ما هو الرقم الذي يمثل قاعدة خط الموازي. مكعباني شبيه بالمكعب

متوازي السطوح هو منشور رباعي الزوايا أساسه متوازي الأضلاع. ارتفاع خط الموازي هو المسافة بين مستويات قاعدته. في الشكل ، يظهر الارتفاع كخط . هناك نوعان من خطوط متوازية: مستقيم ومائل. كقاعدة عامة ، يعطي مدرس الرياضيات أولاً التعريفات المناسبة للمنشور ، ثم ينقلها إلى المربع. ونحن سوف تفعل الشيء نفسه.

دعني أذكرك أن المنشور يسمى مستقيمًا إذا كانت حوافه الجانبية متعامدة مع القواعد ، وإذا لم يكن هناك عمودي ، فإن المنشور يسمى مائل. هذا المصطلح موروث أيضًا عن طريق متوازي السطوح. إن متوازي السطوح الأيمن ليس أكثر من نوع من المنشور المستقيم ، تتطابق حافته الجانبية مع الارتفاع. يتم الاحتفاظ بتعريفات مفاهيم مثل الوجه ، والحافة ، والرأس ، والتي هي مشتركة بين عائلة متعددة الوجوه بأكملها. يظهر مفهوم الوجوه المعاكسة. خط متوازي له 3 أزواج من الوجوه المتقابلة ، و 8 رؤوس و 12 ضلعًا.

قطري متوازي السطوح (قطري المنشور) هو مقطع يربط رأسين من متعدد السطوح ولا يقع في أي من وجوهه.

المقطع المائل هو جزء من خط متوازي يمر بقطره وقطري قاعدته.

خصائص الصندوق المائل:
1) جميع أوجهها متوازيات الأضلاع ، والأوجه المقابلة لها متوازيات أضلاع متساوية.
2)تتقاطع أقطار خط الموازي عند نقطة واحدة وتنقسم عند تلك النقطة.
3)يتكون كل خط متوازي من ستة أهرامات مثلثة متساوية الحجم. لتوضيحها للطالب ، يجب على مدرس الرياضيات قطع نصف متوازي مع المقطع القطري الخاص به وتقسيمه بشكل منفصل إلى 3 أهرامات. يجب أن تقع قواعدهم على وجوه مختلفة من الصندوق الأصلي. سيجد مدرس الرياضيات تطبيقًا لهذه الخاصية في الهندسة التحليلية. يتم استخدامه لاشتقاق حجم الهرم من خلال المنتج المختلط للمتجهات.

صيغ لحجم خط متوازي:
1) ، حيث مساحة القاعدة ، h هي الارتفاع.
2) حجم خط الموازي يساوي حاصل ضرب المنطقة المقطع العرضيعلى الحافة الجانبية.
مدرس الرياضيات: كما تعلم ، فإن الصيغة مشتركة بين جميع المناشير ، وإذا كان المعلم قد أثبتها بالفعل ، فلا فائدة من تكرارها مع خط الموازي. ومع ذلك ، عند العمل مع طالب متوسط ​​المستوى (الصيغة الضعيفة ليست مفيدة) ، فمن المستحسن أن يتصرف المعلم عكس ذلك تمامًا. اترك المنشور وشأنه ، وقم بإثبات دقيق لخط متوازي السطوح.
3) ، أين هو حجم أحد الأهرامات الستة التي تشكل خط الموازي.
4) إذا ، إذن

مساحة السطح الجانبي لخط متوازي هي مجموع مساحات جميع أوجهه:
إجمالي مساحة خط الموازي هو مجموع مساحات جميع أوجهه ، أي المساحة + منطقتان أساسيتان :.

حول عمل المعلم بخط متوازي مائل:
لا يتعامل مدرس الرياضيات في كثير من الأحيان مع مشاكل على خط متوازي مائل. إن احتمال ظهورهم في الامتحان ضئيل للغاية ، والتعليمات سيئة بشكل غير لائق. تسبب مشكلة لائقة إلى حد ما في حجم خط متوازي مائل مشاكل خطيرة مرتبطة بتحديد موقع النقطة H - قاعدة ارتفاعها. في هذه الحالة ، قد يُنصح مدرس الرياضيات بقص المربع في أحد أهراماته الستة (التي تمت مناقشتها في الخاصية رقم 3) ، ومحاولة إيجاد حجمه وضربه في 6.

