多面体角三面体角の概念の提示。三面体角と多面体角: 三面体角は、1 つの平面から発せられる 3 つの光線によって制限された 3 つの平面によって形成される図形です。

二面角とは直線がなす図形のことです。 ある および共通の境界を持つ 2 つの半平面 ある 、同じ平面に属していません。

真っ直ぐある – 上反角エッジ

ある

日常生活の中で、私たちは上反角の形をした物体によく遭遇します。建物の切妻屋根、開きかけの本、部屋の壁と床などです。

2 つの半平面 - 上反角の面

直線角度を構築するためのアルゴリズム。

角度 ROK – 二面角 P DE K の直線角度。

二面角の度数は、その直線角の度数です。

三面体角と多面体角

三面体角と多面体角の定義を紹介します。

知りましょうさまざまな種類多面体の角度。

多面体の角の特性を研究し、問題を解決する際にそれを使用する方法を学びます。

多面体の角

有限の平面角のセットによって形成される表面あ 1 SA 2 , あ 2 SA 3 , …, あ n -1 SA n , あ n SA 1 共通トップ付き S、隣接する角度が共通の光線の点を除いて共通点を持たず、隣接しない角が共通の頂点を除いて共通点を持たないものは、多面体曲面と呼ばれます。

指定された面と、それによって制限される 2 つの空間の一方とによって形成される図形を多面体角と呼びます。共通トップ S多面体の角の頂点と呼ばれます。光線 SA 1 , …, SA nは多面体の角のエッジと呼ばれ、平面角自体と呼ばれますあ 1 SA 2 , あ 2 SA 3 , …, あ n -1 SA n , あ n SA 1 – 多面体の角の面。多面体の角度は文字で示されます SA 1 … あ n、頂点とそのエッジ上の点を示します。

多面体の角

面の数に応じて、多面体の角は三面体、四面体、五角形などになります。

三面角

定理。三面角のすべての平面角度は、他の 2 つの平面角度の合計よりも小さくなります。

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三面角

物件付き。三面角の平面角の合計が 360°未満であること。

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凸多面角

多面体の角が凸面の場合、多面体角は凸面と呼ばれます。つまり、その任意の 2 つの点とともに、それらを接続する線分が完全に含まれます。図は、凸多面体角と非凸多面体の角の例を示しています。

財産。凸多面体の角度のすべての平面角度の合計は 360° 未満です。

垂直多面体角

図は、三面体、四面体、五角形の頂角の例を示しています。

定理。垂直角度等しいです。

多面体の角度の測定

展開二面角の度数の値は、対応する直線角の度数の値によって測定され、180°に等しいため、2 つの展開二面角からなる空間全体の度数の値は次と等しいと仮定します。 360°。度単位で表される多面体の角度のサイズは、特定の多面体の角度が占める空間の大きさを示します。たとえば、立方体の三面角は空間の 8 分の 1 を占めるため、その度数の値は 360°、つまり 8 = 45° になります。正しい三角形の角度 n- 角柱は側端での上反角の半分に等しい。この二面角が等しいと考えると、プリズムの三面角は等しいことがわかります。

演習 1

平面角を伴う三面角は存在しますか: a) 30°、60°、20°。 b) 45°、45°、90°。 c) 30°、45°、60°?

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答え: a) いいえ。

演習 2

頂点で交差する面のみが形成される多面体の例を挙げてください。 a) 三面角。 b) 四面体角。 c) 五角形の角。

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答え: a) 四面体、立方体、十二面体。

b) 八面体。

c) 正二十面体。

演習 3

三面角の 2 つの平面角は 70° と 80° です。 3 番目の平面の角度の境界は何ですか?

