समांतर चतुर्भुज का आधार कौन सी आकृति है। घनाभ
एक समानांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज प्रिज्म है जिसका आधार समांतर चतुर्भुज है। एक समानांतर चतुर्भुज की ऊंचाई उसके आधारों के तलों के बीच की दूरी है। आकृति में, ऊंचाई को एक रेखा के रूप में दिखाया गया है 
. समानांतर चतुर्भुज दो प्रकार के होते हैं: सीधे और तिरछे। एक नियम के रूप में, गणित ट्यूटर पहले प्रिज्म के लिए उपयुक्त परिभाषा देता है, और फिर उन्हें बॉक्स में स्थानांतरित करता है। हम वही करेंगे।
आपको याद दिला दूं कि एक प्रिज्म को सीधा कहा जाता है यदि उसके किनारे आधारों के लंबवत हों, यदि कोई लंबवत न हो, तो प्रिज्म को तिरछा कहा जाता है। यह शब्दावली भी समानांतर चतुर्भुज द्वारा विरासत में मिली है। 
एक समांतर चतुर्भुज एक प्रकार के सीधे प्रिज्म से ज्यादा कुछ नहीं है, जिसका पार्श्व किनारा ऊंचाई के साथ मेल खाता है। चेहरे, किनारे और शीर्ष जैसी अवधारणाओं की परिभाषाएं, जो पॉलीहेड्रा के पूरे परिवार के लिए सामान्य हैं, को बरकरार रखा गया है। विपरीत चेहरों की अवधारणा प्रकट होती है। एक समानांतर चतुर्भुज में विपरीत चेहरों के 3 जोड़े, 8 कोने और 12 किनारे होते हैं।
एक समानांतर चतुर्भुज (एक प्रिज्म का विकर्ण) का विकर्ण एक खंड है जो एक बहुफलक के दो शीर्षों को जोड़ता है और इसके किसी भी फलक में नहीं होता है।
एक विकर्ण खंड एक समानांतर चतुर्भुज का एक खंड है जो इसके विकर्ण और इसके आधार के विकर्ण से होकर गुजरता है।
परोक्ष बॉक्स गुण:
1) इसके सभी फलक समांतर चतुर्भुज हैं, और सम्मुख फलक समान समांतर चतुर्भुज हैं।
2)
समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और उस बिंदु पर समद्विभाजित करते हैं।
3)
प्रत्येक समानांतर चतुर्भुज में समान आयतन के छह त्रिकोणीय पिरामिड होते हैं। उन्हें एक छात्र को दिखाने के लिए, एक गणित ट्यूटर को इसके विकर्ण खंड के साथ समानांतर चतुर्भुज का आधा हिस्सा काटना होगा और इसे अलग से 3 पिरामिडों में तोड़ना होगा। उनके आधार मूल बॉक्स के विभिन्न चेहरों पर स्थित होने चाहिए। एक गणित ट्यूटर विश्लेषणात्मक ज्यामिति में इस संपत्ति के लिए एक आवेदन प्राप्त करेगा। इसका उपयोग वैक्टर के मिश्रित उत्पाद के माध्यम से पिरामिड का आयतन निकालने के लिए किया जाता है।
समांतर चतुर्भुज के आयतन के सूत्र:
1) , आधार का क्षेत्रफल कहाँ है, h ऊँचाई है।
2) समांतर चतुर्भुज का आयतन क्षेत्रफल के गुणनफल के बराबर होता है क्रॉस सेक्शनकिनारे के किनारे पर।
गणित शिक्षक: जैसा कि आप जानते हैं, सूत्र सभी प्रिज्मों के लिए समान है, और यदि ट्यूटर पहले ही इसे सिद्ध कर चुका है, तो समानांतर चतुर्भुज के लिए इसे दोहराने का कोई मतलब नहीं है। हालांकि, औसत स्तर के छात्र के साथ काम करते समय (एक कमजोर सूत्र उपयोगी नहीं है), शिक्षक के लिए ठीक इसके विपरीत कार्य करने की सलाह दी जाती है। प्रिज्म को अकेला छोड़ दें, और समानांतर चतुर्भुज के लिए एक सटीक प्रमाण दें।
3) , समांतर चतुर्भुज बनाने वाले छह त्रिकोणीय पिरामिडों में से एक का आयतन कहाँ है।
4) अगर, तो
एक समांतर चतुर्भुज की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल उसके सभी फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है:
एक समांतर चतुर्भुज की कुल सतह उसके सभी फलकों के क्षेत्रफलों का योग है, अर्थात क्षेत्रफल + दो आधार क्षेत्र:।
एक झुके हुए समानांतर चतुर्भुज वाले ट्यूटर के काम के बारे में:
