حساب زوايا المثلث على طول الأضلاع. آلة حاسبة على الإنترنت حل المثلثات

بناء أي سقف ليس سهلاً كما يبدو. وإذا كنت تريد أن تكون موثوقة ومتينة ولا تخاف من الأحمال المختلفة ، فعندئذٍ مسبقًا ، حتى في مرحلة التصميم ، تحتاج إلى إجراء الكثير من الحسابات. وستشمل ليس فقط كمية المواد المستخدمة للتركيب ، ولكن أيضًا تحديد زوايا الميل ، ومنطقة المنحدرات ، وما إلى ذلك. كيف تحسب زاوية السقف بشكل صحيح؟ ومن هذه القيمة ستعتمد إلى حد كبير باقي معلمات هذا التصميم.

يعتبر تصميم وبناء أي سقف دائمًا من الأعمال المهمة والمسؤولة للغاية. خاصة عندما يتعلق الأمر بسقف مبنى سكني أو سقف ذو شكل معقد. ولكن حتى السقيفة المعتادة ، المثبتة في سقيفة أو مرآب غير موصوفة ، تحتاج فقط إلى حسابات أولية.

إذا لم تحدد مسبقًا زاوية ميل السقف ، فلا تعرف الارتفاع الأمثل الذي يجب أن يكون عليه التلال ، فهناك خطر كبير من بناء سقف سينهار بعد أول تساقط للثلوج ، أو كل الطلاء النهائي منه ستتمزق حتى بفعل رياح معتدلة.

أيضًا ، ستؤثر زاوية ميل السقف بشكل كبير على ارتفاع التلال ومساحة وأبعاد المنحدرات. بناءً على ذلك ، سيكون من الممكن حساب كمية المواد المطلوبة بدقة أكبر لإنشاء نظام الجمالون والإنهاء.

أسعار أنواع مختلفة من حواف الأسطح

حافة التسقيف

الوحدات

تذكر الهندسة التي تعلمها الجميع في المدرسة ، من الآمن القول أن زاوية السقف تقاس بالدرجات. ومع ذلك ، في كتب البناء ، وكذلك في الرسومات المختلفة ، يمكنك أيضًا العثور على خيار آخر - يشار إلى الزاوية كنسبة مئوية (نعني هنا نسبة العرض إلى الارتفاع).

عمومًا، زاوية الانحدار هي الزاوية المكونة من مستويين متقاطعين- تداخل ومنحدر السقف مباشرة. يمكن أن تكون حادة فقط ، أي تقع في نطاق 0-90 درجة.

في المذكرة! المنحدرات شديدة الانحدار ، التي تزيد زاويتها عن 50 درجة ، نادرة للغاية في شكلها النقي. عادة ما يتم استخدامها فقط لتزيين الأسطح ، وقد تكون موجودة في السندرات.

بالنسبة لقياس زوايا السقف بالدرجات ، فكل شيء بسيط - كل من درس الهندسة في المدرسة لديه هذه المعرفة. يكفي رسم مخطط سقف على الورق واستخدام منقلة لتحديد الزاوية.

بالنسبة للنسب المئوية ، فأنت بحاجة إلى معرفة ارتفاع التلال وعرض المبنى. يتم قسمة المؤشر الأول على الثاني ، ويتم ضرب القيمة الناتجة بنسبة 100٪. وبالتالي ، يمكن حساب النسبة المئوية.

في المذكرة! بنسبة 1 ، تكون درجة الميل النموذجية 2.22٪. أي ميل بزاوية 45 درجة عادية يساوي 100٪. و 1 بالمائة هي 27 دقيقة قوس.

جدول القيم - الدرجات والدقائق والنسبة المئوية

ما هي العوامل التي تؤثر على زاوية الميل؟

تتأثر زاوية ميل أي سقف بعدد كبير جدًا من العوامل ، بدءًا من رغبات المالك المستقبلي للمنزل إلى المنطقة التي سيقع فيها المنزل. عند الحساب ، من المهم مراعاة جميع التفاصيل الدقيقة ، حتى تلك التي تبدو للوهلة الأولى غير مهمة. في مرحلة ما ، قد يلعبون دورهم. يجب تحديد زاوية ميل السقف المناسبة ، مع العلم:

أنواع المواد التي سيتم بناء فطيرة السقف منها ، بدءًا من نظام الجمالون وانتهاءً بالتشطيب الخارجي ؛
الظروف المناخية في المنطقة (حمل الرياح ، اتجاه الرياح السائد ، هطول الأمطار ، إلخ) ؛
شكل المبنى المستقبلي وارتفاعه وتصميمه ؛
الغرض من المبنى ، خيارات لاستخدام مساحة العلية.

