Un champ de forces est une région de l'espace, en chaque point de laquelle une particule qui y est placée est affectée par une force qui varie naturellement d'un point à l'autre, par exemple le champ de gravité terrestre ou le champ des forces de résistance dans un fluide (gaz ) couler. Si la force en chaque point du champ de force ne dépend pas du temps, alors un tel champ est appelé Stationnaire. Il est clair qu'un champ de force stationnaire dans un référentiel peut s'avérer non stationnaire dans un autre référentiel. Dans un champ de force stationnaire, la force ne dépend que de la position de la particule.

Le travail effectué par les forces de champ lors du déplacement d'une particule d'un point 1 exactement 2 , d'une manière générale, dépend du chemin. Cependant, parmi les champs de force stationnaires, il y a ceux dans lesquels ce travail ne dépend pas du chemin entre les points 1 et 2 . Cette classe de champs, possédant un certain nombre de propriétés importantes, occupe une place particulière en mécanique. Passons maintenant à l'étude de ces propriétés.

Expliquons ce qui a été dit sur l'exemple de la force suivante. Sur la fig. 5.4 montre le corps A B C D,à ce point O quelle force est appliquée , lien permanent avec le corps.

Déplaçons le corps de la position je en position II deux manières. Choisissons d'abord un point comme pôle O(Fig. 5.4a)) et faites tourner le corps autour du pôle selon un angle π / 2 opposé au sens de rotation dans le sens des aiguilles d'une montre. Le corps prendra position A B C D". Informons maintenant le corps du déplacement en translation dans le sens vertical par la valeur OO". Le corps prendra position II (A"B"C"D"). Le travail de la force sur le déplacement parfait du corps de la position je en position II est égal à zéro. Le vecteur de déplacement du pôle est représenté par un segment OO".

Dans la deuxième méthode, on choisit un point comme pôle K riz. 5.4b) et tournez le corps autour du pôle d'un angle π/2 dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Le corps prendra position A B C D"(Fig. 5.4b). Déplaçons maintenant le corps verticalement vers le haut avec le vecteur de déplacement des pôles KK", après quoi on donne au corps un déplacement horizontal vers la gauche de la quantité K"K". En conséquence, le corps prendra une position II, le même que dans la position, Fig.5.4 un) de la Figure 5.4. Cependant, maintenant le vecteur de déplacement du pôle sera différent de celui de la première méthode, et le travail de la force dans la deuxième méthode de déplacement du corps de la position je en position II est égal à Un \u003d FK "K", c'est-à-dire qu'il est différent de zéro.

Définition: un champ de force stationnaire dans lequel le travail de la force de champ sur le chemin entre deux points ne dépend pas de la forme du chemin, mais dépend uniquement de la position de ces points, est appelé potentiel, et les forces elles-mêmes - conservateur.

Potentiel de telles forces ( énergie potentielle) est le travail effectué par eux pour déplacer le corps de la position finale à la position initiale, et la position initiale peut être choisie arbitrairement. Cela signifie que l'énergie potentielle est déterminée à une constante près.

Si cette condition n'est pas remplie, alors le champ de force n'est pas potentiel et les forces de champ sont appelées non conservateur.

Dans les systèmes mécaniques réels, il existe toujours des forces dont le travail est négatif pendant le mouvement réel du système (par exemple, les forces de frottement). De telles forces sont appelées dissipatif. Il s'agit d'un type particulier de forces non conservatrices.

Les forces conservatrices ont un certain nombre de propriétés remarquables, pour révéler lesquelles nous introduisons le concept de champ de force. Le champ de force est l'espace(ou une partie de celui-ci), dans lequel une certaine force agit sur un point matériel placé en chaque point de ce champ.

Montrons que dans un champ de potentiel le travail des forces de champ sur tout chemin fermé est égal à zéro. En effet, tout chemin fermé (Fig. 5.5) peut être divisé arbitrairement en deux parties, 1a2 et 2b1. Puisque le champ est potentiel, alors, par condition, . D'autre part, il est évident que . C'est pourquoi

Q.E.D.

