Perpendicularité des lignes dans l'espace. Guide visuel (2019)

Leçon vidéo 2 : Théorème sur trois perpendiculaires. La théorie

Leçon vidéo 3 : Théorème sur trois perpendiculaires. Une tâche

Conférence: Perpendicularité d'une droite et d'un plan, signes et propriétés ; perpendiculaire et oblique; théorème des trois perpendiculaires

Perpendicularité d'une droite et d'un plan

Rappelons ce qu'est la perpendicularité des droites en général. Les lignes perpendiculaires sont celles qui se coupent à un angle de 90 degrés. Dans ce cas, l'angle entre eux peut être, à la fois en cas d'intersection en un certain point, et en cas de croisement. Si certaines lignes se coupent à angle droit, elles peuvent également être appelées lignes perpendiculaires si, en raison d'une translation parallèle, la ligne est transférée à un point de la deuxième ligne.

Définition: Si une ligne est perpendiculaire à une ligne appartenant à un plan, alors elle peut être considérée comme perpendiculaire à ce plan.

Caractéristique: S'il y a deux droites perpendiculaires sur un plan et qu'une troisième droite est perpendiculaire à chacune d'elles, alors cette troisième droite est perpendiculaire au plan.

Propriétés:

Si certaines droites sont perpendiculaires à un plan, elles sont parallèles entre elles.

S'il y a deux plans parallèles, ainsi qu'une ligne droite perpendiculaire à l'un des plans, alors elle est également perpendiculaire au second.
L'énoncé inverse peut également être fait : si une certaine ligne est perpendiculaire à deux plans différents, alors ces plans sont nécessairement parallèles.

oblique

Si une ligne relie un point arbitraire qui ne se trouve pas sur le plan avec un point quelconque sur le plan, alors une telle ligne sera appelée oblique.

Veuillez noter qu'il n'est incliné que si l'angle entre lui et le plan n'est pas de 90 degrés.

Sur la figure, AB est le α incliné par rapport au plan. Dans ce cas, le point B est appelé la base de la pente.

Si nous dessinons un segment du point A au plan, qui fera un angle de 90 degrés avec le plan, alors ce segment sera appelé une perpendiculaire. La perpendiculaire est aussi appelée la plus petite distance au plan.

AC est une perpendiculaire tirée du point A au plan α. Le point C est appelé la base de la perpendiculaire.

Si, dans ce dessin, nous dessinons un segment qui reliera la base de la perpendiculaire (C) à la base de l'inclinaison (B), alors le segment résultant sera appelé projection.

À la suite de constructions simples, nous avons obtenu un triangle rectangle. Dans ce triangle, l'angle ABC est appelé l'angle entre l'oblique et la projection.

Théorème des trois perpendiculaires

Leçon 3.2.1

Perpendicularité des lignes.

Perpendiculaire et oblique.

Théorème sur trois perpendiculaires.

Définition: Deux lignes dans l'espace sont dites perpendiculaires (mutuellement perpendiculaires) si l'angle entre elles est de 90 degrés.

La désignation. .

Considérez les lignes un et b.

Les lignes peuvent se croiser, se croiser, être parallèles. Afin de construire un angle entre eux, vous devez choisir un point et tracer une ligne a` à travers celui-ci, parallèle à la ligne un, et la droite b` parallèle à la droite b.

Les droites a' et b' se coupent. L'angle entre eux est l'angle entre les lignes un et b. Si l'angle est de 90°, alors les droites un et b sont perpendiculaires.

Lemme : Si l'une des deux droites est perpendiculaire à la troisième droite, alors l'autre droite est également perpendiculaire à cette droite.

Preuve:

Prendre un point arbitraire M. À travers le point M tracer une ligne a` parallèle à la ligne un et la droite c` parallèle à la droite c. Puis l'angle SMA est égal à 90°.

Droit b parallèle à une droite un par hypothèse, la droite a` est parallèle à la droite un par construction. Par conséquent, les lignes a` et b sont parallèles.

Nous avons, directement et b parallèle, droit Avec et parallèle dans la construction. Donc l'angle entre les lignes b et Avec - est l'angle entre les droites a` et b`, c'est-à-dire l'angle SMAégal à 90°. Tellement droit b et Avec sont perpendiculaires, ce qui restait à prouver.

Perpendicularité d'une droite et d'un plan.

Définition : Une droite est dite perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à n'importe quelle droite de ce plan.

Propriété: Si une droite est perpendiculaire à un plan, alors elle coupe ce plan.

(Si un un┴α, alors un∩ α.)

Rappel. Une ligne et un plan se coupent en un point, ou sont parallèles, ou la ligne se trouve dans un plan.

