Перпендикулярност на линиите в пространството. Визуално ръководство (2019)

Видео урок 2: Теорема за три перпендикуляра. Теория

Видео урок 3: Теорема за три перпендикуляра. Задача

Лекция: Перпендикулярност на права и равнина, признаци и свойства; перпендикулярни и наклонени; теорема за трите перпендикуляра

Перпендикулярност на права и равнина

Нека си припомним какво е най-общо перпендикулярността на правите. Перпендикулярни линии са тези, които се пресичат под ъгъл от 90 градуса. В този случай ъгълът между тях може да бъде както в случай на пресичане в определена точка, така и в случай на пресичане. Ако някои линии се пресичат под прав ъгъл, тогава те също могат да се нарекат перпендикулярни линии, ако поради паралелна транслация линията се прехвърля в точка от втората линия.

определение:Ако правата е перпендикулярна на която и да е права, която принадлежи на равнина, тогава тя може да се счита за перпендикулярна на тази равнина.

Особеност:Ако има две перпендикулярни прави на някаква равнина и някоя трета права е перпендикулярна на всяка от тях, тогава тази трета права е перпендикулярна на равнината.

Имоти:

Ако някои прави са перпендикулярни на една равнина, тогава те са взаимно успоредни една на друга.

Ако има две успоредни равнини, както и някаква права, която е перпендикулярна на една от равнините, то тя е перпендикулярна и на втората.
Може да се направи и обратното твърдение: ако дадена права е перпендикулярна на две различни равнини, тогава тези равнини задължително са успоредни.

косо

Ако някаква права свързва произволна точка, която не лежи на равнината, с която и да е точка от равнината, тогава такава права ще се нарича косо.

Моля, имайте предвид, че той е наклонен само ако ъгълът между него и равнината не е 90 градуса.

На фигурата AB е α, наклонена към равнината. В този случай точка B се нарича основа на наклона.

Ако от точка А начертаем отсечка към равнината, която ще сключва с равнината ъгъл от 90 градуса, то тази отсечка ще се нарича перпендикуляр. Перпендикуляр се нарича още най-малкото разстояние до равнината.

AC е перпендикуляр, прекаран от точка A към равнина α. Точката C се нарича основа на перпендикуляра.

Ако в този чертеж начертаем сегмент, който ще свързва основата на перпендикуляра (C) с основата на наклонената (B), тогава полученият сегмент ще се нарече проекция.

В резултат на прости конструкции получихме правоъгълен триъгълник. В този триъгълник ъгъл ABC се нарича ъгъл между наклонената и проекцията.

Теорема за три перпендикуляра

Урок 3.2.1

Перпендикулярност на линиите.

Перпендикулярни и наклонени.

Теорема за три перпендикуляра.

определение:Две прави в пространството се наричат перпендикулярни (взаимно перпендикулярни), ако ъгълът между тях е 90 градуса.

Обозначаване. .

Помислете за линиите аи b.

Правите могат да се пресичат, пресичат, да са успоредни. За да изградите ъгъл между тях, трябва да изберете точка и през нея да прекарате права a`, успоредна на правата а,и права b` успоредна на правата b.

Правите a` и b` се пресичат. Ъгълът между тях е ъгълът между правите аи b.Ако ъгълът е 90°, тогава линиите а и бса перпендикулярни.

Лема: Ако една от двете прави е перпендикулярна на третата права, то другата права също е перпендикулярна на тази права.

Доказателство:

Вземете произволна точка М. Чрез точката Мначертайте линия a`, успоредна на правата аи правата c` успоредна на правата ° С. След това ъгълът AMCе равен на 90°.

Направо bуспоредна на права линия апо предположение правата a` е успоредна на правата апо конструкция. Следователно, редовете a` и bса успоредни.

Имаме, директни и bуспореден, прав си паралелни в конструкцията. И така, ъгълът между линиите bи с -е ъгълът между правите a` и b`, т.е. ъгълът AMCравна на 90°. Толкова направо bи сса перпендикулярни, което трябваше да се докаже.

Перпендикулярност на права и равнина.

Определение: Правата се нарича перпендикулярна на равнина, ако е перпендикулярна на която и да е права в тази равнина.

Имот: Ако правата е перпендикулярна на равнина, тогава тя пресича тази равнина.

(Ако а┴α, тогава а∩ α.)

Напомняне. Права и равнина или се пресичат в една точка, или са успоредни, или правата лежи в равнина.