في المناطق التي توجد فيها حمولة رياح قوية ، يوصى ببناء سقف بمنحدر واحد وزاوية ميل صغيرة. بعد ذلك ، مع وجود رياح قوية ، من المرجح أن يقاوم السقف ولا يتمزق. إذا كانت المنطقة تتميز بكمية كبيرة من الأمطار (ثلوج أو مطر) ، فمن الأفضل جعل المنحدر أكثر انحدارًا - وهذا سيسمح لهطول الأمطار بالتدحرج / التصريف من السقف وعدم خلق حمولة إضافية. يتراوح المنحدر الأمثل لسقيفة في المناطق العاصفة بين 9-20 درجة ، وحيث يوجد الكثير من الأمطار - حتى 60 درجة. ستسمح لك الزاوية البالغة 45 درجة بتجاهل حمل الثلج بشكل عام ، ولكن في هذه الحالة سيكون ضغط الرياح على السطح أكبر بخمس مرات من ضغط الرياح على السطح ذي الانحدار 11 درجة فقط.

في المذكرة! كلما كانت معلمات منحدر السقف أكبر ، ستكون هناك حاجة إلى المزيد من المواد لإنشائه. تزيد التكلفة بنسبة 20٪ على الأقل.

زوايا الملعب ومواد التسقيف

ليس فقط الظروف المناخية سيكون لها تأثير كبير على شكل وزاوية المنحدرات. تلعب المواد المستخدمة في البناء دورًا مهمًا ، على وجه الخصوص - التسقيف.

الطاولة. زوايا الانحدار المثلى للأسطح من مواد مختلفة.

في المذكرة! كلما انخفض منحدر السقف ، كلما كانت درجة الميلان المستخدمة لإنشاء الصندوق أصغر.

أسعار البلاط المعدني

بلاط معدني

يعتمد ارتفاع الزلاجة أيضًا على زاوية المنحدر.

عند حساب أي سقف ، يتم دائمًا أخذ المثلث المستطيل كمبدأ توجيهي ، حيث تكون الأرجل هي ارتفاع المنحدر عند النقطة العليا ، أي عند التلال أو الانتقال من الجزء السفلي من نظام الجمالون بأكمله إلى القمة (في حالة أسطح السقف) ، وكذلك إسقاط طول منحدر معين على المستوى الأفقي ، والذي يمثله التداخلات. هناك قيمة واحدة ثابتة هنا - وهي طول السقف بين الجدارين ، أي طول الامتداد. سيختلف ارتفاع جزء التلال اعتمادًا على زاوية الميل.

ستساعد معرفة الصيغ من علم المثلثات في تصميم السقف: tgA \ u003d H / L ، sinA \ u003d H / S ، H \ u003d LхtgA ، S \ u003d H / sinA ، حيث A هي زاوية المنحدر ، H هي الزاوية ارتفاع السقف إلى منطقة التلال ، L هو من طول السقف بالكامل (مع سقف الجملون) أو الطول الكامل (في حالة سقف سقيفة) ، S - طول المنحدر نفسه. على سبيل المثال ، إذا كانت القيمة الدقيقة لارتفاع جزء التلال معروفة ، فسيتم تحديد زاوية الميل بواسطة الصيغة الأولى. يمكنك إيجاد الزاوية باستخدام جدول الظل. إذا كان الحساب يعتمد على زاوية السقف ، فيمكنك العثور على معلمة ارتفاع الحافة باستخدام الصيغة الثالثة. يمكن حساب طول العوارض الخشبية ، التي لها قيمة زاوية الميل ومعلمات الأرجل ، باستخدام الصيغة الرابعة.

تعريف المثلث

مثلث- هو شكل هندسي يتكون نتيجة تقاطع ثلاثة أجزاء لا تقع نهاياتها على خط مستقيم واحد. أي مثلث له ثلاثة أضلاع وثلاثة رؤوس وثلاث زوايا.

آلة حاسبة على الانترنت

المثلثات من أنواع مختلفة. على سبيل المثال ، يوجد مثلث متساوي الأضلاع (واحد فيه كل الأضلاع متساوية) ، متساوي الساقين (ضلعان متساويان فيه) وقائم الزاوية (حيث تكون إحدى زواياه قائمة ، أي تساوي 90 درجة ).

يمكن العثور على مساحة المثلث بطرق مختلفة ، اعتمادًا على عناصر الشكل المعروفة بحالة المشكلة ، سواء كانت زوايا أو أطوالًا أو بشكل عام نصف قطر الدوائر المرتبطة بـ مثلث. النظر في كل طريقة على حدة مع الأمثلة.

صيغة مساحة المثلث بمعلومية قاعدته وارتفاعه

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S = \ frac (1) (2) \ cdot a \ cdot hS =2 1 ⋅ أ ⋅ح,

أ أ- قاعدة المثلث.
ح ح ح- ارتفاع المثلث المرسوم على القاعدة المعطاة أ.

