Quelle figure est la base du parallélépipède. cuboïde

Un parallélépipède est un prisme quadrangulaire dont les bases sont des parallélogrammes. La hauteur d'un parallélépipède est la distance entre les plans de ses bases. Dans la figure, la hauteur est représentée par une ligne . Il existe deux types de parallélépipèdes : droits et obliques. En règle générale, le tuteur en mathématiques donne d'abord les définitions appropriées pour le prisme, puis les transfère dans la boîte. Nous ferons de même.

Je rappelle qu'un prisme est dit droit si ses arêtes latérales sont perpendiculaires aux bases, s'il n'y a pas de perpendicularité, le prisme est dit oblique. Cette terminologie est également héritée par le parallélépipède. Un parallélépipède droit n'est rien d'autre qu'une sorte de prisme droit dont le bord latéral coïncide avec la hauteur. Les définitions de concepts tels que face, arête et sommet, communs à toute la famille des polyèdres, sont conservées. Le concept de faces opposées apparaît. Un parallélépipède a 3 paires de faces opposées, 8 sommets et 12 arêtes.

La diagonale d'un parallélépipède (la diagonale d'un prisme) est un segment qui relie deux sommets d'un polyèdre et ne se trouve sur aucune de ses faces.

Une section diagonale est une section d'un parallélépipède passant par sa diagonale et la diagonale de sa base.

Propriétés de la boîte oblique:
1) Toutes ses faces sont des parallélogrammes et les faces opposées sont des parallélogrammes égaux.
2)Les diagonales du parallélépipède se coupent en un point et se coupent en ce point.
3)Chaque parallélépipède est composé de six pyramides triangulaires de même volume. Pour les montrer à un élève, un tuteur en mathématiques doit couper une moitié du parallélépipède avec sa section diagonale et le décomposer séparément en 3 pyramides. Leurs bases doivent reposer sur des faces différentes de la boîte d'origine. Un tuteur en mathématiques trouvera une application à cette propriété en géométrie analytique. Il est utilisé pour dériver le volume de la pyramide à travers le produit mixte de vecteurs.

Formules pour le volume d'un parallélépipède:
1) , où est l'aire de la base, h est la hauteur.
2) Le volume du parallélépipède est égal au produit de l'aire la Coupe transversale sur le bord latéral.
professeur de mathématiques: Comme vous le savez, la formule est commune à tous les prismes, et si l'enseignant l'a déjà prouvé, il est inutile de répéter la même chose pour le parallélépipède. Cependant, lorsqu'on travaille avec un élève de niveau moyen (une formule faible n'est pas utile), il est conseillé à l'enseignant d'agir exactement à l'inverse. Laissez le prisme seul et effectuez une démonstration précise du parallélépipède.
3) , où est le volume d'une des six pyramides triangulaires qui composent le parallélépipède.
4) Si , alors

L'aire de la surface latérale d'un parallélépipède est la somme des aires de toutes ses faces :
La surface totale d'un parallélépipède est la somme des aires de toutes ses faces, c'est-à-dire l'aire + deux aires de base :.

À propos du travail d'un tuteur avec un parallélépipède incliné:
Un tuteur en mathématiques ne traite pas souvent des problèmes sur un parallélépipède incliné. La probabilité de leur apparition à l'examen est assez faible et la didactique est indécemment médiocre. Un problème plus ou moins décent sur le volume d'un parallélépipède incliné pose de sérieux problèmes liés à la détermination de l'emplacement du point H - la base de sa hauteur. Dans ce cas, il peut être conseillé au professeur de mathématiques de réduire la boîte à l'une de ses six pyramides (dont il est question dans la propriété n° 3), d'essayer de trouver son volume et de le multiplier par 6.

Si le bord latéral du parallélépipède a des angles égaux avec les côtés de la base, alors H est sur la bissectrice de l'angle A de la base ABCD. Et si, par exemple, ABCD est un losange, alors

Tâches du tuteur en mathématiques:
1) Les faces d'un parallélépipède sont des faces égales de 2 cm de côté et d'angle aigu. Trouver le volume du parallélépipède.
2) Dans un parallélépipède incliné, le bord latéral mesure 5 cm. La section qui lui est perpendiculaire est un quadrilatère avec des diagonales mutuellement perpendiculaires ayant des longueurs de 6 cm et 8 cm Calculez le volume du parallélépipède.
3) Dans un parallélépipède oblique, on sait que , et dans la définition de ABCD est un losange de 2 cm de côté et d'angle . Déterminer le volume du parallélépipède.

