Силовото поле е област от пространството, във всяка точка от която частица, поставена там, се влияе от сила, която естествено се променя от точка на точка, например гравитационното поле на Земята или полето на силите на съпротивление във флуид (газ ) поток. Ако силата във всяка точка на силовото поле не зависи от времето, тогава се нарича такова поле стационарен. Ясно е, че силово поле, което е стационарно в една отправна система, може да се окаже нестационарно в друга система. В стационарно силово поле силата зависи само от положението на частицата.

Работата, извършена от полевите сили при преместване на частица от точка 1 точно 2 , общо казано, зависи от пътя. Сред стационарните силови полета обаче има такива, при които тази работа не зависи от пътя между точките 1 и 2 . Този клас полета, имайки редица важни свойства, заема специално място в механиката. Сега се обръщаме към изследването на тези свойства.

Нека обясним казаното на примера на следната сила. На фиг. 5.4 показва тялото ABCD,в точката Окоя сила се прилага , трайно свързан с тялото.

Да преместим тялото от позиция азв позиция IIдва начина. Нека първо изберем точка като полюс О(Фиг. 5.4a)) и завъртете тялото около полюса под ъгъл π / 2, противоположен на посоката на въртене по часовниковата стрелка. Тялото ще заеме позиция A "B" C "D".Нека сега информираме тялото за транслационно изместване във вертикална посока чрез стойността ОО".Тялото ще заеме позиция II (A"B"C"D").Работата на силата върху перфектното изместване на тялото от позицията азв позиция IIе равно на нула. Векторът на движение на полюса е представен от сегмент ОО".

Във втория метод избираме точка като полюс Кориз. 5.4b) и завъртете тялото около полюса на ъгъл π/2 обратно на часовниковата стрелка. Тялото ще заеме позиция A "B" C "D"(фиг. 5.4b). Сега нека преместим тялото вертикално нагоре с вектора на полюсното изместване КК",след което даваме на тялото хоризонтално изместване наляво с количеството К"К".В резултат на това тялото ще заеме позиция II,същото като в позиция, фиг.5.4 а) на фигура 5.4. Сега обаче векторът на изместване на полюса ще бъде различен, отколкото при първия метод, а работата на силата при втория метод за преместване на тялото от позиция азв позиция IIе равно на A \u003d F K "K",т.е. тя е различна от нула.

Определение: стационарно силово поле, в което работата на полевите сили върху пътя между произволни две точки не зависи от формата на пътя, а зависи само от положението на тези точки, се нарича потенциал, а самите сили - консервативен.

потенциалтакива сили ( потенциална енергия) е извършената от тях работа по преместването на тялото от крайно положение в начално, като началното положение може да бъде избрано произволно. Това означава, че потенциалната енергия се определя с точност до константа.

Ако това условие не е изпълнено, тогава силовото поле не е потенциално и се наричат ​​полевите сили неконсервативен.

В реалните механични системи винаги има сили, чиято работа е отрицателна по време на реалното движение на системата (например сили на триене). Такива сили се наричат разсейващ.Те са особен вид неконсервативни сили.

Консервативните сили имат редица забележителни свойства, за да разкрием които въвеждаме концепцията за силово поле. Силовото поле е пространството(или част от него), при което определена сила действа върху материална точка, поставена във всяка точка от това поле.

Нека покажем, че в потенциално поле работата на полевите сили върху всеки затворен път е равна на нула. Наистина, всеки затворен път (фиг. 5.5) може да бъде разделен произволно на две части, 1а2и 2b1. Тъй като полето е потенциално, тогава, по условие, . От друга страна е очевидно, че. Ето защо

Q.E.D.

Обратно, ако работата на полевите сили по който и да е затворен път е нула, тогава работата на тези сили по пътя между произволни точки 1 и 2 не зависи от формата на пътя, т.е. полето е потенциално. За да докажем това, поемаме по два произволни пътя 1а2и 1b2(вижте фигура 5.5). Да направим затворен път 1a2b1. Работата по този затворен път е равна на нула по условие, т.е. Оттук. Но, следователно

По този начин равенството на нула на работата на полевите сили върху всеки затворен път е необходимо и достатъчно условие за независимостта на работата от формата на пътя и може да се счита отличителен белегвсяко потенциално поле от сили.

