空間内の線の垂直性。ビジュアルガイド（2019）

ビデオレッスン2： 3つの垂線に関する定理。仮説

ビデオレッスン3： 3つの垂線に関する定理。仕事

講義：直線と平面の垂直性、記号と特性; 垂直および斜め; 3つの垂線の定理

線と平面の垂直性

一般的に直線の垂線が何であるかを覚えておきましょう。垂直線は、90度の角度で交差する線です。この場合、それらの間の角度は、特定の点での交差の場合と交差の場合の両方である可能性があります。一部の線が直角に交差する場合、平行移動のために線が2番目の線上の点に移動する場合、それらは垂直線と呼ばれることもあります。

意味：線が平面に属する線に垂直である場合、それはこの平面に垂直であると見なすことができます。

特徴：ある平面に2本の垂直線があり、3番目の線がそれぞれに垂直である場合、この3番目の線は平面に垂直です。

プロパティ：

一部の線が1つの平面に垂直である場合、それらは互いに平行です。

2つの平行な平面と、一方の平面に垂直な直線がある場合は、もう一方の平面にも垂直です。
逆のステートメントも作成できます。特定の線が2つの異なる平面に垂直である場合、そのような平面は必然的に平行になります。

斜め

平面上にない任意の点と平面上の任意の点を結ぶ線がある場合、そのような線は呼び出されます斜め.

平面との角度が90度でない場合にのみ傾斜することに注意してください。

この図では、ABは平面に対して傾斜したαです。この場合、点Bは勾配の基部と呼ばれます。

点Aから平面に90度の角度をなすセグメントを描画する場合、このセグメントは垂線と呼ばれます。垂直は、平面までの最小距離とも呼ばれます。

ACは、点Aから平面αに引かれた垂線です。点Cは垂線の底と呼ばれます。

この図面で、垂線の底辺（C）を傾斜の底辺（B）に接続するセグメントを描画すると、結果のセグメントは次のように呼び出されます。投影.

単純な構造の結果、直角三角形が得られました。この三角形では、角度ABCは斜角と投影の間の角度と呼ばれます。

3つの垂直定理

レッスン3.2.1

線の垂直性。

垂直および斜め。

3つの垂線に関する定理。

意味：空間内の2つの線は、それらの間の角度が90度の場合、垂直（相互に垂直）と呼ばれます。

指定. .

行を考慮してください aと b.

線は交差、交差、平行にすることができます。それらの間に角度を作るために、あなたは点を選び、線に平行にそれを通して線a`を引く必要があります a、線b`は線に平行です b.

線a`とb`が交差します。それらの間の角度は線の間の角度です aと b。角度が90°の場合、線 aとb垂直です。

補題：2本の線の1本が3本目の線に垂直である場合、もう1本の線もこの線に垂直です。

証拠：

任意のポイントを取る M。ドットを通して M線に平行な線a`を描く aそして線c`は線に平行です c。次に角度 AMS 90°に等しい。

真っ直ぐ b直線に平行 a仮定により、線a`は線に平行です a建設による。したがって、行a`と b並列です。

私たちは、直接、 b平行、まっすぐと建設は並行しています。だから線の間の角度 bと と -は線a`とb`の間の角度、つまり角度です AMS 90°に等しい。とてもまっすぐ bとと垂直であることが証明されました。

線と平面の垂直性。

定義：線が平面内の任意の線に垂直である場合、その線は平面に垂直であると言われます。

財産： 線が平面に垂直である場合、それはその平面と交差します。

（もし a┴α、それから a∩ α.)

リマインダー。線と平面は、1点で交差するか、平行であるか、線が平面にあります。

垂直線と平面のプロパティ：

定理： 2本の平行線の一方が平面に垂直である場合、もう一方の線もその平面に垂直です。

最初のレッスンでは、補題を学習しました。平行線の1つが平面と交差する場合、もう1つの平行線は平面と交差します。真っ直ぐ a 90°の角度で交差する、つまり垂直である場合、もう一方の平行線は垂直です

定理： 2本の線が平面に垂直である場合、それらは平行です。

直線と平面の垂直の兆候

定理：線が平面にある2つの交差する線に垂直である場合、それは平面に垂直です。

定理：空間内の任意の点を通過するのは、指定された平面に垂直な直線であり、さらに1つだけです。

円錐台とその特性。完全および横方向の円錐台の面積。

チケット番号21。

平行平面の間に囲まれた平行線のセグメントに関する定理。

ピラミッド。ピラミッドの総面積と側面面積。ピラミッドのボリューム。

チケット番号22。

平面の交線に関する定理：一方は他方の平面に平行な直線を通過します。それぞれが2本の平行線のうちの1本を通過します。

凸多面体の兆候。多面体の開発の概念。

定理は凸多面体（逆定理）の符号です。多面体がその各面の片側にある場合、それは凸面です。

証明（矛盾による）：

1）多面体Mを各面の平面の片側に配置します。多面体が凸ではないと仮定します。次に、Mに属さないセグメントAB上の点Xがあるように2つの点AとBがあります。αは凸多面体の面を含む平面です。多面体が平面αの片側にないものと仮定します。次に、平面αの反対側にある2つのそのような点AとBがあります。点AとBを、平面αにある面Qのすべての点に接続します。頂点AとB、および共通ベースQを持つ2つのピラミッドで構成される多面体M 1が得られます。これらのピラミッドは、セグメントAXとBXによって形成されます。ここで、Xは面Qの任意の点です。

2）元の多面体Mは凸状であるため、セグメントAXおよびBXのポイント、つまり多面体M 1のすべてのポイントは、多面体Mの内部ポイントになります。それ以外の場合、多面体M1は完全に多面体の内部に含まれます。 M.これは、ポリゴンQの内部点が多面体M 1と多面体Mの内側にあることを意味します。ポリゴンQは凸型多面体Mの面であり、この面の各点は境界点であるため、これは不可能です。多面体の。矛盾。仮定は正しくありません。したがって、点AとBは、選択した面の反対側にはありません。多面体は、定義上凸です。

多面体の表面は有限数のポリゴンで構成された図形であり、等しい辺で互いに適用されます。これらのポリゴンのいずれかの辺は、そのうちの2つだけに共通です。この図は呼ばれます 閉じた多面体表面.