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答え: 10時

1. この図は多面体を示しています。多面体のすべての二面角は直角です。頂点 A と C2 の間の距離を求める

考えてみましょう直角三角形、ピタゴラスの定理によると

3. 図に示す多面体の角度 CAD2 を求めます。多面体の二面角はすべて直角です。度単位で答えてください。

AC = CD2 = AD2 である三角形 CAD2 を考えます。これらは等しい正方形の対角であるため、三角形 CAD2 は正三角形であり、その角度はすべて 60° に等しくなります。

4. 図に示す多面体の角度 ABD を求めます。多面体の二面角はすべて直角です。度単位で答えてください。

ABCD は辺 2 の正方形、BD はその対角線であることに注意してください。これは、三角形 ABD が直角で二等辺、AB=AD であることを意味します。角度ABDは45°です。

5. この図は多面体を示しています。多面体のすべての二面角は直角です。頂点 B2 と D3 の間の距離の 2 乗を求めます。

6. この図は多面体を示しています。多面体のすべての二面角は直角です。頂点 A と C3 の間の距離の 2 乗を求めます。

7. 図に示す多面体の角度 EAD2 を求めます。多面体の二面角はすべて直角です。度単位で答えてください。

演習 5

三面体の角度では、2 つの平面角度は 45° に等しくなります。それらの間の上反角は正しいです。 3 番目の平面の角度を求めます。

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答え: 6 0 o。

演習 6

三面角の平面角は60°、60°、90°です。頂点からエッジに等しいセグメントが配置されます O.A. , OB , O.C. . 90°の角度の平面と平面の間の二面角を求めます。 ABC .

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答え：9時0分。

演習 7

三面角の各平面角は60°です。その端の 1 つで、上から 3 cm に等しいセグメントが配置され、その端から反対側の面に垂線が下されます。この垂線の長さを求めます。

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答え: 参照

演習 8

面から等距離にある三面角の内部点の軌跡を求めます。

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答え: 三面角の頂点を頂点とする光線で、二面角を半分に分割する平面の交線上にあります。

演習 9

三面体の角のエッジから等距離にある内部点の軌跡を求めます。

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答え: 三面角の頂点を頂点とする光線で、平面角の二等分線を通る平面の交線上にあり、平面に垂直これらの角度。

演習 10

四面体の三面体角度の近似値を求めます。

四面体の二面角については、次のようになります。

70の約30はどこから来たのでしょうか？

四面体の三面角については、次のようになります。

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答え: 15 約45インチ。

演習 11

八面体の四面体角度の近似値を求めます。

八面体の二面角については、次のようになります。

109時30分はどこから来たのでしょうか？

八面体の四面体角については、次のようになります。

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答え：38 約56インチ。

演習 12

正二十面体の五面体角の近似値を求めます。

正二十面体の二面角については、次のようになります。

138 は約 11 インチです。

正二十面体の五面体の角度については、次のようになります。

答え: 75 約28インチ。

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演習 13

十二面体の三面体角度の近似値を求めます。

十二面体の二面角については、次のようになります。

116 は約 3 4 インチです。

十二面体の三面角については、次のようになります。

答え：84 約51インチ。

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演習 14

右側四角錐 SABCDこのピラミッドの頂点の辺が2cm、高さが1cmであることを求めます。

解決策: 示されたピラミッドは、立方体の中心に頂点がある 6 つの等しいピラミッドに立方体を分割します。したがって、ピラミッドの頂点の 4 辺の角度は 360 度の 6 分の 1、つまり 360 度になります。 60°に等しい。

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答え: 60 時。

演習 15

正三角錐では、横の辺は 1 に等しく、頂点の角度は 90 度です。このピラミッドの頂点の三角形の角度を求めます。

解決策: 示されたピラミッドは、八面体を頂点を中心とした 8 つの等しいピラミッドに分割します。 ○八面体。したがって、ピラミッドの頂点の 3 辺の角度は 360 度の 8 分の 1、つまり 360 度になります。 45°に等しい。

スライドモードでは、マウスをクリックすると回答が表示されます。

答え: 45 時。

演習 16

正三角錐では、横辺は 1 に等しく、高さはこのピラミッドの頂点の三角形の角度を求めます。

解決策: 示されたピラミッドは、正四面体を中心に頂点を持つ 4 つの等しいピラミッドに分割します。 ○四面体。したがって、ピラミッドの頂点の 3 辺の角度は 360 度の 4 分の 1、つまり 360 度になります。 90°に等しい。

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プレゼンテーション「多面体の角度」は学生にプレゼンテーションするためのビジュアル資料です教育情報という話題について。プレゼンテーション中に彼らが発表するのは、理論的基礎多面体角の概念を理解すると、問題を解決するために知っておく必要がある多面体角の基本的な性質が証明されます。マニュアルの助けを借りて、教師は多面体の角度のアイデアを形成し、トピックに関する問題を解決する能力を形成することが容易になります。プレゼンテーションは、視覚的な教材の中でも特に、レッスンの効果を高めるのに役立ちます。

