analyse, synthèse, abstraction, généralisation. Ces techniques sont largement utilisées en cognition. Ils jouent un rôle important dans la formation de concepts basés sur l'identification de caractéristiques essentielles : - pour composer un concept d'objet, il faut comparer cet objet avec d'autres objets, trouver des signes de similitude et de différence. Un dispositif logique qui établit la similitude ou la différence d'objets est appelé comparaison. - la sélection des traits est associée à la division mentale du sujet en ses parties constitutives, côtés, éléments. La division mentale d'un objet en parties s'appelle l'analyse. - la sélection au moyen de l'analyse des signes permet de distinguer les signes essentiels d'insignifiants et de se distraire, d'abstraire de ces derniers. La sélection mentale des caractéristiques d'un objet et l'abstraction d'autres caractéristiques est appelée abstraction. -les éléments, les côtés, les caractéristiques du sujet, identifiés par l'analyse, doivent être combinés en un seul tout. Ceci est réalisé à l'aide d'une technique opposée à l'analyse - la synthèse, qui est une connexion mentale des parties d'un objet disséqué par l'analyse.
Teneur les concepts constituent tous ses éléments, qui peuvent être distingués en tant que concepts distincts. Volume les concepts sont tous les autres concepts auxquels il sert de signe, leur partie principale. Le premier peut être désigné par le symbole A, puis le second ressemblera à Aa, Av, Ac, Ad ... Si notre symbole A (contenu), par exemple, signifie le concept "d'état", alors d'autres symboles (Aa , Av, Ac ...) (volume) signifiera "Etat esclavagiste", "Etat féodal", "Etat bourgeois", "Etat totalitaire", "Etat démocratique", etc. Il est facile de voir que A agit comme un subordonnant (générique), et Aa, Av, Ac ... - des concepts subordonnés.
De ce qui vient d'être dit, il s'ensuit que si l'existence de la portée du concept A est reconnue, cela signifie qu'il faut reconnaître l'existence de concepts dont chacun fait partie du contenu. Leur absence signifie l'absence du concept A lui-même, puisque notions sans il n'y a pas de volume. Cela peut être compris de telle manière que chaque concept correspond toujours à un objet réel. Si, cependant, nous avons affaire à des concepts de créatures fantastiques ("centaure", "faune", "naïade", etc.), alors ils ont aussi un volume dans un sens logique, bien que nous ne connaissions pas les objets réels pour eux.
Quelle est la relation entre la portée et le contenu d'un concept ? Du raisonnement ci-dessus, nous pouvons conclure que si le contenu du concept A est dans le contenu du concept B, alors B est dans la portée du concept A. Inversement, si le concept B est contenu dans la portée du concept A, alors ce dernier fait partie du contenu de la première. Le contenu et la portée du concept sont donc inversement liés. .
La loi de la relation inverse entre la portée et le contenu des concepts n'est valable que pour les concepts dont l'un est générique (subordonné) et l'autre spécifique (subordonné). Expliquons cela avec un exemple.
Prenons le concept générique de "corps cosmique", ici nous comprenons tout ce qui est en commun inhérent à tous les corps cosmiques. Le concept d'espèce sera "systèmes stellaires", par lequel nous entendons une classe de corps cosmiques avec des caractéristiques distinctives particulières (ces systèmes existent sous forme d'amas d'étoiles, où ils interagissent les uns avec les autres, apparaissent et "meurent", à leur place apparaissent " trous noirs" et etc.). Comparons maintenant ces concepts. Le concept générique "corps cosmique" "absorbe" (ou inclut) le concept spécifique "systèmes stellaires", mais notre concept générique inclut d'autres concepts spécifiques, par exemple, "systèmes planétaires", "planètes", etc. Comprenant les caractéristiques les plus générales communes à tous les corps cosmiques, le concept générique tend à réduire la portée, mais en même temps, en termes de contenu, il comprend de nombreux concepts qui révèlent des caractéristiques spécifiques, et donc notre concept générique tend à s'élargir. Le concept spécifique de "systèmes stellaires" est plus riche en contenu (comprend plus de fonctionnalités), mais il s'avère être de portée plus étroite, car il est "absorbé" par le concept générique de "corps cosmique".
Cette loi reflète le fait objectif que le nombre d'attributs communs d'un objet et le nombre d'objets qui ont ces attributs sont en proportion inverse (jeune spécialiste - ingénieur - Ivanov A.P.).
Dans la pratique de la pensée, il est nécessaire de distinguer la relation du genre et de l'espèce de la relation de la partie et du tout. Le tout se compose de ses parties, et le genre, dans un sens logique, se compose d'espèces comme ses parties seulement lorsque le genre et l'espèce sont considérés du côté de leurs volumes. Pris du côté du contenu, ils sont dans la relation inverse, c'est-à-dire le genre fait partie de l'espèce. Par exemple, "Une rose est une plante". Une partie qui n'est pas une espèce ne peut pas être considérée comme le tout. Par exemple, les cheveux font partie du corps humain, mais on ne peut pas dire que les cheveux sont le corps humain. De plus, il existe des concepts qui ne sont des genres que par rapport à d'autres concepts, mais qui ne peuvent pas être des espèces. Ces concepts sont appelés catégories. Ils ont le plus grand volume et le plus petit contenu par rapport aux autres concepts. Prenons les concepts philosophiques de "temps", "espace", "mouvement", "quantité", "qualité", "propriété", "rapport", etc. Elles différeront des catégories des sciences particulières, qui ne peuvent être des espèces par rapport aux concepts de ces mêmes sciences, mais qui sont des espèces par rapport aux catégories philosophiques. Exemples de catégories dans des sciences particulières : "organisme vivant" - en biologie, "particule élémentaire" - en physique des particules élémentaires, "figure" - en géométrie, "atome" - en chimie, etc.