गणित में एक शिक्षक अक्सर झुकाव वाले समानांतर चतुर्भुज पर समस्याओं से निपटता नहीं है। परीक्षा में उनके उपस्थित होने की संभावना काफी कम है, और उपदेशात्मक रूप से खराब है। एक झुकाव समानांतर चतुर्भुज की मात्रा पर एक कम या ज्यादा सभ्य समस्या बिंदु एच के स्थान को निर्धारित करने से जुड़ी गंभीर समस्याओं का कारण बनती है - इसकी ऊंचाई का आधार। इस मामले में, गणित के ट्यूटर को सलाह दी जा सकती है कि वह बॉक्स को उसके छह पिरामिडों में से एक में ट्रिम कर दे (जिसकी चर्चा संपत्ति #3 में की गई है), इसकी मात्रा खोजने की कोशिश करें और इसे 6 से गुणा करें।
यदि समानांतर चतुर्भुज के किनारे के आधार के किनारों के बराबर कोण हैं, तो एच आधार एबीसीडी के कोण ए के द्विभाजक पर स्थित है। और यदि, उदाहरण के लिए, ABCD एक समचतुर्भुज है, तो
गणित शिक्षक कार्य:
1) एक समांतर चतुर्भुज के फलक 2 सेमी के किनारे और एक न्यून कोण के साथ बराबर लूटे जाते हैं। समानांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात कीजिए।
2) एक झुके हुए समानांतर चतुर्भुज में, पार्श्व किनारा 5 सेमी है। इसका लंबवत खंड एक चतुर्भुज है जिसमें परस्पर लंबवत विकर्ण हैं जिनकी लंबाई 6 सेमी और 8 सेमी है। समानांतर चतुर्भुज की मात्रा की गणना करें।
3) एक तिरछी समानांतर चतुर्भुज में, यह ज्ञात है कि, और ABCD की परिभाषा में 2 सेमी की भुजा और कोण के साथ एक समचतुर्भुज है। समांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात कीजिए।
गणित के शिक्षक, अलेक्जेंडर कोलपाकोव
इस पाठ में, हर कोई "आयताकार बॉक्स" विषय का अध्ययन करने में सक्षम होगा। पाठ की शुरुआत में, हम दोहराएंगे कि एक मनमाना और सीधे समानांतर चतुर्भुज क्या हैं, उनके विपरीत चेहरों और समानांतर चतुर्भुज के विकर्णों के गुणों को याद करें। फिर हम विचार करेंगे कि घनाभ क्या है और इसके मुख्य गुणों पर चर्चा करेंगे।
विषय: रेखाओं और विमानों की लंबवतता
पाठ: घनाभ
दो समान समांतर चतुर्भुज एबीसीडी और ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 और चार समांतर चतुर्भुज एबीबी 1 ए 1, बीसीसी 1 बी 1, सीडीडी 1 सी 1, डीएए 1 डी 1 से बना एक सतह कहलाता है। समानांतर खात(चित्र एक)।
चावल। 1 समानांतरपिंड
अर्थात्: हमारे पास दो समान समांतर चतुर्भुज ABCD और A 1 B 1 C 1 D 1 (आधार) हैं, वे समानांतर विमानों में स्थित हैं ताकि भुजाएँ AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 समानांतर हों। इस प्रकार, समांतर चतुर्भुजों से बनी सतह को कहा जाता है समानांतर खात.
इस प्रकार, एक समानांतर चतुर्भुज की सतह समानांतर चतुर्भुज बनाने वाले सभी समांतर चतुर्भुजों का योग है।
1. समानांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक समानांतर और बराबर होते हैं।
(आंकड़े बराबर हैं, यानी उन्हें ओवरले द्वारा जोड़ा जा सकता है)
उदाहरण के लिए:
एबीसीडी \u003d ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 (परिभाषा के अनुसार समांतर चतुर्भुज),
एए 1 बी 1 बी \u003d डीडी 1 सी 1 सी (चूंकि एए 1 बी 1 बी और डीडी 1 सी 1 सी समानांतर चतुर्भुज के विपरीत चेहरे हैं),
एए 1 डी 1 डी \u003d बीबी 1 सी 1 सी (चूंकि एए 1 डी 1 डी और बीबी 1 सी 1 सी समानांतर चतुर्भुज के विपरीत चेहरे हैं)।
2. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और उस बिंदु को समद्विभाजित करते हैं।
समानांतर चतुर्भुज AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B के विकर्ण एक बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं, और प्रत्येक विकर्ण इस बिंदु से आधे में विभाजित होता है (चित्र 2)।
चावल। 2 समांतर चतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु को समद्विभाजित करते हैं।
3. समांतर चतुर्भुज के समान और समानांतर किनारों के तीन चौगुने होते हैं: 1 - एबी, ए 1 बी 1, डी 1 सी 1, डीसी, 2 - एडी, ए 1 डी 1, बी 1 सी 1, बीसी, 3 - एए 1, बीबी 1, एसएस 1, डीडी 1.