Inversement, si le travail des forces de champ sur tout chemin fermé est nul, alors le travail de ces forces sur le chemin entre des points arbitraires 1 et 2 ne dépend pas de la forme du chemin, c'est-à-dire que le champ est potentiel. Pour le prouver, nous prenons deux chemins arbitraires 1a2 et 1b2(voir figure 5.5). Faisons un chemin fermé 1a2b1. Le travail sur ce chemin fermé est égal à zéro par condition, c'est-à-dire . D'ici. Mais, donc

Ainsi, l'égalité à zéro du travail des forces de champ sur tout chemin fermé est une condition nécessaire et suffisante pour l'indépendance du travail de la forme du chemin, et peut être considérée poinçonner tout champ de forces potentiel.

Le champ des forces centrales. Tout champ de force est causé par l'action de certains corps. Force agissant sur une particule MAIS dans un tel champ est due à l'interaction de cette particule avec ces corps. Les forces qui ne dépendent que de la distance entre les particules en interaction et dirigées le long d'une ligne droite reliant ces particules sont dites centrales. Un exemple de ces dernières sont les forces gravitationnelles, coulombiennes et élastiques.

La force centrale agissant sur la particule MAIS du côté de la particule À, peut être représenté sous la forme générale :

où F(r) est une fonction qui, pour une nature d'interaction donnée, ne dépend que de r- distances entre particules ; - vecteur unitaire qui spécifie la direction du rayon-vecteur de la particule MAIS par rapport à la particule À(Fig. 5.6).

Prouvons que tout champ stationnaire de forces centrales est potentiellement.

Pour ce faire, nous considérons d'abord le travail des forces centrales dans le cas où le champ de force est causé par la présence d'une particule immobile À. Le travail de force élémentaire (5.8) sur le déplacement est . Puisque est la projection du vecteur sur le vecteur , ou sur le rayon vecteur correspondant (Fig. 5.6), alors . Le travail de cette force le long d'un chemin arbitraire à partir d'un point 1 jusqu'au point 2

L'expression résultante dépend uniquement du type de fonction F(r), c'est-à-dire sur la nature de l'interaction, et sur les valeurs r1 et r2 distances initiale et finale entre les particules MAIS et À. Cela n'a rien à voir avec la forme du chemin. Et cela signifie que ce champ de force est potentiel.

Généralisons le résultat obtenu au champ de force stationnaire provoqué par la présence d'un ensemble de particules immobiles agissant sur la particule MAIS avec des forces dont chacune est centrale. Dans ce cas, le travail de la force résultante lors du déplacement de la particule MAIS d'un point à un autre est égal à la somme algébrique du travail des forces individuelles. Et puisque le travail de chacune de ces forces ne dépend pas de la forme du chemin, le travail de la force résultante n'en dépend pas non plus.

Ainsi, en effet, tout champ stationnaire de forces centrales est potentiel.

Énergie potentielle d'une particule. Le fait que le travail des forces du champ de potentiel ne dépende que des positions initiale et finale de la particule permet d'introduire la notion extrêmement importante d'énergie potentielle.

Imaginez que nous déplaçons une particule dans un champ de forces potentiel à partir de différents points P jeà un point fixe O. Puisque le travail des forces de champ ne dépend pas de la forme de la trajectoire, il ne dépend que de la position du point R(à un point fixe O). Et cela signifie que ce travail sera une fonction du rayon vecteur du point R. En notant cette fonction, on écrit

La fonction s'appelle l'énergie potentielle d'une particule dans un champ donné.

Trouvons maintenant le travail des forces de champ lors du déplacement d'une particule à partir d'un point 1 exactement 2 (Fig. 5.7). Comme le travail ne dépend pas du chemin, on prend le chemin passant par le point 0. Puis le travail sur le chemin 1 02 peut se présenter sous la forme

ou en tenant compte de (5.9)

L'expression de droite est la perte* d'énergie potentielle, c'est-à-dire la différence entre les valeurs de l'énergie potentielle de la particule aux points initial et final du trajet.

_________________

* Modifier n'importe quelle valeur X peut être caractérisée soit par son augmentation soit par sa diminution. Incrément X est appelée la différence de la finale ( x2) et initiale ( X 1) valeurs de cette quantité :

incrément Δ X = X 2 - X 1.

Diminution de la taille X est appelée la différence de son initiale ( X 1) et finale ( X2) valeurs:

déclin X 1 - X 2 \u003d -Δ X,

c'est-à-dire une baisse de valeur X est égal à son incrément, pris avec le signe opposé.

L'incrément et la perte sont des quantités algébriques : si X2 > x1, alors l'augmentation est positive et la diminution est négative, et vice versa.

