هرم. صيغ وخصائص الهرم
تعريف. وجه جانبي- هذا مثلث تقع فيه إحدى زواياه أعلى الهرم ، ويتطابق ضلعها المقابل مع ضلع القاعدة (المضلع).
تعريف. الضلوع الجانبيةهي الجوانب المشتركة للوجوه الجانبية. للهرم عدد من الحواف يساوي عدد الزوايا في المضلع.
تعريف. ارتفاع الهرمهو عمودي يسقط من أعلى الهرم إلى قاعدته.
تعريف. Apothem- هذا هو عمودي الوجه الجانبي للهرم ، مخفض من أعلى الهرم إلى جانب القاعدة.
تعريف. قسم قطري- هذا جزء من الهرم بمستوى يمر عبر قمة الهرم وقطر القاعدة.
تعريف. الهرم الصحيح- هذا الهرم تكون قاعدته مضلعا منتظما وينخفض ارتفاعه إلى مركز القاعدة.
حجم ومساحة سطح الهرم
معادلة. حجم الهرممن خلال مساحة القاعدة والارتفاع:
خصائص الهرم
إذا كانت جميع الأضلاع متساوية ، فيمكن تحديد دائرة حول قاعدة الهرم ، ويتزامن مركز القاعدة مع مركز الدائرة. أيضًا ، العمود العمودي الساقط من الأعلى يمر عبر مركز القاعدة (الدائرة).
إذا كانت جميع الأضلاع الجانبية متساوية ، فإنها تميل إلى مستوى القاعدة عند نفس الزوايا.
تكون الأضلاع الجانبية متساوية عندما تكون زوايا متساوية مع مستوى القاعدة ، أو إذا كان من الممكن وصف دائرة حول قاعدة الهرم.
إذا كانت الوجوه الجانبية تميل إلى مستوى القاعدة بزاوية واحدة ، فيمكن عندئذٍ كتابة دائرة في قاعدة الهرم ، ويتم إسقاط قمة الهرم في مركزها.
إذا كانت الوجوه الجانبية مائلة إلى مستوى القاعدة بزاوية واحدة ، فإن الأوجه الجانبية للوجوه الجانبية متساوية.
خصائص الهرم المنتظم
1. قمة الهرم متساوية البعد من جميع زوايا القاعدة.
2. جميع الحواف الجانبية متساوية.
3. تميل جميع الأضلاع الجانبية بنفس زوايا القاعدة.
4. Apothems من جميع الوجوه الجانبية متساوية.
5. مساحات جميع الوجوه الجانبية متساوية.
6. جميع الوجوه لها نفس الزوايا ثنائية الأضلاع (المسطحة).
7. يمكن وصف الكرة حول الهرم. سيكون مركز الكرة الموصوفة هو نقطة تقاطع الخطوط العمودية التي تمر عبر منتصف الحواف.
8. يمكن نقش كرة في هرم. سيكون مركز الكرة المنقوشة نقطة تقاطع المنصفات المنبثقة من الزاوية بين الحافة والقاعدة.
9. إذا تزامن مركز الكرة المحيطية مع مركز الكرة المُحددة ، فإن مجموع الزوايا المسطحة عند القمة يساوي π أو العكس ، زاوية واحدة تساوي π / n ، حيث n هو الرقم من الزوايا عند قاعدة الهرم.
ارتباط الهرم بالكرة
يمكن وصف كرة حول الهرم عندما يقع على قاعدة الهرم متعدد السطوح حوله يمكن وصف دائرة (شرط ضروري وكاف). سيكون مركز الكرة نقطة تقاطع المستويات التي تمر بشكل عمودي عبر نقاط المنتصف للحواف الجانبية للهرم.
يمكن دائمًا وصف الكرة حول أي هرم ثلاثي أو منتظم.
يمكن نقش كرة في هرم إذا تقاطعت مستويات المنصف للزوايا ثنائية الأضلاع الداخلية للهرم عند نقطة واحدة (شرط ضروري وكاف). ستكون هذه النقطة مركز الكرة.
اتصال الهرم بالمخروط
يسمى المخروط منقوشًا في هرم إذا تزامنت رؤوسه وكانت قاعدة المخروط منقوشة في قاعدة الهرم.
يمكن نقش مخروط في هرم إذا كانت أعمدة الهرم متساوية.
