ピラミッド。 ピラミッドの式とプロパティ
意味。 横顔-これは、1つの角度がピラミッドの上部にあり、その反対側が底辺（ポリゴン）の側と一致する三角形です。
意味。 サイドリブ側面の共通の側面です。 ピラミッドには、ポリゴンのコーナーと同じ数のエッジがあります。
意味。 ピラミッドの高さピラミッドの上部から下部に垂れ下がった垂線です。
意味。 辺心距離-これはピラミッドの側面の垂線であり、ピラミッドの上部から底部の側面に下がっています。
意味。 対角断面-これは、ピラミッドの上部と底部の対角線を通過する平面によるピラミッドのセクションです。
意味。 正しいピラミッド-これは、底辺が正多角形で、高さが底辺の中心に向かって下がるピラミッドです。
ピラミッドの体積と表面積
方式。 ピラミッドボリュームベースエリアと高さを通して：
ピラミッドのプロパティ
すべての辺のエッジが等しい場合、ピラミッドのベースの周りに円を外接することができ、ベースの中心は円の中心と一致します。 また、上から垂れ下がった垂線は、底辺（円）の中心を通ります。
すべてのサイドリブが等しい場合、それらは同じ角度でベース平面に対して傾斜しています。
側面のリブは、ベースプレーンと等しい角度を形成する場合、またはピラミッドのベースの周りに円を描くことができる場合は等しくなります。
側面がベースの平面に対して1つの角度で傾斜している場合、ピラミッドのベースに円を内接することができ、ピラミッドの上部がその中心に投影されます。
側面がベース平面に対して1つの角度で傾斜している場合、側面の辺心距離は等しくなります。
通常のピラミッドのプロパティ
1.ピラミッドの上部は、ベースのすべてのコーナーから等距離にあります。
2.すべてのサイドエッジが等しい。
3.すべてのサイドリブはベースに対して同じ角度で傾斜しています。
4.すべての側面の辺心距離は等しい。
5.すべての側面の面積が等しい。
6.すべての面は同じ二面角（フラット）を持っています。
7.球はピラミッドの周りに記述できます。 記述された球の中心は、エッジの中央を通過する垂線の交点になります。
8.球はピラミッドに内接することができます。 内接球の中心は、エッジとベースの間の角度から発する二等分線の交点になります。
9.内接球の中心が外接球の中心と一致する場合、頂点での平面角度の合計はπに等しく、その逆も同様です。1つの角度はπ/ nに等しくなります。ここで、nは数値です。ピラミッドの基部での角度の。
ピラミッドと球の接続
ピラミッドの基部に円を描くことができる多面体がある場合、球はピラミッドの周りに描くことができます（必要十分条件）。 球の中心は、ピラミッドの側縁の中点を垂直に通過する平面の交点になります。
球は、三角形または通常のピラミッドの周りに常に記述できます。
ピラミッドの内部二面角の二面角が一点で交差する場合（必要十分条件）、球をピラミッドに内接させることができます。 この点が球の中心になります。
ピラミッドとコーンの接続
円錐は、頂点が一致し、円錐の底面がピラミッドの底面に内接している場合、ピラミッドに内接していると呼ばれます。
ピラミッドの辺心距離が等しい場合、円錐をピラミッドに内接させることができます。
円錐は、頂点が一致し、円錐の底面がピラミッドの底面に外接している場合、ピラミッドの周囲に外接していると言われます。
ピラミッドのすべての辺が互いに等しい場合、円錐はピラミッドの周りに記述できます。
ピラミッドとシリンダーの接続
ピラミッドの上部が円柱の1つの底面にあり、ピラミッドの底面が円柱の別の底面に内接している場合、ピラミッドは円柱に内接していると言われます。
ピラミッドの基部の周りに円を外接できる場合は、円柱をピラミッドの周りに外接させることができます。
四面体には、4つの面と4つの頂点と6つのエッジがあり、2つのエッジには共通の頂点はありませんが、接触していません。
各頂点は、形成される3つの面とエッジで構成されます 三面角.