Propriétés des lignes perpendiculaires et des plans :

Théorème: Si l'une des deux lignes parallèles est perpendiculaire à un plan, alors l'autre ligne est également perpendiculaire à ce plan.

Dans la première leçon, nous avons étudié le lemme - si l'une des lignes parallèles coupe le plan, alors l'autre ligne parallèle coupe le plan. Droit un se croise à un angle de 90 0, c'est-à-dire perpendiculaire, alors l'autre parallèle est perpendiculaire

Théorème: Si deux droites sont perpendiculaires à un plan, alors elles sont parallèles.

Un signe de perpendicularité d'une droite et d'un plan

Théorème: Si une droite est perpendiculaire à deux droites sécantes situées dans un plan, alors elle est perpendiculaire au plan

Théorème: Par tout point de l'espace passe une droite perpendiculaire au plan donné et, de plus, une seule.

Cône tronqué et ses propriétés. Zone de tronc de cône plein et latéral.

Billet numéro 21.

Théorème sur les segments de droites parallèles compris entre des plans parallèles.

Pyramide. Surface totale et latérale de la pyramide. volume de la pyramide.

Billet numéro 22.

Théorèmes sur la ligne d'intersection des plans : dont l'un passe par une droite parallèle à l'autre plan ; dont chacune passe par l'une des deux lignes parallèles.

Signe d'un polyèdre convexe. Le concept du développement d'un polyèdre.

Le théorème est un signe d'un polyèdre convexe (le théorème inverse). Si un polyèdre se trouve sur un côté de chacune de ses faces, alors il est convexe.

Preuve (par contradiction):

1) Soit le polyèdre M d'un côté du plan de chacune de ses faces. Supposons que le polyèdre n'est pas convexe. Alors il existe deux points A et B tels qu'il existe un point X sur le segment AB qui n'appartient pas à M. α est un plan contenant une face d'un polyèdre convexe. Supposons que le polyèdre ne se trouve pas d'un côté du plan α. Alors il y a deux tels points A et B, qui se trouvent sur les côtés opposés du plan α. Nous connectons les points A et B avec tous les points de la face Q situés dans le plan α. On obtient un polyèdre M 1, constitué de deux pyramides de sommets A et B et de base commune Q. Ces pyramides sont formées de segments AX et BX, où X est un point quelconque de la face Q.

2) Puisque le polyèdre d'origine M est convexe, alors les points des segments AX et BX, c'est-à-dire que tous les points du polyèdre M 1 sont des points internes du polyèdre M. Sinon, le polyèdre M 1 est entièrement contenu à l'intérieur du polyèdre M. Cela signifie que les points internes du polygone Q se trouvent à l'intérieur du polyèdre M 1 et du polyèdre M. Ceci est impossible, car le polygone Q est une face du polyèdre convexe M, et chaque point de cette face est un point frontière du polyèdre. Contradiction. L'hypothèse est incorrecte. Par conséquent, les points A et B ne se trouvent pas sur des côtés opposés de la face sélectionnée. Un polyèdre est convexe par définition.

La surface d'un polyèdre est une figure composée d'un nombre fini de polygones, qui s'appliquent les uns aux autres par des côtés égaux, et chaque côté de chacun de ces polygones n'est commun qu'à deux d'entre eux. Ce chiffre est appelé surface polyédrique fermée.

Si le modèle de polyèdre est coupé le long de certaines arêtes et déployé sur un plan, on obtient alors un polygone, appelé développement de ce polyèdre.

Les polygones qui composent le développement d'un polyèdre sont appelés visages du balayage, les côtés de ces polygones sont travers de porc, sommets de polygones - scanner les sommets, et les côtés collés des polygones sont considérés comme un bord, et les sommets collés - comme un sommet.

Pour qu'un polyèdre convexe soit collé à partir de ce développement, les conditions suivantes doivent être remplies:

1) État de fermeture: chaque côté de chaque polygone du développement doit être collé à un côté de plus d'un et un seul autre polygone (dit adjacent à celui donné).

2) Condition d'Euler: si le développement consiste en G faces, B sommets et R arêtes, alors le théorème de Descartes-Euler est vérifié.

3) Condition de convexité: la somme des angles internes des polygones (faces) à chacun des sommets de balayage doit être inférieure à 360°.

Billet numéro 23.

Théorème sur une droite parallèle à chacun des deux plans sécants.

Parallélépipède : ses propriétés et ses types. Le volume du parallélépipède.

Billet numéro 24.

Théorèmes sur les droites perpendiculaires au plan.

GÉOMÉTRIE
Plans de cours pour la 10e année

Sujet. Propriétés d'une droite et d'un plan perpendiculaires l'un à l'autre

Le but de la leçon: la formation des connaissances des élèves sur les propriétés des lignes et des plans perpendiculaires.

