Коя фигура е основата на паралелепипеда. кубоид

Паралелепипедът е четириъгълна призма, чиито основи са успоредници. Височината на паралелепипед е разстоянието между равнините на основите му. На фигурата височината е показана като линия . Има два вида паралелепипеди: прав и наклонен. По правило учителят по математика първо дава подходящите определения за призмата и след това ги прехвърля в кутията. Ние ще направим същото.

Нека ви напомня, че призмата се нарича права, ако нейните странични ръбове са перпендикулярни на основите, ако няма перпендикулярност, призмата се нарича наклонена. Тази терминология е наследена и от паралелепипеда. Правият паралелепипед не е нищо повече от вид права призма, чийто страничен ръб съвпада с височината. Дефинициите на такива понятия като лице, ръб и връх, които са общи за цялото семейство полиедри, се запазват. Появява се концепцията за противоположни лица. Паралелепипедът има 3 чифта противоположни лица, 8 върха и 12 ръба.

Диагоналът на паралелепипед (диагоналът на призмата) е сегмент, който свързва два върха на многостен и не лежи в нито едно от лицата му.

Диагоналното сечение е сечение на паралелепипед, минаващо през неговия диагонал и диагонала на основата му.

Свойства на наклонена кутия:
1) Всички негови лица са успоредници, а срещуположните лица са равни успоредници.
2)Диагоналите на паралелепипеда се пресичат в една точка и в тази точка се разполовяват.
3)Всеки паралелепипед се състои от шест триъгълни пирамиди с еднакъв обем. За да ги покаже на ученик, учителят по математика трябва да отреже половината от паралелепеда с диагоналното му сечение и да го раздели на 3 пирамиди. Техните основи трябва да лежат на различни страни на оригиналната кутия. Учител по математика ще намери приложение за това свойство в аналитичната геометрия. Използва се за извличане на обема на пирамидата чрез смесеното произведение на вектори.

Формули за обем на паралелепипед:
1), където е площта на основата, h е височината.
2) Обемът на паралелепипеда е равен на произведението на площта напречно сечениена страничния ръб.
учител по математика: Както знаете, формулата е обща за всички призми и ако учителят вече я е доказал, няма смисъл да се повтаря същата за паралелепипеда. Въпреки това, когато работите с ученик със средно ниво (слабата формула не е полезна), препоръчително е учителят да действа точно обратното. Оставете призмата на мира и направете точно доказателство за паралелепипеда.
3) , където е обемът на една от шестте триъгълни пирамиди, съставляващи паралелепипеда.
4) Ако , тогава

Площта на страничната повърхност на паралелепипед е сумата от площите на всичките му лица:
Общата повърхност на паралелепипед е сумата от площите на всичките му лица, тоест площта + две основни площи:.

За работата на учител с наклонен паралелепипед:
Учителят по математика не се занимава често със задачи върху наклонен паралелепипед. Вероятността да се явят на изпита е доста малка, а дидактиката е неприлично лоша. Повече или по-малко приличен проблем за обема на наклонен паралелепипед причинява сериозни проблеми, свързани с определянето на местоположението на точката H - основата на нейната височина. В този случай учителят по математика може да бъде посъветван да изреже кутията до една от нейните шест пирамиди (които са обсъдени в свойство #3), да се опита да намери нейния обем и да го умножи по 6.

Ако страничният ръб на паралелепипеда има равни ъгли със страните на основата, то H лежи върху ъглополовящата на ъгъл A на основата ABCD. И ако, например, ABCD е ромб, тогава

Задачи за учител по математика:
1) Лицата на паралелепипед са равни роби със страна 2 см и остър ъгъл. Намерете обема на паралелепипеда.
2) В наклонен паралелепипед страничният ръб е 5 cm. Перпендикулярното му сечение е четириъгълник с взаимно перпендикулярни диагонали с дължини 6 см и 8 см. Изчислете обема на паралелепипеда.
3) В наклонен паралелепипед е известно, че , а в дефиницията на ABCD е ромб със страна 2 cm и ъгъл . Определете обема на паралелепипеда.

Учител по математика Александър Колпаков

В този урок всеки ще може да изучава темата "Правоъгълна кутия". В началото на урока ще повторим какво е произволен и прав паралелепипед, ще си припомним свойствата на противоположните им лица и диагонали на паралелепипеда. След това ще разгледаме какво е кубоид и ще обсъдим основните му свойства.