Ainsi, le travail des forces de terrain sur le chemin 1 - 2 est égal à la diminution de l'énergie potentielle de la particule.

Évidemment, une particule située au point 0 du champ peut toujours se voir attribuer n'importe quelle valeur présélectionnée d'énergie potentielle. Cela correspond à la circonstance que seule la différence des énergies potentielles en deux points du champ peut être déterminée par la mesure du travail, mais pas sa valeur absolue. Cependant, une fois la valeur fixée

énergie potentielle en tout point, ses valeurs en tous les autres points du champ sont déterminées de manière unique par la formule (5.10).

La formule (5.10) permet de trouver une expression pour tout champ de force potentiel. Pour ce faire, il suffit de calculer le travail effectué par les forces de champ sur n'importe quel chemin entre deux points et de le présenter comme une perte d'une fonction, qui est l'énergie potentielle.

C'est exactement ce qui a été fait lors du calcul du travail dans les champs de forces élastiques et gravitationnelles (Coulomb), ainsi que dans un champ gravitationnel uniforme [voir Fig. formules (5.3) - (5.5)]. Il ressort immédiatement de ces formules que l'énergie potentielle d'une particule dans ces champs de force a la forme suivante :

1) dans le domaine de la force élastique

2) dans le champ d'une masse ponctuelle (charge)

3) dans un champ de gravité uniforme

Nous soulignons encore une fois que l'énergie potentielle tu est une fonction définie à l'addition d'une constante arbitraire près. Cette circonstance, cependant, est totalement sans importance, car toutes les formules n'incluent que la différence de valeurs tu dans deux positions de la particule. Par conséquent, une constante arbitraire, la même pour tous les points du champ, tombe. À cet égard, il est généralement omis, ce qui est fait dans les trois expressions précédentes.

Et il y a une autre circonstance importante qu'il ne faut pas oublier. L'énergie potentielle, à proprement parler, ne devrait pas être attribuée à une particule, mais à un système de particules et de corps interagissant les uns avec les autres, provoquant un champ de force. A nature d'interaction donnée, l'énergie potentielle d'interaction d'une particule avec des corps donnés ne dépend que de la position de la particule par rapport à ces corps.

Relation entre l'énergie potentielle et la force. Selon (5.10), le travail de la force de champ potentielle est égal à la diminution de l'énergie potentielle de la particule, c'est-à-dire MAIS 12 = tu 1 - tu 2 = - (tu 2 - tu une). Avec un déplacement élémentaire, la dernière expression a la forme dA = - dU, ou

F l dl= - dU. (5.14)

c'est-à-dire que la projection de l'intensité du champ en un point donné sur la direction du mouvement est égale au signe opposé à la dérivée partielle de l'énergie potentielle dans cette direction.

, alors à l'aide de la formule (5.16) nous avons la possibilité de restituer le champ de forces .

Le lieu des points de l'espace où l'énergie potentielle tu a la même valeur, définit une surface équipotentielle. Il est clair que pour toute valeur tu correspond à sa surface équipotentielle.

Il résulte de la formule (5.15) que la projection du vecteur sur toute direction tangente à la surface équipotentielle en un point donné est égale à zéro. Cela signifie que le vecteur est normal à la surface équipotentielle au point donné. De plus, le signe moins dans (5.15) signifie que le vecteur est orienté vers une énergie potentielle décroissante. Ceci est expliqué dans la Fig. 5.8, se référant au cas bidimensionnel ; voici un système d'équipotentielles, et U 1 < U 2 < U 3 < … .

Les forces conservatrices sont appelées forces, dont le travail ne dépend pas du chemin de transition du corps ou du système de la position initiale à la position finale. Une propriété caractéristique de telles forces est que le travail sur une trajectoire fermée est nul :

Les forces conservatrices comprennent : la gravité, la force gravitationnelle, la force élastique et d'autres forces.

Les forces non conservatrices sont appelées forces, dont le travail dépend du chemin de transition du corps ou du système de la position initiale à la position finale. Le travail de ces forces sur une trajectoire fermée est non nul. Les forces non conservatrices comprennent : la force de frottement, la force de traction et d'autres forces.