Professeur de mathématiques, Alexander Kolpakov

Dans cette leçon, tout le monde pourra étudier le sujet "Boîte rectangulaire". Au début de la leçon, nous répéterons ce qu'est un parallélépipède arbitraire et droit, rappellerons les propriétés de leurs faces opposées et des diagonales du parallélépipède. Ensuite, nous examinerons ce qu'est un cuboïde et discuterons de ses principales propriétés.

Sujet : Perpendicularité des lignes et des plans

Leçon : Cuboïde

Une surface composée de deux parallélogrammes égaux ABCD et A 1 B 1 C 1 D 1 et de quatre parallélogrammes ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 est appelée parallélépipède(Fig. 1).

Riz. 1 parallélépipède

Autrement dit: nous avons deux parallélogrammes égaux ABCD et A 1 B 1 C 1 D 1 (bases), ils se trouvent dans des plans parallèles de sorte que les bords latéraux AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 sont parallèles. Ainsi, une surface composée de parallélogrammes est appelée parallélépipède.

Ainsi, la surface d'un parallélépipède est la somme de tous les parallélogrammes qui composent le parallélépipède.

1. Les faces opposées d'un parallélépipède sont parallèles et égales.

(les chiffres sont égaux, c'est-à-dire qu'ils peuvent être combinés par superposition)

Par exemple:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (parallélogrammes égaux par définition),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (puisque AA 1 B 1 B et DD 1 C 1 C sont des faces opposées du parallélépipède),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (puisque AA 1 D 1 D et BB 1 C 1 C sont des faces opposées du parallélépipède).

2. Les diagonales du parallélépipède se coupent en un point et coupent ce point en deux.

Les diagonales du parallélépipède AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se coupent en un point O, et chaque diagonale est divisée en deux par ce point (Fig. 2).

Riz. 2 Les diagonales du parallélépipède se coupent et coupent en deux le point d'intersection.

3. Il y a trois quadruples d'arêtes égales et parallèles du parallélépipède: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Définition. Un parallélépipède est dit droit si ses bords latéraux sont perpendiculaires aux bases.

Soit le bord latéral AA 1 perpendiculaire à la base (Fig. 3). Cela signifie que la ligne AA 1 est perpendiculaire aux lignes AD et AB, qui se trouvent dans le plan de la base. Et, par conséquent, des rectangles se trouvent dans les faces latérales. Et les bases sont des parallélogrammes arbitraires. Notons, ∠BAD = φ, l'angle φ peut être quelconque.

Riz. 3 Case droite

Ainsi, une boîte droite est une boîte dont les bords latéraux sont perpendiculaires aux bases de la boîte.

Définition. Le parallélépipède est dit rectangle, si ses bords latéraux sont perpendiculaires à la base. Les bases sont des rectangles.

Le parallélépipède АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 est rectangle (Fig. 4) si :

1. AA 1 ⊥ ABCD (le bord latéral est perpendiculaire au plan de la base, c'est-à-dire un parallélépipède droit).

2. ∠BAD = 90°, c'est-à-dire que la base est un rectangle.

Riz. 4 Cuboïde

Une boîte rectangulaire a toutes les propriétés d'une boîte arbitraire. Mais il existe des propriétés supplémentaires qui sont dérivées de la définition d'un cuboïde.

Alors, cuboïde est un parallélépipède dont les bords latéraux sont perpendiculaires à la base. La base d'un cuboïde est un rectangle.

1. Dans un cuboïde, les six faces sont des rectangles.

ABCD et A 1 B 1 C 1 D 1 sont des rectangles par définition.

2. Les nervures latérales sont perpendiculaires à la base. Cela signifie que toutes les faces latérales d'un cuboïde sont des rectangles.

3. Tous les angles dièdres d'un cuboïde sont des angles droits.

Considérons, par exemple, l'angle dièdre d'un parallélépipède rectangle avec une arête AB, c'est-à-dire l'angle dièdre entre les plans ABB 1 et ABC.

