Pyramide. Formules et propriétés de la pyramide
Définition. De profil- il s'agit d'un triangle dans lequel un angle se situe au sommet de la pyramide et dont le côté opposé coïncide avec le côté de la base (polygone).
Définition. Côtes latérales sont les côtés communs des faces latérales. Une pyramide a autant d'arêtes qu'il y a de coins dans un polygone.
Définition. hauteur de la pyramide est une perpendiculaire tombée du sommet à la base de la pyramide.
Définition. Apothème- c'est la perpendiculaire de la face latérale de la pyramide, abaissée du sommet de la pyramide au côté de la base.
Définition. Section diagonale- c'est une section de la pyramide par un plan passant par le sommet de la pyramide et la diagonale de la base.
Définition. Pyramide correcte- Il s'agit d'une pyramide dont la base est un polygone régulier et dont la hauteur descend jusqu'au centre de la base.
Volume et surface de la pyramide
Formule. volume pyramidalà travers la surface de base et la hauteur :
propriétés de la pyramide
Si tous les bords latéraux sont égaux, alors un cercle peut être circonscrit autour de la base de la pyramide et le centre de la base coïncide avec le centre du cercle. De plus, la perpendiculaire tombée du haut passe par le centre de la base (cercle).
Si toutes les nervures latérales sont égales, elles sont inclinées par rapport au plan de base aux mêmes angles.
Les nervures latérales sont égales lorsqu'elles forment des angles égaux avec le plan de base, ou si un cercle peut être décrit autour de la base de la pyramide.
Si les faces latérales sont inclinées par rapport au plan de la base selon un angle, un cercle peut être inscrit dans la base de la pyramide et le sommet de la pyramide est projeté en son centre.
Si les faces latérales sont inclinées par rapport au plan de base d'un angle, les apothèmes des faces latérales sont égaux.
Propriétés d'une pyramide régulière
1. Le sommet de la pyramide est équidistant de tous les coins de la base.
2. Tous les bords latéraux sont égaux.
3. Toutes les nervures latérales sont inclinées aux mêmes angles par rapport à la base.
4. Les apothèmes de toutes les faces latérales sont égaux.
5. Les aires de toutes les faces latérales sont égales.
6. Toutes les faces ont les mêmes angles dièdres (plats).
7. Une sphère peut être décrite autour de la pyramide. Le centre de la sphère décrite sera le point d'intersection des perpendiculaires passant par le milieu des arêtes.
8. Une sphère peut être inscrite dans une pyramide. Le centre de la sphère inscrite sera le point d'intersection des bissectrices émanant de l'angle entre le bord et la base.
9. Si le centre de la sphère inscrite coïncide avec le centre de la sphère circonscrite, alors la somme des angles plats au sommet est égale à π ou vice versa, un angle est égal à π / n, où n est le nombre des angles à la base de la pyramide.
La connexion de la pyramide avec la sphère
Une sphère peut être décrite autour de la pyramide lorsqu'à la base de la pyramide se trouve un polyèdre autour duquel un cercle peut être décrit (condition nécessaire et suffisante). Le centre de la sphère sera le point d'intersection des plans passant perpendiculairement par les milieux des bords latéraux de la pyramide.
Une sphère peut toujours être décrite autour de n'importe quelle pyramide triangulaire ou régulière.
Une sphère peut être inscrite dans une pyramide si les plans bissecteurs des angles dièdres internes de la pyramide se coupent en un point (condition nécessaire et suffisante). Ce point sera le centre de la sphère.
La connexion de la pyramide avec le cône
Un cône est dit inscrit dans une pyramide si leurs sommets coïncident et que la base du cône est inscrite dans la base de la pyramide.
Un cône peut s'inscrire dans une pyramide si les apothèmes de la pyramide sont égaux.
Un cône est dit circonscrit à une pyramide si leurs sommets coïncident et que la base du cône est circonscrite à la base de la pyramide.
Un cône peut être décrit autour d'une pyramide si tous les bords latéraux de la pyramide sont égaux les uns aux autres.
Connexion d'une pyramide avec un cylindre
Une pyramide est dite inscrite dans un cylindre si le sommet de la pyramide repose sur une base du cylindre, et la base de la pyramide est inscrite dans une autre base du cylindre.
Un cylindre peut être circonscrit à une pyramide si un cercle peut être circonscrit à la base de la pyramide.
Un tétraèdre a quatre faces et quatre sommets et six arêtes, où deux arêtes n'ont pas de sommets communs mais ne se touchent pas.