مثال

أوجد مساحة المثلث إذا كان طول قاعدته معروفًا ، يساوي 10 (سم) والارتفاع المرسوم على هذه القاعدة يساوي 5 (سم).

المحلول

أ = 10 أ = 10 أ =1 0
ح = 5 ح = 5 ح =5

استبدل صيغة المنطقة واحصل على:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S = \ frac (1) (2) \ cdot10 \ cdot 5 = 25S =2 1 ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (انظر المربع)

إجابه: 25 (انظر المربع)

صيغة مساحة المثلث بمعلومية أطوال جميع الأضلاع

S = p ⋅ (p - a) ⋅ (p - b) ⋅ (p - c) S = \ sqrt (p \ cdot (p-a) \ cdot (p-b) \ cdot (p-c))S =ص ⋅ (ف - أ) ⋅ (ص - ب) ⋅ (ف - ج) ,

أ ، ب ، ج ، أ ، ب ، ج أ ، ب ، ج- طول أضلاع المثلث ؛
ص ص- نصف مجموع أضلاع المثلث (أي نصف محيط المثلث):

الفوسفور = 1 2 (أ + ب + ج) ص = \ فارك (1) (2) (أ + ب + ج)ع =2 1 (أ +ب +ج)

هذه الصيغة تسمى صيغة هيرون.

مثال

أوجد مساحة المثلث إذا كانت أطوال أضلاعه الثلاثة معروفة ، تساوي 3 (انظر) ، 4 (انظر) ، 5 (انظر).

المحلول

أ = 3 أ = 3 أ =3
ب = 4 ب = 4 ب =4
ج = 5 ج = 5 ج =5

أوجد نصف المحيط ص ص:

الفوسفور = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p = \ frac (1) (2) (3 + 4 + 5) = \ frac (1) (2) \ cdot 12 = 6ع =2 1 (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ⋅ 1 2 = 6

إذن ، وفقًا لصيغة هيرون ، مساحة المثلث هي:

S = 6 ⋅ (6-3) ⋅ (6-4) ⋅ (6-5) = 36 = 6 S = \ sqrt (6 \ cdot (6-3) \ cdot (6-4) \ cdot (6- 5)) = الجذر التربيعي (36) = 6S =6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) = 3 6 = 6 (انظر المربع)

الجواب: 6 (انظر المربع)

صيغة مساحة المثلث بمعلومية جانب واحد وزاويتين

S = أ 2 2 ⋅ الخطيئة ⁡ β الخطيئة ⁡ γ الخطيئة ⁡ (β + γ) S = \ frac (a ^ 2) (2) \ cdot \ frac (\ الخطيئة (\ بيتا) \ الخطيئة (\ جاما)) ( \ الخطيئة (\ بيتا + \ جاما))S =2 أ 2 ⋅ الخطيئة (β + γ)الخطيئة β الخطيئة γ ,

أ أ- طول ضلع المثلث ؛
β، γ \ بيتا، \ جاما β , γ - الزوايا المتاخمة للجانب ا أ.

مثال

بالنظر إلى ضلع في المثلث يساوي 10 (انظر) وزاويتان متجاورتان قياسهما 30 درجة. أوجد مساحة المثلث.

المحلول

أ = 10 أ = 10 أ =1 0
β = 3 0 ∘ \ بيتا = 30 ^ (\ دائرة)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \ جاما = 30 ^ (\ دائرة)γ = 3 0 ∘

حسب الصيغة:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14.4 S = \ frac (10 ^ 2) (2) \ cdot \ frac (\ sin (30 ^ (\ circ)) \ sin (30 ^ (\ circ))) (\ sin (30 ^ (\ circ) +30 ^ (\ circ))) = 50 \ cdot \ frac ( 1) (2 \ sqrt (3)) \ تقريبًا 14.4S =2 1 0 2 ⋅ الخطيئة (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) الخطيئة 3 0 ∘ الخطيئة 3 0 ∘ = 5 0 ⋅ 2 3 1 ≈ 1 4 . 4 (انظر المربع)

إجابه: 14.4 (انظر المربع)

صيغة مساحة المثلث بمعلومية ثلاثة أضلاع ونصف قطر الدائرة المحصورة

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S = \ frac (a \ cdot b \ cdot c) (4R)S =4 صأ ، ب ، ج ,

أ ، ب ، ج ، أ ، ب ، ج أ ، ب ، ج- جوانب المثلث
R R صهو نصف قطر الدائرة المحصورة حول المثلث.

مثال

نأخذ الأرقام من المسألة الثانية ونضيف نصف قطر إليها R R صالدوائر. فليكن مساويا لـ 10 (انظر).