AB est une arête, le point A 1 se trouve dans un plan - dans le plan ABB 1, et le point D dans l'autre - dans le plan A 1 B 1 C 1 D 1. Alors l'angle dièdre considéré peut aussi être noté comme suit : ∠А 1 АВD.

Prendre le point A sur l'arête AB. AA 1 est perpendiculaire à l'arête AB dans le plan ABB-1, AD est perpendiculaire à l'arête AB dans le plan ABC. Par conséquent, ∠A 1 AD est l'angle linéaire de l'angle dièdre donné. ∠A 1 AD \u003d 90 °, ce qui signifie que l'angle dièdre au bord AB est de 90 °.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

On prouve de même que tous les angles dièdres d'un parallélépipède rectangle sont droits.

Le carré de la diagonale d'un cuboïde est égal à la somme des carrés de ses trois dimensions.

Noter. Les longueurs des trois arêtes issues du même sommet du cuboïde sont les mesures du cuboïde. Ils sont parfois appelés longueur, largeur, hauteur.

Donné: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - un parallélépipède rectangle (Fig. 5).

Prouver: .

Riz. 5 Cuboïde

Preuve:

La droite CC 1 est perpendiculaire au plan ABC, donc à la droite AC. Donc le triangle CC 1 A est un triangle rectangle. D'après le théorème de Pythagore :

Considérons un triangle rectangle ABC. D'après le théorème de Pythagore :

Mais BC et AD - côtés opposés rectangle. Donc BC = AD. Alors:

Car , un , alors. Puisque CC 1 = AA 1, alors ce qui devait être prouvé.

Les diagonales d'un parallélépipède rectangle sont égales.

Désignons les dimensions du parallélépipède ABC par a, b, c (voir Fig. 6), puis AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Un parallélépipède est une figure géométrique dont les 6 faces sont des parallélogrammes.

Selon le type de ces parallélogrammes, on distingue les types de parallélépipèdes suivants :

droit;
incliné;
rectangulaire.

Un parallélépipède rectangle est un prisme quadrangulaire dont les arêtes font un angle de 90° avec le plan de base.

Un parallélépipède rectangle est un prisme quadrangulaire dont toutes les faces sont des rectangles. Un cube est une sorte de prisme quadrangulaire dont toutes les faces et arêtes sont égales.

Les traits d'une figure prédéterminent ses propriétés. Celles-ci incluent les 4 déclarations suivantes :

Se souvenir de toutes les propriétés ci-dessus est simple, elles sont faciles à comprendre et sont dérivées logiquement en fonction du type et des caractéristiques du corps géométrique. Cependant, des instructions simples peuvent être extrêmement utiles lors de la résolution de tâches USE typiques et permettront de gagner du temps pour réussir le test.

Formules parallélépipédiques

Pour trouver des réponses au problème, il ne suffit pas de connaître uniquement les propriétés de la figure. Vous aurez peut-être aussi besoin de formules pour trouver l'aire et le volume d'un corps géométrique.

L'aire des bases se trouve également comme l'indicateur correspondant d'un parallélogramme ou d'un rectangle. Vous pouvez choisir vous-même la base du parallélogramme. En règle générale, lors de la résolution de problèmes, il est plus facile de travailler avec un prisme basé sur un rectangle.

La formule pour trouver la surface latérale d'un parallélépipède peut également être nécessaire dans les tâches de test.

Exemples de résolution de tâches USE typiques

Exercice 1.

Donné: un cuboïde avec des mesures de 3, 4 et 12 cm.
Nécessaire Trouver la longueur de l'une des diagonales principales de la figure.
La solution: Toute solution à un problème géométrique doit commencer par la construction d'un dessin correct et clair, sur lequel seront indiqués "donné" et la valeur souhaitée. La figure ci-dessous est un exemple conception correcte conditions de la tâche.

Après avoir considéré le dessin réalisé et en se souvenant de toutes les propriétés d'un corps géométrique, nous arrivons à la seule manière correcte de le résoudre. En appliquant la propriété 4 du parallélépipède, on obtient l'expression suivante :

Après des calculs simples, on obtient l'expression b2=169, donc b=13. La réponse à la tâche a été trouvée, cela ne devrait pas prendre plus de 5 minutes pour la rechercher et la dessiner.