Свойства на перпендикулярни прави и равнини:

Теорема:Ако една от двете успоредни прави е перпендикулярна на равнина, то другата права също е перпендикулярна на тази равнина.

В първия урок изучавахме лемата - ако една от успоредните прави пресича равнината, то другата успоредна права пресича равнината. Направо апресича под ъгъл 90 0, т.е. перпендикулярно, тогава другата успоредна права е перпендикулярна

Теорема:Ако две прави са перпендикулярни на равнина, те са успоредни.

Знак за перпендикулярност на права и равнина

Теорема:Ако една права е перпендикулярна на две пресичащи се прави, лежащи в равнина, тогава тя е перпендикулярна на равнината

Теорема:През всяка точка от пространството минава права линия, перпендикулярна на дадената равнина, при това само една.

Пресечен конус и неговите свойства. Област на пълен и страничен пресечен конус.

Билет номер 21.

Теорема за отсечки от успоредни прави, затворени между успоредни равнини.

Пирамида. Обща и странична повърхност на пирамидата. обем на пирамидата.

Билет номер 22.

Теореми за пресечната линия на равнини: едната от които минава през права, успоредна на другата равнина; всяка от които минава през една от двете успоредни прави.

Признак на изпъкнал многостен. Концепцията за развитието на полиедър.

Теоремата е знак за изпъкнал многостен (обратната теорема). Ако полиедър лежи от едната страна на всяко от лицата си, тогава той е изпъкнал.

Доказателство (от противно):

1) Нека многостенът M лежи от едната страна на равнината на всяко от лицата му. Да приемем, че полиедърът не е изпъкнал. Тогава има две точки A и B, така че има точка X на отсечката AB, която не принадлежи на M. α е равнина, съдържаща лице на изпъкнал многостен. Да приемем, че полиедърът не лежи от едната страна на равнината α. Тогава има две такива точки A и B, които лежат на противоположни страни на равнината α. Свързваме точки A и B с всички точки от лицето Q, лежащи в равнината α. Получава се многостен M 1, състоящ се от две пирамиди с върхове A и B и обща основа Q. Тези пирамиди са образувани от сегменти AX и BX, където X е всяка точка от лицето Q.

2) Тъй като оригиналният полиедър M е изпъкнал, тогава точките на сегментите AX и BX, т.е. всички точки на многостена M 1 са вътрешни точки на многостена M. В противен случай полиедърът M 1 се съдържа изцяло вътре в многостена M. Това означава, че вътрешните точки на многоъгълника Q лежат вътре в многостена M 1 и многостена M. Това е невъзможно, тъй като многоъгълникът Q е лице на изпъкналия многостен M и всяка точка от това лице е гранична точка на полиедъра. Противоречие. Предположението е погрешно. Следователно точките A и B не лежат на противоположните страни на избраното лице. Полиедърът е изпъкнал по дефиниция.

Повърхнина на многостене фигура, съставена от краен брой многоъгълници, които са приложени един към друг с равни страни, като всяка страна на който и да е от тези многоъгълници е обща само за два от тях. Тази фигура се нарича затворена многостенна повърхност.

Ако моделът на полиедър се разреже по някои ръбове и се разположи върху равнина, тогава се получава многоъгълник, който се нарича развитие на този полиедър.

Многоъгълниците, които изграждат развитието на полиедър, се наричат лицата на размаха, страните на тези многоъгълници са ребра, върхове на многоъгълници - сканиране на върхове, като слепените страни на многоъгълниците се разглеждат като един ръб, а слепените върхове - като един връх.

За да бъде слепен изпъкнал многостен от тази разработка, трябва да са изпълнени следните условия:

1) Състояние на затваряне: всяка страна на всеки многоъгълник в разработката трябва да бъде залепена към още една страна на един и само един друг полигон (наречен съседен на дадения).

2) Условие на Ойлер: ако развитието се състои от G лица, B върхове и R ръбове, тогава теоремата на Декарт-Ойлер е изпълнена.

3) Състояние на изпъкналост: сумата от вътрешните ъгли на многоъгълниците (лицата) във всеки от върховете на изместване трябва да бъде по-малка от 360°.

Билет номер 23.

Теорема за права линия, успоредна на всяка от две пресичащи се равнини.

Паралелепипед: неговите свойства и видове. Обемът на паралелепипеда.

Билет номер 24.

Теореми за прави, перпендикулярни на равнината.