المحلول

أ = 3 أ = 3 أ =3
ب = 4 ب = 4 ب =4
ج = 5 ج = 5 ج =5
ص = 10 ص = 10 ص =1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1.5 S = \ frac (3 \ cdot 4 \ cdot 5) (4 \ cdot 10) = \ frac (60) (40) = 1.5S =4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 4 0 6 0 = 1 . 5 (انظر المربع)

إجابه: 1.5 (سم مربع)

صيغة مساحة المثلث بمعلومية ثلاثة أضلاع ونصف قطر الدائرة المحيطية

$\ cdot r$

$ص - نصف محيط المثلث:$

$\ فارك (أ + ب + ج) (2)$

$أ, ب, ج - جوانب المثلث ص هو نصف قطر الدائرة المدرجة في المثلث.$

مثال

دع نصف قطر الدائرة المنقوشة يساوي 2 (انظر). نأخذ أطوال الأضلاع من المشكلة السابقة.

المحلول

$أ = 3 ب = 4 ج = 5 ص = 2$

$\ فارك (3 + 4 + 5) (2) = 6$

$\ cdot 2 = 12$

إجابه: 12 (انظر المربع)

معادلة مساحة المثلث بمعلومية ضلعين والزاوية بينهما

$\ frac (1) (2) \ cdot b \ cdot c \ cdot \ sin (\ alpha)$

$ب, ج - جوانب المثلث$

$\ ألفا$

مثال

أضلاع المثلث 5 (انظر) و 6 (انظر) ، الزاوية بينهما 30 درجة. أوجد مساحة المثلث.

المحلول

$ب = 5 ج = 6 α = 3 0^{\circ}$

$\ frac (1) (2) \ cdot 5 \ cdot 6 \ cdot \ sin (30 ^ (\ circ)) = 7.5$

إجابه: 7.5 (انظر المربع)

في الهندسة ، الزاوية هي شكل يتكون من شعاعين يخرجان من نفس النقطة (تسمى رأس الزاوية). في معظم الحالات ، تكون وحدة قياس الزاوية هي الدرجات (°) - تذكر أن الزاوية الكاملة أو الدورة الواحدة تساوي 360 درجة. يمكنك إيجاد قيمة زاوية المضلع حسب نوعه وقيم الزوايا الأخرى ، وإذا تم إعطاء مثلث قائم الزاوية ، فيمكن حساب الزاوية من ضلعين. علاوة على ذلك ، يمكن قياس الزاوية بمنقلة أو حسابها باستخدام حاسبة الرسوم البيانية.

خطوات

كيفية إيجاد الزوايا الداخلية لمضلع

احسب عدد أضلاع المضلع.لحساب الزوايا الداخلية لمضلع ، تحتاج أولاً إلى تحديد عدد أضلاع المضلع. لاحظ أن عدد أضلاع المضلع يساوي عدد زواياه.

على سبيل المثال ، يحتوي المثلث على 3 جوانب و 3 زوايا داخلية ، بينما يحتوي المربع على 4 جوانب و 4 زوايا داخلية.

احسب مجموع كل الزوايا الداخلية للمضلع.للقيام بذلك ، استخدم الصيغة التالية: (ن - 2) × 180. في هذه الصيغة ، ن هو عدد أضلاع المضلع. فيما يلي مجموع زوايا المضلعات الشائعة الحدوث:
- مجموع زوايا المثلث (المضلع بثلاثة أضلاع) هو 180 درجة.
- مجموع زوايا الشكل الرباعي (المضلع ذو 4 جوانب) هو 360 درجة.
- مجموع زوايا البنتاغون (المضلع بخمسة جوانب) هو 540 درجة.
- مجموع زوايا الشكل السداسي (المضلع بستة أضلاع) هو 720 درجة.
- مجموع زوايا الشكل الثماني (المضلع ذو 8 جوانب) هو 1080 درجة.
اقسم مجموع كل زوايا مضلع منتظم على عدد الزوايا.المضلع المنتظم هو مضلع ذو جوانب متساوية وزوايا متساوية. على سبيل المثال ، يتم حساب كل زاوية في مثلث متساوي الأضلاع على النحو التالي: 180 ÷ 3 = 60 درجة ، وتحسب كل زاوية من زوايا المربع على النحو التالي: 360 ÷ 4 = 90 درجة.
- المثلث متساوي الأضلاع والمربع عبارة عن مضلعات منتظمة. ومبنى البنتاغون (واشنطن ، الولايات المتحدة الأمريكية) وعلامة الطريق Stop لهما شكل مثمن منتظم.
اطرح مجموع كل الزوايا المعروفة من مجموع الزوايا الإجمالية للمضلع غير المنتظم.إذا كانت أضلاع المضلع غير متساوية ، وزواياه أيضًا غير متساوية ، اجمع أولاً الزوايا المعروفة للمضلع. الآن اطرح القيمة الناتجة من مجموع كل زوايا المضلع - هكذا تجد الزاوية المجهولة.
- على سبيل المثال ، إذا كانت الزوايا الأربع للبنتاغون هي 80 درجة و 100 درجة و 120 درجة و 140 درجة ، أضف هذه الأرقام: 80 + 100 + 120 + 140 = 440. الآن اطرح هذه القيمة من مجموع جميع زوايا البنتاغون هذا المجموع يساوي 540 درجة: 540 - 440 = 100 درجة. وبالتالي ، فإن الزاوية المجهولة هي 100 درجة.
نصيحة:يمكن حساب الزاوية المجهولة لبعض المضلعات إذا كنت تعرف خصائص الشكل. على سبيل المثال ، في مثلث متساوي الساقين ، ضلعان متساويان وزاويتان متساويتان ؛ في متوازي الأضلاع (وهو شكل رباعي) الأضلاع المتقابلة متساوية والزوايا المتقابلة متساوية.