Tâche 2.

Donné: une boîte oblique avec un bord latéral de 10 cm, un rectangle KLNM de dimensions 5 et 7 cm, qui est une section de la figure parallèle au bord spécifié.
Nécessaire Trouvez l'aire de la surface latérale du prisme quadrangulaire.
La solution: Vous devez d'abord esquisser les données.

Pour résoudre cette tâche, vous devez faire preuve d'ingéniosité. On peut voir sur la figure que les côtés KL et AD sont inégaux, ainsi que la paire ML et DC. Cependant, les périmètres de ces parallélogrammes sont évidemment égaux.

Par conséquent, l'aire latérale de la figure sera égale à l'aire de la section multipliée par la nervure AA1, car la condition de la nervure est perpendiculaire à la section. Réponse : 240 cm2.

Définition

polyèdre nous appellerons une surface fermée composée de polygones et délimitant une partie de l'espace.

Les segments qui sont les côtés de ces polygones sont appelés travers de porc polyèdre, et les polygones eux-mêmes - visages. Les sommets des polygones sont appelés les sommets du polyèdre.

Nous ne considérerons que des polyèdres convexes (il s'agit d'un polyèdre qui se trouve d'un côté de chaque plan contenant sa face).

Les polygones qui composent un polyèdre forment sa surface. La partie de l'espace délimitée par un polyèdre donné est appelée son intérieur.

Définition : prisme

Considérons deux polygones égaux \(A_1A_2A_3...A_n\) et \(B_1B_2B_3...B_n\) situés dans des plans parallèles de sorte que les segments \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) sont parallèles. Polyèdre formé des polygones \(A_1A_2A_3...A_n\) et \(B_1B_2B_3...B_n\) , ainsi que des parallélogrammes \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), est appelé (\(n\)-charbon) prisme.

Les polygones \(A_1A_2A_3...A_n\) et \(B_1B_2B_3...B_n\) sont appelés les bases du prisme, parallélogramme \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– faces latérales, segments \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- nervures latérales.
Ainsi, les bords latéraux du prisme sont parallèles et égaux entre eux.

Prenons un exemple - un prisme \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), dont la base est un pentagone convexe.

Hauteur Un prisme est une perpendiculaire de n'importe quel point d'une base au plan d'une autre base.

Si les bords latéraux ne sont pas perpendiculaires à la base, alors un tel prisme est appelé oblique(Fig. 1), sinon - droit. Pour un prisme droit, les arêtes latérales sont des hauteurs et les faces latérales sont des rectangles égaux.

Si un polygone régulier se trouve à la base d'un prisme droit, alors le prisme est appelé corriger.

Définition : notion de volume

L'unité de volume est un cube unitaire (cube de dimensions \(1\times1\times1\) units\(^3\) , où unit est une unité de mesure).

On peut dire que le volume d'un polyèdre est la quantité d'espace que ce polyèdre limite. Sinon : c'est une valeur dont la valeur numérique indique combien de fois un cube unité et ses parties rentrent dans un polyèdre donné.

Le volume a les mêmes propriétés que l'aire :

1. Les volumes de chiffres égaux sont égaux.

2. Si un polyèdre est composé de plusieurs polyèdres non sécants, alors son volume est égal à la somme des volumes de ces polyèdres.

3. Le volume est une valeur non négative.

4. Le volume est mesuré en cm\(^3\) (centimètres cubes), m\(^3\) (mètres cubes), etc.

Théorème

1. L'aire de la surface latérale du prisme est égale au produit du périmètre de la base et de la hauteur du prisme.
La surface latérale est la somme des surfaces des faces latérales du prisme.

2. Le volume du prisme est égal au produit de l'aire de base et de la hauteur du prisme : \

Définition : boîte

Parallélépipède C'est un prisme dont la base est un parallélogramme.

Toutes les faces du parallélépipède (leurs faces latérales \(6\) : \(4\) et leurs bases \(2\)) sont des parallélogrammes, et les faces opposées (parallèles entre elles) sont des parallélogrammes égaux (Fig. 2).