Полето на централните сили.Всяко силово поле е причинено от действието на определени тела. Сила, действаща върху частица НОв такова поле се дължи на взаимодействието на тази частица с тези тела. Силите, които зависят само от разстоянието между взаимодействащите частици и са насочени по права линия, свързваща тези частици, се наричат ​​централни.Пример за последните са гравитационните, кулоновите и еластичните сили.

Централната сила, действаща върху частицата НОот страната на частицата AT, могат да бъдат представени в общ вид:

където f(r) е функция, която за даден характер на взаимодействие зависи само от r- разстояния между частиците; - единичен вектор, който определя посоката на радиус-вектора на частицата НОспрямо частицата AT(фиг. 5.6).

Нека докажем това всяко стационарно поле на централни сили е потенциално.

За да направим това, първо разглеждаме работата на централните сили в случая, когато силовото поле е причинено от присъствието на една неподвижна частица AT. Елементарната работа на силата (5.8) върху преместването е . Тъй като е проекцията на вектора върху вектора , или върху съответния радиус вектор (фиг. 5.6), тогава . Работата на тази сила по произволен път от точка 1 към основния въпрос 2

Полученият израз зависи само от вида на функцията f(r), т.е. от естеството на взаимодействието и от стойностите r1и r2начално и крайно разстояние между частиците НОи AT. Няма нищо общо с формата на пътя. И това означава, че това силово поле е потенциално.

Нека обобщим получения резултат към стационарното силово поле, причинено от наличието на набор от неподвижни частици, действащи върху частицата НОсъс сили, всяка от които е централна. В този случай работата на получената сила при движение на частицата НОот една точка до друга е равна на алгебричната сума от работата на отделните сили. И тъй като работата на всяка от тези сили не зависи от формата на пътя, работата на резултантната сила също не зависи от нея.

Следователно всяко стационарно поле на централни сили е потенциално.

Потенциална енергия на частица.Фактът, че работата на силите на потенциалното поле зависи само от началното и крайното положение на частицата, прави възможно въвеждането на изключително важното понятие за потенциална енергия.

Представете си, че движим частица в потенциално поле от сили от различни точки P iдо фиксирана точка О. Тъй като работата на полевите сили не зависи от формата на пътя, тя остава зависима само от позицията на точката Р(във фиксирана точка О). И това означава, че тази работаще бъде някаква функция на радиус вектора на точката Р. Обозначавайки тази функция, пишем

Функцията се нарича потенциална енергия на частица в дадено поле.

Сега нека намерим работата на полевите сили при преместване на частица от точка 1 точно 2 (фиг. 5.7). Тъй като работата не зависи от пътя, вземаме пътя, минаващ през точката 0. Тогава работата по пътя 1 02 могат да бъдат представени във формата

или като се вземе предвид (5.9)

Изразът вдясно е загубата* на потенциална енергия, т.е. разликата между стойностите на потенциалната енергия на частицата в началната и крайната точка на пътя.

_________________

* Променете всяка стойност хможе да се характеризира с увеличаване или намаляване. Увеличаване хсе нарича разлика на финала ( x2) и начален ( X 1) стойности на това количество:

увеличение Δ х = X 2 - X 1.

Спад в величината хсе нарича разликата на неговия начален ( X 1) и финал ( X 2) стойности:

упадък X 1 - X 2 \u003d -Δ х,

намаляване на стойността хе равно на неговото увеличение, взето с обратен знак.

Прирастът и загубата са алгебрични величини: ако X 2 > x1, тогава увеличението е положително, а намалението е отрицателно и обратно.

По този начин работата на полеви сили по пътя 1 - 2 е равно на намаляването на потенциалната енергия на частицата.

Очевидно на частица, разположена в точка 0 на полето, винаги може да бъде приписана всяка предварително избрана стойност на потенциална енергия. Това съответства на обстоятелството, че чрез измерване на работата може да се определи само разликата на потенциалните енергии в две точки на полето, но не и нейната абсолютна стойност. Въпреки това, след като стойността е фиксирана

потенциална енергия във всяка точка, нейните стойности във всички останали точки на полето се определят еднозначно по формула (5.10).

Формула (5.10) дава възможност да се намери израз за всяко потенциално силово поле. За да направите това, достатъчно е да изчислите работата, извършена от силите на полето по всеки път между две точки, и да я представите като загуба на някаква функция, която е потенциална енергия.