Un champ de force est un espace physique qui satisfait la condition selon laquelle des forces agissent sur les points d'un système mécanique situés dans cet espace, en fonction de la position de ces points ou de la position des points et du temps. Champ de force. dont les forces ne dépendent pas du temps est dit stationnaire. Un champ de force stationnaire est appelé potentiel s'il existe une telle fonction qui dépend uniquement des coordonnées des points du système, à travers laquelle les projections de la force sur les axes de coordonnées en chaque point du champ sont exprimées comme suit : X i =∂υ/∂x je ; Y je =∂υ/∂y je ; Z je = ∂υ/∂z je.

Chaque point du champ de potentiel correspond, d'une part, à une certaine valeur du vecteur force agissant sur le corps, et, d'autre part, à une certaine valeur d'énergie potentielle. Par conséquent, il doit y avoir une certaine relation entre la force et l'énergie potentielle.

Pour établir cette connexion, nous calculons le travail élémentaire effectué par les forces de champ lors d'un petit déplacement du corps se produisant le long d'une direction choisie arbitrairement dans l'espace, que nous désignons par la lettre . Ce travail est

où est la projection de la force sur la direction .

Puisque dans ce cas le travail est effectué grâce au stock d'énergie potentielle, il est égal à la perte d'énergie potentielle sur le segment de l'axe :

Des deux dernières expressions on obtient

La dernière expression donne la valeur moyenne sur l'intervalle . À

pour obtenir la valeur au point, il faut faire le passage à la limite :

Puisqu'il peut changer non seulement lors du déplacement le long de l'axe, mais également lors du déplacement dans d'autres directions, la limite dans cette formule est ce que l'on appelle la dérivée partielle de par :

Cette relation est valable pour toute direction de l'espace, en particulier pour les directions des axes de coordonnées cartésiennes x, y, z :

Cette formule détermine la projection du vecteur force sur les axes de coordonnées. Si ces projections sont connues, alors le vecteur force lui-même est déterminé :

en vecteur de mathématiques ,

où a est une fonction scalaire de x, y, z, est appelé le gradient de ce scalaire et est noté par le symbole . Par conséquent, la force est égale au gradient d'énergie potentielle, pris avec le signe opposé

champ de force

partie de l'espace, en chaque point de laquelle une particule qui y est placée est affectée d'une force d'une certaine grandeur et direction, dépendant des coordonnées de ce point, et parfois aussi du temps. Dans le premier cas, le champ de force est appelé stationnaire et dans le second - non stationnaire.

Champ de force

partie de l'espace (limitée ou illimitée), en chaque point de laquelle une particule matérielle qui y est placée est affectée par une force déterminée en grandeur et en direction, dépendant soit uniquement des coordonnées x, y, z de ce point, soit des coordonnées x , y, z et le temps t . Dans le premier cas, le S. p. est appelé stationnaire et dans le second - non stationnaire. Si la force en tous les points du S. p. a la même valeur, c'est-à-dire ne dépend ni des coordonnées ni du temps, alors le S. p. est dit homogène. Un système dans lequel le travail des forces d'un champ agissant sur une particule matérielle qui s'y déplace ne dépend que de la position initiale et finale de la particule et ne dépend pas de la forme de sa trajectoire est appelé potentiel. Ce travail peut être exprimé en termes d'énergie potentielle de la particule P (x, y, z) par l'égalité A = P (x1, y1, z

≈ П (x2, y2, z

Où x1, y1, z1 et x2, y2, z2 sont respectivement les coordonnées des positions initiale et finale de la particule. Lorsqu'une particule se déplace dans une surface de rotation potentielle sous la seule action des forces de champ, la loi de conservation de l'énergie mécanique s'applique, ce qui permet d'établir une relation entre la vitesse de la particule et sa position dans l'espace de rotation.

Exemples de potentiel S. p. : un champ de gravité uniforme, pour lequel P = mgz, où m ≈ masse des particules, g ≈ accélération de la gravité (l'axe z est dirigé verticalement vers le haut) ; Champ gravitationnel newtonien, pour lequel P = ≈ fm/r, où r ≈ la distance de la particule au centre d'attraction, f ≈ constante pour champ donné coefficient.

Techniquement ce sont :

• champs de force stationnaires, dont la grandeur et la direction peuvent dépendre uniquement d'un point de l'espace (coordonnées x, y, z), et
• champs de force non stationnaires, qui dépendent aussi du temps t.