En logique formelle, les catégories "chose", "propriété" et "relation" sont largement utilisées. Il faut donc réfléchir à leur contenu. Les objets désignés par la catégorie "chose" diffèrent des objets désignés par la catégorie "propriété" et la catégorie "relation". Les objets désignés comme «chose» ont une relative indépendance d'existence, manifestée par le fait que chaque chose (pierre, pomme, lune, rivière, particule élémentaire, etc.) a des limites spatiales particulières et diffère d'une autre chose. Les propriétés des choses, par exemple la couleur, la dureté, l'odeur, etc., n'ont pas de frontières spatiales indépendantes, elles sont "attachées" aux choses. On peut dire la même chose des relations. Par exemple, la relation "plus - moins", "obscurité - lumière", "bien - mal", etc. n'existent pas en dehors des choses ou des personnes - leurs porteurs.
Chaque chose est un ensemble de propriétés, et elles se trouvent dans les mêmes limites spatiales dans lesquelles la chose elle-même existe, peu importe comment ces limites changent en relation avec le mouvement de la chose, c'est-à-dire son changement. En tout cas, les propriétés n'existent pas en dehors de la chose qui les porte. Une chose peut perdre une propriété, ainsi que des relations séparées avec d'autres choses, mais en même temps elle reste elle-même. Les propriétés des choses et leurs relations se manifestent dans les relations des choses entre elles, ou dans les relations d'une partie d'une chose à une autre.
Opérations de restriction et de généralisation des concepts
Opérations sur les concepts- ce sont des actions logiques, à la suite desquelles de nouveaux concepts sont formés. Puisque la portée des concepts est considérée comme une classe avec laquelle ces opérations sont effectuées, ces dernières sont appelées opérations avec des classes en raison de leurs opérations (opérations sur concepts) acquérir de nouvelles classes Considérons les opérations suivantes sur les concepts : a a) composition, b) multiplication, c) négation, d) généralisation et limitation comprendre.
Une opération d'ajout de concept consiste à combiner deux ou plusieurs classes en une seule classe
Ainsi, l'opération d'addition des concepts\"coupable\" et\"acquittement\" consiste à regrouper la classe des verdicts coupables avec la classe des acquittements en une seule classe ou en un seul concept\"à propos d'un verdict binuval\"lettre A , et le concept \" phrase d'acquittement \ "- la lettre B, alors le résultat de cette opération peut être affiché graphiquement comme suit (voir Figure 7) La surface ombrée est la classe de la phrase. 7.
En utilisant l'opération d'addition, vous pouvez combiner des classes (concepts) qui sont dans la même relation : identités, subordination, intersections, subordination, contradictions. Par exemple, lors de la combinaison des concepts \"témoins\" (A) et \"parents\" (B ) qui sont en relation avec l'intersection, nous obtiendrons une nouvelle classe (Figure 8), qui comprendra non seulement des témoins, qui ne sont pas des parents et, et des parents qui ne sont pas des témoins, mais aussi des parents-témoins. ) et \"accord \" (B), entre lesquels il existe des relations de subordination, recevront une nouvelle classe (surface ombrée sur la Fig. 9), qui comprendra non seulement des transactions qui ne sont pas des contrats, mais également des accords.
Dans l'opération d'ajout de concepts, l'union \"ou \" est souvent utilisée. Elle n'est pas utilisée dans un sens de séparation, mais dans un sens de connexion-séparation. Il convient de garder cela à l'esprit lors de l'interprétation des normes juridiques.
La portée des concepts \"A ou B\", obtenue à la suite de l'opération d'addition, et l'union des classes correspondent aux concepts A et B Par conséquent, l'expression \"A ou B\", par exemple\" étudiants ou athlètes\", signifie que cette nouvelle classe comprend non seulement des étudiants qui ne sont pas des athlètes, et des athlètes qui ne sont pas des étudiants, mais aussi des étudiants qui sont également des athlètes.
B L'opération de multiplication de concepts consiste en la recherche de tels objets (éléments) qui sont simultanément inclus dans la classe des deux concepts et de tels éléments parmi la classe des parents qui sont simultanément inclus dans les deux classes, c'est-à-dire de telles personnes qui sont à la fois témoins et proches.
Graphiquement, le résultat de cette opération peut être reflété comme suit (voir Figure 10) La partie ombrée de la surface signifie la classe d'objets souhaitée, c'est-à-dire les personnes qui sont à la fois des témoins et des proches
L'opération de multiplication peut être effectuée avec des concepts qui ont des relations différentes entre eux. Par exemple, si nous devons effectuer l'opération de multiplication des concepts \"crime\" (A) et \"malfaisance\" (B) , qu'il y a des interruptions par rapport à la subordination, alors nous distinguons les éléments de subordination suivants, qui sont simultanément inclus dans ces deux classes, c'est-à-dire que nous trouvons de tels crimes en général, qui sont simultanément.
Graphiquement, le résultat de l'opération de multiplication de ces concepts sera un tel affichage (voir Fig. 11) La surface ombrée indique la classe des éléments (crimes) qui sont simultanément inclus dans le concept A ("crime \") et dans le concept B (\"malfaisance).