Точно това беше направено при изчисляването на работата в полетата на еластичните и гравитационните (кулонови) сили, както и в еднородно гравитационно поле [виж фиг. формули (5.3) - (5.5)]. От тези формули веднага става ясно, че потенциалната енергия на частица в тези силови полета има следната форма:

1) в полето на еластичната сила

2) в полето на точкова маса (заряд)

3) в еднородно гравитационно поле

Още веднъж подчертаваме, че потенциалната енергия Uе функция, която е дефинирана до добавянето на произволна константа. Това обстоятелство обаче е напълно маловажно, тъй като всички формули включват само разликата в стойностите Uв две позиции на частицата. Следователно отпада произволна константа, еднаква за всички точки на полето. В тази връзка обикновено се пропуска, което е направено в трите предишни израза.

И има още едно важно обстоятелство, което не трябва да се забравя. Потенциалната енергия, строго погледнато, трябва да се припише не на частица, а на система от частици и тела, които взаимодействат помежду си, причинявайки силово поле. При даден характер на взаимодействие потенциалната енергия на взаимодействието на частица с дадени тела зависи само от положението на частицата спрямо тези тела.

Връзка между потенциална енергия и сила. Съгласно (5.10) работата на силата на потенциалното поле е равна на намаляването на потенциалната енергия на частицата, т.е. НО 12 = U 1 - U 2 = - (U 2 - Uедин). При елементарно преместване последният израз има формата dA = - dU, или

F l dl= - dU. (5.14)

т.е. проекцията на напрегнатостта на полето в дадена точка върху посоката на преместване е равна с обратен знак на частната производна на потенциалната енергия в тази посока.

, то с помощта на формула (5.16) имаме възможност да възстановим полето на силите .

Геометричното място на точките в пространството, в които потенциалната енергия Uима същата стойност, определя еквипотенциална повърхност. Ясно е, че за всяка стойност Uсъответства на неговата еквипотенциална повърхност.

От формула (5.15) следва, че проекцията на вектора върху всяка посока, допирателна към еквипотенциалната повърхност в дадена точка, е равна на нула. Това означава, че векторът е нормален към еквипотенциалната повърхност в дадена точка. Освен това знакът минус в (5.15) означава, че векторът е насочен към намаляване на потенциалната енергия. Това е обяснено на фиг. 5.8, отнасяща се до двумерния случай; тук има система от еквипотенциали и U 1 < U 2 < U 3 < … .

Консервативни сили се наричат ​​сили, чиято работа не зависи от пътя на прехода на тялото или системата от първоначалното положение до крайното. Характерно свойство на такива сили е, че работата по затворена траектория е нула:

Консервативните сили включват: гравитация, гравитационна сила, еластична сила и други сили.

Неконсервативните сили се наричат ​​сили, чиято работа зависи от пътя на прехода на тялото или системата от първоначалното положение до крайното. Работата на тези сили по затворена траектория е различна от нула. Неконсервативните сили включват: сила на триене, сила на теглене и други сили.

Силовото поле е физическо пространство, което удовлетворява условието, при което силите действат върху точките на механична система, разположени в това пространство, в зависимост от позицията на тези точки или от позицията на точките и времето. Силово поле. чиито сили не зависят от времето се нарича стационарен. Стационарно силово поле се нарича потенциално, ако има такава функция, която уникално зависи от координатите на точките на системата, чрез която проекциите на силата върху координатните оси във всяка точка на полето се изразяват, както следва: X i =∂υ/∂x i ; Y i =∂υ/∂y i; Z i = ∂υ/∂z i.

Всяка точка от потенциалното поле съответства, от една страна, на определена стойност на вектора на силата, действаща върху тялото, и, от друга страна, на определена стойност на потенциалната енергия. Следователно трябва да има определена връзка между сила и потенциална енергия.

За да установим тази връзка, изчисляваме елементарната работа, извършена от силите на полето при малко преместване на тялото, възникващо по произволно избрана посока в пространството, което означаваме с буквата . Тази работа е

където е проекцията на силата върху направлението .