قس طول ضلعي المثلث.أطول ضلع في المثلث القائم يسمى الوتر. الضلع المجاور هو الضلع القريب من الزاوية المجهولة. الضلع المقابل هو الضلع المقابل للزاوية المجهولة. قس ضلعين لحساب الزوايا المجهولة لمثلث.

نصيحة:استخدم الآلة الحاسبة الرسومية لحل المعادلات ، أو ابحث عن جدول عبر الإنترنت بقيم الجيب وجيب التمام والظل.

احسب جيب الزاوية إذا كنت تعرف الضلع المقابل والوتر.للقيام بذلك ، عوض بالقيم في المعادلة: sin (x) = الضلع المقابل ÷ الوتر. على سبيل المثال ، الضلع المقابل 5 سم والوتر 10 سم ، اقسم 5/10 = 0.5. إذن sin (x) = 0.5 ، أي x = sin -1 (0.5).

المثلث هو رقم هندسي مكون من ثلاثة أجزاء تربط ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط. تسمى النقاط التي تشكل مثلثًا نقاطه ، وتكون الأجزاء جنبًا إلى جنب.

اعتمادًا على نوع المثلث (مستطيل ، أحادي اللون ، إلخ) ، يمكنك حساب جانب المثلث بطرق مختلفة ، اعتمادًا على بيانات الإدخال وظروف المشكلة.

التنقل السريع لمقال

لحساب جوانب المثلث القائم الزاوية ، يتم استخدام نظرية فيثاغورس ، والتي بموجبها يكون مربع الوتر مساويًا لمجموع مربعات الساق.

إذا قمنا بتسمية الساقين بـ "أ" و "ب" والوتر بـ "ج" ، فيمكن العثور على الصفحات بالصيغ التالية:

إذا كانت الزوايا الحادة لمثلث قائم الزاوية (أ و ب) معروفة ، فيمكن إيجاد جوانبها بالصيغ التالية:

مثلث اقتصاص

يسمى المثلث بمثلث متساوي الأضلاع يكون فيه كلا الجانبين متماثلين.

كيفية إيجاد الوتر في قدمين

إذا كان الحرف "a" مطابقًا لنفس الصفحة ، فإن "b" هي الأساس ، و "b" هي الزاوية المقابلة للقاعدة ، و "a" هي الزاوية المجاورة ، يمكن استخدام الصيغ التالية لحساب الصفحات:

زاويتان وجانب

إذا كانت صفحة واحدة (ج) وزاويتان (أ و ب) من أي مثلث معروفة ، يتم استخدام صيغة الجيب لحساب الصفحات المتبقية:

يجب أن تجد القيمة الثالثة ص = 180 - (أ + ب) لأن

مجموع زوايا المثلث 180 درجة ؛

جانبان وزاوية

إذا كان ضلعا المثلث (أ و ب) والزاوية بينهما (ص) معروفين ، فيمكن استخدام نظرية جيب التمام لحساب الضلع الثالث.

كيفية تحديد محيط المثلث القائم

المثلث المثلث هو مثلث واحد منه 90 درجة والاثنان الآخران حادان. عملية حسابية محيطمثل مثلثاعتمادًا على كمية المعلومات المعروفة عنها.

سوف تحتاج إليها

اعتمادًا على المناسبة ، المهارات 2 من الجوانب الثلاثة للمثلث ، بالإضافة إلى أحد أركانه الحادة.

تعليمات

الأولالطريقة الأولى: إذا كانت الصفحات الثلاث معروفة مثلثثم ، سواء كان عموديًا أم لا مثلثًا ، يُحسب المحيط على النحو التالي: P = A + B + C ، حيثما أمكن ، c هو الوتر ؛ أ و ب أرجل.

ثانياالطريقة الثانية.

إذا كان للمستطيل جانبان فقط ، فعندئذٍ باستخدام نظرية فيثاغورس ، مثلثيمكن حسابها باستخدام الصيغة: P = v (a2 + b2) + a + b أو P = v (c2 - b2) + b + c.