四面体の頂点と反対側の面の中心を結ぶ線分は、 四面体の中央値（GM）。
Bimedian接触しない反対側のエッジの中点を接続するセグメントと呼ばれます（KL）。
四面体のすべての二正中線と中線は、1つの点（S）で交差します。 この場合、2つの中央値は半分に分割され、中央値は上から3：1の比率になります。
意味。 鋭角ピラミッド辺心距離が底辺の半分以上の長さのピラミッドです。
意味。 鈍いピラミッド辺心距離が底辺の長さの半分未満であるピラミッドです。
意味。 正四面体 4つの面が正三角形である四面体。 これは5つの正多角形の1つです。 正四面体では、すべての二面角（面の間）と三面角（頂点で）は等しくなります。
意味。 長方形の四面体頂点の3つのエッジ間に直角を持つ四面体が呼び出されます（エッジは垂直です）。 3つの顔が形成されます 長方形の三面角面は直角三角形で、底辺は任意の三角形です。 任意の面の辺心距離は、辺心距離が落ちるベースの側面の半分に等しくなります。
意味。 同面四面体側面が互いに等しく、底辺が正三角形である四面体と呼ばれます。 このような四面体の面は二等辺三角形です。
意味。 正心四面体四面体と呼ばれ、上面から反対側の面に下がるすべての高さ（垂線）が1点で交差します。
意味。 スターピラミッド底が星である多面体はと呼ばれます。
底辺が正六角形で、辺が正三角形でできているピラミッドを呼びます。 六角.
この多面体には多くの特性があります。
- ベースのすべての側面と角度は互いに等しいです。
- すべてのエッジと二面角の石炭ピラミッドも互いに等しくなります。
- 辺を形成する三角形はそれぞれ同じで、同じ面積、辺、高さを持っています。
正六角形のピラミッドの面積を計算するには、六角形のピラミッドの側面の面積の標準式を使用します：
ここで、Pは底辺の周囲長、aはピラミッドの辺心距離の長さです。 ほとんどの場合、この式を使用して側面の面積を計算できますが、別の方法を使用できる場合もあります。 ピラミッドの側面は等しい三角形で形成されているので、1つの三角形の面積を見つけて、それを辺の数で乗算することができます。 六角形のピラミッドには6つありますが、この方法は計算にも使用できます。六角形のピラミッドの側面の面積を計算する例を考えてみましょう。
辺心距離がa=7 cm、底辺の辺がb =3cmである正六角形のピラミッドが与えられているとします。多面体の側面の面積を計算します。
まず、ベースの周囲を見つけます。 ピラミッドは正六角形であるため、底面に正六角形があります。 したがって、そのすべての辺は等しく、周囲長は次の式で計算されます。
次の式のデータに置き換えます。
これで、見つかった値を主な式に代入することで、側面の面積を簡単に見つけることができます。 
また、重要なポイントは、ベースの\ u200b\u200bの領域の検索です。 六角形のピラミッドの底の面積の式は、正六角形の特性から導き出されます： 
前の例の条件を基準として、六角形のピラミッドの底辺の面積を計算する例を考えてみましょう。それらから、底辺の辺がb =3cmであることがわかります。データをに代入してみましょう。式： 
六角形のピラミッドの面積の式は、ベーススキャンとサイドスキャンの面積の合計です： 
六角形のピラミッドの面積を計算する例を考えてみましょう。
ピラミッドが与えられ、その底に辺b =4cmの正六角形があります。与えられた多面体の辺心距離はa=6cmです。総面積を求めます。
総面積は、ベースとサイドスイープの面積で構成されていることがわかります。 それでは、最初にそれらを見つけましょう。 周囲長を計算します。
次に、側面の面積を見つけます。 
次に、正六角形が存在する底辺の面積を計算します。 
これで、結果を合計できます。
三角錐多面体は、底辺が正三角形である多面体と呼ばれます。
このようなピラミッドでは、ベースの面と側面のエッジは互いに等しくなります。 したがって、側面の面積は、3つの同一の三角形の面積の合計から求められます。 式を使用して、通常のピラミッドの側面の面積を見つけることができます。 また、計算を数倍速くすることができます。 これを行うには、三角錐の側面の面積の式を適用します：