إذا كانت الحافة الجانبية للخط الموازي لها زوايا متساوية مع جوانب القاعدة ، فإن H تقع على منصف الزاوية A للقاعدة ABCD. وإذا كان ABCD ، على سبيل المثال ، معينًا ، إذن

مهام مدرس الرياضيات:
1) وجوه متوازي السطوح هي روبوتات متساوية مع جانب 2 سم وزاوية حادة. أوجد حجم خط الموازي.
2) في خط متوازي مائل ، تكون الحافة الجانبية 5 سم. القسم المتعامد عليه شكل رباعي له أقطار متعامدة بشكل متبادل بطول 6 سم و 8 سم. احسب حجم خط متوازي السطوح.
3) في خط متوازي مائل ، من المعروف أنه في تعريف ABCD عبارة عن معين مع جانب 2 سم وزاوية. أوجد حجم خط الموازي.

مدرس الرياضيات ، الكسندر كولباكوف

في هذا الدرس ، سيتمكن الجميع من دراسة موضوع "الصندوق المستطيل". في بداية الدرس ، سنكرر ما هي الخطوط المتوازية والمستقيمة المتوازنة ، ونتذكر خصائص الوجوه المتقابلة والأقطار في خط الموازي. ثم سننظر في ماهية متوازي المستطيلات ونناقش خصائصه الرئيسية.

الموضوع: عمودية الخطوط والطائرات

الدرس: متوازي المستطيلات

سطح مكون من اثنين من متوازي الأضلاع ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 وأربعة متوازي أضلاع ABB 1 A 1 ، BCC 1 B 1 ، CDD 1 C 1 ، DAA 1 D 1 يسمى متوازي السطوح(رسم بياني 1).

أرز. 1 متوازي السطوح

أي: لدينا متوازي أضلاع ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 (القواعد) ، وهما يقعان في مستويات متوازية بحيث تكون الحواف الجانبية AA 1 و BB 1 و DD 1 و CC 1 متوازية. وهكذا ، يسمى السطح المكون من متوازي الأضلاع متوازي السطوح.

وبالتالي ، فإن سطح خط متوازي السطوح هو مجموع كل متوازيات الأضلاع التي تشكل خط متوازي السطوح.

1. الوجوه المقابلة لمتوازي السطوح متوازية ومتساوية.

(الأرقام متساوية ، أي يمكن دمجها عن طريق التراكب)

فمثلا:

ABCD \ u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (متوازيات أضلاع متساوية حسب التعريف) ،

AA 1 B 1 B \ u003d DD 1 C 1 C (نظرًا لأن AA 1 B 1 B و DD 1 C 1 C هما وجهان متعاكسان على خط الموازي) ،

AA 1 D 1 D \ u003d BB 1 C 1 C (نظرًا لأن AA 1 D 1 D و BB 1 C 1 C وجهان متعاكسان على خط الموازي).

2. تتقاطع أقطار خط الموازي عند نقطة واحدة وتنقسم هذه النقطة.

تتقاطع أقطار متوازي السطوح AC 1 ، B 1 D ، A 1 C ، D 1 B عند نقطة واحدة O ، وينقسم كل قطري إلى النصف من خلال هذه النقطة (الشكل 2).

أرز. 2 تتقاطع أقطار خط الموازي وتشطر نقطة التقاطع.

3. هناك ثلاثة أرباع من الحواف المتساوية والمتوازية للخط المتوازي: 1 - AB، A 1 B 1، D 1 C 1، DC، 2 - AD، A 1 D 1، B 1 C 1، BC، 3 - AA 1، BB 1، SS 1، DD 1.

تعريف. يسمى الخط المتوازي مستقيمًا إذا كانت حوافه الجانبية متعامدة مع القواعد.

دع الحافة الجانبية AA 1 متعامدة على القاعدة (الشكل 3). هذا يعني أن الخط AA 1 عمودي على الخطين AD و AB اللذين يقعان في مستوى القاعدة. وبالتالي ، توجد المستطيلات في الوجوه الجانبية. والأسس متوازيات أضلاع عشوائية. دلالة ، ∠BAD = ، يمكن أن تكون الزاوية φ أيًا منها.

أرز. 3 المربع الأيمن

إذن ، المربع الأيمن هو مربع تكون فيه الحواف الجانبية متعامدة مع قواعد الصندوق.

تعريف. يسمى خط متوازي المستطيل ،إذا كانت حوافه الجانبية متعامدة مع القاعدة. القواعد مستطيلات.

