ما هي مساحة متوازي الأضلاع. احسب مجموع الزوايا ومساحة متوازي الأضلاع: الخصائص والمعالم
متوازي الاضلاعشكل رباعي أضلاعه متوازية.
في هذا الشكل ، الأضلاع والزوايا المتقابلة متساوية. تتقاطع أقطار متوازي الأضلاع عند نقطة واحدة وتشطره. تسمح لك صيغ مساحة متوازي الأضلاع بالعثور على القيمة من خلال الجوانب والارتفاع والأقطار. يمكن أيضًا تمثيل متوازي الأضلاع في حالات خاصة. تعتبر مستطيل ومربع ومعين.
أولًا ، دعنا نفكر في مثال لحساب مساحة متوازي الأضلاع بالارتفاع والضلع الذي تنزل إليه.
تعتبر هذه القضية كلاسيكية ولا تتطلب مزيدًا من التحقيق. من الأفضل مراعاة صيغة حساب المساحة من خلال ضلعين والزاوية بينهما. يتم استخدام نفس الطريقة في الحساب. إذا أعطيت الأضلاع والزاوية بينهما ، فسيتم حساب المساحة على النحو التالي: 
لنفترض أن متوازي أضلاع أضلاعه أ = 4 سم ، ب = 6 سم ، والزاوية بينهما هي α = 30 درجة. لنجد المنطقة: 
مساحة متوازي الأضلاع بدلالة الأقطار
تسمح لك صيغة مساحة متوازي الأضلاع بدلالة الأقطار بإيجاد القيمة بسرعة.
لإجراء العمليات الحسابية ، تحتاج إلى قيمة الزاوية الواقعة بين الأقطار.
ضع في اعتبارك مثال لحساب مساحة متوازي الأضلاع من خلال الأقطار. دع متوازي أضلاع بقطري D = 7 سم ، د = 5 سم ، والزاوية بينهما هي α = 30 °. استبدل البيانات الموجودة في الصيغة: 
أعطانا مثال لحساب مساحة متوازي الأضلاع من خلال القطر نتيجة ممتازة - 8.75.
بمعرفة صيغة مساحة متوازي الأضلاع بدلالة القطر ، يمكنك حل العديد من المسائل المثيرة للاهتمام. دعونا نلقي نظرة على واحد منهم.
مهمة:بالنظر إلى متوازي الأضلاع بمساحة 92 قدمًا مربعًا. انظر النقطة F تقع في منتصف جانبها BC. لنجد مساحة شبه المنحرف ADFB ، والتي تقع في متوازي الأضلاع. لنبدأ برسم كل شيء حصلنا عليه وفقًا للشروط.
دعنا نصل إلى الحل: 
وفقًا لظروفنا ، آه \ u003d 92 ، وبالتالي ، فإن مساحة شبه المنحرف لدينا ستكون مساوية لـ 
قبل أن نتعلم كيفية إيجاد مساحة متوازي الأضلاع ، علينا أن نتذكر ما هو متوازي الأضلاع وما يسمى بارتفاعه. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي الأضلاع المتقابلة متوازية (تقع على خطوط متوازية). يُطلق على العمود العمودي المرسوم من نقطة عشوائية على الجانب المقابل للخط الذي يحتوي على هذا الجانب ارتفاع متوازي الأضلاع.
المربع والمستطيل والمعين هي حالات خاصة لمتوازي الأضلاع.
يشار إلى مساحة متوازي الأضلاع (S).
صيغ لإيجاد مساحة متوازي الأضلاع
S = a * h ، حيث a هي القاعدة ، h هو الارتفاع المرسوم للقاعدة.
S = a * b * sinα ، حيث a و b هما القاعدتان ، و α هي الزاوية بين القاعدتين a و b.
S \ u003d p * r ، حيث p هو نصف المحيط ، r هو نصف قطر الدائرة المدرجة في متوازي الأضلاع.
مساحة متوازي الأضلاع المكونة من المتجهين أ و ب تساوي معامل حاصل ضرب المتجهات المعينة ، وهي:
تأمل في المثال رقم 1: يوجد متوازي أضلاع طول ضلعه 7 سم وارتفاعه 3 سم ، وكيفية إيجاد مساحة متوازي الأضلاع نحتاج إلى صيغة لحلها.
إذن S = 7x3. S = 21. الجواب: 21 سم 2.