Chaque sommet se compose de trois faces et arêtes qui forment angle trièdre.
Le segment reliant le sommet du tétraèdre au centre de la face opposée est appelé médiane du tétraèdre(GM).
Bimédiane est appelé un segment reliant les milieux d'arêtes opposées qui ne se touchent pas (KL).
Tous les bimédians et médians d'un tétraèdre se coupent en un point (S). Dans ce cas, les bimédianes sont divisées en deux et les médianes dans un rapport de 3: 1 en partant du haut.
Définition. Pyramide à angle aigu est une pyramide dont l'apothème mesure plus de la moitié de la longueur du côté de la base.
Définition. pyramide obtuse est une pyramide dont l'apothème mesure moins de la moitié de la longueur du côté de la base.
Définition. tétraèdre régulier Un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. C'est l'un des cinq polygones réguliers. Dans un tétraèdre régulier, tous les angles dièdres (entre les faces) et les angles trièdres (à un sommet) sont égaux.
Définition. Tétraèdre rectangulaire on appelle un tétraèdre qui a un angle droit entre trois arêtes au sommet (les arêtes sont perpendiculaires). Forme à trois visages angle trièdre rectangulaire et les faces sont des triangles rectangles, et la base est un triangle arbitraire. L'apothème d'une face est égal à la moitié du côté de la base sur laquelle tombe l'apothème.
Définition. Tétraèdre isoédrique Un tétraèdre est appelé dans lequel les faces latérales sont égales les unes aux autres et la base est un triangle régulier. Les faces d'un tel tétraèdre sont des triangles isocèles.
Définition. Tétraèdre orthocentrique on appelle un tétraèdre dans lequel toutes les hauteurs (perpendiculaires) qui sont abaissées du haut à la face opposée se coupent en un point.
Définition. pyramide étoilée Un polyèdre dont la base est une étoile est appelé.
Une pyramide dont la base est un hexagone régulier et dont les côtés sont formés de triangles réguliers est appelée hexagonal.
Ce polyèdre possède de nombreuses propriétés :
- Tous les côtés et angles de la base sont égaux les uns aux autres;
- Tous les bords et les pyramides de charbon dièdres sont également égaux les uns aux autres;
- Les triangles formant les côtés sont les mêmes, respectivement, ils ont la même aire, les côtés et les hauteurs.
Pour calculer l'aire d'une pyramide hexagonale régulière, la formule standard de la surface latérale d'une pyramide hexagonale est utilisée:
où P est le périmètre de la base, a est la longueur de l'apothème de la pyramide. Dans la plupart des cas, vous pouvez calculer la surface latérale à l'aide de cette formule, mais vous pouvez parfois utiliser une autre méthode. Étant donné que les faces latérales de la pyramide sont formées de triangles égaux, vous pouvez trouver l'aire d'un triangle, puis la multiplier par le nombre de côtés. Il y en a 6 dans une pyramide hexagonale. Mais cette méthode peut également être utilisée dans le calcul. Prenons un exemple de calcul de la surface latérale d'une pyramide hexagonale.
Soit une pyramide hexagonale régulière, dans laquelle l'apothème est a = 7 cm, le côté de la base est b = 3 cm Calculez l'aire de la surface latérale du polyèdre.
Tout d'abord, trouvez le périmètre de la base. Comme la pyramide est régulière, elle a un hexagone régulier à sa base. Ainsi, tous ses côtés sont égaux et le périmètre est calculé par la formule :
Nous remplaçons les données dans la formule :
Maintenant, nous pouvons facilement trouver la surface latérale en substituant la valeur trouvée dans la formule principale : 
Un autre point important est la recherche de la zone de la base. La formule de l'aire de la base d'une pyramide hexagonale est dérivée des propriétés d'un hexagone régulier : 
Considérons un exemple de calcul de l'aire de la base d'une pyramide hexagonale, en prenant comme base les conditions de l'exemple précédent. D'eux, nous savons que le côté de la base est b = 3 cm. Substituons les données dans la formule: 
La formule de l'aire d'une pyramide hexagonale est la somme de l'aire de la base et du balayage latéral : 
Prenons un exemple de calcul de l'aire d'une pyramide hexagonale.
Soit une pyramide à la base de laquelle se trouve un hexagone régulier de côté b = 4 cm. L'apothème d'un polyèdre donné est a = 6 cm. Trouver l'aire totale.