परिभाषा। एक समानांतर चतुर्भुज को सीधा कहा जाता है यदि इसके पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत हों।
मान लीजिए कि भुजा AA 1 आधार से लंबवत है (चित्र 3)। इसका अर्थ है कि रेखा AA 1 रेखा AD और AB के लंबवत है, जो आधार के तल में स्थित है। और, इसलिए, आयत पार्श्व फलकों में स्थित हैं। और आधार मनमानी समांतर चतुर्भुज हैं। निरूपित करें, BAD = , कोण कोई भी हो सकता है।
चावल। 3 राइट बॉक्स
तो, एक दायां बॉक्स एक बॉक्स होता है जिसमें किनारे के किनारे बॉक्स के आधार पर लंबवत होते हैं।
परिभाषा। समांतर चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है,यदि इसके पार्श्व किनारे आधार के लंबवत हैं। आधार आयताकार हैं।
समांतर चतुर्भुज 1 В 1 С 1 D 1 आयताकार है (चित्र 4) यदि:
1. AA 1 ABCD (पार्श्व किनारा आधार के तल पर लंबवत है, अर्थात एक सीधा समानांतर चतुर्भुज)।
2. ZBAD = 90°, अर्थात् आधार एक आयत है।
चावल। 4 घनाभ
एक आयताकार बॉक्स में एक मनमाना बॉक्स के सभी गुण होते हैं।लेकिन अतिरिक्त गुण हैं जो एक घनाभ की परिभाषा से प्राप्त होते हैं।
इसलिए, घनाभएक समानांतर चतुर्भुज है जिसके पार्श्व किनारे आधार के लंबवत हैं। घनाभ का आधार एक आयत है.
1. एक घनाभ में, सभी छह फलक आयताकार होते हैं।
एबीसीडी और ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 परिभाषा के अनुसार आयत हैं।
2. पार्श्व पसलियां आधार के लंबवत होती हैं. इसका अर्थ है कि घनाभ के सभी पार्श्व फलक आयताकार होते हैं।
3. घनाभ के सभी विकर्ण कोण समकोण होते हैं।
उदाहरण के लिए, एक किनारे AB के साथ एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के डायहेड्रल कोण पर विचार करें, यानी, एबीबी 1 और एबीसी के विमानों के बीच का डायहेड्रल कोण।
एबी एक किनारा है, बिंदु ए 1 एक विमान में स्थित है - विमान एबीबी 1 में और दूसरे में बिंदु डी - विमान ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 में है। तब माना गया द्विफलक कोण इस प्रकार भी निरूपित किया जा सकता है: 1 D।
बिंदु A को किनारे AB पर लें। एए 1 विमान एबीबी-1 में किनारे एबी के लंबवत है, एडी विमान एबीसी में किनारे एबी के लंबवत है। अत: A 1 AD दिए गए द्विफलकीय कोण का रैखिक कोण है। A 1 AD \u003d 90 °, जिसका अर्थ है कि किनारे AB पर डायहेड्रल कोण 90 ° है।
(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = A 1 ABD= A 1 AD = 90°।
इसी प्रकार यह भी सिद्ध होता है कि एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का कोई भी द्विफलकीय कोण समकोण होता है।
एक घनाभ के विकर्ण का वर्ग उसके तीनों आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
टिप्पणी। घनाभ के एक ही शीर्ष से निकलने वाले तीन किनारों की लंबाई घनाभ की माप है। उन्हें कभी-कभी लंबाई, चौड़ाई, ऊंचाई कहा जाता है।
दिया गया है: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - एक आयताकार समांतर चतुर्भुज (चित्र 5)।
सिद्ध करना: ।
चावल। 5 घनाभ
सबूत:
रेखा CC 1 समतल ABC पर लंब है, और इसलिए रेखा AC पर। अतः त्रिभुज CC 1 A एक समकोण त्रिभुज है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
एक समकोण त्रिभुज ABC पर विचार करें। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
लेकिन ई.पू. और ई.पू. - विपरीत दिशाएआयत। तो बीसी = एडी। फिर:
इसलिये , एक , फिर। चूँकि CC 1 = AA 1, तो क्या साबित करना आवश्यक था।
एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं।
आइए हम समांतर चतुर्भुज एबीसी के आयामों को ए, बी, सी (आकृति 6 देखें) के रूप में नामित करें, फिर एसी 1 = सीए 1 = बी 1 डी = डीबी 1 =
एक समानांतर चतुर्भुज एक ज्यामितीय आकृति है, जिसके सभी 6 फलक समांतर चतुर्भुज हैं।
इन समांतर चतुर्भुजों के प्रकार के आधार पर, निम्न प्रकार के समानांतर चतुर्भुज प्रतिष्ठित हैं:
- सीधा;
- झुका हुआ;
- आयताकार।
एक समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज प्रिज्म है जिसके किनारे आधार तल के साथ 90 ° का कोण बनाते हैं।
एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज प्रिज्म होता है, जिसके सभी फलक आयत होते हैं। घन एक प्रकार का चतुष्कोणीय प्रिज्म है जिसमें सभी फलक और किनारे बराबर होते हैं।
एक आकृति की विशेषताएं उसके गुणों को पूर्व निर्धारित करती हैं। इनमें निम्नलिखित 4 कथन शामिल हैं:
उपरोक्त सभी गुणों को याद रखना सरल है, उन्हें समझना आसान है और ज्यामितीय शरीर के प्रकार और विशेषताओं के आधार पर तार्किक रूप से व्युत्पन्न होते हैं। हालांकि, सामान्य USE कार्यों को हल करते समय सरल कथन अविश्वसनीय रूप से उपयोगी हो सकते हैं और परीक्षा पास करने के लिए आवश्यक समय की बचत करेंगे।
समांतर चतुर्भुज सूत्र
समस्या का उत्तर खोजने के लिए केवल आकृति के गुणों को जानना पर्याप्त नहीं है। ज्यामितीय निकाय का क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करने के लिए आपको कुछ सूत्रों की भी आवश्यकता हो सकती है।
आधारों का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज या आयत के संगत संकेतक के रूप में भी पाया जाता है। आप समांतर चतुर्भुज का आधार स्वयं चुन सकते हैं। एक नियम के रूप में, समस्याओं को हल करते समय, एक प्रिज्म के साथ काम करना आसान होता है, जो एक आयत पर आधारित होता है।
परीक्षण कार्यों में समानांतर चतुर्भुज की पार्श्व सतह को खोजने के सूत्र की भी आवश्यकता हो सकती है।
विशिष्ट USE कार्यों को हल करने के उदाहरण
अभ्यास 1।
दिया गया: एक घनाभ जिसकी माप 3, 4 और 12 सेमी है।
ज़रूरीआकृति के मुख्य विकर्णों में से एक की लंबाई ज्ञात कीजिए।
समाधान: ज्यामितीय समस्या का कोई भी समाधान एक सही और स्पष्ट ड्राइंग के निर्माण से शुरू होना चाहिए, जिस पर "दिया" और वांछित मूल्य इंगित किया जाएगा। नीचे दिया गया चित्र एक उदाहरण है सही डिजाइनकार्य की शर्तें।
बनाए गए चित्र पर विचार करने और ज्यामितीय निकाय के सभी गुणों को याद रखने के बाद, हम इसे हल करने के एकमात्र सही तरीके पर आते हैं। समांतर चतुर्भुज के गुण 4 को लागू करने पर, हम निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त करते हैं:
सरल गणनाओं के बाद, हम व्यंजक b2=169 प्राप्त करते हैं, इसलिए, b=13। कार्य का उत्तर मिल गया है, इसे खोजने और इसे खींचने में 5 मिनट से अधिक समय नहीं लगना चाहिए।
कार्य 2.
दिया गया: 10 सेमी के किनारे के साथ एक तिरछा बॉक्स, 5 और 7 सेमी के आयामों के साथ एक केएलएनएम आयत, जो संकेतित किनारे के समानांतर आकृति का एक भाग है।
ज़रूरीचतुर्भुज प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
समाधान: सबसे पहले आपको डेटा को स्केच करना होगा।
इस कार्य को हल करने के लिए, आपको सरलता का उपयोग करने की आवश्यकता है। चित्र से यह देखा जा सकता है कि KL और AD की भुजाएँ असमान हैं, साथ ही ML और DC की जोड़ी भी। हालाँकि, इन समांतर चतुर्भुजों के परिमाप स्पष्ट रूप से समान हैं।
इसलिए, आकृति का पार्श्व क्षेत्र पसली AA1 से गुणा किए गए क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र के बराबर होगा, क्योंकि स्थिति के अनुसार पसली खंड के लंबवत है। उत्तर: 240 सेमी2।
परिभाषा
बहुतलहम बहुभुज से बनी एक बंद सतह और अंतरिक्ष के कुछ हिस्से को बाउंडिंग कहेंगे।
वे खंड जो इन बहुभुजों की भुजाएँ हैं, कहलाते हैं पसलियांपॉलीहेड्रॉन, और स्वयं बहुभुज - चेहरे के. बहुभुज के शीर्षों को बहुफलक के शीर्ष कहते हैं।
हम केवल उत्तल पॉलीहेड्रा पर विचार करेंगे (यह एक पॉलीहेड्रॉन है जो प्रत्येक विमान के एक तरफ होता है जिसमें उसका चेहरा होता है)।
बहुफलक बनाने वाले बहुभुज इसकी सतह बनाते हैं। किसी दिए गए बहुफलक से घिरे अंतरिक्ष के भाग को उसका आंतरिक भाग कहते हैं।
परिभाषा: प्रिज्म
समानांतर विमानों में स्थित दो समान बहुभुज \(A_1A_2A_3...A_n\) और \(B_1B_2B_3...B_n\) पर विचार करें ताकि खंड \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\)समानांतर हैं। बहुभुज \(A_1A_2A_3...A_n\) और \(B_1B_2B_3...B_n\) और साथ ही समांतर चतुर्भुज द्वारा गठित पॉलीहेड्रॉन \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)कहा जाता है (\(n\)-कोयला) चश्मे.