تأمل المثال رقم 2: القاعدتان 6 و 7 سم ، والزاوية بين القاعدتين 60 درجة. كيف تجد مساحة متوازي الأضلاع؟ الصيغة المستخدمة لحل:
وهكذا ، نجد أولًا جيب الزاوية. جيب 60 \ u003d 0.5 ، على التوالي S \ u003d 6 * 7 * 0.5 \ u003d 21 الإجابة: 21 سم 2.
آمل أن تساعدك هذه الأمثلة في حل المشكلات. وتذكر أن الشيء الرئيسي هو معرفة الصيغ والانتباه
منطقة متوازي الأضلاع
نظرية 1
تُعرَّف مساحة متوازي الأضلاع بأنها حاصل ضرب طول ضلعها في الارتفاع المرسوم عليه.
حيث $ a $ هو جانب متوازي الأضلاع ، و $ h $ هو الارتفاع المرسوم على هذا الجانب.
دليل - إثبات.
لنحصل على متوازي الأضلاع $ ABCD $ مع $ AD = BC = a $. لنرسم الارتفاعات $ DF $ و $ AE $ (الشكل 1).
الصورة 1.
من الواضح أن الرقم $ FDAE $ عبارة عن مستطيل.
\ [\ زاوية BAE = (90) ^ 0- \ زاوية أ ، \ \] \ [\ زاوية CDF = \ زاوية د- (90) ^ 0 = (180) ^ 0- \ زاوية أ- (90) ^ 0 = (90) ^ 0- \ زاوية أ = \ زاوية BAE \]
لذلك ، بما أن $ CD = AB ، \ DF = AE = h $ ، $ \ triangle BAE = \ triangle CDF $ ، بمقدار $ I $ اختبار مساواة المثلث. ثم
لذلك وفقًا لنظرية منطقة المستطيل:
لقد تم إثبات النظرية.
نظرية 2
يتم تعريف مساحة متوازي الأضلاع على أنها حاصل ضرب طول أضلاعه المجاورة في جيب الزاوية بين هذين الجانبين.
رياضيا ، يمكن كتابة هذا على النحو التالي
حيث $ a ، \ b $ هي ضلعي متوازي الأضلاع ، و $ \ alpha $ هي الزاوية بينهما.
دليل - إثبات.
لنحصل على متوازي الأضلاع $ ABCD $ مع $ BC = a ، \ CD = b ، \ \ angle C = \ alpha $. ارسم الارتفاع $ DF = h $ (الشكل 2).
الشكل 2.
من خلال تعريف الجيب ، نحصل عليه
بالتالي
ومن ثم ، من خلال Theorem $ 1 $:
لقد تم إثبات النظرية.
مساحة المثلث
نظرية 3
تُعرَّف مساحة المثلث بأنها نصف حاصل ضرب طول ضلعه والارتفاع المرسوم عليه.
رياضيا ، يمكن كتابة هذا على النحو التالي
حيث $ a $ هو ضلع المثلث ، و $ h $ هو الارتفاع المرسوم على هذا الجانب.
دليل - إثبات.
الشكل 3
لذلك من خلال Theorem $ 1 $:
لقد تم إثبات النظرية.
نظرية 4
تُعرّف مساحة المثلث على أنها نصف حاصل ضرب طول أضلاعه المجاورة في جيب الزاوية بين هذين الضلعين.
رياضيا ، يمكن كتابة هذا على النحو التالي
حيث $ a ، \ b $ هي أضلاع المثلث ، و $ \ alpha $ هي الزاوية بينهما.
دليل - إثبات.
لنحصل على مثلث $ ABC $ مع $ AB = a $. ارسم الارتفاع $ CH = h $. لنقم ببنائه حتى متوازي الأضلاع $ ABCD $ (الشكل 3).
من الواضح أن $ \ triangle ACB = \ triangle CDB $ by $ I $ هو معيار المساواة بين المثلثات. ثم
لذلك من خلال Theorem $ 1 $:
لقد تم إثبات النظرية.
منطقة شبه منحرف
نظرية 5
تُعرَّف مساحة شبه المنحرف على أنها نصف حاصل ضرب مجموع أطوال قواعده مضروبًا في ارتفاعه.
رياضيا ، يمكن كتابة هذا على النحو التالي
دليل - إثبات.
لنحصل على شبه منحرف $ ABCK $ ، حيث $ AK = a ، \ BC = b $. لنرسم ارتفاعات $ BM = h $ و $ KP = h $ ، وكذلك القطر $ BK $ (الشكل 4).
الشكل 4
بواسطة Theorem $ 3 دولار ، نحصل عليه
لقد تم إثبات النظرية.