Lors de la multiplication de concepts dont le volume ne correspond pas, nous obtenons un concept nul. Par exemple, nous devons effectuer une opération de multiplication sur les concepts \"faire semblant\" et \"insouciance\" puisque le volume de ces concepts n'a pas d'éléments communs , la multiplicité obtenue à la suite de l'action de l'opération de multiplication est à la fois intentionnelle et imprudente et sera une classe nulle.
L'opération de multiplication affecte principalement à l'aide de l'union \"et\" ("étudiant et athlète\", \"loi et loi de l'État\", \"pot-de-vin et négligence\"), qui est utilisé dans le sens du tissu conjonctif
L'opération de négation du concept A consiste en la formation d'un nouveau concept - non-A, dont le volume, composé avec le volume du concept A, constitue la classe logique de la sphère des objets, dont nous discutons.
Par exemple, la portée de notre raisonnement est les accords juridiques. En niant les concepts \"achat et vente\" (A), nous obtenons le concept \"ne pas acheter et vendre\" (non-A) en ajoutant les concepts achat et vente\ ", nous obtenons une classe de juridique.
Graphiquement, le résultat de cette opération peut être représenté comme suit (voir Figure 12) Ici, le carré est la sphère des objets dont nous parlons (dans ce cas, les accords juridiques) -A) \"pas acheter et vendre\" Le concept de non-A, nie le concept de A, a une certaine portée Ainsi, la portée du concept \"ne pas acheter et vendre\" (non-A) n'inclura pas tout, le sujet de la réalité, par exemple, un arbre , maison, personne, etc., mais seuls les éléments de la classe des transactions juridiques qui ne sont pas l'achat et la vente, ne sont pas inclus dans le champ d'application du concept A Et puisque chaque objet ou phénomène du monde matériel peut être considéré par nous dans le cadre de diverses classes d'objets, la portée d'un concept particulier n'est pas -Et être dépendante du volume de la sphère d'objets dont nous discutons.
Par exemple, si la portée des objets auxquels nous pensons est la classe des crimes en général, alors le volume du concept \"pas de vol\" (non-A), obtenu en niant le concept \"vol\" ( A), comprendra tous les crimes, et à savoir : tous les crimes d'État, tous les crimes contre la propriété, à l'exception du vol, les crimes contre la vie, la santé, la liberté et la dignité de l'individu, etc. (non-A), formé par la négation le concept de \"vol \" (A), n'inclura pas tous les crimes prévus par le code, à l'exception du vol, mais uniquement les crimes contre les biens personnels des citoyens, n'est pas le vol, c'est-à-dire le vol qualifié, le vol qualifié, la fraude , chantage, etc. Les concepts (A et non-A), obtenus par l'opération de négation, sont en relation avec la contradiction
Généralisation et restriction des concepts
Dans la pratique de la pensée, nous devons souvent passer d'un concept à un autre. Ainsi, nous pouvons passer du concept de\"négligence\" au concept de\"malfaisance\", du concept de\"crime de malfaisance\ », de ce dernier à la notion d\"actes\" et, inversement, de la notion d\"action\" à la notion de\"crime\", de celle-ci à la notion de\"malfaisance\".
L'opération logique par laquelle s'opère le passage d'un concept de plus petite portée à un concept de plus grande portée s'appelle la généralisation.Généraliser un concept signifie passer d'une espèce à un genre.
L'action logique, au cours de laquelle il y a passage d'un concept de grand volume à un concept de plus petit volume, est appelée restriction.
Par exemple, lorsque nous passons de la notion de \"contrat\" à la notion de \"deal\", et de celle-ci à la notion de \"relations juridiques civiles\", puis à la notion de \"relations juridiques\ \" - on généralise le concept d\"accord\" on passe au concept d\"assurance\", et de celui-ci - au concept d\"assurance des biens\", puis on limite les concepts (voir Figure 13 ).
Le processus de généralisation et de limitation des concepts n'est pas sans fin
Les catégories sont la limite de la généralisation Les catégories sont des concepts avec une portée extrêmement large Les catégories n'ont pas de genre, donc elles ne peuvent pas être généralisées Par exemple, des catégories telles que \"matière\", \"conscience\", \"mouvement\" \ "essence\", \"phénomène\", \"quantité\", \"qualité\", etc.,
La limite de la limitation est un seul concept. Ainsi, la limitation du concept de \"vol\" sera\"vol commis par Petrov\"
La généralisation et la restriction peuvent être à la fois correctes et incorrectes Pour que ces opérations soient correctes, il faut passer de l'espèce au genre lors de la généralisation, et du genre à l'espèce lors de la restriction. est un genre par rapport au concept d'origine, alors la taxe de généralisation sera erronée. Il est impossible, par exemple, de généraliser le concept de \"vol\", passer au concept de\"vol qualifié\", puisque le vol qualifié n'est pas un genre pour vol.
En limitant, les erreurs se produisent lorsque le concept auquel elles appartiennent n'est pas une espèce relative au concept qui est limité. Si, par exemple, en limitant le concept \"état\", on passe au concept \"famille\", alors une telle restriction serait erronée
La généralisation et la limitation des concepts vous permettent de clarifier le contenu et la portée des concepts, d'établir des relations entre eux, ce qui est très important pour la cognition.
Types de notions
Les concepts sont généralement divisés selon les types suivants : 1) singulier et général, 2) collectif et non collectif, 3) concret et abstrait, 4) positif et négatif, 5) non relatif et corrélatif.
1. Les concepts sont divisés en unique et général dans selon qu'un élément ou plusieurs éléments y sont conçus. Le concept dans lequel un élément est pensé est appelé Célibataire (par exemple, "Moscou", "L.N. Tolstoï", "Fédération de Russie"). Le concept dans lequel un ensemble d'éléments est conçu est appelé général (ex. "capitale", "écrivain", "fédération").