Diagonale de la boîte est un segment reliant deux sommets d'un parallélépipède qui n'appartiennent pas à la même face (leur \(8\) : \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\) etc.).

cuboïde est un parallélépipède rectangle ayant un rectangle à sa base.
Car est un parallélépipède rectangle, alors les faces latérales sont des rectangles. Donc, en général, toutes les faces d'un parallélépipède rectangle sont des rectangles.

Toutes les diagonales d'un cuboïde sont égales (cela découle de l'égalité des triangles \(\triangle ACC_1=\triangle AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D\) etc.).

Commentaire

Ainsi, le parallélépipède a toutes les propriétés d'un prisme.

Théorème

L'aire de la surface latérale d'un parallélépipède rectangle est égale à \

La surface totale d'un parallélépipède rectangle est \

Théorème

Le volume d'un cuboïde est égal au produit de ses trois arêtes sortant d'un sommet (trois dimensions d'un cuboïde) : \

Preuve

Car pour un parallélépipède rectangle, les arêtes latérales sont perpendiculaires à la base, donc ce sont aussi ses hauteurs, soit \(h=AA_1=c\) la base est un rectangle \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). C'est de là que vient la formule.

Théorème

La diagonale \(d\) d'un cuboïde est recherchée par la formule (où \(a,b,c\) sont les dimensions du cuboïde)\

Preuve

Considérez la Fig. 3. Parce que la base est un rectangle, alors \(\triangle ABD\) est rectangulaire, donc, d'après le théorème de Pythagore \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Car tous les bords latéraux sont perpendiculaires aux bases, alors \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) perpendiculaire à n'importe quelle droite de ce plan, c'est-à-dire \(BB_1\perp BD\) . Donc \(\triangle BB_1D\) est rectangulaire. Alors par le théorème de Pythagore \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Définition : cubes

cube est un parallélépipède rectangle dont tous les côtés sont des carrés égaux.

Ainsi, les trois dimensions sont égales entre elles : \(a=b=c\) . Donc ce qui suit est vrai

Théorèmes

1. Le volume d'un cube d'arête \(a\) est \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. La diagonale du cube est recherchée par la formule \(d=a\sqrt3\) .

3. Surface totale d'un cube \(S_(\text(itérations complètes du cube))=6a^2\).

Souvent, les étudiants demandent avec indignation: "En quoi cela me sera-t-il utile dans la vie?". Sur n'importe quel sujet de chaque sujet. Le sujet du volume d'un parallélépipède ne fait pas exception. Et ici, il est juste possible de dire: "Cela sera utile."

Comment, par exemple, savoir si un colis rentrera dans une boîte aux lettres ? Bien sûr, vous pouvez choisir le bon par essais et erreurs. Et s'il n'y a pas une telle possibilité? Ensuite, les calculs viendront à la rescousse. Connaissant la capacité de la boîte, vous pouvez calculer le volume du colis (au moins approximativement) et répondre à la question.

Parallélépipède et ses types

Si nous traduisons littéralement son nom du grec ancien, il s'avère qu'il s'agit d'une figure composée de plans parallèles. Il existe de telles définitions équivalentes d'un parallélépipède :

un prisme à base en forme de parallélogramme ;
polyèdre dont chaque face est un parallélogramme.

Ses types se distinguent en fonction de la figure qui se trouve à sa base et de la direction des nervures latérales. En général, on parle de parallélépipède oblique dont la base et toutes les faces sont des parallélogrammes. Si les faces latérales de la vue précédente deviennent des rectangles, il faudra alors l'appeler déjà direct. Et à rectangulaire et la base a également des angles de 90º.

De plus, en géométrie, ils essaient de représenter ce dernier de manière à ce que l'on remarque que toutes les arêtes sont parallèles. Ici, soit dit en passant, la principale différence entre les mathématiciens et les artistes est observée. Il est important pour ce dernier de véhiculer le corps dans le respect de la loi de la perspective. Et dans ce cas, le parallélisme des arêtes est totalement invisible.

À propos de la notation introduite

Dans les formules ci-dessous, les désignations indiquées dans le tableau sont valables.