الموازي АВСДА 1 1 С 1 D 1 مستطيل (الشكل 4) إذا:

1. AA 1 ⊥ ABCD (الحافة الجانبية متعامدة مع مستوى القاعدة ، أي متوازي السطوح المستقيم).

2. ∠BAD = 90 درجة ، أي أن القاعدة عبارة عن مستطيل.

أرز. 4 متوازي المستطيلات

يحتوي الصندوق المستطيل على جميع خصائص الصندوق العشوائي.ولكن هناك خصائص إضافية مشتقة من تعريف متوازي المستطيلات.

لذا، مكعباني شبيه بالمكعبهو خط متوازي السطوح تكون حوافه الجانبية متعامدة مع القاعدة. قاعدة متوازي المستطيلات مستطيل.

1. في شكل متوازي المستطيلات ، جميع الوجوه الستة مستطيلات.

ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 هما مستطيلات بحكم التعريف.

2. الأضلاع الجانبية عمودية على القاعدة. هذا يعني أن كل أوجه جوانب متوازي المستطيلات عبارة عن مستطيلات.

3. جميع الزوايا ثنائية الأضلاع للمكعبات هي زوايا قائمة.

ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، الزاوية ثنائية السطوح لمستطيل متوازي مع حافة AB ، أي الزاوية ثنائية السطوح بين المستويين ABB 1 و ABC.

AB حافة ، والنقطة A 1 تقع في أحد المستويات - في المستوى ABB 1 ، والنقطة D في المستوى الآخر - في المستوى A 1 B 1 C 1 D 1. ثم يمكن أيضًا الإشارة إلى الزاوية ثنائية السطوح المدروسة على النحو التالي: А 1 АВD.

خذ النقطة A على الحافة AB. AA 1 عمودي على الحافة AB في المستوى ABB-1 ، AD عمودي على الحافة AB في المستوى ABC. ومن ثم ، فإن ∠A 1 AD هي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح المعطاة. ∠A 1 AD \ u003d 90 ° ، مما يعني أن الزاوية ثنائية السطوح عند الحافة AB تساوي 90 درجة.

∠ (ABB 1، ABC) = ∠ (AB) = A 1 ABD = A 1 AD = 90 °.

ثبت بالمثل أن أي زوايا ثنائية الأضلاع في خط متوازي السطوح المستطيلة صحيحة.

مربع قطري متوازي المستطيلات يساوي مجموع مربعات أبعاده الثلاثة.

ملحوظة. أطوال الأضلاع الثلاثة المنبثقة من نفس رأس متوازي المستطيلات هي قياسات متوازي المستطيلات. يطلق عليهم أحيانًا الطول والعرض والارتفاع.

معطى: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - متوازي مستطيل الشكل (الشكل 5).

يثبت: .

أرز. 5 متوازي المستطيلات

دليل - إثبات:

الخط CC 1 عمودي على المستوى ABC ، ​​وبالتالي على الخط AC. إذن ، المثلث CC 1 A مثلث قائم الزاوية. وفقًا لنظرية فيثاغورس:

اعتبر مثلث قائم الزاوية ABC. وفقًا لنظرية فيثاغورس:

لكن قبل الميلاد وميلاد - الأطراف المقابلةمستطيل. إذن BC ​​= AD. ثم:

لان ، أ ، ومن بعد. منذ CC 1 = AA 1 ، إذن ما هو مطلوب لإثباته.

قطري خط متوازي السطوح المستطيل متساويان.

دعونا نحدد أبعاد ABC المتوازي على أنها أ ، ب ، ج (انظر الشكل 6) ، ثم AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

متوازي السطوح هو شكل هندسي ، جميع أوجهه الستة متوازية الأضلاع.

اعتمادًا على نوع متوازي الأضلاع هذه ، يتم تمييز الأنواع التالية من متوازي السطوح:

• مستقيم؛
• يميل.
• مستطيلي.

متوازي السطوح الأيمن هو منشور رباعي الزوايا تصنع حوافه زاوية 90 درجة مع مستوى القاعدة.

متوازي السطوح المستطيل هو منشور رباعي الزوايا ، وجميع وجوهه مستطيلات. المكعب هو نوع من المنشور رباعي الزوايا تتساوى فيه جميع الوجوه والحواف.

ملامح الشكل تحدد مسبقا خصائصه. تتضمن هذه العبارات الأربع التالية:

إن تذكر جميع الخصائص المذكورة أعلاه أمر بسيط ، فهي سهلة الفهم ومشتقة منطقيًا بناءً على نوع وميزات الجسم الهندسي. ومع ذلك ، يمكن أن تكون العبارات البسيطة مفيدة بشكل لا يصدق عند حل مهام الاستخدام المعتادة وستوفر الوقت اللازم لاجتياز الاختبار.