このプレゼンテーションでは、教材のプレゼンテーションを改善するのに役立つテクニックが使用されています。これらは、アニメーション効果、ハイライト、画像、図の挿入です。アニメーション効果を使用して、情報を強調表示しながら順番に表示します。重要な点。アニメーションにより、構造がより生き生きとして、従来の黒板のデモンストレーションに近くなり、学生は提示されている特性をより簡単に理解できるようになります。ハイライト補助機能を使用すると、生徒は学習情報をより簡単に思い出すことができます。

デモンストレーションは、数学コースで角度の研究を始めた教材を思い出すことから始まります。角度を、1 つの点と、その点から発せられる 2 本の光線で構成される図形として定義します。定義の下では、角度 ∠ABC のイメージが与えられ、角度、頂点、光線上の点が示されます。以下は何であるかを思い出させるものです隣接する角度∠LOMと∠MON。この図は、隣接する角度を示しています。角度自体は、頂点 O と光線上の点 - L、M、N で示されています。角度のモデルは、スライド 4 に示されているコンパスです。コンパスの開きは変更でき、次のようになります。さまざまなサイズの角度。

スライド 5 を使用して、生徒は、同じ平面に属さない 2 つの半平面で構成される図形として上反角が定義され、それらの共通の境界が直線であることを思い出させられます。定義テキストの下には二面角があります。多面体の角の例としては、家の屋根があります。スライド 6 の写真は、2 面体屋根と多面体屋根を持つ建物を示しています。

スライド 7 は、多面体の角 OA 1 A 2 A 3 ...A n の画像を示しています。図では、角度の頂点が示され、各光線上に点がマークされ、頂点と光線に沿った多面体の角度の指定が作成されます。指定は画像の横に表示され、記憶のために枠で囲まれます。多面体の角 OA 1 A 2 A 3 ...A n の構造を考えます。その画像は頂点 O、辺 OA 1、...、OA n、および平面角 A 1 OA 2 を示しています。以下は、平面角がマークされている三面角 ABCD を示しています。三面角 AA 1 DB は、スライド 10 の図に示すように、立方体 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 で表されます。この画像は、形成面が異なる色で着色された三面角と、平面角を強調表示しています。が示されています。次のスライドは、六角形の建物の屋根を示しています。図は平面角と六角角を示しています。

凸多面体の角のすべての辺と交差する平面が存在するという性質が示されています。特性の本質を理解するには、凸角の定義を知る必要があります。物件横に記載してあります。定義では、凸角は各平面角を含む平面の片側にあると述べています。多面体の角の性質に関する定理の条件は、凸多面体角 ∠ OA 1 A 2 A 3 …An が存在することを規定しています。光線 OA 1 と OA 2 上に点 K と M がマークされ、その接続点が三角形 Δ OA 1 A 2 の中線を構成します。 CM と特定の点 A i を通る平面は、すべての点 A 1、A 2、A 3、...A n が α の片側に位置し、角度の頂点となるように配置されます。ああ、飛行機の反対側にいます。このことから、平面は凸多面体の角のすべてのエッジと交差することがわかります。定理は証明されました。

スライド 4 に示されている次の定理は、多面体の角のすべての平面角の合計は 360° 未満であると述べています。定理は、暗記のために赤枠で強調表示されたプロパティとして定式化されます。この特性の証明は、多面体角 ∠ OA 1 A 2 A 3 …An を示す図に示されています。多面体の角上に、頂点 O と光線 A 1、A 2、A 3、... An に属する点がマークされます。これは凸多面体の角です。この角度は、点 A 1、A 2、A 3、...An で光線と交差する平面と交差します。多面体の角の平面角の合計は、A 1 OA 2 + A 2 OA 3 +…+ A n OA 1 という式で表されます。三角形の角度の合計がわかると、各平面角度は、A 1 OA 2 = 180° - OA 1 A 2 - OA 2 A 1 などの式で表されます。式を変形すると、180°・n-(OA 1 A n + OA 1 A 2)-…-(OA n A n-1 + OA n A 1) となります。不等式 OA 1 A n + OA 1 A 2 > A n A 1 A 2 ... の妥当性を考慮して、180° n-(A n A 1 A 2 + A 1 A 2 A 3 +. ..+ A n-1 A n A 1 =180°・n-180°(n-2)=360°。