• champ de force uniforme, pour laquelle la force agissant sur la particule test est la même en tout point de l'espace et

• champ de force inhomogène, qui n'a pas cette propriété.

Le plus simple à étudier est un champ de force uniforme stationnaire, mais il représente aussi le cas le moins général.

Champ de force

Champ de force est un terme ambigu utilisé dans les sens suivants :

• Champ de force- champ de forces vectoriel en physique ;
• Champ de force- une barrière invisible, fonction principale qui est la protection d'une zone ou d'un objectif contre les pénétrations externes ou internes.

Champ de force (fiction)

Champ de force ou bouclier de force ou bouclier de protection- un terme répandu dans la science-fiction et la littérature fantastique, qui fait référence à une sorte de barrière invisible, dont la fonction principale est de protéger une zone ou un objectif des pénétrations externes ou internes. Cette idée peut être basée sur le concept de champ vectoriel. En physique, ce terme a également plusieurs significations spécifiques (voir Champ de force).

Considérons à nouveau un système fermé constitué de deux points A et B. En vertu de la première loi de Newton, s'il n'y avait pas de point B dans le système et que le point A était libre, alors la vitesse du point A par rapport au référentiel inertiel ne changerait pas et nous aurions.

Cependant, en raison de l'interaction des points A et B, la dérivée est non nulle. Comme mentionné ci-dessus, la mécanique ne répond pas à la question de savoir pourquoi la présence du point B affecte le mouvement du point A, mais part du fait qu'un tel effet a lieu et identifie le résultat de cet effet avec le vecteur. L'impact du point B sur le mouvement du point A est appelé une force et on dit que le point B agit sur le point A avec une force représentée par le vecteur

C'est cette égalité (en utilisant le terme "force") que l'on appelle généralement la deuxième loi de Newton.

Supposons, de plus, qu'un même point A interagisse avec plusieurs objets matériels. Chacun de ces objets, s'il en était un, provoquerait respectivement l'émergence de la force. Dans ce cas, le soi-disant principe d'indépendance de l'action des forces est postulé: la force due à une source quelconque ne dépend pas de la présence de forces dues à d'autres sources. Au centre de cela se trouve l'hypothèse que les forces appliquées au même point peuvent être additionnées selon les règles habituelles de l'addition vectorielle et que la force ainsi obtenue est équivalente à celle d'origine. En raison de l'hypothèse d'indépendance de l'action des forces, l'ensemble des actions appliquées à un point matériel peut être remplacé par une action, respectivement, représentée par une force, qui est obtenue par gommage géométrique des vecteurs de toutes les forces agissantes.

La force est le résultat de l'interaction d'objets matériels. Cela signifie que si dû à la présence du point B, alors, vice versa, dû à la présence du point A. Le rapport entre les forces et est établi par le troisième postulat (loi) de Newton. Selon ce postulat, lors de l'interaction entre des objets matériels, les forces et sont d'amplitude égale, agissent le long d'une ligne droite, mais sont dirigées vers côtés opposés. Cette loi est parfois formulée brièvement comme suit : "toute action est égale et opposée à la réaction".

Cette affirmation est un nouveau postulat. Elle ne relève nullement des hypothèses initiales précédentes et, d'une manière générale, il est possible de construire une mécanique sans ce postulat ou avec une formulation différente de celui-ci.

Lorsque l'on considère un système de points matériels, il convient de diviser toutes les forces agissant sur les points du système considéré en deux classes. La première classe comprend les forces qui surviennent en raison des interactions de points matériels inclus dans un système donné. Les forces de ce type sont dites internes. Les forces qui surviennent en raison de l'impact sur les points matériels du système en considération d'autres objets matériels qui ne sont pas inclus dans ce système sont appelées externes.

2. Travail de force.

Le produit scalaire , où est un incrément infinitésimal du rayon vecteur lorsqu'un point matériel se déplace le long de sa trajectoire, est appelé le travail élémentaire de la force et est noté . La somme du travail élémentaire de toutes les forces agissant sur les points du système est appelée travail élémentaire des forces du système et notée

En exprimant les produits scalaires en termes de projections des facteurs sur les axes de coordonnées, nous obtenons

(18)

Si les projections de forces et les incréments de coordonnées sont exprimés en termes du même paramètre scalaire (par exemple, en termes de temps t ou, dans le cas d'un système constitué d'un point, en termes de déplacement élémentaire ), alors les quantités à droite des égalités (17) et (18) peuvent être représentées comme des fonctions de ce paramètre, multipliées par sa différentielle, et peuvent être intégrées sur ce paramètre, par exemple sur t dans la plage de à . Le résultat de l'intégration est noté et appelé travail total de la force et travail total des forces du système dans le temps, respectivement.