الصيغ المتوازية

للعثور على إجابات للمشكلة ، لا يكفي معرفة خصائص الشكل فقط. قد تحتاج أيضًا إلى بعض الصيغ لإيجاد مساحة وحجم جسم هندسي.

تم العثور على مساحة القواعد أيضًا كمؤشر مناظر لمتوازي أضلاع أو مستطيل. يمكنك اختيار قاعدة متوازي الأضلاع بنفسك. كقاعدة عامة ، عند حل المشكلات ، من الأسهل التعامل مع المنشور الذي يعتمد على مستطيل.

قد تكون هناك حاجة أيضًا إلى صيغة إيجاد السطح الجانبي لخط متوازي في مهام الاختبار.

أمثلة على حل مهام الاستخدام النموذجية

التمرين 1.

معطى: متوازي المستطيلات بقياسات 3 و 4 و 12 سم.
ضروريأوجد طول أحد الأقطار الرئيسية للشكل.
المحلول: يجب أن يبدأ أي حل لمشكلة هندسية ببناء رسم صحيح وواضح ، يتم من خلاله تحديد "معطى" والقيمة المطلوبة. الشكل أدناه مثال التصميم الصحيحشروط المهمة.

بعد النظر في الرسم الذي تم إجراؤه وتذكر جميع خصائص الجسم الهندسي ، توصلنا إلى الطريقة الصحيحة الوحيدة لحلها. بتطبيق الخاصية 4 من خط الموازي ، نحصل على التعبير التالي:

بعد حسابات بسيطة ، نحصل على التعبير b2 = 169 ، لذلك ب = 13. تم العثور على إجابة المهمة ، ولن يستغرق الأمر أكثر من 5 دقائق للبحث عنها ورسمها.

المهمة 2.

معطى: صندوق مائل بحافة جانبية 10 سم ، مستطيل KLNM بأبعاد 5 و 7 سم ، وهو جزء من الشكل موازٍ للحافة المحددة.
ضروريأوجد مساحة السطح الجانبي للمنشور رباعي الزوايا.
المحلول: تحتاج أولاً إلى رسم البيانات.

لحل هذه المهمة ، تحتاج إلى استخدام البراعة. يمكن أن نرى من الشكل أن الجانبين KL و AD غير متكافئين ، وكذلك الزوجين ML و DC. ومع ذلك ، من الواضح أن محيطات متوازي الأضلاع هذه متساوية.

لذلك ، فإن المساحة الجانبية للشكل ستكون مساوية لمساحة المقطع العرضي مضروبة في الضلع AA1 ، لأن الضلع حسب الحالة يكون عموديًا على المقطع. الجواب: 240 سم 2.

تعريف

متعدد الوجوهسوف نسمي سطحًا مغلقًا يتكون من مضلعات ويحيط بجزء من الفضاء.

يتم استدعاء الأجزاء التي هي جوانب هذه المضلعات ضلوعمتعدد الوجوه والمضلعات نفسها - وجوه. تسمى رؤوس المضلعات رؤوس متعدد السطوح.

سننظر فقط في الأشكال المتعددة السطوح المحدبة (هذا متعدد السطوح يوجد على جانب واحد من كل مستوى يحتوي على وجهه).

تشكل المضلعات التي يتكون منها متعدد السطوح سطحه. يسمى الجزء من الفضاء الذي يحده متعدد الوجوه معين الجزء الداخلي.

التعريف: المنشور

ضع في اعتبارك مضلعين متساويين \ (A_1A_2A_3 ... A_n \) و \ (B_1B_2B_3 ... B_n \) يقعان في مستويات متوازية بحيث تكون المقاطع \ (A_1B_1، \ A_2B_2، ...، A_nB_n \)متوازية. متعدد السطوح مكون من مضلعات \ (A_1A_2A_3 ... A_n \) و \ (B_1B_2B_3 ... B_n \) ، بالإضافة إلى متوازي الأضلاع \ (A_1B_1B_2A_2، \ A_2B_2B_3A_3، ... \)يسمى (\ (n \) - فحم) نشور زجاجي.