बहुभुज \(A_1A_2A_3...A_n\) और \(B_1B_2B_3...B_n\) को प्रिज्म, समांतर चतुर्भुज का आधार कहा जाता है \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)- पार्श्व चेहरे, खंड \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- पार्श्व पसलियों।
इस प्रकार, प्रिज्म के किनारे एक दूसरे के समानांतर और बराबर होते हैं।
एक उदाहरण पर विचार करें - एक प्रिज्म \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), जिसका आधार उत्तल पंचभुज है।
कदएक प्रिज्म एक आधार पर किसी भी बिंदु से दूसरे आधार के तल पर लंबवत होता है।
यदि किनारे के किनारे आधार के लंबवत न हों, तो ऐसा प्रिज्म कहलाता है परोक्ष(चित्र 1), अन्यथा - सीधा. एक सीधे प्रिज्म के लिए, किनारे के किनारे ऊंचाई होते हैं, और पार्श्व फलक बराबर आयत होते हैं।
यदि एक सम बहुभुज समकोण प्रिज्म के आधार पर स्थित है, तो प्रिज्म कहलाता है सही.
परिभाषा: मात्रा की अवधारणा
आयतन इकाई एक इकाई घन है (आयाम \(1\times1\times1\) इकाइयों\(^3\) के साथ घन, जहां इकाई माप की कुछ इकाई है)।
हम कह सकते हैं कि एक बहुफलक का आयतन वह स्थान है जो इस बहुफलक को सीमित करता है। अन्यथा: यह एक ऐसा मान है जिसका संख्यात्मक मान इंगित करता है कि कितनी बार एक इकाई घन और उसके हिस्से किसी दिए गए पॉलीहेड्रॉन में फिट होते हैं।
आयतन में क्षेत्रफल के समान गुण होते हैं:
1. समान अंकों का आयतन बराबर होता है।
2. यदि एक बहुफलक कई अप्रतिच्छेदी बहुफलकों से बना है, तो इसका आयतन इन बहुफलकों के आयतनों के योग के बराबर होता है।
3. आयतन एक गैर-ऋणात्मक मान है।
4. आयतन को cm\(^3\) (घन सेंटीमीटर), m\(^3\) (घन मीटर), आदि में मापा जाता है।
प्रमेय
1. प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और प्रिज्म की ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है।
पार्श्व सतह क्षेत्र प्रिज्म के पार्श्व चेहरों के क्षेत्रों का योग है।
2. प्रिज्म का आयतन आधार क्षेत्र के गुणनफल और प्रिज्म की ऊंचाई के बराबर होता है: \
परिभाषा: बॉक्स
समानांतर खातयह एक प्रिज्म है जिसका आधार एक समांतर चतुर्भुज है।
समांतर चतुर्भुज के सभी फलक (उनके \(6\) : \(4\) पार्श्व फलक और \(2\) आधार) समांतर चतुर्भुज हैं, और विपरीत फलक (एक दूसरे के समानांतर) समान समांतर चतुर्भुज हैं (चित्र 2)।
बॉक्स का विकर्णएक समांतर चतुर्भुज के दो शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है जो एक ही फलक पर नहीं होता है (उनका \(8\) : \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\)आदि।)।
घनाभएक समांतर चतुर्भुज है जिसके आधार पर एक आयत है।
इसलिये एक समांतर चतुर्भुज है, तो पार्श्व फलक आयत हैं। तो, सामान्य तौर पर, एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के सभी फलक आयत होते हैं।
एक घनाभ के सभी विकर्ण बराबर होते हैं (यह त्रिभुजों की समानता से प्राप्त होता है \(\triangle ACC_1=\triangle AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D\)आदि।)।
टिप्पणी
इस प्रकार, समानांतर चतुर्भुज में प्रिज्म के सभी गुण होते हैं।
प्रमेय
एक आयताकार समांतर चतुर्भुज की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल बराबर होता है \
एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है \
प्रमेय
एक घनाभ का आयतन एक शीर्ष से निकलने वाले उसके तीन किनारों के गुणनफल के बराबर होता है (एक घनाभ के तीन आयाम): \
सबूत
इसलिये एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के लिए, पार्श्व किनारे आधार के लंबवत हैं, फिर वे इसकी ऊंचाई भी हैं, यानी \(h=AA_1=c\) आधार एक आयत है \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). यहीं से सूत्र आता है।
प्रमेय
एक घनाभ का विकर्ण \(d\) सूत्र द्वारा खोजा जाता है (जहाँ \(a,b,c\) घनाभ के आयाम हैं)\
सबूत
अंजीर पर विचार करें। 3. क्योंकि आधार एक आयत है, तो \(\triangle ABD\) आयताकार है, इसलिए पाइथागोरस प्रमेय द्वारा \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) ।
इसलिये सभी पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत हैं, फिर \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\)इस तल में किसी भी रेखा के लंबवत, अर्थात। \(BB_1\perp BD\) । अतः \(\triangle BB_1D\) आयताकार है। फिर पाइथागोरस प्रमेय द्वारा \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), टीएचडी
परिभाषा: घन
घनक्षेत्रएक आयताकार समानांतर चतुर्भुज है, जिसकी सभी भुजाएँ समान वर्ग हैं।
इस प्रकार, तीन आयाम एक दूसरे के बराबर हैं: \(a=b=c\) । तो निम्नलिखित सत्य हैं
प्रमेयों
1. किनारे वाले घन का आयतन \(a\) है \(V_(\text(cube))=a^3\) ।
2. घन के विकर्ण को \(d=a\sqrt3\) सूत्र द्वारा खोजा जाता है।
3. एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \(S_(\text(पूर्ण घन पुनरावृत्तियों))=6a^2\).