يسمى المخروط مقيّدًا حول الهرم إذا تزامنت رؤوسه وكانت قاعدة المخروط محصورة حول قاعدة الهرم.
يمكن وصف المخروط حول الهرم إذا كانت جميع جوانب الهرم متساوية مع بعضها البعض.
توصيل الهرم بأسطوانة
يقال إن الهرم مكتوب في أسطوانة إذا كان قمة الهرم يقع على قاعدة واحدة من الأسطوانة ، وقاعدة الهرم منقوشة في قاعدة أخرى من الأسطوانة.
يمكن إحاطة أسطوانة حول هرم إذا كان من الممكن وضع دائرة حول قاعدة الهرم.
رباعي الوجوه له أربعة وجوه وأربعة رؤوس وستة حواف ، حيث لا يوجد أي طرفين رؤوس مشتركة لكنهما لا يتلامسان.
يتكون كل رأس من ثلاثة أوجه وحواف زاوية ثلاثية السطوح.
يسمى الجزء الذي يربط رأس رباعي السطوح بمركز الوجه المعاكس وسيط رباعي الوجوه(GM).
بيميديانيسمى المقطع الذي يربط بين نقاط المنتصف للحواف المعاكسة التي لا تلمس (KL).
تتقاطع جميع ذوات البميديين والوسيطات في رباعي الوجوه عند نقطة واحدة (S). في هذه الحالة ، يتم تقسيم ثنائي البيميديا إلى نصفين ، والوسيطات بنسبة 3: 1 بدءًا من الأعلى.
تعريف. الهرم بزاوية حادةهو هرم يكون طوله أكبر من نصف طول ضلع القاعدة.
تعريف. هرم منفرجهو هرم يكون طوله أقل من نصف طول ضلع القاعدة.
تعريف. منتظم رباعي السطوحرباعي السطوح وجوهه الأربعة مثلثات متساوية الأضلاع. إنه واحد من خمسة مضلعات منتظمة. في رباعي السطوح العادي ، تكون جميع الزوايا ثنائية الأضلاع (بين الوجوه) والزوايا ثلاثية السطوح (عند الرأس) متساوية.
تعريف. مستطيل رباعي السطوحيسمى رباعي السطوح بزاوية قائمة بين ثلاثة حواف في الرأس (الحواف متعامدة). شكل ثلاثة وجوه زاوية مستطيلة ثلاثية السطوحوالوجوه مثلثات قائمة والقاعدة مثلث اعتباطي. حجم أي وجه يساوي نصف جانب القاعدة التي يقع عليها القفل.
تعريف. إيزوهيدرال رباعي الوجوهيتم استدعاء رباعي الوجوه حيث تكون الوجوه الجانبية متساوية مع بعضها البعض ، والقاعدة عبارة عن مثلث منتظم. وجوه مثل هذا رباعي السطوح هي مثلثات متساوية الساقين.
تعريف. تقويم العظام رباعي السطوحيسمى رباعي السطوح حيث تتقاطع جميع الارتفاعات (العمودية) التي يتم خفضها من أعلى إلى الوجه المقابل عند نقطة واحدة.
تعريف. هرم النجميسمى متعدد السطوح قاعدته نجمة.
يسمى الهرم الذي تكون قاعدته سداسية منتظمة ، وتتشكل أضلاعه بمثلثات منتظمة سداسي الشكل.
هذا متعدد الوجوه له العديد من الخصائص:
- جميع جوانب وزوايا القاعدة متساوية مع بعضها البعض ؛
- جميع الحواف وأهرام الفحم ثنائية الأوجه متساوية أيضًا ؛
- المثلثات المكونة للأضلاع هي نفسها ، على التوالي ، لديهم نفس المساحة والجوانب والارتفاعات.
لحساب مساحة الهرم السداسي المنتظم ، يتم استخدام الصيغة القياسية لمساحة السطح الجانبي للهرم السداسي:
حيث P هو محيط القاعدة ، و هو طول حاضنة الهرم. في معظم الحالات ، يمكنك حساب المساحة الجانبية باستخدام هذه الصيغة ، ولكن في بعض الأحيان يمكنك استخدام طريقة أخرى. نظرًا لأن الوجوه الجانبية للهرم تتكون من مثلثات متساوية ، يمكنك إيجاد مساحة أحد المثلث ، ثم ضربها في عدد الأضلاع. يوجد 6 منها في هرم سداسي ، ولكن يمكن استخدام هذه الطريقة أيضًا في الحساب ، دعنا نفكر في مثال لحساب مساحة السطح الجانبي لهرم سداسي.