تسمى المضلعات \ (A_1A_2A_3 ... A_n \) و \ (B_1B_2B_3 ... B_n \) قواعد المنشور ، متوازي الأضلاع \ (A_1B_1B_2A_2، \ A_2B_2B_3A_3، ... \)- الوجوه الجانبية والشرائح \ (A_1B_1، \ A_2B_2، \ ...، A_nB_n \)- الضلوع الجانبية.
وبالتالي ، فإن الحواف الجانبية للمنشور متوازية ومتساوية مع بعضها البعض.

تأمل في مثال - منشور \ (A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5 \)، قاعدته خماسية محدبة.

ارتفاعالمنشور هو عمودي من أي نقطة على قاعدة ما إلى مستوى قاعدة أخرى.

إذا لم تكن الحواف الجانبية متعامدة على القاعدة ، فسيتم استدعاء هذا المنشور منحرف - مائل(الشكل 1) ، وإلا - مستقيم. بالنسبة للمنشور المستقيم ، تكون الحواف الجانبية عبارة عن ارتفاعات ، وتكون الوجوه الجانبية مستطيلات متساوية.

إذا كان المضلع المنتظم يقع في قاعدة المنشور الأيمن ، فسيتم استدعاء المنشور صحيح.

التعريف: مفهوم الحجم

وحدة الحجم هي وحدة مكعب (مكعب بأبعاد \ (1 \ times1 \ times1 \) وحدات \ (^ 3 \) ، حيث تكون الوحدة عبارة عن وحدة قياس).

يمكننا القول أن حجم متعدد السطوح هو مقدار المساحة التي يحدها هذا متعدد السطوح. خلافًا لذلك: هي قيمة تشير قيمتها العددية إلى عدد مرات احتواء مكعب الوحدة وأجزائه في متعدد السطوح معين.

الحجم له نفس خصائص المنطقة:

1. أحجام الأرقام متساوية.

2. إذا كان متعدد السطوح مكونًا من عدة أشكال متعددة السطوح غير متقاطعة ، فإن حجمه يكون مساويًا لمجموع أحجام هذه المجسمات المتعددة السطوح.

3. الحجم قيمة غير سالبة.

4. يقاس الحجم بالسنتيمتر \ (^ 3 \) (سم مكعب) ، م \ (^ 3 \) (متر مكعب) ، إلخ.

نظرية

1. مساحة السطح الجانبي للمنشور تساوي حاصل ضرب محيط القاعدة وارتفاع المنشور.
مساحة السطح الجانبية هي مجموع مساحات الوجوه الجانبية للمنشور.

2. حجم المنشور يساوي حاصل ضرب منطقة القاعدة وارتفاع المنشور: \

التعريف: صندوق

متوازي السطوحإنه منشور قاعدته متوازي الأضلاع.

جميع أوجه متوازي السطوح (\ (6 \): \ (4 \) الوجوه الجانبية و \ (2 \) القواعد) متوازية الأضلاع ، والأوجه المقابلة (الموازية لبعضها البعض) متوازيات أضلاع متساوية (الشكل 2).

قطري الصندوقعبارة عن قطعة تربط رأسين من خط متوازي لا يقعان في نفس الوجه (\ (8 \): \ (AC_1، \ A_1C، \ BD_1، \ B_1D \)إلخ.).

مكعباني شبيه بالمكعبهو متوازي سطوح يمين مع مستطيل في قاعدته.
لان هو متوازي سطوح يمينًا ، ثم الوجوه الجانبية مستطيلة. لذلك ، بشكل عام ، جميع أوجه متوازي السطوح المستطيلة عبارة عن مستطيلات.

جميع الأقطار في متوازي المستطيلات متساوية (هذا يتبع من مساواة المثلثات \ (\ مثلث ACC_1 = \ مثلث AA_1C = \ مثلث BDD_1 = \ مثلث BB_1D \)إلخ.).

تعليق

وبالتالي ، فإن خط الموازي له كل خصائص المنشور.

نظرية

مساحة السطح الجانبي لخط متوازي المستطيل تساوي \

إجمالي مساحة السطح المتوازي المستطيل هو \

نظرية

حجم متوازي المستطيلات يساوي حاصل ضرب حوافه الثلاثة الخارجة من رأس واحد (ثلاثة أبعاد متوازي المستطيلات): \

دليل - إثبات

لان بالنسبة إلى المستطيل المتوازي ، تكون الحواف الجانبية متعامدة مع القاعدة ، ثم تكون أيضًا ارتفاعاتها ، أي \ (h = AA_1 = c \) القاعدة عبارة عن مستطيل \ (S _ (\ text (main)) = AB \ cdot AD = ab \). هذا هو المكان الذي تأتي منه الصيغة.