ここで、pは底辺の周囲長であり、そのすべての辺はbに等しく、aは上からこの底辺に下がった辺心距離です。 三角錐の面積を計算する例を考えてみましょう。
タスク：正しいピラミッドを与えましょう。 底辺にある三角形の辺はb=4cmです。ピラミッドの辺心距離はa=7cmです。ピラミッドの側面の面積を見つけます。
問題の条件に応じて、必要なすべての要素の長さがわかっているので、周囲長を見つけます。 正三角形では、すべての辺が等しいため、周囲長は次の式で計算されることに注意してください。
データを代入して、値を見つけます。
これで、周囲長がわかったので、側面の面積を計算できます。 
三角錐の面積の式を適用して完全な値を計算するには、多面体の底辺の面積を見つける必要があります。 このために、次の式が使用されます。 
三角錐の底辺の面積の式は異なる場合があります。 特定の図のパラメータの計算を使用することは許可されていますが、ほとんどの場合、これは必須ではありません。 三角錐の底の面積を計算する例を考えてみましょう。
タスク：通常のピラミッドでは、底辺にある三角形の辺はa =6cmです。底辺の面積を計算します。
計算するには、ピラミッドの基部にある正三角形の辺の長さだけが必要です。 次の式のデータを代入します。 
多面体の総面積を見つける必要があることがよくあります。 これを行うには、側面とベースの\ u200b\u200bの領域を追加する必要があります。 
三角錐の面積を計算する例を考えてみましょう。
問題：通常の三角錐を与えましょう。 底辺はb=4 cm、辺心距離はa =6cmです。ピラミッドの総面積を求めます。
まず、既知の式を使用して一面の面積を見つけましょう。 周囲長を計算します。
次の式のデータに置き換えます。 
今、ベースの領域を見つけます： 
ベースと側面の面積を知ると、ピラミッドの総面積がわかります： 
\ u200b \ u200ba正ピラミッドの面積を計算するときは、底辺が正三角形であり、この多面体の多くの要素が互いに等しいことを忘れないでください。
数学の試験の準備をするとき、学生は代数と幾何学の知識を体系化する必要があります。 ピラミッドの面積を計算する方法など、すべての既知の情報を組み合わせたいと思います。 さらに、底面と側面から始めて、表面積全体になります。 側面が三角形であるため、状況が明確である場合、底面は常に異なります。
ピラミッドのベースの領域を見つけるときに何をしますか？
それは絶対にどんな形でもありえます：任意の三角形からn-gonまで。 そして、このベースは、角度の数の違いに加えて、通常の数字または間違った数字である可能性があります。 学童が関心を持っているUSEタスクでは、ベースに正しい数字のタスクのみがあります。 したがって、それらについてのみ説明します。
直角三角形
それは正三角形です。 すべての辺が等しく、文字「a」で示されているもの。 この場合、ピラミッドの底辺の面積は次の式で計算されます：\ u200b \ u200b
S =（a 2 *√3）/4。
四角
その面積を計算するための式は最も単純です、ここで「a」は再び側面です：
任意の正多角形
ポリゴンの側面も同じように指定されています。 コーナーの数には、ラテン文字のnが使用されます。
S =（n * a 2）/（4 * tg（180º/ n））。
横方向および総表面積を計算するときにどのように進めますか？
ベースは通常の図形であるため、ピラミッドのすべての面は等しくなります。 さらに、辺のエッジが等しいため、それぞれが二等辺三角形になります。 次に、ピラミッドの側面の面積を計算するには、同一の単項式の合計で構成される式が必要です。 項の数は、ベースの辺の数によって決まります。
二等辺三角形の面積は、底辺の積の半分に高さを掛けた式で計算されます。 ピラミッドのこの高さは辺心距離と呼ばれます。 その名称は「A」です。 一面の面積の一般式は次のとおりです。
S\u003d½P*A、ここでPはピラミッドの底面の周囲長です。
ベースの側面がわからない場合がありますが、側面のエッジ（c）とその頂点での平面角度（α）が示されています。 次に、そのような式を使用して、ピラミッドの横方向の面積を計算することになっています：
S = n / 2 *in2sinα .