Тъй като в този случай работата се извършва поради запаса от потенциална енергия, тя е равна на загубата на потенциална енергия на сегмента на оста:

От последните два израза получаваме

Последният израз дава средната стойност на интервала. Да се

за да получите стойността в точката, трябва да направите преминаването до лимита:

Тъй като може да се променя не само при движение по оста, но и при движение в други посоки, границата в тази формула е така наречената частична производна на по:

Тази връзка е валидна за всяка посока в пространството, по-специално за посоките на декартовите координатни оси x, y, z:

Тази формула определя проекцията на вектора на силата върху координатните оси. Ако тези прогнози са известни, тогава се определя самият вектор на силата:

по математика вектор ,

където a е скаларна функция на x, y, z, се нарича градиент на тази скала и се обозначава със символа . Следователно силата е равна на градиента на потенциалната енергия, взет с обратен знак

силово поле

част от пространството, във всяка точка от която частица, поставена там, се влияе от сила с определена величина и посока, в зависимост от координатите на тази точка, а понякога и от времето. В първия случай силовото поле се нарича стационарно, а във втория - нестационарно.

Силово поле

част от пространството (ограничено или неограничено), във всяка точка от която материалната частица, поставена там, се влияе от сила, определена по големина и посока, зависеща или само от координатите x, y, z на тази точка, или от координатите x , y, z и времето t . В първия случай S. p. се нарича стационарен, а във втория - нестационарен. Ако силата във всички точки на S. p. има една и съща стойност, т.е. не зависи нито от координатите, нито от времето, тогава S. p. се нарича хомогенна. Система, в която работата на силите на полето, действащо върху движеща се в него материална частица, зависи само от началното и крайното положение на частицата и не зависи от формата на нейната траектория, се нарича потенциална. Тази работа може да бъде изразена чрез потенциалната енергия на частицата P (x, y, z) чрез равенството A = P (x1, y1, z

≈ П (x2, y2, z

Където x1, y1, z1 и x2, y2, z2 са съответно координатите на началната и крайната позиция на частицата. Когато една частица се движи в потенциална въртяща се повърхност само под действието на силите на полето, се изпълнява законът за запазване на механичната енергия, което прави възможно установяването на връзка между скоростта на частицата и нейното положение във въртящото се пространство.

Примери за потенциален S.p .: равномерно гравитационно поле, за което P = mgz, където m ≈ маса на частиците, g ≈ ускорение на гравитацията (оста z е насочена вертикално нагоре); Нютоново гравитационно поле, за което П = ≈ fm/r, където r ≈ разстоянието на частицата от центъра на привличане, f ≈ константа за дадено полекоефициент.

Технически те са:

• стационарни силови полета, чиято големина и посока могат да зависят единствено от точка в пространството (координати x, y, z), и
• нестационарни силови полета, които също зависят от времето t.

• равномерно силово поле, за които силата, действаща върху тестовата частица, е еднаква във всички точки на пространството и

• нехомогенно силово поле, който не притежава това свойство.

Най-простият за изследване е стационарното еднообразно силово поле, но също така е и най-малко общият случай.

Силово поле

Силово поле е двусмислен термин, използван в следните значения:

• Силово поле- векторно поле на силите във физиката;
• Силово поле- някаква невидима бариера, Главна функциякоето е защитата на някаква област или цел от външни или вътрешни прониквания.

Силово поле (фикция)

Силово полеили силов щит или защитен щит- широко разпространен термин в научната фантастика и фентъзи литературата, който се отнася до някаква невидима бариера, чиято основна функция е да защитава някаква зона или цел от външни или вътрешни прониквания. Тази идея може да се основава на концепцията за векторно поле. Във физиката този термин също има няколко специфични значения (вижте Силово поле).

Помислете отново за затворена система, състояща се от две точки A и B. По силата на първия закон на Нютон, ако няма точка B в системата и точка A е свободна, тогава скоростта на точка A спрямо инерциалната отправна система няма да се промени и щяхме да имаме.

Въпреки това, поради взаимодействието на точки A и B, производната е различна от нула. Както бе споменато по-горе, механиката не отговаря на въпроса защо присъствието на точка B влияе върху движението на точка A, а изхожда от факта, че има такъв ефект и идентифицира резултата от този ефект с вектора. Въздействието на точка B върху движението на точка A се нарича сила и се казва, че точка B действа върху точка A със сила, представена от вектора

Именно това равенство (използвайки термина "сила") обикновено се нарича втори закон на Нютон.