نظرية

يتم البحث عن قطري \ (د \) متوازي المستطيلات بواسطة الصيغة (حيث \ (أ ، ب ، ج \) هي أبعاد متوازي المستطيلات) \

دليل - إثبات

النظر في الشكل. 3. لأن القاعدة عبارة عن مستطيل ، ثم \ (\ مثلث ABD \) مستطيل ، لذلك ، وفقًا لنظرية فيثاغورس \ (BD ^ 2 = AB ^ 2 + AD ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 \).

لان كل الحواف الجانبية عمودية على القواعد ، إذن \ (BB_1 \ perp (ABC) \ Rightarrow BB_1 \)عمودي على أي خط في هذا المستوى ، أي \ (BB_1 \ perp BD \). إذن \ (\ مثلث BB_1D \) مستطيل. ثم حسب نظرية فيثاغورس \ (B_1D = BB_1 ^ 2 + BD ^ 2 = أ ^ 2 + ب ^ 2 + ج ^ 2 \)، thd.

التعريف: مكعب

مكعبهو متوازي سطوح مستطيل ، جميع جوانبه مربعات متساوية.

وبالتالي ، فإن الأبعاد الثلاثة متساوية مع بعضها البعض: \ (أ = ب = ج \). لذا فإن ما يلي صحيح

نظريات

1. حجم مكعب بحافة \ (أ \) هو \ (V _ (\ نص (مكعب)) = أ ^ 3 \).

2. يتم البحث عن قطر المكعب بالصيغة \ (d = a \ sqrt3 \).

3. المساحة الإجمالية للمكعب \ (S _ (\ text (تكرارات كاملة للمكعب)) = 6a ^ 2 \).

كثيرًا ما يسأل الطلاب بسخط: "كيف سيكون هذا مفيدًا لي في الحياة؟". في أي موضوع من كل موضوع. موضوع حجم خط موازٍ ليس استثناءً. وهنا من الممكن أن نقول: "سيكون في متناول اليد".

كيف ، على سبيل المثال ، معرفة ما إذا كان الطرد مناسبًا لصندوق البريد؟ بالطبع ، يمكنك اختيار الخيار الصحيح عن طريق التجربة والخطأ. ماذا لو لم يكن هناك مثل هذا الاحتمال؟ ثم تأتي الحسابات للإنقاذ. بمعرفة سعة الصندوق ، يمكنك حساب حجم الطرد (على الأقل تقريبًا) والإجابة على السؤال.

الموازي وأنواعه

إذا قمنا بترجمة اسمها حرفيًا من اليونانية القديمة ، فقد اتضح أن هذا الرقم يتكون من طائرات موازية. هناك مثل هذه التعريفات المكافئة لخط متوازي:

• منشور بقاعدة على شكل متوازي أضلاع ؛
• متعدد الوجوه ، كل وجه منها متوازي الأضلاع.

يتم تمييز أنواعها اعتمادًا على الشكل الذي يقع في قاعدته وكيفية توجيه الأضلاع الجانبية. بشكل عام ، يتحدث المرء عن متوازي مائلقاعدتها وجميع وجوهها متوازية الأضلاع. إذا أصبحت الوجوه الجانبية للعرض السابق مستطيلات ، فيجب استدعاءها بالفعل مباشرة. وفي مستطيليوالقاعدة بها أيضًا زوايا 90 درجة.

علاوة على ذلك ، في الهندسة يحاولون تصوير الأخير بطريقة ملحوظة أن جميع الحواف متوازية. هنا ، بالمناسبة ، يتم ملاحظة الاختلاف الرئيسي بين علماء الرياضيات والفنانين. من المهم بالنسبة للأخير أن ينقل الجسد وفقًا لقانون المنظور. وفي هذه الحالة ، يكون توازي الحواف غير مرئي تمامًا.

حول التدوين المقدم

في الصيغ أدناه ، التعيينات المشار إليها في الجدول صالحة.

صيغ الصندوق المائل

الأول والثاني للمناطق:

الثالث لحساب حجم الصندوق:

نظرًا لأن القاعدة متوازي أضلاع ، ستحتاج إلى استخدام التعبيرات المناسبة لحساب مساحتها.