タスク1
調子。ピラミッドの底が4cmの辺にあり、辺心距離の値が√3cmの場合、ピラミッドの総面積を求めます。
解決。あなたはベースの周囲長を計算することから始める必要があります。 これは正三角形なので、P \ u003d 3 * 4 \ u003d 12 cmです。辺心距離がわかっているので、側面全体の\ u200b \ u200bの面積をすぐに計算できます：½*12*√3=6 √3cm2。
底辺の三角形の場合、次の面積値が取得されます：（4 2 *√3）/4\u003d4√3cm2。
面積全体を決定するには、2つの結果値を追加する必要があります：6√3+4√3=10√3cm2。
答え。 10√3cm2。
タスク＃2
調子。 通常の四角形のピラミッドがあります。 ベースの側面の長さは7mm、側面の端は16mmです。 あなたはその表面積を知る必要があります。
解決。多面体は四角形で規則的であるため、その底辺は正方形になります。 底面と側面の面積を学習すると、ピラミッドの面積を計算することが可能になります。 正方形の式は上に示されています。 そして、側面では、三角形のすべての側面がわかっています。 したがって、ヘロンの公式を使用してそれらの面積を計算できます。
最初の計算は単純で、49mm2という数値になります。 2番目の値については、半周長を計算する必要があります：（7 + 16 * 2）：2 =19.5mm。 これで、二等辺三角形の面積を計算できます：√（19.5 *（19.5-7）*（19.5-16）2）=√2985.9375= 54.644mm2。 そのような三角形は4つしかないため、最終的な数を計算するときは、4を掛ける必要があります。
49 + 4 * 54.644 \ u003d 267.576mm2であることがわかります。
答え。 望ましい値は267.576mm2です。
タスク＃3
調子。 通常の四角形のピラミッドの場合、面積を計算する必要があります。 その中で、正方形の辺は6cmで高さは4cmです。
解決。最も簡単な方法は、周囲長と辺心距離の積で式を使用することです。 最初の値は簡単に見つかります。 2番目はもう少し難しいです。
ピタゴラスの定理を覚えて、それがピラミッドの高さと斜辺である辺心距離によって形成されていることを考慮する必要があります。 多面体の高さが中央にあるため、2番目の脚は正方形の辺の半分に等しくなります。
望ましい辺心距離（直角三角形の斜辺）は√（3 2 + 4 2）= 5（cm）です。
これで、目的の値を計算できます：½*（4 * 6）* 5 + 6 2 \ u003d 96（cm 2）。
答え。 96cm2。
タスク＃4
調子。ベースの正しい側は22mm、サイドリブは61mmです。 この多面体の側面の面積はどれくらいですか？
解決。その理由は、問題2で説明したものと同じです。 底に正方形のピラミッドが与えられただけで、今では六角形になっています。
まず、ベースの面積は上記の式を使用して計算されます：（6 * 22 2）/（4 * tg（180º/ 6））\ u003d 726 /（tg30º）\u003d726√3 cm2。
次に、側面である二等辺三角形の半周長を見つける必要があります。 （22 + 61 * 2）：2 = 72cm。ヘロンの公式を使用してそのような三角形の面積を計算し、それを6倍して、ベース。
ヘロンの公式を使用した計算：√（72 *（72-22）*（72-61）2）\u003d√435600\ u003d 660cm2。 一面の面積を与える計算：660 * 6 \ u003d 3960cm2。 表面全体を見つけるためにそれらを合計することは残っています：5217.47≈5217cm2。
答え。ベース-726√3cm2、側面-3960 cm 2、全面積-5217cm2。