Nous savons que la surface totale se compose des surfaces de la base et du balayage latéral. Alors cherchons-les d'abord. Calculez le périmètre :
Trouvez maintenant la surface latérale : 
Ensuite, nous calculons l'aire de la base dans laquelle se trouve l'hexagone régulier: 
Nous pouvons maintenant additionner les résultats :
pyramide triangulaire Un polyèdre est appelé un polyèdre dont la base est un triangle régulier.
Dans une telle pyramide, les faces de la base et les arêtes des côtés sont égales les unes aux autres. En conséquence, l'aire des faces latérales est trouvée à partir de la somme des aires de trois triangles identiques. Vous pouvez trouver la surface latérale d'une pyramide régulière à l'aide de la formule. Et vous pouvez effectuer le calcul plusieurs fois plus rapidement. Pour ce faire, appliquez la formule de l'aire de la surface latérale d'une pyramide triangulaire:
où p est le périmètre de la base, dont tous les côtés sont égaux à b, a est l'apothème abaissé du sommet à cette base. Prenons un exemple de calcul de l'aire d'une pyramide triangulaire.
Tâche : Laissez la bonne pyramide être donnée. Le côté du triangle situé à la base est b = 4 cm. L'apothème de la pyramide est a = 7 cm. Trouvez l'aire de la surface latérale de la pyramide.
Puisque, selon les conditions du problème, nous connaissons les longueurs de tous les éléments nécessaires, nous trouverons le périmètre. Rappelez-vous que dans un triangle régulier, tous les côtés sont égaux et que, par conséquent, le périmètre est calculé par la formule :
Remplacez les données et trouvez la valeur :
Maintenant, connaissant le périmètre, nous pouvons calculer la surface latérale : 
Pour appliquer la formule de l'aire d'une pyramide triangulaire pour calculer la valeur totale, vous devez trouver l'aire de la base du polyèdre. Pour cela, la formule est utilisée : 
La formule de l'aire de la base d'une pyramide triangulaire peut être différente. Il est permis d'utiliser n'importe quel calcul de paramètres pour un chiffre donné, mais le plus souvent, cela n'est pas obligatoire. Prenons un exemple de calcul de l'aire de la base d'une pyramide triangulaire.
Tâche : Dans une pyramide régulière, le côté du triangle situé à la base est a = 6 cm. Calculez l'aire de la base.
Pour calculer, nous n'avons besoin que de la longueur du côté d'un triangle régulier situé à la base de la pyramide. Remplacez les données dans la formule : 
Très souvent, il est nécessaire de trouver l'aire totale d'un polyèdre. Pour ce faire, vous devez ajouter la surface de la surface latérale et la base. 
Prenons un exemple de calcul de l'aire d'une pyramide triangulaire.
Problème : Soit une pyramide triangulaire régulière. Le côté de la base est b = 4 cm, l'apothème est a = 6 cm Trouvez l'aire totale de la pyramide.
Trouvons d'abord la surface latérale en utilisant la formule déjà connue. Calculez le périmètre :
Nous remplaçons les données dans la formule : 
Trouvez maintenant la zone de la base: 
Connaissant l'aire de la base et de la surface latérale, on trouve l'aire totale de la pyramide: 
Lors du calcul de l'aire d'une pyramide régulière, il ne faut pas oublier que la base est un triangle régulier et que de nombreux éléments de ce polyèdre sont égaux les uns aux autres.
Lors de la préparation de l'examen de mathématiques, les étudiants doivent systématiser leurs connaissances en algèbre et en géométrie. Je voudrais combiner toutes les informations connues, par exemple, comment calculer l'aire d'une pyramide. De plus, à partir de la base et des faces latérales jusqu'à toute la surface. Si la situation est claire avec les faces latérales, puisque ce sont des triangles, alors la base est toujours différente.
Que faire pour trouver l'aire de la base de la pyramide?
Il peut s'agir de n'importe quelle figure : d'un triangle arbitraire à un n-gone. Et cette base, en plus de la différence du nombre d'angles, peut être un chiffre régulier ou incorrect. Dans les tâches USE qui intéressent les écoliers, il n'y a que des tâches avec les chiffres corrects à la base. Par conséquent, nous ne parlerons que d'eux.
triangle rectangle
C'est équilatéral. Celui dans lequel tous les côtés sont égaux et désigné par la lettre "a". Dans ce cas, l'aire de la base de la pyramide est calculée par la formule :
S = (a 2 * √3) / 4.
Carré
La formule pour calculer son aire est la plus simple, ici "a" est à nouveau le côté :
N-gon régulier arbitraire
Le côté d'un polygone a la même désignation. Pour le nombre de coins, la lettre latine n est utilisée.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Comment procéder pour le calcul de la surface latérale et totale ?