صيغ متوازي المستطيلات

على غرار الفقرة الأولى - صيغتان للمناطق:

وآخر للحجم:

المهمة الأولى

حالة. يعطي خط متوازي سطوح مستطيل يمكن إيجاد حجمه. القطر معروف - 18 سم - وحقيقة أنه يشكل زاويتين 30 و 45 درجة مع مستوى الوجه الجانبي والحافة الجانبية ، على التوالي.

المحلول.للإجابة على سؤال المسألة ، عليك إيجاد كل الأضلاع في المثلثات القائمة على ثلاثة. سيعطون قيم الحافة الضرورية التي تحتاج إلى حساب الحجم لها.

تحتاج أولاً إلى معرفة مكان الزاوية 30 درجة. للقيام بذلك ، تحتاج إلى رسم قطري للوجه الجانبي من نفس الرأس الذي تم منه رسم القطر الرئيسي لمتوازي الأضلاع. الزاوية بينهما ستكون ما تحتاجه.

سيكون المثلث الأول ، الذي سيعطي أحد جوانب القاعدة ، كما يلي. يحتوي على الجانب المطلوب ورسم قطرين. إنه مستطيل. الآن عليك استخدام النسبة بين الضلع المقابل (الضلع الأساسي) والوتر (الضلع القطري). إنه يساوي جيب 30º. أي أن الجانب المجهول للقاعدة سيتم تحديده على أنه القطر مضروبًا في الجيب 30 أو. دعه يتم تمييزه بالحرف "a".

سيكون الثاني مثلثًا يحتوي على قطر معروف وحافة تشكل بها 45 درجة. إنه أيضًا مستطيل ، ويمكنك مرة أخرى استخدام نسبة الساق إلى الوتر. بمعنى آخر ، الحافة الجانبية للقطر. إنه يساوي جيب تمام 45º. وهذا يعني أن "c" محسوبة على أنها حاصل ضرب قطري وجيب تمام 45º.

c = 18 * 1 / √2 = 9 2 (سم).

في نفس المثلث ، تحتاج إلى إيجاد ساق أخرى. هذا ضروري من أجل حساب المجهول الثالث - "في". دعها يتم تمييزها بالحرف "x". من السهل الحساب باستخدام نظرية فيثاغورس:

س \ u003d √ (18 2 - (9 √ 2) 2) \ u003d 9 √ 2 (سم).

الآن علينا النظر في مثلث قائم الزاوية آخر. يحتوي على الجوانب المعروفة بالفعل "c" و "x" والجانب الذي يجب حسابه ، و "c":

ج = √ ((9 √ 2) 2-9 2 = 9 (سم).

جميع الكميات الثلاثة معروفة. يمكنك استخدام معادلة الحجم وحسابها:

V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (سم 3).

إجابه:حجم خط الموازي 729√2 سم 3.

المهمة الثانية

حالة. أوجد حجم خط الموازي. يعرف ضلعي متوازي الأضلاع الواقعين عند القاعدة ، 3 و 6 سم ، بالإضافة إلى زاويته الحادة - 45 درجة. ويميل الضلع الجانبي إلى القاعدة 30º ويساوي 4 سم.

المحلول.للإجابة على سؤال المشكلة ، عليك أن تأخذ الصيغة التي كتبت لحجم خط متوازي مائل. لكن كلا الكميتين غير معروفين فيه.

سيتم تحديد مساحة القاعدة ، أي متوازي الأضلاع ، بالصيغة التي تحتاج فيها إلى ضرب الأضلاع المعروفة وجيب الزاوية الحادة بينهما.

S o \ u003d 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2) / 2 = 9 √2 (سم 2).

المجهول الثاني هو الارتفاع. يمكن استخلاصه من أي من الرؤوس الأربعة فوق القاعدة. يمكن إيجاده من مثلث قائم الزاوية ، حيث يكون الارتفاع هو الساق ، والحافة الجانبية هي الوتر. في هذه الحالة ، تقع الزاوية التي قياسها 30º مقابل الارتفاع المجهول. لذلك ، يمكنك استخدام نسبة الساق إلى الوتر.

n \ u003d 4 * sin 30º \ u003d 4 * 1/2 \ u003d 2.

الآن جميع القيم معروفة ويمكنك حساب الحجم:

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (سم 3).

إجابه:الحجم 18 2 سم 3.

المهمة الثالثة

حالة. أوجد حجم خط متوازي السطوح إذا كان معروفًا أنه خط مستقيم. ضلعا قاعدتهما متوازي أضلاع وهما 2 و 3 سم ، والزاوية الحادة بينهما 60º. القطر الأصغر لخط الموازي يساوي القطر الأكبر للقاعدة.