「多面的な角度」というプレゼンテーションは、学校での従来の授業の効果を高めるために使用されます。も与えられました視覚補助遠隔学習中の教材として活用できます。この教材は、トピックを独力で習得している生徒だけでなく、より深い理解のために追加のレッスンが必要な生徒にも役立ちます。

スライド 1

多面体角指定された面と、それによって制限される空間の 2 つの部分のうちの 1 つによって形成される図形を多面体角と呼びます。共通の頂点Ｓを多面体の角の頂点と呼ぶ。光線SA1、...、SAnは多面体の角の端と呼ばれ、平面角自体A1SA2、A2SA3、...、An-1SAn、AnSA1は多面体の角の面と呼ばれます。多面体の角度は文字 SA1...An で示され、頂点とそのエッジ上の点を示します。共通の頂点 S を持つ有限の平面角 A1SA2、A2SA3、...、An-1SAn、AnSA1 によって形成される表面。隣接する角には共通の光線の点を除いて共通点がなく、隣接しない角には次のような点があります。共通の頂点以外に共通点がない場合、これを多面体表面と呼びます。

スライド 2

多面体の角面の数に応じて、多面体の角は三面体、四面体、五角形などになります。

スライド 3

三面角定理。三面角のすべての平面角度は、他の 2 つの平面角度の合計よりも小さくなります。証拠。三面角 SABC を考えてみましょう。その平面角の最大のものを角度 ASC とします。この場合、不等式 ASB ASC が満たされます。

スライド 4

三面体角度プロパティ。三面角の平面角の合計は 360° 未満です。同様に、頂点 B と C を持つ三面体の角度については、次の不等式が成り立ちます: ABC

スライド 5

凸多面体角多面体角が凸面の場合、多面体角は凸と呼ばれます。つまり、任意の 2 つの点とともに、それらを接続する線分が完全に含まれます。図は、凸多面体角と非凸多面体の角の例を示しています。財産。凸多面体の角度のすべての平面角度の合計は 360° 未満です。この証明は、三面角の対応する特性の証明と似ています。

スライド 6

垂直多面体角図は、3 面体、4 面体、および 5 面体の垂直角定理の例を示しています。垂直角は等しい。

スライド 7

多面体角の測定展開二面角の度数の値は、対応する直線角の度数の値によって測定され、180°に等しいため、2 つの展開二面角からなる空間全体の度数の値は、は 360° に相当します。度単位で表される多面体の角度のサイズは、特定の多面体の角度が占める空間の大きさを示します。たとえば、立方体の三面角は空間の 8 分の 1 を占めるため、その度数の値は 360°、つまり 8 = 45° になります。正n角柱の三面角は、側端での二面角の半分に等しい。この二面角が等しいと考えると、プリズムの三面角は等しいことがわかります。

スライド 8

三面角の測定* 三面角の大きさを二面角で表す公式を導いてみましょう。三面角の頂点 S の近くにある単位球を記述し、三面角の辺とこの球との交点を A、B、C として示します。三面角の面の平面は、この球を次のように分割します。指定された三面角の二面角に対応する 6 つのペアの等しい球面ダイゴン。球面三角形 ABC とその対称球面三角形 A"B"C" は 3 つの三角形の交点です。したがって、二面角の合計の 2 倍は 360° に三面角の 4 倍を加えたもの、つまり SA + SB + SC = 180° + 2 SABC となります。

スライド 9

多面体の角度の測定* SA1…An を凸 n 面角とします。これを三面角に分割し、対角線 A1A3, ..., A1An-1 を描き、得られた式をそれに適用すると、 SA1 + ... + SAn = 180®(n – 2) + 2 SA1…An となります。多面体の角度は数値でも測定できます。実際、全空間の 360 度は数値 2π に対応します。結果の式で度から数値に移行すると、SA1+ …+ SAn = π (n – 2) + 2 SA1…An となります。

スライド 10

演習 1 平面角を持つ三面角は存在しますか: a) 30°、60°、20°。 b) 45°、45°、90°。 c) 30°、45°、60°? 答え: a) いいえ。 b) いいえ。 c) はい。

スライド 11

演習 2 頂点で交差する面のみが形成される多面体の例を挙げてください。 a) 三面角。 b) 四面体角。 c) 五角形の角。答え: a) 四面体、立方体、十二面体。 b) 八面体。 c) 正二十面体。

スライド 12

練習問題 3 三面角の 2 つの平面角は 70° と 80° です。 3 番目の平面の角度の境界は何ですか? 答え: 10時< < 150о.