مثال المهمة
مثال 1
أوجد مساحة مثلث متساوي الأضلاع إذا كان طول ضلعه $ a. $
المحلول.
بما أن المثلث متساوي الأضلاع ، فإن كل زواياه تساوي $ (60) ^ 0 $.
ثم ، من خلال نظرية $ 4 ، لدينا
إجابه:$ \ frac (a ^ 2 \ sqrt (3)) (4) $.
لاحظ أنه يمكن استخدام نتيجة هذه المسألة لإيجاد مساحة أي مثلث متساوي الأضلاع مع ضلع معين.
عند حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع ، بالإضافة إلى الخصائص الأساسية متوازي الاضلاعوالصيغ المقابلة ، يمكنك تذكر وتطبيق ما يلي:
- منصف الزاوية الداخلية لمتوازي أضلاع يقطع منه مثلث متساوي الساقين
- منصفات الزوايا الداخلية المتاخمة لأحد جانبي متوازي الأضلاع متعامدة بشكل متبادل
- تأتي المنصفات من زوايا داخلية متقابلة في متوازي الأضلاع ، موازية لبعضها البعض أو تقع على خط مستقيم واحد
- مجموع مربعات الأقطار في متوازي الأضلاع يساوي مجموع مربعات أضلاعه
- مساحة متوازي الأضلاع هي نصف حاصل ضرب الأقطار في جيب الزاوية بينهما.
دعنا نفكر في المهام في الحل التي تُستخدم فيها هذه الخصائص.
مهمة 1.
منصف الزاوية C من متوازي الأضلاع ABCD يتقاطع مع الجانب AD عند النقطة M وامتداد الجانب AB بعد النقطة A عند النقطة E. أوجد محيط متوازي الأضلاع إذا كان AE = 4، DM \ u003d 3.
المحلول.
1. مثلث CMD متساوي الساقين. (خاصية 1). لذلك ، CD = MD = 3 سم.
2. مثلث EAM متساوي الساقين.
لذلك ، AE = AM = 4 سم.
3. AD = AM + MD = 7 سم.
4. محيط ABCD = 20 سم.
إجابه. 20 سم
المهمة 2.
يتم رسم الأقطار في شكل رباعي محدب ABCD. من المعروف أن مساحات المثلثات ABD و ACD و BCD متساوية. إثبات أن الشكل الرباعي المعطى متوازي أضلاع.
المحلول.
1. لنفترض أن يكون ارتفاع المثلث ABD و CF هو ارتفاع المثلث ACD. بما أن مناطق المثلثات متساوية وفقًا لظروف المشكلة ولديها قاعدة مشتركة AD ، فإن ارتفاعات هذه المثلثات متساوية. BE = CF.
2. تكون BE ، CF متعامدة مع AD. تقع النقطتان B و C على نفس الجانب من الخط AD. BE = CF. لذلك ، الخط BC || ميلادي. (*)
3. دع AL يكون ارتفاع المثلث ACD ، BK ارتفاع المثلث BCD. نظرًا لأنه وفقًا لظروف المشكلة ، فإن مساحات المثلثات متساوية ولديها قرص مضغوط مشترك أساسي ، فإن ارتفاعات هذه المثلثات متساوية. AL = BK.
4. AL و BK عموديان على القرص المضغوط. النقطتان B و A تقعان على نفس الجانب من القرص المضغوط للخط المستقيم. AL = BK. لذلك ، الخط AB || قرص مضغوط (**)
5. تشير الشروط (*) ، (**) إلى أن ABCD هو متوازي أضلاع.
إجابه. مثبت. ABCD متوازي أضلاع.
المهمة 3.
على الجانبين BC و CD من متوازي الأضلاع ABCD ، يتم تمييز النقطتين M و H ، على التوالي ، بحيث يتقاطع المقطعان BM و HD عند النقطة O ؛<ВМD = 95 о,
المحلول.
1. في المثلث DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. في المثلث الأيمن DHC ثم<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 لكن CD = AB. ثم AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = الجواب: AB: HD = 2: 1 ،<А = <С = 30 о, <В = المهمة 4. أحد قطري متوازي أضلاع طوله 4√6 يصنع زاوية 60 درجة مع القاعدة ، والقطري الثاني يصنع زاوية 45 درجة مع نفس القاعدة. أوجد القطر الثاني. المحلول.