ГЕОМЕТРИЯ
Урочни планове за 10 клас

Тема. Свойства на права и равнина, перпендикулярни една на друга

Целта на урока: формиране на знания на учениците за свойствата на перпендикулярни прави и равнини.

Оборудване: стереометричен набор, диаграма „Свойства на права линия и равнина, перпендикулярни една на друга“ (с. 116).

По време на часовете

I. Проверка на домашните

1. Колективно обсъждане на решението на задача № 10.

2. Математическа диктовка.

Дадено е изображение на куб: вариант 1 - фиг. 151, вариант 2 - фиг. 152.

Използвайки изображението, запишете:

1) равнина, която минава през точката M на правата AM и е перпендикулярна на нея; (2 точки)

2) права, която е перпендикулярна на равнината ABC и минава през точка D; (2 точки)

3) права, която е перпендикулярна на равнината ABC и минава през точка N; (2 точки)

4) равнина, която е перпендикулярна на правата BD; (2 точки)

5) прави линии, перпендикулярни на равнината на AMC; (2 точки)

6) равнини, които са перпендикулярни на правата DC. (2 точки)

Вариант 1. 1) (MNK); 2) КД; 3) BN; 4) (ASM); 5) BD и KN; 6) (ADK) и (BCL).

Вариант 2. 1) (MNK); 2) DL; 3) CN; 4) (ASM); 5) BD и KL; 6) (BCN) и (ADM).

II. Възприемане и осъзнаване на нов материал

Свойства на права и равнина, перпендикулярни една на друга

Теорема 1.

Ако една равнина е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна и на другата.

Привеждане

Нека a1 || a2 и a1α. Нека докажем, че αa2 (фиг. 153). Точките A1 и A2 са пресечните точки на a1 и a2 с равнината α.

Начертайте произволна права x2 през точката A2 в равнината α и начертайте права x1 през точката A1 така, че x1 || x2. Тъй като a1 || a2, x1 || x2 и a1x1, тогава по теорема 3.1 a2x2. Тъй като x2 е избрано произволно в равнината α, то a2α.

Теорема 2.

Ако две прави са перпендикулярни на една и съща равнина, то линиите са успоредни.

Привеждане

Нека aα, bα . Нека докажем, че a || b (фиг. 154). Да приемем, че ab. След това през точката C на правата b прекарваме b 1 успоредно на a. И тъй като α , то b1α по доказаната теорема и по условие bα . Ако точките A и B са точките на пресичане на линиите b 1 и b с равнината α, тогава следва от предположението, че в триъгълника A \u003d B \u003d 90 °, което не може да бъде. Следователно и || b.

Разрешаване на проблем

1. Определете вида на четириъгълника AA 1B 1B, ако:

а) AA1α; AA1 || BB1; Аа, Ва; AA 1 ≠ BB1 (фиг. 155);

b) AA1α; BB1α; α, Вα (фиг. 156);

в) α; α; AA1α; BB1α; AA1 = BB1 (фиг. 156).

2. Задача номер 12 от учебника (с. 35).

3. Задача номер 13 от учебника (с. 35).

4. Задача номер 16 от учебника (с. 35).

Теорема 3.

Ако правата е перпендикулярна на една от двете успоредни равнини, тогава тя е перпендикулярна и на другата.

Привеждане

Нека α || β, aα. Нека докажем, че α β . (фиг. 157). Нека точките A и B са точките на пресичане на правата a с равнините α и β. В равнината β начертаваме произволна права b през точката B. През правата b и точката A прекарваме равнината γ , която пресича α по правата c и с || b. И тъй като α, тогава ac (по дефиниция, права линия, перпендикулярна на равнината). Така че ac, b || c и a, b, c лежат в γ, тогава ab. Като се има предвид, че b е произволна права от равнината β, имаме aβ.

Теорема 4.

Ако две равнини са перпендикулярни на една и съща права, тогава те са успоредни.

Привеждане

Нека α a β a, доказваме, че α || β (фиг. 158). Нека точките A и B са точките на пресичане на правата a с равнините α и β. Да предположим, че α β . Вземете точка C на пресечната линия на равнините α и β. Ca, защото в противен случай две различни равнини α и β биха минавали през точката C, перпендикулярна на правата a, което е невъзможно. Нека начертаем равнината γ през точката C и правата a, която пресича α и β съответно по правите AC и BC. И тъй като α , тогава aAC, подобно на aBC. Следователно две различни прави AC и BC минават през точката C в равнината α и са перпендикулярни на правата a, което е невъзможно. Следователно, α || β.