Les concepts généraux peuvent être enregistrés et non enregistrés. enregistrement sont appelés concepts dans lesquels l'ensemble des éléments concevables en elle peut être pris en compte, inscrit (au moins en principe). Par exemple, "membre de la Grande Guerre patriotique 1941-1945", "parents de Shilov blessé", "planète système solaire". Les concepts d'enregistrement ont une portée finie.
Un concept général faisant référence à un nombre indéfini d'éléments est appelé non-enregistrable. Ainsi, dans les concepts « homme », « enquêteur », « décret », beaucoup d'éléments concevables en eux ne peuvent être pris en compte : toutes les personnes, enquêteurs, décrets du passé, du présent et du futur y sont conçus. Les concepts non enregistrables ont une portée infinie.
2. Les concepts sont divisés en collectif et non collectif. Les concepts dans lesquels les signes d'un certain ensemble d'éléments qui composent un tout unique sont pensés sont appelés collectif. Par exemple, "équipe", "régiment", "constellation". Ces concepts reflètent une multitude d'éléments (équipiers, soldats et commandants de régiment, vedettes), mais cette multitude est conçue comme un tout unique.
Le concept dans lequel sont pensés les signes liés à chacun de ses éléments est appelé non collectif. Tels sont, par exemple, les notions d'"étoile", de "commandant de régiment", d'"état".
3. Les concepts sont divisés en concret et abstrait selon ce qu'ils reflètent : un objet (une classe d'objets) ou son signe (une relation entre des objets).
Le concept dans lequel un objet ou un ensemble d'objets est conçu comme quelque chose existant indépendamment est appelé spécifique; un concept dans lequel un attribut d'un objet ou une relation entre des objets est conçu est appelé abstrait. Ainsi, les notions de « livre », « témoin », « état » sont concrètes ; les concepts de "blancheur", "courage", "responsabilité" - abstrait.
La différence entre les concepts concrets et abstraits est fondée sur la différence entre un objet, qui est conçu comme un tout, et une propriété d'un objet, abstraite de ce dernier et n'existant pas séparément de lui. Les concepts abstraits sont formés à la suite de l'abstraction, de l'abstraction d'un certain attribut d'un objet.
4. Les concepts sont divisés en positif et négatif selon que leur contenu est constitué de propriétés inhérentes à l'objet, ou de propriétés qui en sont absentes.
Les concepts, dont le contenu est constitué par les propriétés inhérentes au sujet, sont appelés positif. Les concepts dont le contenu indique l'absence de certaines propriétés d'un objet sont appelés négatif. Ainsi, les notions de "lettré", "ordre", "croyant" sont positives ; les concepts de "illettré", "désordre", "incroyant" - négatif.
5. Les concepts sont divisés en non relatif et corrélatif dans selon qu'ils conçoivent des objets qui existent séparément ou en relation avec d'autres objets.
Les concepts qui reflètent des objets qui existent séparément et sont pensés en dehors de leur relation avec d'autres objets sont appelés hors du sujet. Tels sont les concepts « d'étudiant », « d'état », « scène de crime », etc. Corrélatif les concepts contiennent des caractéristiques qui indiquent la relation d'un concept à un autre concept. Par exemple : « parents » (en relation avec le concept d'« enfants ») ou « enfants » (en relation avec le concept de « parents »), « patron » (« subordonné »), « accepter un pot-de-vin » (« donner un pot-de-vin"). Corrélatifs sont aussi les notions de « partie », « cause », « frère », « voisin », etc. Ces notions renvoient à des objets dont l'existence de l'un n'est pas conçue en dehors de sa relation à l'autre.
Relations entre concepts
En fonction du contenu et du volume, tous les concepts sont divisés en types spécifiques. Pour plus de clarté, nous les présentons sous la forme d'un schéma, puis nous examinerons séquentiellement chaque type plus en détail. Célibataire sont appelés concepts dans lesquels un sujet est pensé (par exemple, "le grand écrivain russe Alexandre Nikolaïevitch Ostrovsky", "Les Nations Unies", "la capitale de la Russie" et d'autres).
Général on appelle un concept dans lequel de nombreux objets sont pensés (par exemple, "capital", "état", "avocat", "économiste" et autres). Les concepts généraux peuvent être d'enregistrement et de non-enregistrement. enregistrement on appelle des concepts dans lesquels une multitude d'objets concevables en eux sont soumis à la comptabilité, à l'enregistrement (par exemple, "participant à la Grande Guerre patriotique", "Député du peuple de Russie" et autres). Non-enregistrable appelé un concept général se référant à un nombre indéfini d'objets (par exemple, "homme", "philosophe", "scientifique" et autres). Les concepts non enregistrables ont une portée infinie.
Zéro sont appelés concepts (vides), dont les volumes sont des classes d'objets qui n'existent pas réellement et dont l'existence est en principe impossible : "machine à mouvement perpétuel", "sirène", "gobelin", etc.). Il faut distinguer de zéro les concepts reflétant des objets qui n'existent pas réellement à l'heure actuelle, mais ont existé dans le passé ou dont l'existence est possible dans le futur : "le philosophe grec ancien", "la centrale thermonucléaire". De tels concepts ne sont pas nuls.