Formules pour une boîte oblique

Le premier et le second pour les zones :

Le troisième sert à calculer le volume de la boîte :

Puisque la base est un parallélogramme, pour calculer son aire, vous devrez utiliser les expressions appropriées.

Formules pour un cuboïde

De même au premier paragraphe - deux formules pour les zones :

Et un de plus pour le volume :

Première tâche

Condition. Soit un parallélépipède rectangle dont on cherche le volume. La diagonale est connue - 18 cm - et le fait qu'elle forme des angles de 30 et 45 degrés avec le plan de la face latérale et du bord latéral, respectivement.

La solution. Pour répondre à la question du problème, vous devez connaître tous les côtés de trois triangles rectangles. Ils donneront les valeurs de bord nécessaires pour lesquelles vous devez calculer le volume.

Vous devez d'abord déterminer où se trouve l'angle de 30º. Pour ce faire, vous devez dessiner une diagonale de la face latérale à partir du même sommet à partir duquel la diagonale principale du parallélogramme a été dessinée. L'angle entre eux sera ce dont vous avez besoin.

Le premier triangle, qui donnera un des côtés de la base, sera le suivant. Il contient le côté souhaité et deux diagonales dessinées. Il est rectangulaire. Maintenant, vous devez utiliser le rapport entre la jambe opposée (côté de la base) et l'hypoténuse (diagonale). Il est égal au sinus de 30º. C'est-à-dire que le côté inconnu de la base sera déterminé comme la diagonale multipliée par le sinus de 30º ou ½. Qu'il soit marqué de la lettre "a".

Le second sera un triangle contenant une diagonale connue et une arête avec laquelle il forme 45º. Il est également rectangulaire et vous pouvez à nouveau utiliser le rapport de la jambe à l'hypoténuse. En d'autres termes, le bord latéral à la diagonale. Il est égal au cosinus de 45º. C'est-à-dire que "c" est calculé comme le produit de la diagonale et du cosinus de 45º.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).

Dans le même triangle, vous devez trouver une autre jambe. Ceci est nécessaire pour calculer ensuite la troisième inconnue - "in". Qu'il soit marqué de la lettre "x". Il est facile de calculer en utilisant le théorème de Pythagore :

x \u003d √ (18 2 - (9 √ 2) 2) \u003d 9 √ 2 (cm).

Maintenant, nous devons considérer un autre triangle rectangle. Il contient les côtés déjà connus "c", "x" et celui qui doit être compté, "c":

c \u003d √ ((9 √ 2) 2 - 9 2 \u003d 9 (cm).

Les trois grandeurs sont connues. Vous pouvez utiliser la formule pour le volume et le calculer :

V \u003d 9 * 9 * 9√2 \u003d 729√2 (cm 3).

Réponse: le volume du parallélépipède est de 729√2 cm 3 .

Deuxième tâche

Condition. Trouver le volume du parallélépipède. Il connaît les côtés du parallélogramme qui se trouve à la base, 3 et 6 cm, ainsi que son angle aigu - 45º. La nervure latérale a une inclinaison à la base de 30º et est égale à 4 cm.

La solution. Pour répondre à la question du problème, vous devez prendre la formule qui a été écrite pour le volume d'un parallélépipède incliné. Mais les deux quantités y sont inconnues.

L'aire de la base, c'est-à-dire le parallélogramme, sera déterminée par la formule dans laquelle vous devez multiplier les côtés connus et le sinus de l'angle aigu entre eux.

Donc o \u003d 3 * 6 sin 45º \u003d 18 * (√2) / 2 \u003d 9 √2 (cm 2).

La deuxième inconnue est la hauteur. Il peut être tiré de n'importe lequel des quatre sommets au-dessus de la base. Il peut être trouvé à partir d'un triangle rectangle, dans lequel la hauteur est la jambe et le bord latéral est l'hypoténuse. Dans ce cas, un angle de 30º est opposé à la hauteur inconnue. Ainsi, vous pouvez utiliser le rapport de la jambe à l'hypoténuse.

n \u003d 4 * sin 30º \u003d 4 * 1/2 \u003d 2.

Maintenant toutes les valeurs sont connues et vous pouvez calculer le volume :

V \u003d 9 √2 * 2 \u003d 18 √2 (cm 3).