Тема: Перпендикулярност на прави и равнини

Урок: Кубоид

Повърхнина, съставена от два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 и четири успоредника ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 се нарича паралелепипед(Фиг. 1).

Ориз. 1 паралелепипед

Тоест: имаме два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 (основи), те лежат в успоредни равнини, така че страничните ръбове AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 са успоредни. Така се нарича повърхност, съставена от успоредници паралелепипед.

По този начин повърхността на паралелепипеда е сумата от всички паралелограми, които изграждат паралелепипеда.

1. Противоположните лица на паралелепипед са успоредни и равни.

(фигурите са равни, т.е. могат да се комбинират чрез наслагване)

Например:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (равни паралелограми по дефиниция),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (тъй като AA 1 B 1 B и DD 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (тъй като AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда).

2. Диагоналите на паралелепипеда се пресичат в една точка и разполовяват тази точка.

Диагоналите на паралелепипеда AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B се пресичат в една точка O, като всеки диагонал се дели наполовина от тази точка (фиг. 2).

Ориз. 2 Диагоналите на паралелепипеда се пресичат и разполовяват в пресечната точка.

3. Има три четворки от равни и успоредни ръбове на паралелепипеда: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Определение. Паралелепипедът се нарича прав, ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основите.

Нека страничният ръб AA 1 е перпендикулярен на основата (фиг. 3). Това означава, че правата AA 1 е перпендикулярна на правите AD и AB, които лежат в равнината на основата. И следователно правоъгълниците лежат в страничните лица. А основите са произволни успоредници. Означаваме, ∠BAD = φ, ъгълът φ може да бъде произволен.

Ориз. 3 Дясна кутия

И така, дясна кутия е кутия, в която страничните ръбове са перпендикулярни на основите на кутията.

Определение. Паралелепипедът се нарича правоъгълен,ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основата. Основите са правоъгълници.

Паралелепипедът АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 е правоъгълен (фиг. 4), ако:

1. AA 1 ⊥ ABCD (страничният ръб е перпендикулярен на равнината на основата, т.е. прав паралелепипед).

2. ∠BAD = 90°, т.е. основата е правоъгълник.

Ориз. 4 Кубоид

Правоъгълна кутия има всички свойства на произволна кутия.Но има допълнителни свойства, които се извличат от дефиницията на кубоид.

Така, кубоиде паралелепипед, чиито странични ръбове са перпендикулярни на основата. Основата на кубоид е правоъгълник.

1. В кубоид всичките шест лица са правоъгълници.

ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 са правоъгълници по дефиниция.

2. Страничните ребра са перпендикулярни на основата. Това означава, че всички странични лица на кубоид са правоъгълници.

3. Всички двустенни ъгли на кубоид са прави ъгли.

Помислете например за двустенния ъгъл на правоъгълен паралелепипед с ръб AB, т.е. двустенния ъгъл между равнините ABB 1 и ABC.

AB е ребро, като точка A 1 лежи в едната равнина - в равнината ABB 1, а точка D в другата - в равнината A 1 B 1 C 1 D 1. Тогава разглежданият двустенен ъгъл може да се означи и така: ∠А 1 АВD.

Вземете точка A на ръба AB. AA 1 е перпендикулярна на ръба AB в равнината ABB-1, AD е перпендикулярна на ръба AB в равнината ABC. Следователно ∠A 1 AD е линейният ъгъл на дадения двустенен ъгъл. ∠A 1 AD \u003d 90 °, което означава, че двустенният ъгъл при ръба AB е 90 °.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

По подобен начин се доказва, че всички двустенни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.

Квадратът на диагонала на кубоид е равен на сумата от квадратите на трите му измерения.

Забележка. Дължините на трите ръба, излизащи от един и същи връх на кубоида, са измерванията на кубоида. Понякога се наричат дължина, ширина, височина.

Дадено е: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - правоъгълен паралелепипед (фиг. 5).

Докажи: .

Ориз. 5 Кубоид

Доказателство:

Правата CC 1 е перпендикулярна на равнината ABC, а оттам и на правата AC. Така че триъгълник CC 1 A е правоъгълен триъгълник. Според теоремата на Питагор:

Да разгледаме правоъгълен триъгълник ABC. Според теоремата на Питагор:

Но пр. н. е. и сл. н. е. - противоположни страниправоъгълник. Така че BC = AD. Тогава:

защото , а , тогава. Тъй като CC 1 = AA 1, тогава това, което трябваше да бъде доказано.