Spécifique- ce sont des concepts dans lesquels un objet ou un ensemble d'objets est conçu comme quelque chose existant indépendamment: "academy", "student", "romance", "house", "A. Blok's poem "The Twelve", etc.
abstrait- ce sont des concepts dans lesquels n'est pas pensé l'objet lui-même, mais n'importe lequel des signes de l'objet, pris séparément de l'objet lui-même : "courage", "conscience", "bravoure", "bleu", "identité", etc. .
relatif- ce sont des concepts dans lesquels sont pensés des objets dont l'existence de l'un implique l'existence d'un autre : "parents" - "enfants", "professeur" - "élève", "patron" - "subalterne", "plaignant" - "intimé" et autres
Hors du sujet- ce sont de tels concepts dans lesquels des objets sont pensés qui existent indépendamment, indépendamment d'un autre objet: "fermier", "règle", "village", "homme", etc.
Positif- ce sont des concepts dont le contenu est les propriétés inhérentes au sujet: "principauté", "noble action", "vivre selon ses moyens", "étudiant qui réussit", etc.
négatif sont appelés concepts, dont le contenu indique l'absence de certaines propriétés d'un objet (par exemple, "acte laid", "maison non peinte", "pré non tondu", etc.). En russe, les concepts négatifs sont généralement exprimés par des mots avec des préfixes négatifs "pas" ou "sans" ("démon"): "illettré", "incroyant", "anarchie", "désordre", etc. En mots d'origine étrangère - le plus souvent avec des mots avec un préfixe négatif "a": "agnosticisme", "immoral", etc.
Collectif sont appelés concepts dans lesquels un groupe d'objets homogènes est pensé comme un tout unique : "forêt", "constellation", "bosquet", "équipe d'étudiants en construction", etc. Le contenu d'un concept collectif ne peut être attribué à chaque individu élément inclus dans le champ d'application de ce concept.
Non collectif- ce sont de tels concepts, dont le contenu peut être attribué à chaque sujet d'une classe donnée, qui est couvert par le concept: "arbre", "étoile", "élève", etc.
Déterminer auquel de ces types appartient un concept particulier signifie lui donner une description logique. Par exemple, le concept de "négligence" est général, non collectif, abstrait, négatif, non pertinent. La caractérisation logique des concepts aide à clarifier leur contenu et leur portée, développe des compétences pour une utilisation plus précise des concepts dans le processus de raisonnement.
Relations logiques entre les concepts
Puisque tous les objets du monde sont en interaction et en interdépendance, alors les concepts qui reflètent les objets du monde sont aussi dans certaines relations. Des types spécifiques de relations sont établis en fonction du contenu et de la portée des concepts comparés.
Si les concepts n'ont pas de caractéristiques communes, sont éloignés les uns des autres dans leur contenu, ils sont alors appelés incomparables (par exemple, "musique symphonique" et "éclipse solaire", "espace aérien" et "bibliothèque"). Sont comparables les concepts qui ont des caractéristiques communes (par exemple, « langue » et « langue étrangère », « économiste » et « employé de banque »). Les concepts comparables sont divisés par portée en compatibles et incompatibles.
Compatible - ce sont de tels concepts, dont les volumes coïncident complètement ou partiellement. Incompatible - ce sont des concepts dont les volumes ne correspondent à aucun élément.
Les relations entre les concepts sont généralement illustrées à l'aide de diagrammes circulaires (cercles d'Euler), où chaque cercle dénote la portée du concept, et chaque point dénote un objet inclus dans sa portée. Les schémas circulaires permettent de visualiser les relations entre différents concepts, de mieux comprendre et assimiler ces relations.
Dans les relations d'identité, il y a des concepts qui diffèrent par leur contenu, mais dont les volumes coïncident. Dans de tels concepts, un objet ou une classe d'objets homogènes est conçu. Cependant, le contenu de ces concepts est différent, puisque chacun d'eux ne reflète qu'un certain côté (attribut) d'un objet donné ou d'une classe d'objets homogènes. Par exemple, "l'auteur de l'histoire" L'homme dans l'affaire "et" l'auteur de l'histoire "Kashtanka"
Par rapport à l'intersection, il y a des concepts dont les volumes coïncident partiellement. Le contenu de ces concepts est différent. Par exemple, « étudiant » et « philatéliste » (A et B) se chevauchent : tous les étudiants ne sont pas des philatélistes, et tous les philatélistes ne sont pas des étudiants. Dans la partie combinée (ombrée) des cercles, les étudiants philatélistes sont conçus.
En ce qui concerne la subordination, il existe des concepts dont la portée de l'un est complètement incluse dans la portée de l'autre, constituant sa partie. Dans cette relation, par exemple, se trouvent les concepts de "héros" (A) et de "héros théâtral" (B). La portée du premier concept est plus large que celle du second concept : en plus du héros théâtral, il existe d'autres types : littéraire, artistique, télévisuel, cinématographique et autres. La notion de "héros théâtral" est pleinement incluse dans le champ de la notion de "héros".
Lors de l'illustration de la relation entre des concepts incompatibles, il est nécessaire d'introduire un concept plus large qui inclurait la portée des concepts incompatibles.
En ce qui concerne la subordination, il existe deux ou plusieurs concepts non croisés appartenant à un concept générique commun. Les concepts subordonnés (B et C) sont des espèces du même genre (A), ils ont un trait générique commun, mais les traits spécifiques sont différents. Par exemple, "malfaisance" (A), "pot-de-vin" (B), "détournement de fonds" (C).