الثالثالطريقة الثالثة. اجعل الوتر c ويكون زاوية حادة؟ بمثلث قائم الزاوية ، سيكون من الممكن إيجاد المحيط بهذه الطريقة: P = (1 + sin؟

الرابعالطريقة الرابعة: يقولون إن طول ساق واحدة في المثلث الأيمن يساوي a ، وعلى العكس من ذلك ، فإن الزاوية حادة. ثم احسب محيطهذا هو مثلثوفقًا للصيغة: P = a * (1 / tg؟

1 / الابن؟ + 1)

الخامسالطريقة الخامسة.

حساب المثلث اون لاين

دع ساقنا يتم تضمينها فيه ، ثم سيتم حساب النطاق على النحو التالي: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos؟)

مقاطع فيديو مماثلة

نظرية فيثاغورس هي أساس أي رياضيات. يحدد العلاقة بين أضلاع المثلث الحقيقي. الآن هناك 367 دليل على هذه النظرية.

تعليمات

الأولتبدو الصيغة المدرسية الكلاسيكية لنظرية فيثاغورس كما يلي: مربع الوتر يساوي مجموع مربعات الساقين.

لإيجاد الوتر في مثلث قائم الزاوية لاثنين من Catets ، عليك أن تستدير لتربيع طول الأرجل ، وتجمعها ، وتأخذ الجذر التربيعي للمحصلة. في الصياغة الأصلية لبيانه ، يعتمد السوق على الوتر ، مساوٍ لمجموع مربعات 2 المربعات التي ينتجها Catete. ومع ذلك ، فإن الصيغة الجبرية الحديثة لا تتطلب إدخال تمثيل المجال.

ثانياعلى سبيل المثال ، مثلث قائم طول أرجله 7 سم و 8 سم.

بعد ذلك ، طبقًا لنظرية فيثاغورس ، فإن الوتر المربع هو R + S = 49 + 64 = 113 سم ، والوتر يساوي الجذر التربيعي لـ 113.

زوايا المثلث القائم

كانت النتيجة رقمًا غير معقول.

الثالثإذا كان المثلثان عبارة عن أرجل 3 و 4 ، فإن الوتر = 25 = 5. عندما تأخذ الجذر التربيعي ، تحصل على عدد طبيعي. الأرقام 3 ، 4 ، 5 تشكل ثلاثية Pygagorean ، لأنها تحقق العلاقة x؟ + ص؟ = Z ، وهذا طبيعي.

أمثلة أخرى لثلاثيات فيثاغورس هي: 6 ، 8 ، 10 ؛ 5 ، 12 ، 13 ؛ 15 ، 20 ، 25 ؛ 9 ، 40 ، 41.

الرابعفي هذه الحالة ، إذا كانت الأرجل متطابقة مع بعضها البعض ، فإن نظرية فيثاغورس تتحول إلى معادلة أكثر بدائية. على سبيل المثال ، دع مثل هذا اليد يكون مساويًا للرقم A ويتم تعريف الوتر لـ C ، ثم c؟ = Ap + Ap ، C = 2A2 ، C = A؟ 2. في هذه الحالة ، لا تحتاج إلى A.

الخامسنظرية فيثاغورس هي حالة خاصة ، وهي أكبر من نظرية جيب التمام العامة ، والتي تؤسس علاقة بين الأضلاع الثلاثة للمثلث لأي زاوية بينها.

نصيحة 2: كيفية تحديد وتر الساقين والزوايا

يسمى الوتر الضلع في مثلث قائم الزاوية المقابل للزاوية 90 درجة.

تعليمات

الأولفي حالة القسطرة المعروفة ، وكذلك الزاوية الحادة للمثلث القائم ، يمكن أن يكون حجم الوتر مساويًا لنسبة الساق إلى جيب التمام / جيب هذه الزاوية ، إذا كانت الزاوية معاكسة / e تشمل: H = C1 (أو C2) / الخطيئة ، H = C1 (أو С2؟) / cos؟. مثال: لنحصل على مثلث غير منتظم مع وتر المثلث AB والزاوية القائمة C.

لنفترض أن ب تساوي 60 درجة و أ 30 درجة. طول الساق BC 8 سم ، وطول الوتر AB يجب إيجاده. للقيام بذلك ، يمكنك استخدام إحدى الطرق المذكورة أعلاه: AB = BC / cos60 = 8 سم AB = BC / sin30 = 8 سم.

الوتر هو أطول ضلع في المستطيل مثلث. تقع في الزاوية اليمنى. طريقة لإيجاد وتر المستطيل مثلثاعتمادا على البيانات المصدر.

تعليمات

الأولإذا كانت ساقيك عموديتين مثلث، ثم طول وتر المستطيل مثلثيمكن العثور عليها من خلال نظير فيثاغورس - مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعات أطوال الساقين: c2 = a2 + b2 ، حيث a و b هما طول ساقي اليمين مثلث .