دع هرمًا سداسيًا منتظمًا ، يكون فيه apothem = 7 سم ، وجانب القاعدة ب = 3 سم ، احسب مساحة السطح الجانبي لمتعدد السطوح.
أولًا ، أوجد محيط القاعدة. نظرًا لأن الهرم منتظم ، فإنه يحتوي على مسدس منتظم في قاعدته. إذن ، جميع جوانبها متساوية ، ويحسب المحيط بالصيغة:
نستبدل البيانات في الصيغة:
يمكننا الآن بسهولة العثور على مساحة السطح الجانبية عن طريق استبدال القيمة الموجودة في الصيغة الرئيسية: 
نقطة مهمة أيضًا هي البحث عن منطقة القاعدة. تُشتق صيغة مساحة قاعدة الهرم السداسي من خصائص الشكل السداسي المنتظم: 
دعنا نفكر في مثال لحساب مساحة قاعدة الهرم السداسي ، مع الأخذ في الاعتبار الشروط من المثال السابق. منها نعلم أن جانب القاعدة هو ب = 3 سم. دعنا نستبدل البيانات في الصيغة: 
معادلة مساحة الهرم السداسي هي مجموع مساحة القاعدة والمسح الجانبي: 
فكر في مثال لحساب مساحة الهرم السداسي.
لنفترض أن هرمًا يقع عند قاعدته مسدس منتظم ضلعه ب = 4 سم ، ويكون طول شكل متعدد السطوح معطى هو أ = 6 سم ، أوجد المساحة الكلية.
نعلم أن المساحة الإجمالية تتكون من مناطق القاعدة والمسح الجانبي. لذلك دعونا نجدهم أولا. احسب المحيط:
ابحث الآن عن مساحة السطح الجانبية: 
بعد ذلك ، نحسب مساحة القاعدة التي يقع فيها السداسي العادي: 
الآن يمكننا جمع النتائج:
الهرم الثلاثييسمى متعدد السطوح متعدد السطوح قاعدته مثلث منتظم.
في مثل هذا الهرم ، تكون وجوه القاعدة وحواف الجوانب متساوية مع بعضها البعض. وفقًا لذلك ، يتم حساب مساحة الوجوه الجانبية من مجموع مساحات ثلاثة مثلثات متطابقة. يمكنك إيجاد مساحة السطح الجانبية لهرم منتظم باستخدام الصيغة. ويمكنك جعل الحساب أسرع عدة مرات. للقيام بذلك ، قم بتطبيق الصيغة الخاصة بمساحة السطح الجانبي للهرم الثلاثي:
حيث p هو محيط القاعدة ، وجميع جوانبها تساوي b ، و a هو العمود الذي تم خفضه من أعلى إلى هذه القاعدة. فكر في مثال لحساب مساحة الهرم الثلاثي.
المهمة: دع الهرم الصحيح يُعطى. ضلع المثلث الذي يقع في القاعدة ب = 4 سم ، ومساحة الهرم أ = 7 سم ، أوجد مساحة السطح الجانبي للهرم.
نظرًا لأننا ، وفقًا لظروف المشكلة ، نعرف أطوال جميع العناصر الضرورية ، فسنجد المحيط. تذكر أنه في المثلث العادي ، جميع الأضلاع متساوية ، وبالتالي ، يتم حساب المحيط بالصيغة التالية:
استبدل البيانات وابحث عن القيمة:
الآن ، بمعرفة المحيط ، يمكننا حساب مساحة السطح الجانبية: 
لتطبيق صيغة مساحة الهرم الثلاثي لحساب القيمة الكاملة ، تحتاج إلى إيجاد مساحة قاعدة متعدد السطوح. لهذا ، يتم استخدام الصيغة: 
قد تكون صيغة مساحة قاعدة الهرم الثلاثي مختلفة. يُسمح باستخدام أي حساب للمعلمات لرقم معين ، ولكن في أغلب الأحيان لا يكون هذا مطلوبًا. فكر في مثال لحساب مساحة قاعدة الهرم الثلاثي.
المهمة: في الهرم المنتظم ضلع المثلث الموجود في القاعدة هو 6 = 6 سم ، احسب مساحة القاعدة.