En ce qui concerne l'opposition (contraralité), il y a des concepts qui sont des espèces du même genre, et, de plus, l'un d'eux contient des signes, et l'autre non seulement nie ces signes, mais les remplace également par d'autres qui excluent (c'est-à-dire signes opposés). Par exemple, « État démocratique » et « État totalitaire » (A et B), « le sien » et « étranger », « bravoure » et « lâcheté », etc. Les mots exprimant des concepts opposés sont des antonymes. Les volumes des concepts opposés ne constituent dans leur somme qu'une partie du volume du concept générique qui leur est commun.
Par rapport à la contradiction, il y a deux concepts qui sont des espèces du même genre, et en même temps un concept indique des signes, et l'autre nie ces signes, exclut, sans les remplacer par d'autres signes. Par exemple, « connaissant la philosophie » et « ne connaissant pas la philosophie », « ami » et « ennemi », etc. Les volumes de deux concepts contradictoires constituent le volume entier du genre dont ils sont les espèces. Ainsi, la compréhension de la structure logique d'un concept, la divulgation de leurs types et relations entre concepts comparables permet de procéder à la considération d'actions logiques, ou opérations, sur des concepts.
Définition des concepts et types de définitions. Techniques similaires à la définition.
DÉFINITION DU CONCEPT COMME OPÉRATION LOGIQUE
Définition est une opération logique qui révèle le contenu d'un concept.
Types de définition :
1) nominal- c'est une définition par laquelle, au lieu de décrire un objet, on introduit nouveau mandat(Nom). Le but de cette définition est la formation d'un nouveau terme. Par exemple, l'écart entre les idées subjectives d'une personne et l'état objectif des choses est appelé délire. Dans ce cas, nous avons introduit un nouveau terme - délire - au lieu de décrire le processus ;
2) réel- C'est une définition qui révèle les traits essentiels du sujet. Par exemple, la logique est une science philosophique sur les lois et les formes de la pensée humaine, considérée comme un moyen de comprendre la réalité environnante.
Puisque la définition d'un concept consiste à établir ses caractéristiques essentielles, les règles de définition doivent évidemment contenir des indications sur les méthodes par lesquelles les caractéristiques essentielles, et non les autres, du concept à définir peuvent être trouvées.
Dans de nombreux cas, la liste de toutes ces fonctionnalités est trop longue. Il existe une autre manière, qui consiste dans le fait que, premièrement, le genre le plus proche auquel appartient le concept donné en cours de définition est indiqué. Deuxièmement, une caractéristique spéciale est indiquée au moyen de laquelle ce concept diffère en tant qu'espèce de toutes les autres espèces du genre spécifié. Cette caractéristique est appelée "différence spécifique", et la méthode de définition elle-même est appelée définition "par le genre le plus proche et par différence spécifique".
La définition par genre proche et différence formative des espèces s'applique partout où l'étude précédente a montré que le concept défini est le concept d'un objet appartenant à l'une des espèces d'un certain genre. Tels sont les nombreux concepts des sciences mathématiques, physiques et autres. Par exemple, la logique peut être définie comme une science philosophique sur les lois et les formes de la pensée humaine, considérée comme un moyen de comprendre la réalité environnante. Il s'agit d'une définition par genre et différence spécifique.
La définition par le genre le plus proche et la différence formant l'espèce suppose que le concept défini est le concept d'un objet qui :
1) a déjà surgi et existe ;
2) est liée par une certaine relation d'appartenance à une autre classe d'objets, la contenant en elle-même de la même manière qu'un genre comprend une espèce.
Dans le même temps, la méthode d'apparition de l'objet n'est pas notée dans la définition elle-même.
Techniques proches de la définition : description, comparaison, caractérisation, distinction.
Description- énumération, en règle générale, des caractéristiques externes de l'objet. Il joue un rôle important dans les activités. Ainsi, lors de la prise de toute décision, il est nécessaire de rechercher le plus description complète toutes les conséquences que cette action entraînera.
Caractéristique- il s'agit d'une indication des traits et signes distinctifs et caractéristiques d'un seul objet.
Comparaison- C'est une technique qui sert à caractériser figurativement un objet.
À l'aide de la distinction, des signes sont établis qui distinguent un objet d'autres objets similaires. Par exemple, dans la pratique d'un enquêteur, des soi-disant "signes spéciaux" sont souvent rencontrés.
Stefan Zweig de l'apparition d'Honoré Balzac, de l'apparition de son père et d'autres personnes, une description de paysages, d'arbres, d'oiseaux, etc.), dans la littérature historique (une description de la bataille de Koulikovo, une description des apparitions de militaires dirigeants, monarques et autres personnalités); la littérature technique spéciale fournit une description de l'apparence des machines, y compris des ordinateurs, une description des structures de divers objets (par exemple, des serrures, des réfrigérateurs électriques, des radiateurs électriques, etc.).
Lors de la recherche de criminels, une description de leur apparence et, tout d'abord, des signes spéciaux sont donnés afin que les gens puissent les identifier et signaler où ils se trouvent.
Caractéristique donne une énumération de seulement quelques-unes des propriétés internes et essentielles d'une personne, d'un phénomène, d'un objet, et non de son apparence, comme on le fait à l'aide d'une description.
Parfois, une caractéristique est donnée en indiquant un signe. K. Marx a appelé Aristote "le plus grand penseur de l'antiquité", et Lunacharsky a caractérisé Klim Samgin (du roman de M. Gorky) comme "une individualité microscopique sur les talons hauts de la vanité". K. D. Ushinsky a écrit: "La paresse est l'aversion d'une personne pour les efforts."