ثانياإذا كان معروفًا وكان أحد الأرجل بزاوية حادة ، فإن صيغة إيجاد الوتر ستعتمد على الوجود أو الغياب بزاوية معينة فيما يتعلق بالساق المعروفة - المجاورة (تقع الساق بالقرب) ، أو الرذيلة بالعكس (الحالة المعاكسة تقع Nego.V للزاوية المحددة مساوية لكسر الساق الوتر في زاوية جيب التمام: a = a / cos ؛ E ، من ناحية أخرى ، الوتر هو نفسه نسبة الزوايا الجيبية: دا = أ / الخطيئة.

مقاطع فيديو مماثلة

تلميحات مفيدة
مثلث مائل ترتبط أضلاعه على شكل 3: 4: 5 ، يسمى الدلتا المصرية ، بسبب حقيقة أن هذه الأشكال كانت تستخدم على نطاق واسع من قبل المهندسين المعماريين في مصر القديمة.

هذا أيضًا هو أبسط مثال لمثلثات جيرون ، حيث يتم تمثيل الصفحات والمساحة كأعداد صحيحة.

يسمى المثلث بالمستطيل الذي تكون زاويته 90 درجة. يسمى الجانب المقابل للزاوية اليمنى الوتر ، بينما يسمى الجانب الآخر بالأرجل.

إذا كنت تريد معرفة كيفية تكوين المثلث القائم من خلال بعض خصائص المثلثات المنتظمة ، أي حقيقة أن مجموع الزوايا الحادة هو 90 درجة ، وهو ما يتم استخدامه ، وحقيقة أن طول الضلع المقابل هو نصف طول الوتر 30 درجة.

التنقل السريع لمقال

مثلث اقتصاص

من خصائص المثلث المتساوي أن زاويتين متماثلتين.

لحساب زاوية مثلث متساوي الأضلاع قائم ، عليك أن تعرف ما يلي:

إنها ليست أسوأ من 90 درجة.
يتم تحديد قيم الزوايا الحادة بالصيغة: (180 درجة -90 درجة) / 2 = 45 درجة ، أي
الزاويتان α و هما 45 درجة.

إذا كانت القيمة المعروفة لإحدى الزوايا الحادة معروفة ، فيمكن إيجاد الأخرى باستخدام الصيغة: β = 180º-90º-α أو α = 180º-90º-.

تُستخدم هذه النسبة بشكل شائع إذا كانت إحدى الزوايا 60 درجة أو 30 درجة.

المفاهيم الرئيسية

مجموع الزوايا الداخلية للمثلث هو 180 درجة.

لأنه مستوى واحد ، يظل اثنان حادًا.

حساب المثلث على الانترنت

إذا كنت تريد العثور عليهم ، فأنت بحاجة إلى معرفة ما يلي:

أساليب أخرى

يمكن حساب قيم الزاوية الحادة للمثلث القائم من الوسط - بخط من نقطة على الجانب المقابل للمثلث ، والارتفاع - الخط عمودي مرسوم من الوتر بزاوية قائمة.

دع الوسيط يمتد من الزاوية اليمنى إلى منتصف الوتر ، ويكون h الارتفاع. في هذه الحالة اتضح أن:

sinα = ب / (2 * ق) ؛ الخطيئة β = أ / (2 * ث).
cosα = a / (2 * s) ؛ كوس β = ب / (2 * ث).
sinα = ح / ب ؛ الخطيئة β = ح / أ.

صفحتين

إذا كانت أطوال الوتر وأحد الأرجل معروفة في مثلث قائم الزاوية أو من جانبين ، فسيتم استخدام المتطابقات المثلثية لتحديد قيم الزوايا الحادة:

α = arcsin (a / c) ، β = arcsin (b / c).
α = أركوس (ب / ج) ، β = أركوس (أ / ج).
α = arctan (a / b) ، β = arctan (b / a).

طول المثلث القائم

مساحة ومساحة المثلث

محيط

محيط أي مثلث يساوي مجموع أطوال الأضلاع الثلاثة. الصيغة العامة لإيجاد مثلث مثلث هي:

حيث P هو محيط المثلث ، و a و b و c هي أضلاعه.

محيط مثلث متساوييمكن إيجادها عن طريق الجمع المتتالي بين أطوال أضلاعه ، أو ضرب طول الضلع في 2 وإضافة طول القاعدة إلى الناتج.

ستبدو الصيغة العامة لإيجاد مثلث التوازن كما يلي:

حيث P هو محيط مثلث متساوي ، ولكن إما b ، b هي القاعدة.

محيط مثلث متساوي الأضلاعيمكن إيجادها عن طريق تجميع أطوال أضلاعها على التوالي ، أو بضرب طول أي صفحة في 3.

ستبدو الصيغة العامة لإيجاد حافة المثلثات متساوية الأضلاع كما يلي:

حيث P هو محيط مثلث متساوي الأضلاع ، أ هو أي من أضلاعه.