Нека освен това една и съща точка А взаимодейства с няколко материални обекта. Всеки от тези обекти, ако беше един, би предизвикал възникването на сила, респ. В този случай се постулира така нареченият принцип на независимост на действието на силите: силата, дължаща се на който и да е източник, не зависи от наличието на сили, дължащи се на други източници. Централно за това е предположението, че силите, приложени към една и съща точка, могат да бъдат добавени съгласно обичайните правила за добавяне на вектори и че така получената сила е еквивалентна на първоначалната. Поради предположението за независимост на действието на силите, наборът от действия, приложени към материална точка, може да бъде заменен с едно действие, съответно представено от една сила, която се получава чрез геометрично слепване на векторите на всички действащи сили.

Силата е резултат от взаимодействието на материалните обекти. Това означава, че ако поради наличието на точка B, то, обратно, поради наличието на точка A. Съотношението между силите и се установява от третия постулат (закон) на Нютон. Според този постулат при взаимодействие между материалните обекти силите и са равни по големина, действат по една права линия, но са насочени към противоположни страни. Този закон понякога се формулира накратко по следния начин: „всяко действие е равно и противоположно на реакцията“.

Това твърдение е нов постулат. То не произтича по никакъв начин от предишните първоначални допускания и, най-общо казано, е възможно да се изгради механика без този постулат или с различна негова формулировка.

Когато се разглежда система от материални точки, е удобно всички сили, действащи върху точките на разглежданата система, да се разделят на два класа. Първият клас включва сили, които възникват поради взаимодействията на материални точки, включени в дадена система. Сили от този вид се наричат ​​вътрешни. Силите, които възникват поради въздействието върху материалните точки на разглежданата система на други материални обекти, които не са включени в тази система, се наричат ​​външни.

2. Работа на силата.

Скаларното произведение , където е безкрайно малко увеличение на радиус-вектора, когато материална точка се измества по траекторията си, се нарича елементарна работа на силата и се означава . Сумата от елементарната работа на всички сили, действащи върху точките на системата, се нарича елементарна работа на силите на системата и се обозначава

Изразявайки скаларните продукти по отношение на проекциите на факторите върху координатните оси, получаваме

(18)

Ако проекциите на силите и увеличенията на координатите са изразени по отношение на един и същ скаларен параметър (например по отношение на времето t или, в случай на система, състояща се от една точка, по отношение на елементарно преместване), тогава количествата от дясната страна на равенствата (17) и (18) могат да бъдат представени като функции на този параметър, умножени по неговия диференциал, и могат да бъдат интегрирани върху този параметър, например върху t в диапазона от до . Резултатът от интегрирането се означава и нарича съответно общата работа на силата и общата работа на силите на системата във времето.

При изчисляване на елементарната и общата работа на всички сили на системата, трябва да се вземат предвид всички сили, както външни, така и вътрешни. Фактът, че вътрешните сили са равни по двойки и противоположно насочени, се оказва незначителен, тъй като при изчисляване на работата играят роля и преместванията на точките и следователно работата на вътрешните сили, най-общо казано, е различна от нула.

Обмисли специален случай, когато количествата от дясната страна на равенства (17) и (18) могат да бъдат представени като общи диференциали

В този случай също е естествено да се възприемат обозначенията и дефинициите, въведени по-горе:

От равенства (21) и (22) следва, че в случаите, когато елементарната работа е общият диференциал на някаква функция Ф, работата на всеки краен интервал зависи само от стойностите на Ф в началото и в края от този интервал и не зависи от междинните стойности на Ф, т.е. от това как е станало движението.

3. Силово поле.

В много проблеми на механиката често трябва да се работи със сили, които зависят от положението на разглежданите точки (и може би от времето) и не зависят от техните скорости. Така например силата може да зависи от разстоянието между взаимодействащите точки. В техническите задачи силите, дължащи се на пружините, зависят от деформацията на пружините, т.е. също и от положението в пространството на разглежданата точка или тяло.

Нека първо разгледаме случая, когато се изучава движението на една точка и следователно се разглежда само една сила, в зависимост от положението на точката. В такива случаи векторът на силата се свързва не с точката, върху която се извършва въздействието, а с точки в пространството. Предполага се, че с всяка точка от пространството, определена в някаква инерционна референтна система, е свързана определена, представляваща силата, която би действала върху материална точка, ако последната беше поставена в тази точка от пространството. Така условно се счита, че пространството навсякъде е "запълнено" с вектори. Този набор от вектори се нарича силово поле.

Казва се, че силовото поле е стационарно, ако разглежданите сили не зависят изрично от времето. В противен случай силовото поле се нарича нестационарно.