للحساب ، نحتاج فقط إلى طول ضلع المثلث المنتظم الموجود في قاعدة الهرم. استبدل البيانات الموجودة في الصيغة: 
غالبًا ما يكون مطلوبًا إيجاد المساحة الكلية لمتعدد الوجوه. للقيام بذلك ، تحتاج إلى إضافة مساحة السطح الجانبي والقاعدة. 
فكر في مثال لحساب مساحة الهرم الثلاثي.
المشكلة: دع هرمًا مثلثيًا منتظمًا يعطى. طول ضلع القاعدة ب = 4 سم ، وقطب الرأس أ = 6 سم ، أوجد المساحة الكلية للهرم.
أولًا ، لنجد مساحة السطح الجانبية باستخدام الصيغة المعروفة بالفعل. احسب المحيط:
نستبدل البيانات في الصيغة: 
الآن ابحث عن مساحة القاعدة: 
بمعرفة مساحة القاعدة والسطح الجانبي ، نجد المساحة الإجمالية للهرم: 
عند حساب مساحة الهرم المنتظم ، لا ينبغي لأحد أن ينسى أن القاعدة عبارة عن مثلث منتظم وأن العديد من عناصر هذا متعدد السطوح متساوية مع بعضها البعض.
عند التحضير لامتحان الرياضيات ، يتعين على الطلاب تنظيم معرفتهم بالجبر والهندسة. أود أن أجمع جميع المعلومات المعروفة ، على سبيل المثال ، كيفية حساب مساحة الهرم. علاوة على ذلك ، بدءًا من القاعدة والجوانب الجانبية إلى مساحة السطح بأكملها. إذا كان الموقف واضحًا مع الوجوه الجانبية ، نظرًا لأنها مثلثات ، فإن القاعدة تكون مختلفة دائمًا.
ماذا تفعل عند إيجاد مساحة قاعدة الهرم؟
يمكن أن يكون أي شكل على الإطلاق: من مثلث عشوائي إلى n-gon. وهذه القاعدة ، بالإضافة إلى الاختلاف في عدد الزوايا ، يمكن أن تكون شكلًا عاديًا أو غير صحيح. في مهام الاستخدام التي تهم تلاميذ المدارس ، لا توجد سوى المهام ذات الأرقام الصحيحة في القاعدة. لذلك ، سنتحدث عنها فقط.
مثلث قائم
هذا متساوي الأضلاع. واحد حيث جميع الأطراف متساوية ويشار إليه بالحرف "أ". في هذه الحالة ، يتم حساب مساحة قاعدة الهرم بالصيغة:
S = (أ 2 * √3) / 4.
ميدان
معادلة حساب مساحتها هي الأبسط ، وهنا "أ" هو الضلع مرة أخرى:
العادية التعسفية n-gon
جانب المضلع له نفس التسمية. لعدد الزوايا ، يتم استخدام الحرف اللاتيني n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º / n)).
كيف يتم المتابعة عند حساب مساحة السطح الجانبية والإجمالية؟
نظرًا لأن القاعدة عبارة عن شكل منتظم ، فإن جميع أوجه الهرم متساوية. علاوة على ذلك ، كل واحد منهم هو مثلث متساوي الساقين ، لأن الحواف الجانبية متساوية. بعد ذلك ، من أجل حساب المساحة الجانبية للهرم ، تحتاج إلى صيغة تتكون من مجموع المونوميرات المتطابقة. يتم تحديد عدد المصطلحات من خلال عدد جوانب القاعدة.
يتم حساب مساحة المثلث متساوي الساقين بالصيغة التي يتم فيها ضرب نصف حاصل ضرب القاعدة في الارتفاع. هذا الارتفاع في الهرم يسمى apothem. تعيينها هو "أ". الصيغة العامة لمساحة السطح الجانبية هي:
S \ u003d ½ P * A ، حيث P هو محيط قاعدة الهرم.
هناك حالات عندما تكون جوانب القاعدة غير معروفة ، ولكن يتم إعطاء الحواف الجانبية (ج) والزاوية المسطحة عند قمتها (α). ثم من المفترض استخدام هذه الصيغة لحساب المساحة الجانبية للهرم:
S = n / 2 * في 2 sin α .
مهمة 1
حالة.أوجد المساحة الكلية للهرم ، إذا كانت قاعدته تقع في ضلع يبلغ 4 سم ، وكانت قيمة طول الهرم 3 سم.