Réponse: le volume est de 18 √2 cm 3 .

Troisième tâche

Condition. Trouver le volume du parallélépipède s'il est connu pour être une droite. Les côtés de sa base forment un parallélogramme et sont égaux à 2 et 3 cm, l'angle aigu entre eux est de 60º. La plus petite diagonale du parallélépipède est égale à la plus grande diagonale de la base.

La solution. Pour connaître le volume d'un parallélépipède, on utilise la formule avec l'aire de base et la hauteur. Les deux quantités sont inconnues, mais elles sont faciles à calculer. Le premier est la hauteur.

Puisque la plus petite diagonale du parallélépipède a la même taille que la plus grande base, elles peuvent être désignées par la même lettre d. Le plus grand angle d'un parallélogramme est de 120º, puisqu'il forme 180º avec un aigu. Soit la deuxième diagonale de la base désignée par la lettre "x". Maintenant, pour les deux diagonales de la base, les théorèmes du cosinus peuvent s'écrire :

d 2 \u003d un 2 + en 2 - 2av cos 120º,

x 2 \u003d un 2 + en 2 - 2ab cos 60º.

Trouver des valeurs sans carrés n'a pas de sens, car elles seront alors à nouveau élevées à la deuxième puissance. Après substitution des données, il s'avère :

d 2 \u003d 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ \u003d 19,

x 2 \u003d un 2 + en 2 - 2ab cos 60º \u003d 4 + 9 - 12 * ½ \u003d 7.

Maintenant, la hauteur, qui est aussi le bord latéral du parallélépipède, sera la jambe du triangle. L'hypoténuse sera la diagonale connue du corps et la deuxième jambe sera "x". Vous pouvez écrire le théorème de Pythagore :

n 2 \u003d d 2 - x 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.

D'où : n = √12 = 2√3 (cm).

Maintenant, la deuxième quantité inconnue est l'aire de la base. Il peut être calculé en utilisant la formule mentionnée dans le deuxième problème.

Donc o \u003d 2 * 3 sin 60º \u003d 6 * √3/2 \u003d 3 √3 (cm 2).

En combinant le tout dans une formule de volume, nous obtenons :

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

Réponse : V \u003d 18 cm 3.

La quatrième tâche

Condition. Il s'agit de connaître le volume d'un parallélépipède remplissant les conditions suivantes : la base est un carré de 5 cm de côté ; les faces latérales sont des losanges ; l'un des sommets au-dessus de la base est équidistant de tous les sommets situés à la base.

La solution. Vous devez d'abord faire face à la condition. Il n'y a pas de questions avec le premier paragraphe sur le carré. La seconde, sur les losanges, précise que le parallélépipède est incliné. De plus, toutes ses arêtes sont égales à 5 cm, puisque les côtés du losange sont les mêmes. Et à partir du troisième, il devient clair que les trois diagonales qui en sont tirées sont égales. Ce sont deux qui se trouvent sur les faces latérales, et le dernier est à l'intérieur du parallélépipède. Et ces diagonales sont égales au bord, c'est-à-dire qu'elles ont également une longueur de 5 cm.

Pour déterminer le volume, vous aurez besoin d'une formule écrite pour un parallélépipède incliné. Encore une fois, il n'y a pas de quantités connues dedans. Cependant, l'aire de la base est facile à calculer car c'est un carré.

So \u003d 5 2 \u003d 25 (cm 2).

Un peu plus difficile est le cas avec la hauteur. Il sera tel en trois figures : un parallélépipède, une pyramide quadrangulaire et un triangle isocèle. La dernière circonstance doit être utilisée.

Comme c'est une hauteur, c'est une jambe dans un triangle rectangle. L'hypoténuse y sera un bord connu et la deuxième jambe est égale à la moitié de la diagonale du carré (la hauteur est également la médiane). Et la diagonale de la base est facile à trouver :

ré = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).

La hauteur devra être calculée comme la différence du deuxième degré du bord et du carré de la moitié de la diagonale et n'oubliez pas d'extraire la racine carrée :

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).

V \u003d 25 * 2,5 √2 \u003d 62,5 √2 (cm 3).

Réponse: 62,5 √2 (cm3).