منطقة

إذا كنت تريد قياس مساحة المثلث ، فيمكنك مقارنتها بمتوازي أضلاع. ضع في اعتبارك المثلث ABC:

إذا أخذنا نفس المثلث وأصلحناه حتى نحصل على متوازي أضلاع ، نحصل على متوازي أضلاع له نفس ارتفاع وقاعدة هذا المثلث:

في هذه الحالة ، يتم طي الجانب المشترك للمثلثات معًا على طول قطري متوازي الأضلاع المصبوب.

من خصائص متوازي الأضلاع. من المعروف أن قطري متوازي الأضلاع ينقسمان دائمًا إلى مثلثين متساويين ، فإن سطح كل مثلث يساوي نصف نطاق متوازي الأضلاع.

نظرًا لأن مساحة متوازي الأضلاع هي حاصل ضرب ارتفاع قاعدته ، فإن مساحة المثلث ستكون نصف ذلك المنتج. لذلك بالنسبة لـ ΔABC ، ستكون المنطقة هي نفسها

فكر الآن في مثلث قائم الزاوية:

يمكن ثني مثلثين متطابقين قائم الزاوية في مستطيل إذا كان يميل ضدهما ، وهو ما يمثل كل وتر آخر.

نظرًا لأن سطح المستطيل يتطابق مع سطح الأضلاع المجاورة ، فإن مساحة هذا المثلث هي نفسها:

من هذا يمكننا أن نستنتج أن سطح أي مثلث قائم الزاوية يساوي حاصل ضرب الساقين مقسومًا على 2.

من هذه الأمثلة ، يمكننا أن نستنتج أن سطح كل مثلث هو نفسه حاصل ضرب الطول ، وأن الارتفاع ينخفض إلى القاعدة مقسومًا على 2.

تبدو الصيغة العامة لإيجاد مساحة المثلث كما يلي:

حيث S هي مساحة المثلث ، لكن قاعدته ، لكن الارتفاع ينخفض إلى أسفل أ.

في الهندسة ، غالبًا ما توجد مشكلات تتعلق بجوانب المثلثات. على سبيل المثال ، غالبًا ما يكون من الضروري إيجاد ضلع المثلث إذا كان الاثنان الآخران معروفين.

المثلثات متساوية الساقين ومتساوية الأضلاع ومتساوية الأضلاع. من بين كل الأنواع ، في المثال الأول ، سنختار مستطيلاً (في مثل هذا المثلث ، إحدى الزوايا 90 درجة ، والجوانب المجاورة لها تسمى الأرجل ، والثالث هو الوتر).

التنقل السريع بين المقالات

طول ضلعي المثلث القائم

يأتي حل المشكلة من نظرية عالم الرياضيات العظيم فيثاغورس. تقول أن مجموع مربعات أرجل المثلث القائم الزاوية يساوي مربع الوتر: أ² + ب² = ج²

أوجد مربع طول الساق أ ؛
أوجد مربع الساق ب ؛
نجمعهم معًا.
من النتيجة التي تم الحصول عليها ، نستخرج جذر الدرجة الثانية.

مثال: أ = 4 ، ب = 3 ، ج =؟

أ² = 4² = 16 ؛
ب² = 3² = 9 ؛
16+9=25;
√25 = 5. أي أن طول وتر هذا المثلث يساوي 5.

إذا لم يكن للمثلث زاوية قائمة ، فإن أطوال الضلعين غير كافية. يتطلب هذا معلمة ثالثة: يمكن أن تكون زاوية ، ارتفاع ، مساحة مثلث ، نصف قطر دائرة منقوشة فيه ، إلخ.

إذا كان المحيط معروفًا

في هذه الحالة ، تكون المهمة أسهل. المحيط (P) هو مجموع كل جوانب المثلث: P = a + b + c. وهكذا ، من خلال حل معادلة رياضية بسيطة ، نحصل على النتيجة.

مثال: P = 18 ، أ = 7 ، ب = 6 ، ج =؟

1) نقوم بحل المعادلة ، ونقل جميع المعلمات المعروفة إلى جانب واحد من علامة المساواة:

2) استبدل القيم بدلاً منها واحسب الضلع الثالث:

ج = 18-7-6 = 5 ، المجموع: الضلع الثالث من المثلث يساوي 5.

إذا كانت الزاوية معروفة

لحساب الضلع الثالث من المثلث بمعلومية الزاوية والجانبين الآخرين ، يتم تقليل الحل لحساب المعادلة المثلثية. من السهل حساب الضلع الثالث بمعرفة العلاقة بين أضلاع المثلث وجيب الزاوية. للقيام بذلك ، تحتاج إلى تربيع الجانبين وإضافة نتائجهما معًا. ثم اطرح من الناتج الناتج من الأضلاع مضروبًا في جيب تمام الزاوية: C = √ (a² + b²-a * b * cosα)