Диагоналите на правоъгълен паралелепипед са равни.

Нека обозначим размерите на паралелепипеда ABC като a, b, c (вижте фиг. 6), тогава AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Паралелепипедът е геометрична фигура, всичките 6 лица на която са успоредници.

В зависимост от вида на тези паралелограми се разграничават следните видове паралелепипеди:

прав;
наклонен;
правоъгълен.

Правият паралелепипед е четириъгълна призма, чиито ръбове сключват ъгъл от 90 ° с основната равнина.

Правоъгълният паралелепипед е четириъгълна призма, чиито лица са правоъгълници. Кубът е вид четириъгълна призма, в която всички лица и ръбове са равни.

Характеристиките на фигурата предопределят нейните свойства. Те включват следните 4 твърдения:

Запомнянето на всички горни свойства е лесно, те са лесни за разбиране и се извеждат логически въз основа на вида и характеристиките на геометричното тяло. Въпреки това, простите изрази могат да бъдат изключително полезни при решаване на типични USE задачи и ще спестят времето, необходимо за преминаване на теста.

Формули за паралелепипед

За да намерите отговори на проблема, не е достатъчно да знаете само свойствата на фигурата. Може да се нуждаете и от някои формули, за да намерите площта и обема на геометрично тяло.

Площта на основите също се намира като съответния индикатор на успоредник или правоъгълник. Можете сами да изберете основата на успоредника. По правило при решаване на проблеми е по-лесно да се работи с призма, която се основава на правоъгълник.

Формулата за намиране на страничната повърхност на паралелепипед може да е необходима и в тестови задачи.

Примери за решаване на типични USE задачи

Упражнение 1.

дадени: кубоид с размери 3, 4 и 12 см.
НеобходимоНамерете дължината на един от главните диагонали на фигурата.
Решение: Всяко решение на геометрична задача трябва да започне с изграждането на правилен и ясен чертеж, на който ще бъдат посочени „дадено“ и желаната стойност. Фигурата по-долу е пример правилен дизайнусловия на задачата.

След като разгледахме направения чертеж и запомнихме всички свойства на геометрично тяло, стигаме до единствения правилен начин за решаването му. Прилагайки свойство 4 на паралелепипеда, получаваме следния израз:

След прости изчисления получаваме израза b2=169, следователно b=13. Отговорът на задачата е намерен, търсенето и рисуването му отнема не повече от 5 минути.

Задача 2.

дадени: наклонена кутия със страничен ръб 10 cm, правоъгълник KLNM с размери 5 и 7 cm, който е разрез на фигурата, успореден на посочения ръб.
НеобходимоНамерете площта на страничната повърхност на четириъгълната призма.
Решение: Първо трябва да скицирате данните.

За да разрешите тази задача, трябва да използвате изобретателност. От фигурата се вижда, че страните KL и AD са неравни, както и двойката ML и DC. Периметрите на тези успоредници обаче очевидно са равни.

Следователно, страничната площ на фигурата ще бъде равна на площта на напречното сечение, умножена по реброто AA1, тъй като по условие реброто е перпендикулярно на сечението. Отговор: 240 cm2.

Определение

полиедърще наричаме затворена повърхност, съставена от многоъгълници и ограничаваща някаква част от пространството.

Сегментите, които са страните на тези многоъгълници, се наричат ребраполиедър и самите многоъгълници - лица. Върховете на многоъгълниците се наричат върхове на многостена.

Ще разгледаме само изпъкнали полиедри (това е многостен, който е от едната страна на всяка равнина, съдържаща лицето му).

Многоъгълниците, които изграждат полиедър, образуват неговата повърхност. Частта от пространството, ограничена от даден полиедър, се нарича негова вътрешност.

Определение: призма

Разгледайте два равни многоъгълника \(A_1A_2A_3...A_n\) и \(B_1B_2B_3...B_n\), разположени в успоредни равнини, така че сегментите \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\)са успоредни. Многостен, образуван от многоъгълници \(A_1A_2A_3...A_n\) и \(B_1B_2B_3...B_n\), както и успоредници \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), се нарича (\(n\)-въглища) призма.

Многоъгълниците \(A_1A_2A_3...A_n\) и \(B_1B_2B_3...B_n\) се наричат основи на призмата, успоредник \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– странични лица, сегменти \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- странични ребра.
По този начин страничните ръбове на призмата са успоредни и равни един на друг.