スライド 13

練習問題 4 三面角の平面角は 45°、45°、60° です。平面角45°の平面間の角度を求めます。答え: 90 度。

スライド 14

演習 5 三面体の角度では、2 つの平面の角度は 45° に等しくなります。それらの間の上反角は正しいです。 3 番目の平面の角度を求めます。答え: 60 度。

スライド 15

練習問題 6 三面角の平面角は 60°、60°、90° です。等しいセグメント OA、OB、OC が頂点からそのエッジに配置されます。 90°の角度の平面と ABC 平面の間の二面角を見つけます。答え: 90 度。

スライド 16

練習問題 7 三面体の角度の各平面の角度は 60° に等しくなります。その端の 1 つで、上から 3 cm に等しいセグメントが配置され、その端から反対側の面に垂線が下されます。この垂線の長さを求めます。

スライド 17

演習 8 三面体の面から等距離にある、三面角の内部点の軌跡を求めます。答え: 三面角の頂点を頂点とする光線で、二面角を半分に分割する平面の交線上にあります。

スライド 18

演習 9 三面体の角の端から等距離にある内側の点の軌跡を求めます。答え: 三面角の頂点を頂点とする光線で、平面角の二等分線を通り、これらの角度の平面に垂直な平面の交線上にあります。

1 スライド

凸多面体角多面体角が凸面の場合、多面体角は凸と呼ばれます。つまり、任意の 2 つの点とともに、それらを接続する線分が完全に含まれます。図は、凸多面体角と非凸多面体の角の例を示しています。定理。凸多面体の角度のすべての平面角度の合計は 360° 未満です。

2 スライド

凸多面体多面体の角が凸図形である場合、多面体の角度は凸と呼ばれます。つまり、その任意の 2 つの点とともに、それらを接続するセグメントが完全に含まれます。この図は、凸型ピラミッドと非凸型ピラミッドの例を示しています。立方体、直方体、三角柱、角錐は凸多面体です。

3 スライド

特性 1 特性 1. 凸多面体では、すべての面が凸多角形になります。確かに、多面体 M のある面を F とし、点 A と点 B は面 F に属します。多面体 M の凸性の条件から、線分 AB は多面体 M に完全に含まれることがわかります。セグメントが多角形 F の平面内にある場合、セグメントは完全にこの多角形に含まれます。つまり、F は凸多角形です。

4 スライド

性質 2 確かに、M を凸多面体とする。多面体 M の内部の点 S、つまり多面体 M のどの面にも属さない点を考えます。点 S と多面体 M の頂点を線分で結びます。多面体 M の凸面により、これらのセグメントはすべて M に含まれることに注意してください。頂点 S を備えたピラミッドを考えてみましょう。その底面は多面体 M の面です。これらのピラミッドは完全に M に含まれており、一緒になって形成されます。多面体 M. 特性 2. 凸多面体は共通の頂点を持つピラミッドで構成され、その底面が多面体の表面を形成します。

5 スライド

練習問題 1 図中に、凸面と非凸面の平面図形を示してください。答え: a)、d) – 凸型。 b)、c) – 非凸型。

6 スライド

練習問題 2 凸図形の交点は必ず凸図形になりますか? 答え: はい。

7 スライド

演習 3 凸図形の和集合は常に凸図形ですか? 答え: いいえ。

8 スライド

演習 4 次の平面角を使用して凸四面体角を作成することは可能ですか: a) 56°、98°、139°、および 72°。 b) 32°、49°、78°、162°。 c) 85°、112°、34°、および 129°。 d) 43°、84°、125°、101°。答え: a) いいえ。 b) はい。 c) いいえ。 d) はい。