Matériel : ensemble stéréométrique, schéma "Propriétés d'une droite et d'un plan perpendiculaires l'un à l'autre" (p. 116).

Pendant les cours

I. Vérification des devoirs

1. Discussion collective de la solution du problème n° 10.

2. Dictée mathématique.

Une image d'un cube est donnée : option 1 - fig. 151, variante 2 - fig. 152.

À l'aide de l'image, écrivez :

1) un plan passant par le point M de la droite AM et lui étant perpendiculaire ; (2 points)

2) une droite perpendiculaire au plan ABC et passant par le point D ; (2 points)

3) une droite perpendiculaire au plan ABC et passant par le point N ; (2 points)

4) un plan perpendiculaire à la ligne BD ; (2 points)

5) droites perpendiculaires au plan AMC ; (2 points)

6) plans perpendiculaires à la ligne DC. (2 points)

Option 1. 1) (MNK); 2) KD ; 3) NE ; 4) (ASM); 5) BD et KN ; 6) (ADK) et (BCL).

Option 2. 1) (MNK); 2) DL ; 3) NC ; 4) (ASM); 5) BD i KL; 6) (BCN) et (ADM).

II. Perception et prise de conscience du nouveau matériel

Propriétés d'une droite et d'un plan perpendiculaires l'un à l'autre

Théorème 1.

Si un plan est perpendiculaire à l'une des deux droites parallèles, alors il est également perpendiculaire à l'autre.

Apportant

Soit a1 || a2 et a1α. Montrons que αa2 (Fig. 153). Les points A1 et A2 sont les points d'intersection de a1 et a2 avec le plan α.

Tracez une ligne arbitraire x2 passant par le point A2 dans le plan α, et tracez une ligne x1 passant par le point A1 telle que x1 || x2. Depuis a1 || a2, x1 || x2 et a1x1, puis par le théorème 3.1 a2x2. Puisque x2 est choisi arbitrairement dans le plan α, alors a2α.

Théorème 2.

Si deux droites sont perpendiculaires au même plan, alors les droites sont parallèles.

Apportant

Soient aα, bα . Montrons qu'un || b (fig. 154). Supposons que ab. Ensuite, par le point C de la droite b, nous traçons b 1 parallèle à a. Et puisque α , alors b1α par le théorème prouvé, et par la condition bα . Si les points A et B sont les points d'intersection des lignes b 1 et b avec le plan α, alors il découle de l'hypothèse que dans le triangle A \u003d B \u003d 90 °, ce qui ne peut pas être. Par conséquent, et || b.

Résolution de problème

1. Déterminer le type de quadrilatère AA 1B 1B si :

a) AA1α ; AA1 || BB1 ; Aα, Bα; AA1 ≠ BB1 (Fig. 155) ;

b) AA1α ; BB1α ; α, Вα (fig. 156) ;

c) a ; α ; AA1α ; BB1α ; AA1 = BB1 (Fig. 156).

2. Tâche numéro 12 du manuel (p. 35).

3. Tâche numéro 13 du manuel (p. 35).

4. Tâche numéro 16 du manuel (p. 35).

Théorème 3.

Si une droite est perpendiculaire à l'un des deux plans parallèles, elle est également perpendiculaire à l'autre.

Apportant

Soit α || β , aα . Montrons que α β . (Fig. 157). Soient les points A et B les points d'intersection de la droite a avec les plans α et β. Dans le plan β, nous traçons une ligne arbitraire b passant par le point B. Par la ligne b et le point A nous dessinons le plan γ , qui coupe α le long de la ligne c, et avec || b. Et puisque α, alors ac (par définition, une droite perpendiculaire au plan). Donc ac, b || c et a, b, c sont dans γ, alors ab. Considérant que b est une droite arbitraire du plan β, on a aβ.

Théorème 4.

Si deux plans sont perpendiculaires à la même droite, alors ils sont parallèles.

Apportant

Soit α a β a, on prouve que α || β (fig. 158). Soient les points A et B les points d'intersection de la droite a avec les plans α et β. Supposons que α β . Prendre un point C sur la ligne d'intersection des plans α et β. Ca, car sinon deux plans différents α et β passeraient par le point C, perpendiculaire à la droite a, ce qui est impossible. Traçons le plan γ passant par le point C et la droite a ; ce plan coupe α et β le long des droites AC et BC, respectivement. Et puisque α , alors aAC, comme aBC. Donc, dans le plan α, par le point C, passent deux droites différentes AC et BC, perpendiculaires à la droite a, ce qui est impossible. Par conséquent, α || β .