المحلول.من أجل معرفة حجم خط الموازي ، نستخدم الصيغة مع مساحة القاعدة والارتفاع. كلا الكميتين غير معروفين ، لكن من السهل حسابهما. الأول هو الارتفاع.

نظرًا لأن القطر الأصغر للخط الموازي له نفس حجم القاعدة الأكبر ، فيمكن الإشارة إليه بنفس الحرف d. أكبر زاوية في متوازي الأضلاع هي 120 درجة ، لأنها تشكل 180 درجة مع زاوية حادة. دع القطر الثاني للقاعدة يُشار إليه بالحرف "x". الآن ، بالنسبة لقطري القاعدة ، يمكن كتابة نظريات جيب التمام:

د 2 \ u003d أ 2 + في 2-2 أف كوس 120º ،

x 2 \ u003d a 2 + في 2 - 2ab cos 60º.

العثور على القيم بدون مربعات ليس له معنى ، حيث سيتم رفعها إلى القوة الثانية مرة أخرى. بعد استبدال البيانات ، اتضح:

د 2 \ u003d 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º \ u003d 4 + 9 + 12 * ½ \ u003d 19 ،

× 2 \ u003d a 2 + في 2 - 2ab cos 60º \ u003d 4 + 9-12 * ½ \ u003d 7.

الآن الارتفاع ، وهو أيضًا الحافة الجانبية لخط متوازي السطوح ، سيكون هو الساق في المثلث. سيكون الوتر هو القطر المعروف للجسم ، وستكون الضلع الثانية "x". يمكنك كتابة نظرية فيثاغورس:

n 2 \ u003d d 2 - x 2 \ u003d 19-7 \ u003d 12.

ومن ثم: n = √12 = 2√3 (سم).

الآن الكمية الثانية غير المعروفة هي مساحة القاعدة. يمكن حسابها باستخدام الصيغة المذكورة في المسألة الثانية.

S o \ u003d 2 * 3 sin 60º \ u003d 6 * √3 / 2 \ u003d 3 √3 (سم 2).

بدمج كل شيء في صيغة حجم ، نحصل على:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (سم 3).

الجواب: V \ u003d 18 سم 3.

المهمة الرابعة

حالة. مطلوب معرفة حجم خط الموازي الذي يفي بالشروط التالية: القاعدة مربعة ضلعها 5 سم ؛ الوجوه الجانبية هي معينات. تقع إحدى الرءوس فوق القاعدة على مسافة متساوية من جميع الرءوس الموجودة في القاعدة.

المحلول.أولا تحتاج للتعامل مع الشرط. لا توجد أسئلة مع الفقرة الأولى حول المربع. والثاني ، حول المعينات ، يوضح أن خط الموازي يميل. علاوة على ذلك ، فإن جميع حوافها تساوي 5 سم ، لأن جوانب المعين هي نفسها. ومن الثالث يتضح أن الأقطار الثلاثة المستمدة منه متساوية. هذان اثنان يقعان على الوجوه الجانبية ، والآخر داخل خط الموازي. وهذه الأقطار تساوي الحافة ، أي يبلغ طولها أيضًا 5 سم.

لتحديد الحجم ، ستحتاج إلى صيغة مكتوبة لخط متوازي مائل. مرة أخرى ، لا توجد كميات معروفة فيه. ومع ذلك ، من السهل حساب مساحة القاعدة لأنها مربع.

S o \ u003d 5 2 = 25 (سم 2).

أصعب قليلا هو الحال مع الارتفاع. سيكون في ثلاثة أشكال: متوازي السطوح ، هرم رباعي الزوايا ومثلث متساوي الساقين. يجب استخدام الظرف الأخير.

نظرًا لأنه ارتفاع ، فهو رجل في مثلث قائم الزاوية. سيكون الوتر فيه حافة معروفة ، والضلع الثاني يساوي نصف قطر المربع (الارتفاع أيضًا هو الوسيط). ومن السهل العثور على قطر القاعدة:

د = √ (2 * 5 2) = 5√2 (سم).

يجب حساب الارتفاع على أنه فرق الدرجة الثانية للحافة ومربع نصف القطر ولا تنس استخراج الجذر التربيعي:

ن = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √ (25-25/2) = √ (25/2) = 2.5 √2 (سم).

V = 25 * 2.5 √2 = 62.5 √2 (سم 3).

إجابه: 62.5 √2 (سم 3).