Le Livre Guinness des records (1988) donne les caractéristiques suivantes : « Sergey Bubka (URSS). Le premier sauteur à la perche à franchir la ligne des six mètres » ; Sir Edmund Hillary (Nouvelle-Zélande). Sa réalisation exceptionnelle est qu'il a été le premier à conquérir l'Everest » ; « La peinture la plus chère. Sunflowers, qui fait partie d'une série de 7 peintures de Vincent van Gogh, a été vendue chez Christie's le 30 mars 1987 à Londres pour 22 500 000 £. Art.
La caractérisation des héros littéraires est donnée en énumérant leurs qualités commerciales, leurs opinions morales et sociopolitiques, ainsi que les actions, les traits de caractère et le tempérament correspondants, les objectifs qu'ils se sont fixés. La caractérisation de ces personnages permet de remarquer clairement et justement les traits typiques de telle ou telle image collective.
Par exemple, Aristote a donné une telle description de la personne idéale. « La personne idéale éprouve de la joie à faire de bonnes actions envers les autres ; mais il a honte d'accepter les faveurs des autres. Les natures élevées font le bien, les natures inférieures l'acceptent.
J.-J. Rousseau croyait qu'on pouvait rendre une personne plus gentille en modifiant ses besoins. Développant cette idée, K. D. Ushinsky donne également les caractéristiques d'une créature forte et faible : « Celui dont la force dépasse ses besoins, que ce soit un insecte, un ver, est un être fort ; celui dont les besoins dépassent la force, que ce soit un éléphant, un lion, que ce soit un conquérant, un héros, que ce soit un dieu, est un être faible. Et plus loin: "... un sentiment de bienveillance apparaît lorsque notre force dépasse l'exigence des aspirations."
Dale Carnegie donne cette caractérisation en combinaison avec des comparaisons. « L'une des caractéristiques les plus tragiques de la nature humaine, pour autant que je sache, est notre tendance à différer la réalisation de nos aspirations pour l'avenir. Nous rêvons tous d'une sorte de jardin magique plein de roses, visible quelque part au-delà de l'horizon - au lieu de profiter de ces roses qui poussent aujourd'hui sous notre fenêtre. Pourquoi sommes-nous si imbéciles - si terrifiants imbéciles ? «Comme nous passons étrangement cette petite période de temps appelée notre vie», a écrit Stephen Leacock. - L'enfant dit : "Quand je deviendrai un jeune homme." mais qu'est ce que ça veut dire? Le jeune homme dit : « Quand je deviendrai adulte. Et enfin, devenu adulte, il dit : "Quand je me marierai." Enfin, il se marie, mais cela ne change pas grand-chose. Il commence à penser, "Quand puis-je prendre ma retraite." Et puis, arrivé à l'âge de la retraite, il revient sur son parcours de vie ; comme si un vent froid soufflait sur son visage, et la cruelle vérité lui était révélée sur tout ce qu'il avait manqué dans la vie, comment tout était irrémédiablement parti. On se rend compte trop tard que le sens de la vie réside dans la vie elle-même, dans le rythme de chaque jour et de chaque heure.
Une combinaison de description et de caractéristique est souvent utilisée. Il est utilisé dans l'étude de la chimie, de la biologie, de la géographie, de l'histoire et d'autres sciences. Par exemple, « L'huile est un liquide huileux, plus léger que l'eau, de couleur foncée, avec une odeur piquante. La principale propriété du pétrole est sa combustibilité. Lorsqu'il est brûlé, le pétrole dégage plus de chaleur que le charbon. Le pétrole se trouve profondément dans la terre. Cette technique est également souvent utilisée dans la fiction.
Expliqué avec un exemple est utilisé lorsqu'il est plus facile de donner un exemple ou des exemples illustrant un concept donné que de donner sa définition stricte par le genre et la différence spécifique.
Explication du concept" le monde animal désert" s'opère en listant les espèces de ses habitants : chameau, gazelle à goitre, tortue, varan, kulan, etc.
La notion de « minéral » est expliquée en listant des types (exemples) : pétrole, charbon, métaux, etc. L'explication par l'exemple est utilisée aussi bien au secondaire qu'au primaire.
Une variante de cette technique est ostensif définitions souvent utilisées dans l'enseignement une langue étrangère quand ils nomment et montrent un objet (ou une image avec son image). La même chose est parfois faite pour expliquer des mots incompréhensibles de la langue maternelle.
Une autre technique qui remplace la définition des concepts est Comparaison. La comparaison est pratiquée tant au niveau de la connaissance scientifique qu'au niveau de la réflexion artistique de la réalité. V. A. Sukhomlinsky a utilisé une comparaison du cerveau d'un enfant avec une fleur de rose: «Nous, enseignants, avons affaire à la chose la plus tendre, la plus subtile et la plus sensible de la nature - avec le cerveau d'un enfant. Quand vous pensez au cerveau d'un enfant, vous imaginez une délicate fleur de rose sur laquelle tremble une goutte de rosée. Que de soins et de tendresse pour ne pas laisser tomber une goutte après avoir cueilli une fleur. Nous avons besoin de la même prudence à chaque minute : après tout, nous touchons à la nature la plus subtile et la plus délicate - la matière pensante d'un organisme en croissance.
En science, la comparaison vous permet de découvrir les similitudes et les différences entre des objets comparés. Un manuel de biologie donne de telles comparaisons: "Le corps d'une méduse est gélatineux, semblable à un parapluie"; « Les reins sont de petits organes appariés en forme de haricot » ; "Une fleur de pois ressemble à un papillon assis" ; "Les ovaires des pistils de la rose sauvage sont cachés dans un réceptacle envahi qui ressemble à un verre." Dans toutes ces comparaisons caractéristique commune(base de comparaison) est la forme.