अक्सर छात्र गुस्से में पूछते हैं: "यह मेरे जीवन में कैसे उपयोगी होगा?"। प्रत्येक विषय के किसी भी विषय पर। एक समानांतर चतुर्भुज की मात्रा के बारे में विषय कोई अपवाद नहीं है। और यहाँ यह कहना संभव है: "यह काम आएगा।"
उदाहरण के लिए, कैसे पता करें कि पार्सल मेलबॉक्स में फिट होगा या नहीं? बेशक, आप परीक्षण और त्रुटि से सही चुन सकते हैं। क्या होगा अगर ऐसी कोई संभावना नहीं है? फिर गणना बचाव में आएगी। बॉक्स की क्षमता जानने के बाद, आप पार्सल की मात्रा (कम से कम लगभग) की गणना कर सकते हैं और प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं।
पैरेलेपिपेड और उसके प्रकार
यदि हम इसका नाम प्राचीन ग्रीक से शाब्दिक रूप से अनुवाद करते हैं, तो यह पता चलता है कि यह एक आकृति है जिसमें समानांतर विमान. समानांतर चतुर्भुज की ऐसी समान परिभाषाएँ हैं:
- एक समांतर चतुर्भुज के रूप में आधार के साथ एक प्रिज्म;
- बहुफलक, जिसका प्रत्येक फलक एक समांतर चतुर्भुज है।
इसके प्रकारों को इस आधार पर प्रतिष्ठित किया जाता है कि इसके आधार पर कौन सी आकृति है और पार्श्व पसलियों को कैसे निर्देशित किया जाता है। सामान्य तौर पर, कोई बोलता है तिरछा समानांतर चतुर्भुजजिसका आधार और सभी फलक समांतर चतुर्भुज हैं। यदि पिछले दृश्य के पार्श्व फलक आयत बन जाते हैं, तो इसे पहले से ही कॉल करने की आवश्यकता होगी प्रत्यक्ष. और कम से आयताकारऔर आधार में भी 90º कोण होते हैं।
इसके अलावा, ज्यामिति में वे उत्तरार्द्ध को इस तरह से चित्रित करने का प्रयास करते हैं कि यह ध्यान देने योग्य है कि सभी किनारे समानांतर हैं। यहाँ, वैसे, गणितज्ञों और कलाकारों के बीच मुख्य अंतर देखा जाता है। उत्तरार्द्ध के लिए परिप्रेक्ष्य के कानून के अनुपालन में शरीर को व्यक्त करना महत्वपूर्ण है। और इस मामले में, किनारों की समानता पूरी तरह से अदृश्य है।
पेश किए गए नोटेशन के बारे में
नीचे दिए गए सूत्रों में, तालिका में दर्शाए गए पदनाम मान्य हैं।
एक तिरछे बॉक्स के लिए सूत्र
क्षेत्रों के लिए पहला और दूसरा:
तीसरा एक बॉक्स की मात्रा की गणना के लिए है:
चूंकि आधार एक समांतर चतुर्भुज है, इसके क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको उपयुक्त व्यंजकों का उपयोग करना होगा।
घनाभ के लिए सूत्र
इसी तरह पहले पैराग्राफ के लिए - क्षेत्रों के लिए दो सूत्र:
और मात्रा के लिए एक और:
पहला काम
स्थिति। एक आयताकार समांतर चतुर्भुज दिया गया है जिसका आयतन ज्ञात करना है। विकर्ण ज्ञात है - 18 सेमी - और तथ्य यह है कि यह क्रमशः पक्ष के चेहरे और किनारे के किनारे के विमान के साथ 30 और 45 डिग्री के कोण बनाता है।
समाधान।समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको तीन समकोण त्रिभुजों की सभी भुजाएँ ज्ञात करनी होंगी। वे आवश्यक बढ़त मान देंगे जिसके लिए आपको वॉल्यूम की गणना करने की आवश्यकता है।
सबसे पहले आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि 30º कोण कहां है। ऐसा करने के लिए, आपको उसी शीर्ष से साइड फेस का एक विकर्ण खींचना होगा जिससे समांतर चतुर्भुज का मुख्य विकर्ण खींचा गया था। उनके बीच का कोण वही होगा जो आपको चाहिए।
पहला त्रिभुज, जो आधार की एक भुजा देगा, निम्नलिखित होगा। इसमें वांछित पक्ष और दो विकर्ण खींचे गए हैं। यह आयताकार है। अब आपको विपरीत पैर (आधार पक्ष) और कर्ण (विकर्ण) के अनुपात का उपयोग करने की आवश्यकता है। यह 30º की ज्या के बराबर है। अर्थात्, आधार के अज्ञात पक्ष को 30º या ½ की ज्या से गुणा करके विकर्ण के रूप में निर्धारित किया जाएगा। इसे "ए" अक्षर से चिह्नित करें।
दूसरा एक त्रिभुज होगा जिसमें एक ज्ञात विकर्ण और एक किनारा होगा जिसके साथ यह 45º बनता है। यह आयताकार भी है, और आप फिर से पैर के अनुपात को कर्ण से उपयोग कर सकते हैं। दूसरे शब्दों में, विकर्ण की ओर का किनारा। यह 45º की कोज्या के बराबर है। अर्थात्, "c" की गणना 45º के विकर्ण और कोज्या के गुणनफल के रूप में की जाती है।