1. AO = 2√6. 2. طبق نظرية الجيب على المثلث AOD. AO / sin D = OD / sin A. 2√6 / sin 45 o = OD / sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3 / 2) / (√2 / 2) = 2√18 / √2 = 6. الجواب: 12.
المهمة 5. بالنسبة إلى متوازي أضلاع ضلعين 5√2 و 7√2 ، فإن الزاوية الأصغر بين القطرين تساوي الزاوية الأصغر في متوازي الأضلاع. أوجد مجموع أطوال الأقطار. المحلول.
لنفترض أن د 1 ، د 2 هما قطري متوازي الأضلاع ، والزاوية بين الأقطار والزاوية الأصغر في متوازي الأضلاع هي φ. 1. دعونا نعد اثنين مختلفين S ABCD \ u003d AB AD sin A \ u003d 5√2 7√2 sin f ، S ABCD \ u003d 1/2 AC BD sin AOB \ u003d 1/2 d 1 d 2 sin f. نحصل على المساواة 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f أو 2 5√2 7√2 = د 1 د 2 ؛ 2. باستخدام النسبة بين الأضلاع والأقطار في متوازي الأضلاع ، نكتب المساواة (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = د 1 2 + د 2 2. د 1 2 + د 2 2 = 296. 3. لنصنع نظامًا: (د 1 2 + د 2 2 = 296 ، اضرب المعادلة الثانية للنظام في 2 وأضفها إلى الأولى. نحصل على (د 1 + د 2) 2 = 576. ومن هنا معرف 1 + د 2 أنا = 24. بما أن d 1 ، d 2 هي أطوال قطري متوازي الأضلاع ، إذن d 1 + d 2 = 24. الجواب: 24.
المهمة 6. أضلاع متوازي الأضلاع هما 4 و 6. الزاوية الحادة بين القطرين 45 o. أوجد مساحة متوازي الأضلاع. المحلول.
1. من المثلث AOB ، باستخدام نظرية جيب التمام ، نكتب العلاقة بين ضلع متوازي الأضلاع والأقطار. AB 2 \ u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 \ u003d (د 1/2) 2 + (د 2/2) 2-2 (د 1/2) (د 2/2) cos 45 o ؛ د 1 2/4 + د 2 2/4 - 2 (د 1/2) (د 2/2) √2 / 2 = 16. د 1 2 + د 2 2 - د 1 د 2 √2 = 64. 2. وبالمثل ، نكتب علاقة المثلث AOD. نحن نأخذ ذلك في الاعتبار<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. نحصل على المعادلة د 1 2 + د 2 2 + د 1 د 2 √2 = 144. 3. لدينا نظام بطرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية ، نحصل على 2d 1 d 2 √2 = 80 أو د 1 د 2 = 80 / (2√2) = 20√2 4. S ABCD \ u003d 1/2 AC BD sin AOB \ u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \ u003d 1/2 20√2 √2 / 2 \ u003d 10. ملحوظة:في هذه المسألة وفي المسألة السابقة ، ليست هناك حاجة لحل النظام بالكامل ، مع توقع أننا في هذه المسألة نحتاج إلى حاصل ضرب الأقطار لحساب المساحة. الجواب: 10. المهمة 7. مساحة متوازي الأضلاع 96 وضلعه 8 و 15. أوجد مربع القطر الأصغر. المحلول.
1. S ABCD \ u003d AB AD sin VAD. لنقم بالتعويض في الصيغة. نحصل على 96 = 8 15 sin VAD. ومن ثم الخطيئة VAD = 4/5. 2. أوجد cos BAD. الخطيئة 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25. وفقًا لحالة المسألة ، نحسب طول القطر الأصغر. سيكون القطر BD أصغر إذا كانت الزاوية BAD حادة. ثم cos BAD = 3/5. 3. من المثلث ABD ، باستخدام نظرية جيب التمام ، نجد مربع القطر BD. 2 دينار بحريني \ u003d AB 2 + AD 2-2 AB BD cos BAD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3/5 = 145. الجواب: 145.
هل لديك اسئلة؟ لا أعرف كيف تحل مشكلة الهندسة؟ الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.
(
(بما أن الضلع الذي يقع في المثلث القائم الزاوية يساوي نصف طول الوتر).
طرق منطقتها.
(د 1 + د 2 = 140.
(د 1 2 + د 2 2 - د 1 د 2 2 = 64 ،
(د 1 2 + د 2 2 + د 1 د 2 2 = 144.
للحصول على مساعدة مدرس - سجل.
الدرس الأول مجاني!