Помислете за пример - призма \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), чиято основа е изпъкнал петоъгълник.

ВисочинаПризма е перпендикуляр от всяка точка на една основа към равнината на друга основа.

Ако страничните ръбове не са перпендикулярни на основата, тогава се нарича такава призма косо(фиг. 1), в противен случай - прав. За права призма страничните ръбове са височини, а страничните лица са равни правоъгълници.

Ако правилен многоъгълник лежи в основата на права призма, тогава призмата се нарича правилно.

Определение: понятие за обем

Единицата за обем е единичен куб (куб с размери \(1\times1\times1\) единици\(^3\) , където единица е някаква мерна единица).

Можем да кажем, че обемът на полиедър е количеството пространство, което този полиедър ограничава. В противен случай: това е стойност, чиято числена стойност показва колко пъти единичен куб и неговите части се вписват в даден полиедър.

Обемът има същите свойства като площта:

1. Обемите на еднакви фигури са равни.

2. Ако полиедърът е съставен от няколко непресичащи се многостени, тогава обемът му е равен на сумата от обемите на тези полиедри.

3. Обемът е неотрицателна стойност.

4. Обемът се измерва в cm\(^3\) (кубични сантиметри), m\(^3\) (кубични метри) и т.н.

Теорема

1. Площта на страничната повърхност на призмата е равна на произведението на периметъра на основата и височината на призмата.
Площта на страничната повърхност е сумата от площите на страничните стени на призмата.

2. Обемът на призмата е равен на произведението на площта на основата и височината на призмата: \

Определение: кутия

паралелепипедТова е призма, чиято основа е успоредник.

Всички лица на паралелепипеда (техните \(6\) : \(4\) странични стени и \(2\) основи) са успоредници, а противоположните страни (успоредни една на друга) са равни успоредници (фиг. 2).

Диагонал на кутиятае сегмент, свързващ два върха на паралелепипед, които не лежат на едно и също лице (техните \(8\) : \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\)и т.н.).

кубоиде прав паралелепипед с правоъгълник в основата си.
защото е прав паралелепипед, тогава страничните стени са правоъгълници. Така че, общо взето, всички лица на правоъгълен паралелепипед са правоъгълници.

Всички диагонали на кубоид са равни (това следва от равенството на триъгълниците \(\триъгълник ACC_1=\триъгълник AA_1C=\триъгълник BDD_1=\триъгълник BB_1D\)и т.н.).

Коментирайте

По този начин паралелепипедът има всички свойства на призмата.

Теорема

Площта на страничната повърхност на правоъгълен паралелепипед е равна на \

Общата повърхност на правоъгълен паралелепипед е \

Теорема

Обемът на кубоид е равен на произведението на три от неговите ръбове, излизащи от един връх (три измерения на кубоид): \

Доказателство

защото за правоъгълен паралелепипед страничните ръбове са перпендикулярни на основата, тогава те са и неговите височини, тоест \(h=AA_1=c\) основата е правоъгълник \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Ето откъде идва формулата.

Теорема

Диагоналът \(d\) на кубоид се търси по формулата (където \(a,b,c\) са размерите на кубоида)\

Доказателство

Разгледайте фиг. 3. Защото основата е правоъгълник, тогава \(\триъгълник ABD\) е правоъгълен, следователно, съгласно Питагоровата теорема \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

защото тогава всички странични ръбове са перпендикулярни на основите \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\)перпендикулярна на всяка права в тази равнина, т.е. \(BB_1\perp BD\) . Така че \(\триъгълник BB_1D\) е правоъгълен. Тогава по Питагоровата теорема \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Определение: куб

кубе правоъгълен паралелепипед, всички страни на който са равни квадрати.

Така трите измерения са равни едно на друго: \(a=b=c\) . Така че следните са верни

Теореми

1. Обемът на куб с ръб \(a\) е \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. Диагоналът на куба се търси по формулата \(d=a\sqrt3\) .

3. Обща повърхност на куб \(S_(\текст(пълни итерации на куб))=6a^2\).

Често учениците възмутено питат: „Как това ще ми бъде полезно в живота? По всяка тема от всеки предмет. Темата за обема на паралелепипед не прави изключение. И тук е просто възможно да се каже: „Ще дойде по-удобно“.

Как например да разберете дали колетът ще се побере в пощенска кутия? Разбира се, можете да изберете правилния чрез проба и грешка. Ами ако няма такава възможност? Тогава изчисленията ще дойдат на помощ. Познавайки капацитета на кутията, можете да изчислите обема на колета (поне приблизително) и да отговорите на въпроса.