多面体モデルがいくつかのエッジに沿ってカットされ、平面に配置されると、ポリゴンが取得されます。これは次のように呼ばれます。 この多面体の開発.

多面体の発達を構成するポリゴンは、 スイープの面、これらのポリゴンの辺はリブ、ポリゴンの頂点- 頂点をスキャンする、およびポリゴンの接着された側面は1つのエッジと見なされ、接着された頂点は1つの頂点と見なされます。

この開発から凸多面体を接着するには、次の条件を満たす必要があります。

1) 閉鎖条件：開発中の各ポリゴンの各辺は、他の1つのポリゴン（指定されたポリゴンに隣接すると呼ばれる）のもう1つの辺に接着する必要があります。

2) オイラー状態：展開がG面、B頂点、Rエッジで構成されている場合、デカルト-オイラーの定理が満たされます。

3) 凸状状態：各スイープ頂点でのポリゴン（面）の内角の合計は、360°未満である必要があります。

チケット番号23。

2つの交差する平面のそれぞれに平行な直線上の定理。

Parallelepiped：そのプロパティとタイプ。平行六面体の体積。

チケット番号24。

平面に垂直な線の定理。

幾何学
10年生の授業計画

トピック。互いに垂直な線と平面のプロパティ

レッスンの目的：垂直線と平面の特性に関する学生の知識の形成。

機器：立体集合、図「直線と互いに垂直な平面の性質」（p.116）。

授業中

I.宿題をチェックする

1.問題No.10の解決策についての集合的な議論。

2.数学的口述。

立方体の画像が表示されます：オプション1-図。 151、オプション2-図。 152。

画像を使用して、以下を書き留めます。

1）直線AMの点Mを通り、それに垂直な平面。（2点）

2）平面ABCに垂直で、点Dを通過する直線。（2点）

3）平面ABCに垂直で、点Nを通過する直線。（2点）

4）線BDに垂直な平面。（2点）

5）AMC平面に垂直な直線。（2点）

6）線DCに垂直な平面。（2点）

オプション1.1）（MNK）; 2）KD; 3）BN; 4）（ASM）; 5）BDおよびKN; 6）（ADK）および（BCL）。

オプション2.1）（MNK）; 2）DL; 3）CN; 4）（ASM）; 5）BD i KL; 6）（BCN）および（ADM）。

II。新素材の認識と認識

互いに垂直な線と平面のプロパティ

定理1。

平面が2本の平行線の一方に垂直である場合、もう一方にも垂直です。

持参

a1をしましょう|| a2およびa1α。そのαa2を証明しましょう（図153）。点A1とA2は、a1とa2と平面αとの交点です。

平面αの点A2を通る任意の線x2を描き、x1||となるように点A1を通る線x1を描きます。 x2。 a1以降|| a2、x1 || x2とa1x1、次に定理3.1a2x2による。 x2は平面αで任意に選択されるため、a2αとなります。

定理2。

2本の線が同じ平面に垂直である場合、線は平行です。

持参

aα、bαとします。 ||であることを証明しましょう b（図154）。そのabを仮定しましょう。次に、線bの点Cを通して、aに平行なb1を描きます。そして、αなので、証明された定理と条件bαによるb1α。点AとBが線b1とbと平面αとの交点である場合、三角形Aでは\ u003d B \ u003d 90°であるという仮定から、これは不可能です。したがって、|| b。

問題解決

1.次の場合に四辺形AA1B1Bのタイプを決定します。

a）AA1α; AA1 || BB1; Aα、Bα; AA 1≠BB1（図155）;

b）AA1α; BB1α; α、Вα（図156）;

c）α; α; AA1α; BB1α; AA1 = BB1（図156）。

2.教科書のタスク番号12（p.35）。

3.教科書のタスク番号13（p.35）。

4.教科書のタスク番号16（p.35）。

定理3。

線が2つの平行な平面の一方に垂直である場合、もう一方にも垂直です。

持参

α|| β、aα。 αβであることを証明しましょう。（図157）。点AとBを、線aと平面αおよびβとの交点とします。平面βで、点Bを通る任意の線bを描きます。線bと点Aを通り、線cに沿ってαと交差する平面γを描画します。|| b。そして、α、次にac（定義上、平面に垂直な直線）です。だからac、b || cとa、b、cはγにあり、次にabです。 bが平面βの任意の直線であることを考えると、aβがあります。

定理4。

2つの平面が同じ線に垂直である場合、それらは平行です。

持参

αaβaとすると、α|| β（図158）。点AとBを、線aと平面αおよびβとの交点とします。 αβと仮定します。平面αとβの交線上の点Cを取ります。 Ca、そうでなければ、2つの異なる平面αとβが線aに垂直な点Cを通過するため、これは不可能です。点Cと線aを通る平面γを描きましょう。この平面は線ACとBCに沿ってそれぞれαとβと交差します。そして、αなので、aBCと同様にaACです。したがって、平面αでは、点Cを通り、線aに垂直な2本の異なる線ACとBCが通過します。これは不可能です。したがって、α|| β。