सी = 18 * 1/√2 = 9 √2 (सेमी)।
उसी त्रिकोण में, आपको एक और पैर खोजने की जरूरत है। तीसरे अज्ञात - "इन" की गणना करने के लिए यह आवश्यक है। इसे "x" अक्षर से चिह्नित करने दें। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके गणना करना आसान है:
x \u003d (18 2 - (9 2) 2) \u003d 9 2 (सेमी)।
अब हमें एक और समकोण त्रिभुज पर विचार करने की आवश्यकता है। इसमें पहले से ही ज्ञात पक्ष "c", "x" और जिन्हें गिनने की आवश्यकता है, "c" शामिल हैं:
सी \u003d ((9 2) 2 - 9 2 \u003d 9 (सेमी)।
तीनों मात्राएँ ज्ञात हैं। आप मात्रा के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं और इसकी गणना कर सकते हैं:
वी \u003d 9 * 9 * 9√2 \u003d 729√2 (सेमी 3)।
उत्तर:समांतर चतुर्भुज का आयतन 729√2 सेमी 3 है।
दूसरा कार्य
स्थिति। समानांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात कीजिए। यह समांतर चतुर्भुज के पक्षों को जानता है जो आधार पर स्थित है, 3 और 6 सेमी, साथ ही साथ इसका न्यून कोण - 45º। पार्श्व पसली का झुकाव 30º के आधार पर होता है और यह 4 सेमी के बराबर होता है।
समाधान।समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको उस सूत्र को लेने की आवश्यकता है जो एक झुके हुए समानांतर चतुर्भुज के आयतन के लिए लिखा गया था। लेकिन इसमें दोनों मात्राएं अज्ञात हैं।
आधार का क्षेत्रफल, यानी समांतर चतुर्भुज, उस सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाएगा जिसमें आपको ज्ञात पक्षों और उनके बीच के तीव्र कोण की ज्या को गुणा करने की आवश्यकता होती है।
एस ओ \u003d 3 * 6 पाप 45º \u003d 18 * (√2) / 2 \u003d 9 √2 (सेमी 2)।
दूसरा अज्ञात ऊंचाई है। इसे आधार के ऊपर के चार शीर्षों में से किसी से भी खींचा जा सकता है। यह एक समकोण त्रिभुज से पाया जा सकता है, जिसमें ऊँचाई पैर है, और पार्श्व किनारा कर्ण है। इस मामले में, 30º का कोण अज्ञात ऊंचाई के विपरीत होता है। तो, आप कर्ण के लिए पैर के अनुपात का उपयोग कर सकते हैं।
n \u003d 4 * पाप 30º \u003d 4 * 1/2 \u003d 2।
अब सभी मान ज्ञात हैं और आप मात्रा की गणना कर सकते हैं:
वी \u003d 9 2 * 2 \u003d 18 √2 (सेमी 3)।
उत्तर:आयतन 18 √2 सेमी 3 है।
तीसरा कार्य
स्थिति। समानांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात कीजिए यदि यह एक सीधी रेखा के रूप में जाना जाता है। इसके आधार की भुजाएँ एक समांतर चतुर्भुज बनाती हैं और 2 और 3 सेमी के बराबर होती हैं। उनके बीच का न्यून कोण 60º है। समांतर चतुर्भुज का छोटा विकर्ण आधार के बड़े विकर्ण के बराबर होता है।
समाधान।समांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम आधार क्षेत्रफल और ऊँचाई वाले सूत्र का उपयोग करते हैं। दोनों मात्राएँ अज्ञात हैं, लेकिन उनकी गणना करना आसान है। पहली ऊंचाई है।
चूँकि समांतर चतुर्भुज का छोटा विकर्ण बड़े आधार के समान आकार का होता है, इसलिए उन्हें उसी अक्षर d द्वारा दर्शाया जा सकता है। एक समांतर चतुर्भुज का सबसे बड़ा कोण 120º है, क्योंकि यह एक न्यूनकोण के साथ 180º बनाता है। मान लें कि आधार के दूसरे विकर्ण को "x" अक्षर से दर्शाया गया है। अब, आधार के दो विकर्णों के लिए, कोज्या प्रमेय को लिखा जा सकता है:
डी 2 \u003d ए 2 + 2 में - 2av cos 120º,
x 2 \u003d a 2 + 2 में - 2ab cos 60º।
वर्गों के बिना मूल्यों को खोजने का कोई मतलब नहीं है, तब से उन्हें फिर से दूसरी शक्ति में उठाया जाएगा। डेटा को प्रतिस्थापित करने के बाद, यह पता चला है:
डी 2 \u003d 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 कॉस 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ \u003d 19,
x 2 \u003d a 2 + 2 में - 2ab cos 60º \u003d 4 + 9 - 12 * ½ \u003d 7.