Паралелепипед и неговите видове

Ако буквално преведем името му от старогръцки, се оказва, че това е фигура, състояща се от успоредни равнини. Има такива еквивалентни дефиниции на паралелепипед:

призма с основа под формата на успоредник;
многостен, всяко лице на който е успоредник.

Видовете му се разграничават в зависимост от това коя фигура лежи в основата му и как са насочени страничните ребра. Като цяло се говори за наклонен паралелепипедчиято основа и всички лица са успоредници. Ако страничните повърхности на предишния изглед станат правоъгълници, тогава ще трябва вече да се извика директен. И при правоъгълени основата също има 90º ъгли.

Освен това в геометрията те се опитват да изобразят последното по такъв начин, че да се забележи, че всички ръбове са успоредни. Тук, между другото, се наблюдава основната разлика между математици и художници. За последното е важно да предаде тялото в съответствие със закона на перспективата. И в този случай успоредността на ръбовете е напълно невидима.

За въведената нотация

Във формулите по-долу са валидни обозначенията, посочени в таблицата.

Формули за наклонена кутия

Първият и вторият за области:

Третият е за изчисляване на обема на кутията:

Тъй като основата е успоредник, за да изчислите неговата площ, ще трябва да използвате подходящите изрази.

Формули за паралелепипед

Подобно на първия параграф - две формули за площи:

И още едно за обем:

Първа задача

Състояние. Даден е правоъгълен паралелепипед, чийто обем трябва да се намери. Известен е диагоналът - 18 см - и фактът, че той образува ъгли от 30 и 45 градуса съответно с равнината на страничната повърхност и страничния ръб.

Решение.За да отговорите на въпроса на проблема, трябва да намерите всички страни в три правоъгълни триъгълника. Те ще дадат необходимите стойности на ръба, за които трябва да изчислите обема.

Първо трябва да разберете къде е ъгълът от 30º. За да направите това, трябва да начертаете диагонал на страничната повърхност от същия връх, от който е изчертан основният диагонал на успоредника. Ъгълът между тях ще бъде това, от което се нуждаете.

Първият триъгълник, който ще даде една от страните на основата, ще бъде следният. Той съдържа желаната страна и два начертани диагонала. Тя е правоъгълна. Сега трябва да използвате съотношението на противоположния крак (основната страна) и хипотенузата (диагонал). То е равно на синус от 30º. Тоест, неизвестната страна на основата ще бъде определена като диагонал, умножен по синуса от 30º или ½. Нека е отбелязано с буквата "а".

Вторият ще бъде триъгълник, съдържащ известен диагонал и ръб, с който образува 45º. Той също е правоъгълен и можете отново да използвате отношението на катета към хипотенузата. С други думи, страничният ръб към диагонала. То е равно на косинус от 45º. Тоест, "c" се изчислява като произведение на диагонала и косинуса от 45º.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).

В същия триъгълник трябва да намерите друг крак. Това е необходимо, за да се изчисли след това третото неизвестно - "in". Нека бъде отбелязано с буквата "х". Лесно е да се изчисли с помощта на Питагоровата теорема:

x \u003d √ (18 2 - (9 √ 2) 2) \u003d 9 √ 2 (cm).

Сега трябва да разгледаме друг правоъгълен триъгълник. Той съдържа вече познатите страни "c", "x" и тази, която трябва да се преброи, "c":

c \u003d √ ((9 √ 2) 2 - 9 2 \u003d 9 (cm).

И трите количества са известни. Можете да използвате формулата за обем и да го изчислите:

V = 9 * 9 * 9√2 \u003d 729√2 (cm 3).

Отговор:обемът на паралелепипеда е 729√2 cm 3 .

Втора задача

Състояние. Намерете обема на паралелепипеда. Познава страните на лежащия в основата успоредник 3 и 6 см, както и острия му ъгъл - 45º. Страничното ребро е с наклон към основата 30º и е равно на 4 cm.

Решение.За да отговорите на въпроса на проблема, трябва да вземете формулата, която е написана за обема на наклонен паралелепипед. Но и двете количества са неизвестни в него.

Площта на основата, тоест успоредникът, ще се определя от формулата, в която трябва да умножите известните страни и синуса на острия ъгъл между тях.