المحلول.عليك أن تبدأ بحساب محيط القاعدة. نظرًا لأن هذا مثلث عادي ، إذن P \ u003d 3 * 4 \ u003d 12 سم. نظرًا لأن apothem معروف ، يمكنك على الفور حساب مساحة السطح الجانبي بالكامل: ½ * 12 * √3 = 6 √3 سم 2.
بالنسبة للمثلث الموجود في القاعدة ، سيتم الحصول على قيمة المساحة التالية: (4 2 * √3) / 4 \ u003d 4√3 سم 2.
لتحديد المساحة بأكملها ، ستحتاج إلى إضافة القيمتين الناتجتين: 6√3 + 4√3 = 10√3 سم 2.
إجابه. 10√3 سم 2.
المهمة رقم 2
حالة. يوجد هرم رباعي الزوايا منتظم. طول جانب القاعدة 7 مم ، الحافة الجانبية 16 مم. تحتاج إلى معرفة مساحة سطحه.
المحلول.نظرًا لأن متعدد الوجوه رباعي الزوايا ومنتظم ، فإن قاعدته مربعة. بعد معرفة مناطق القاعدة والوجوه الجانبية ، سيكون من الممكن حساب مساحة الهرم. تم إعطاء صيغة المربع أعلاه. وفي الوجوه الجانبية ، جميع جوانب المثلث معروفة. لذلك ، يمكنك استخدام صيغة هيرون لحساب مساحتها.
الحسابات الأولى بسيطة وتؤدي إلى هذا الرقم: 49 مم 2. بالنسبة للقيمة الثانية ، ستحتاج إلى حساب نصف المحيط: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 مم. يمكنك الآن حساب مساحة مثلث متساوي الساقين: √ (19.5 * (19.5-7) * (19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 ملم 2. لا يوجد سوى أربعة مثلثات من هذا القبيل ، لذلك عند حساب الرقم النهائي ، ستحتاج إلى ضربه في 4.
اتضح: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 مم 2.
إجابه. القيمة المرغوبة هي 267.576 ملم 2.
المهمة رقم 3
حالة. للحصول على هرم رباعي الزوايا منتظم ، تحتاج إلى حساب المنطقة. فيه ضلع المربع 6 سم والارتفاع 4 سم.
المحلول.أسهل طريقة هي استخدام الصيغة مع حاصل ضرب المحيط والحلقة. من السهل العثور على القيمة الأولى. والثاني أكثر صعوبة بقليل.
علينا أن نتذكر نظرية فيثاغورس ونأخذ في الاعتبار أنها تتكون من ارتفاع الهرم والقسم ، وهو الوتر. الضلع الثاني يساوي نصف جانب المربع ، لأن ارتفاع متعدد السطوح يقع في وسطه.
الطول المطلوب (وتر المثلث القائم الزاوية) هو √ (3 2 + 4 2) = 5 (سم).
يمكنك الآن حساب القيمة المطلوبة: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \ u003d 96 (سم 2).
إجابه. 96 سم 2.
المهمة رقم 4
حالة.الجانب الصحيح من قاعدته 22 مم ، الأضلاع الجانبية 61 مم. ما هي مساحة السطح الجانبي لهذا متعدد السطوح؟
المحلول.المنطق فيه هو نفسه الموصوف في المشكلة رقم 2. فقط هناك تم إعطاء هرم به مربع في قاعدته ، وهو الآن شكل سداسي.
بادئ ذي بدء ، يتم حساب مساحة القاعدة باستخدام الصيغة أعلاه: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 سم 2.
أنت الآن بحاجة إلى معرفة نصف محيط المثلث متساوي الساقين ، وهو وجه جانبي. (22 + 61 * 2): 2 = 72 سم ويبقى حساب مساحة كل مثلث باستخدام صيغة هيرون ، ثم اضربه في ستة وأضفه إلى المساحة التي تحولت إلى قاعدة.
الحسابات باستخدام صيغة Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \ u003d √ 435600 = 660 سم 2. الحسابات التي ستعطي مساحة السطح الجانبية: 660 * 6 = 3960 سم 2. يبقى جمعها لمعرفة السطح بالكامل: 5217.47≈5217 سم 2.
إجابه.القاعدة - 726√3 سم 2 ، السطح الجانبي - 3960 سم 2 ، المساحة بأكملها - 5217 سم 2.