La comparaison au niveau de la réflexion artistique de la réalité nous permet de remarquer le commun, similaire dans deux objets, et sous une forme vivante, d'exprimer figurativement cette similitude. M. Gorki utilise la comparaison suivante : « L'impolitesse est la même laideur qu'une bosse.
Les comparaisons artistiques incluent souvent les mots : « comme », « comme si », « comme si », etc.
V. Nabokov dans l'histoire "Spring in Fialta" utilise des comparaisons aussi intéressantes: "... les sapins de Noël ont silencieusement échangé leurs tartes bleutées"; "... quelqu'un, s'échappant, tombant, craquant, riant d'une bouffée, a grimpé sur une congère, a couru, a haleté la congère et a amputé les bottes de feutre" ; "... c'était comme si l'amour féminin était de l'eau de source contenant des sels de guérison, qu'elle arrosait volontiers tout le monde à sa louche, rappelez-moi."
Arthur Conan Doyle en une phrase utilise trois méthodes à la fois, remplaçant la définition (donne une description, une caractérisation et un certain nombre de comparaisons). « Dès que je ferme les yeux, Marie se dresse devant moi : joues basanées, comme les pétales d'une rose muscade ; le regard des yeux bruns est doux et en même temps audacieux; cheveux noirs de jais, éveille l'excitation dans le sang et demande de la poésie; et la figurine est comme un jeune bouleau dans le vent.
distinction Il existe une technique qui permet d'établir la différence entre un objet donné et des objets qui lui sont similaires. Par exemple, "L'hystérie n'est pas une maladie, mais un personnage : la principale caractéristique de ce personnage est l'auto-hypnose" (P. Dubois).
Règles de définition. Erreurs dans les définitions.
Le respect de ces règles est obligatoire afin d'éviter de commettre des erreurs logiques. Ces règles sont :
1. La définition doit être proportionnée , c'est à dire. la portée du concept défini doit coïncider avec la portée du concept définissant, il doit s'agir de concepts équivalents. Cette proportionnalité se vérifie aisément par la permutation des places des termes du jugement définissant. Donnons des exemples. "La science des lois et des formes de pensée correcte est la logique." Si vous réorganisez cette équation logique, vous pouvez trouver l'identité, comme dans le premier cas. Une autre chose est lorsque nous recourons à de tels exemples: "Un jeune homme diplômé est un spécialiste." Si l'on réorganise les places du défini et du définissant, alors on voit que la notion de « spécialiste » est plus large que la notion de « jeune diplômé ». Donc, dans ce cas, cette règle est violée.
2. Ne pas autoriser de cercle dans la définition , c'est à dire. lorsque la définition est elle-même expliquée par le concept défini. La violation de cette règle entraîne une erreur logique - tautologies . Voici quelques exemples de tautologies : « Un criminel est une personne qui a commis un crime » ; "Analogie comparative" (du journal "Telegorod", n° 21, 2003). On voit ici que le concept définissant répète ce qui a été dit dans le défini, sans en dévoiler le sens. Afin d'éviter cette erreur, il faut se rappeler que les concepts définis et définissants ont une portée égale, mais pas un contenu identique, ils représentent des concepts indépendants.
3. La définition ne doit pas être uniquement négative . Après tout, le but de la définition est de répondre à la question : quel est l'objet donné, reflété dans le concept. Pour ce faire, il est nécessaire d'identifier et d'énumérer de manière affirmative ses caractéristiques essentielles. La définition négative ne marque que les caractéristiques manquantes, c'est-à-dire indique ce que l'article n'est pas. Cependant, le moment négatif dans la composition du concept définissant est parfois nécessaire, il met plus clairement en évidence l'objet de notre pensée. Par exemple, le concept de "monde invisible" ne donne pas une idée positive de ce monde, mais met l'accent sur le sujet même qui est affiché dans le concept.
4. La définition doit être courte, précise et claire. .
Une définition trop verbeuse va au-delà de son but et menace de devenir une simple description. La définition doit éviter les termes ambigus et vagues pouvant être interprétés de différentes manières. Une définition floue conduit à une incompréhension du sujet, à des idées vagues et à la confusion.
L'exactitude de la définition implique son absence d'ambiguïté tout au long du raisonnement (discours à un auditoire, texte écrit, processus et conclusion). Ceci est requis par la loi logique de l'identité. En pratique, il est souvent nécessaire de changer de définition, mais dans ce cas, une réserve particulière doit être faite. La clarté d'une définition dépend de sa brièveté et de sa précision.
Division des concepts et de ses types
Règles de division des concepts en logique
1. Le partage doit être proportionné.
La tâche de la division est d'énumérer toutes sortes d'un concept divisible. Par conséquent, le volume des membres de la division doit être égal dans sa somme au volume du concept divisé. Si, par exemple, lors de la division des crimes en fonction de la nature et du degré de danger public, les crimes de faible gravité, de gravité moyenne et les crimes graves sont distingués, la règle de proportionnalité de la division sera violée, puisqu'un autre membre de la division est non indiqué : crimes particulièrement graves.
Cette division s'appelle incomplet.
La règle de proportionnalité sera également violée si des membres supplémentaires de la division sont indiqués, c'est-à-dire concepts qui ne sont pas des espèces du genre. Une telle erreur se produira si, par exemple, lors de la division du concept de «peine pénale», en plus de tous les types de peines, un avertissement est indiqué qui ne figure pas dans la liste des peines en droit pénal, mais est un type de sanction administrative.
Cette division s'appelle divisionavec des membres supplémentaires.