S o \u003d 3 * 6 sin 45º \u003d 18 * (√2) / 2 \u003d 9 √2 (cm 2).

Второто неизвестно е височината. Може да се изтегли от всеки от четирите върха над основата. Може да се намери от правоъгълен триъгълник, в който височината е катет, а страничният ръб е хипотенузата. В този случай ъгъл от 30º лежи срещу неизвестната височина. И така, можете да използвате отношението на катета към хипотенузата.

n \u003d 4 * sin 30º \u003d 4 * 1/2 \u003d 2.

Сега всички стойности са известни и можете да изчислите обема:

V \u003d 9 √2 * 2 \u003d 18 √2 (cm 3).

Отговор:обемът е 18 √2 cm 3 .

Трета задача

Състояние. Намерете обема на паралелепипеда, ако е известно, че е права линия. Страните на основата му образуват успоредник и са равни на 2 и 3 см. Острият ъгъл между тях е 60º. По-малкият диагонал на паралелепипеда е равен на по-големия диагонал на основата.

Решение.За да намерим обема на паралелепипед, използваме формулата с основната площ и височината. И двете величини са неизвестни, но са лесни за изчисляване. Първият е височината.

Тъй като по-малкият диагонал на паралелепипеда е със същия размер като по-голямата основа, те могат да бъдат обозначени със същата буква d. Най-големият ъгъл на успоредник е 120º, тъй като той образува 180º с остър. Нека вторият диагонал на основата се обозначи с буквата "x". Сега за двата диагонала на основата могат да бъдат записани косинусови теореми:

d 2 \u003d a 2 + in 2 - 2av cos 120º,

x 2 \u003d a 2 + in 2 - 2ab cos 60º.

Намирането на стойности без квадрати няма смисъл, тъй като тогава те отново ще бъдат повдигнати до втората степен. След заместване на данните се оказва:

d 2 \u003d 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ \u003d 19,

x 2 \u003d a 2 + in 2 - 2ab cos 60º \u003d 4 + 9 - 12 * ½ \u003d 7.

Сега височината, която също е страничният ръб на паралелепипеда, ще бъде катетът в триъгълника. Хипотенузата ще бъде известният диагонал на тялото, а вторият катет ще бъде "x". Можете да напишете Питагоровата теорема:

n 2 \u003d d 2 - x 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.

Следователно: n = √12 = 2√3 (cm).

Сега второто неизвестно количество е площта на основата. Може да се изчисли с помощта на формулата, спомената във втората задача.

S o \u003d 2 * 3 sin 60º \u003d 6 * √3/2 \u003d 3 √3 (cm 2).

Комбинирайки всичко във формула за обем, получаваме:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

Отговор: V \u003d 18 cm 3.

Четвъртата задача

Състояние. Необходимо е да се намери обемът на паралелепипед, който отговаря на следните условия: основата е квадрат със страна 5 cm; страничните лица са ромби; един от върховете над основата е на еднакво разстояние от всички върхове, лежащи в основата.

Решение.Първо трябва да се справите със състоянието. Няма въпроси с първия параграф за площада. Второто, за ромбовете, показва, че паралелепипедът е наклонен. Освен това всичките му ръбове са равни на 5 см, тъй като страните на ромба са еднакви. А от третия става ясно, че трите диагонала, изведени от него, са равни. Това са две, които лежат на страничните стени, а последната е вътре в паралелепипеда. И тези диагонали са равни на ръба, тоест те също имат дължина 5 см.

За да определите обема, ще ви е необходима формула, написана за наклонен паралелепипед. Отново в него няма известни количества. Площта на основата обаче е лесна за изчисляване, тъй като е квадрат.

S o \u003d 5 2 \u003d 25 (cm 2).

Малко по-труден е случаят с височината. Тя ще бъде такава в три фигури: паралелепипед, четириъгълна пирамида и равнобедрен триъгълник. Трябва да се използва последното обстоятелство.

Тъй като е височина, това е катет в правоъгълен триъгълник. Хипотенузата в него ще бъде известен ръб, а вторият крак е равен на половината от диагонала на квадрата (височината също е медианата). И диагоналът на основата е лесен за намиране:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).

Височината ще трябва да се изчисли като разликата на втората степен на ръба и квадрата на половината от диагонала и не забравяйте да извлечете квадратния корен:

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).

V \u003d 25 * 2,5 √2 \u003d 62,5 √2 (cm 3).

Отговор: 62,5 √2 (cm 3).