अब ऊँचाई, जो समांतर चतुर्भुज का पार्श्व किनारा भी है, त्रिभुज में टाँग होगी। कर्ण शरीर का ज्ञात विकर्ण होगा, और दूसरा पैर "x" होगा। आप पाइथागोरस प्रमेय लिख सकते हैं:
एन 2 \u003d डी 2 - एक्स 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.
इसलिए: n = √12 = 2√3 (सेमी)।
अब दूसरी अज्ञात राशि आधार का क्षेत्रफल है। दूसरी समस्या में वर्णित सूत्र का उपयोग करके इसकी गणना की जा सकती है।
एस ओ \u003d 2 * 3 पाप 60º \u003d 6 * 3/2 \u003d 3 √3 (सेमी 2)।
सब कुछ को एक आयतन सूत्र में मिलाने पर, हम प्राप्त करते हैं:
वी = 3√3 * 2√3 = 18 (सेमी 3)।
उत्तर: वी \u003d 18 सेमी 3.
चौथा कार्य
स्थिति। एक समानांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात करना आवश्यक है जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है: आधार एक वर्ग है जिसकी भुजा 5 सेमी है; पार्श्व फलक समचतुर्भुज हैं; आधार के ऊपर एक शीर्ष आधार पर स्थित सभी शीर्षों से समान दूरी पर है।
समाधान।पहले आपको स्थिति से निपटने की जरूरत है। वर्ग के बारे में पहले पैराग्राफ के साथ कोई प्रश्न नहीं हैं। दूसरा, समचतुर्भुज के बारे में, यह स्पष्ट करता है कि समानांतर चतुर्भुज झुका हुआ है। इसके अलावा, इसके सभी किनारे 5 सेमी के बराबर हैं, क्योंकि समचतुर्भुज की भुजाएँ समान हैं। और तीसरे से यह स्पष्ट हो जाता है कि इससे खींचे गए तीन विकर्ण बराबर हैं। ये दो हैं जो पार्श्व चेहरों पर स्थित हैं, और अंतिम एक समानांतर चतुर्भुज के अंदर है। और ये विकर्ण किनारे के बराबर होते हैं, यानी इनकी लंबाई भी 5 सेमी होती है।
आयतन निर्धारित करने के लिए, आपको एक झुकाव वाले समानांतर चतुर्भुज के लिए लिखे गए सूत्र की आवश्यकता होगी। फिर, इसमें कोई ज्ञात मात्रा नहीं है। हालांकि, आधार के क्षेत्रफल की गणना करना आसान है क्योंकि यह एक वर्ग है।
एस ओ \u003d 5 2 \u003d 25 (सेमी 2)।
ऊंचाई के मामले में थोड़ा और मुश्किल है। यह तीन आकृतियों में ऐसा होगा: एक समानांतर चतुर्भुज, एक चतुर्भुज पिरामिड और एक समद्विबाहु त्रिभुज। अंतिम परिस्थिति का उपयोग किया जाना चाहिए।
चूंकि यह एक ऊंचाई है, यह एक समकोण त्रिभुज में एक पैर है। इसमें कर्ण ज्ञात किनारा होगा, और दूसरा पैर वर्ग के आधे विकर्ण के बराबर है (ऊंचाई भी माध्यिका है)। और आधार का विकर्ण खोजना आसान है:
डी = (2 * 5 2) = 5√2 (सेमी)।
ऊंचाई की गणना किनारे की दूसरी डिग्री और आधे विकर्ण के वर्ग के अंतर के रूप में की जानी चाहिए और वर्गमूल निकालना न भूलें:
n = (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √ (25 - 25/2) = √ (25/2) = 2.5 √2 (सेमी)।
वी \u003d 25 * 2.5 2 \u003d 62.5 √2 (सेमी 3)।
उत्तर: 62.5 2 (सेमी 3)।