Puisque la base est une figure régulière, toutes les faces de la pyramide sont égales. De plus, chacun d'eux est un triangle isocèle, puisque les arêtes latérales sont égales. Ensuite, pour calculer l'aire latérale de la pyramide, vous avez besoin d'une formule composée de la somme de monômes identiques. Le nombre de termes est déterminé par le nombre de côtés de la base.
L'aire d'un triangle isocèle est calculée par la formule dans laquelle la moitié du produit de la base est multipliée par la hauteur. Cette hauteur dans la pyramide est appelée apothème. Sa désignation est "A". La formule générale de la surface latérale est la suivante :
S \u003d ½ P * A, où P est le périmètre de la base de la pyramide.
Il existe des situations où les côtés de la base ne sont pas connus, mais les arêtes latérales (c) et l'angle plat à son sommet (α) sont donnés. Ensuite, il est censé utiliser une telle formule pour calculer l'aire latérale de la pyramide:
S = n/2 * en 2 sin α .
Tache 1
Condition. Trouvez l'aire totale de la pyramide si sa base a un côté de 4 cm et que l'apothème a une valeur de √3 cm.
La solution. Vous devez commencer par calculer le périmètre de la base. Puisqu'il s'agit d'un triangle régulier, alors P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm.L'apothème étant connu, vous pouvez immédiatement calculer l'aire de toute la surface latérale: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm2.
Pour un triangle à la base, la valeur d'aire suivante sera obtenue: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.
Pour déterminer l'aire entière, vous devrez additionner les deux valeurs résultantes : 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Réponse. 10√3 cm2.
Tâche #2
Condition. Il y a une pyramide quadrangulaire régulière. La longueur du côté de la base est de 7 mm, le bord latéral est de 16 mm. Il faut connaître sa superficie.
La solution. Le polyèdre étant quadrangulaire et régulier, sa base est un carré. Après avoir appris les aires de la base et des faces latérales, il sera possible de calculer l'aire de la pyramide. La formule du carré est donnée ci-dessus. Et sur les faces latérales, tous les côtés du triangle sont connus. Par conséquent, vous pouvez utiliser la formule de Heron pour calculer leurs aires.
Les premiers calculs sont simples et conduisent à ce nombre : 49 mm 2. Pour la deuxième valeur, vous devrez calculer le demi-périmètre : (7 + 16 * 2) : 2 = 19,5 mm. Vous pouvez maintenant calculer l'aire d'un triangle isocèle : √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Il n'y a que quatre triangles de ce type, donc lors du calcul du nombre final, vous devrez le multiplier par 4.
Il s'avère: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.
Réponse. La valeur souhaitée est de 267,576 mm 2.
Tâche #3
Condition. Pour une pyramide quadrangulaire régulière, vous devez calculer l'aire. Dans celui-ci, le côté du carré est de 6 cm et la hauteur est de 4 cm.
La solution. Le plus simple est d'utiliser la formule avec le produit du périmètre et de l'apothème. La première valeur est facile à trouver. La seconde est un peu plus difficile.
Nous devrons nous souvenir du théorème de Pythagore et considérer qu'il est formé par la hauteur de la pyramide et l'apothème, qui est l'hypoténuse. La deuxième jambe est égale à la moitié du côté du carré, puisque la hauteur du polyèdre tombe en son milieu.
L'apothème recherché (l'hypoténuse d'un triangle rectangle) est √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Vous pouvez maintenant calculer la valeur souhaitée: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).
Réponse. 96 cm2.
Tâche #4
Condition. Le côté droit de sa base est de 22 mm, les nervures latérales sont de 61 mm. Quelle est l'aire de la surface latérale de ce polyèdre ?
La solution. Le raisonnement est le même que celui décrit dans le problème n ° 2. Seulement il a été donné une pyramide avec un carré à la base, et maintenant c'est un hexagone.
Tout d'abord, l'aire de la base est calculée à l'aide de la formule ci-dessus: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm2.
Vous devez maintenant connaître le demi-périmètre d'un triangle isocèle, qui est une face latérale. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm Il reste à calculer l'aire de chaque triangle à l'aide de la formule de Heron, puis à le multiplier par six et à l'ajouter à celui qui s'est avéré pour le base.
Calculs utilisant la formule de Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Des calculs qui donneront la surface latérale: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Il reste à les additionner pour connaître toute la surface : 5217,47≈5217 cm 2.
Réponse. Base - 726√3 cm 2, surface latérale - 3960 cm 2, surface entière - 5217 cm 2.