Полето се нарича потенциално, ако има такава скаларна функция на координатите на точката (и, може би, времето), че частичните производни на тази функция по отношение на и са равни на проекциите на силата F върху x, y и z оси, съответно:

Поради факта, че силата F е функция на точка в пространството, т.е. координати и, може би, време, нейните проекции също са функции на променливи.

Функцията, ако съществува, се нарича степенна функция. Разбира се, силова функция не съществува за нито едно силово поле и условията за нейното съществуване, т.е. условията за това, че полето е потенциално, не се обясняват в курса на математиката и се определят от равенствата

При изследване на движението на N взаимодействащи точки е необходимо да се вземе предвид наличието на N сили, действащи върху тях. В този случай се въвежда -мерното пространство на координатите на точките. Посочването на точка в това пространство определя местоположението на всички N материални точки на изследваната система. Освен това се въвежда в разглеждане -мерен вектор с координати и конвенционално се приема, че -мерното пространство навсякъде е плътно запълнено с такива вектори. Тогава задаването на точка от това -измерно пространство определя не само позицията на всички материални точки спрямо първоначалната референтна система, но също и всички сили, действащи върху материалните точки на системата. Такова едномерно силово поле се нарича потенциално, ако съществува силова функция Φ на всички координати, така че

Ако силите могат да бъдат представени като сбор от два члена

така че членовете да удовлетворяват отношения (24), но условията да не ги удовлетворяват, те се наричат ​​потенциални, непотенциални сили.

Система от материални точки се нарича консервативна, ако съществува силова функция, която не зависи изрично от времето (силовото поле е стационарно) и такава, че всички сили, действащи върху точките, удовлетворяват отношения (24).

Елементарната работа на силите на консервативната система

удобно е да се представи в различна форма, изразяваща скаларните произведения чрез проекциите на векторни множители (формула (18)). Отчитайки съществуването на якостната функция Ф, по силата на (23) получаваме

т.е. елементарната работа е равна на общия диференциал на функцията на силата

По този начин, при движения на консервативна система, елементарната работа се изразява чрез общия диференциал на някаква функция и следователно

Хиперповърхности

се наричат ​​равни повърхности.

Във формула (26) символите и означават стойностите на Ф в моментите на началото и края на движението. Следователно за всяко движение на системата, чието начало съответства на точка, разположена на равната повърхност

а краят е точка на повърхността на нивото

работата се изчислява по формулата (26). Следователно, когато системата се движи по-консервативно, работата не зависи от пътя, а само от повърхностите на кое ниво е започнало и завършило движението. По-специално, работата е нула, ако движението започва и завършва на една и съща равна повърхност.

силово полесе нарича физическо пространство, което отговаря на условието, че силите, действащи върху точките на механична система, разположени в това пространство, зависят от позицията на тези точки или от позицията на точките и времето (но не и от техните скорости).

Силово поле, чиито сили не зависят от времето, се нарича стационарен(примери за силово поле са гравитационно поле, електростатично поле, еластично силово поле).

Потенциално силово поле.

Стационарно силово полеНаречен потенциал, ако работата на полевите сили, действащи върху механичната система, не зависи от формата на траекториите на нейните точки и се определя само от тяхното начално и крайно положение.Тези сили се наричат ​​потенциални сили или консервативни сили.

Нека докажем, че горното условие е изпълнено, ако има еднозначна функция от координати:

наречена силова функция на полето, чиито частни производни по отношение на координатите на всяка точка M i (i=1, 2...n) са равни на проекциите ции на силата, приложена към тази точка върху съответните оси, т.е.

Елементарната работа на силата, приложена към всяка точка, може да се определи по формулата:

Елементарната работа на силите, приложени към всички точки на системата, е равна на:

Използвайки формулите, получаваме:

Както се вижда от тази формула, елементарната работа на силите на потенциалното поле е равна на общия диференциал на функцията на силата Работата на силите на полето върху крайното преместване на механичната система е равна на:

т.е. работата на силите, действащи върху точките на механична система в потенциално поле, е равна на разликата между стойностите на силовата функция в крайната и началната позиция на системата и не зависи от формата на траектории на точките от тази система. Позициите на системата и не зависят от формата на траекториите на точките на тази система. От това следва, че силовото поле, за което има силова функция, е наистина потенциал.