Lors du calcul du travail élémentaire et total de toutes les forces du système, , toutes les forces, externes et internes, doivent être prises en compte. Le fait que les forces internes soient égales par paires et dirigées de manière opposée s'avère insignifiant, car lors du calcul du travail, les déplacements des points jouent également un rôle, et donc le travail des forces internes, en général, est différent de zéro.

Envisager cas particulier, lorsque les quantités situées aux côtés droits des égalités (17) et (18) peuvent être représentées comme des différentiels totaux

Dans ce cas, il est également naturel d'adopter la notation et les définitions introduites ci-dessus :

Des égalités (21) et (22), il s'ensuit que dans les cas où le travail élémentaire est la différentielle totale d'une fonction Ф, le travail sur tout intervalle fini ne dépend que des valeurs de Ф au début et à la fin de cet intervalle et ne dépend pas des valeurs intermédiaires de Ф , c'est-à-dire de la façon dont le mouvement s'est déroulé.

3. Champ de force.

Dans de nombreux problèmes de mécanique, on a souvent affaire à des forces qui dépendent de la position des points considérés (et, peut-être, du temps) et ne dépendent pas de leurs vitesses. Ainsi, par exemple, la force peut dépendre de la distance entre les points d'interaction. Dans les problèmes techniques, les forces dues aux ressorts dépendent de la déformation des ressorts, c'est-à-dire également de la position dans l'espace du point ou du corps considéré.

Considérons d'abord le cas où le mouvement d'un point est étudié et donc une seule force est considérée, en fonction de la position du point. Dans de tels cas, le vecteur de force est associé non pas au point sur lequel l'impact est effectué, mais à des points dans l'espace. On suppose qu'à chaque point de l'espace, défini dans un référentiel inertiel, est associée une certaine, représentant la force qui agirait sur un point matériel si celui-ci était placé en ce point de l'espace. Ainsi, on considère conditionnellement que l'espace est partout "rempli" de vecteurs. Cet ensemble de vecteurs est appelé champ de force.

Un champ de force est dit stationnaire si les forces considérées ne dépendent pas explicitement du temps. Sinon, le champ de force est dit non stationnaire.

Le champ est appelé potentiel s'il existe une telle fonction scalaire des coordonnées du point (et, peut-être, du temps) que les dérivées partielles de cette fonction par rapport à et sont égales aux projections de la force F sur les x, y et axes z, respectivement :

Du fait que la force F est une fonction d'un point dans l'espace, c'est-à-dire des coordonnées et, peut-être, du temps, ses projections sont également des fonctions de variables.

La fonction , si elle existe, est appelée fonction puissance. Bien sûr, la fonction de force n'existe pour aucun champ de force, et les conditions de son existence, c'est-à-dire les conditions du fait que le champ est potentiel, ne sont pas expliquées au cours des mathématiques et sont déterminées par les égalités

Lors de l'étude du mouvement de N points en interaction, il est nécessaire de prendre en compte la présence de N forces agissant sur eux. Dans ce cas, l'espace -dimensionnel des coordonnées des points est introduit. La spécification d'un point dans cet espace détermine l'emplacement de tous les N points matériels du système étudié. En outre, un vecteur à dimensions avec des coordonnées est introduit en considération et on suppose classiquement que l'espace à dimensions est partout densément rempli de tels vecteurs. Alors l'affectation d'un point de cet espace à -dimensions détermine non seulement la position de tous les points matériels par rapport au référentiel initial, mais aussi toutes les forces agissant sur les points matériels du système. Un tel champ de force -dimensionnel est appelé potentiel s'il existe une fonction de force Φ de toutes les coordonnées telles que

Si les forces peuvent être représentées comme la somme de deux termes

de sorte que les termes satisfont aux relations (24), mais que les termes ne les satisfont pas, alors on les appelle des forces potentielles, non potentielles.

Un système de points matériels est dit conservatif s'il existe une fonction de force qui ne dépend pas explicitement du temps (le champ de force est stationnaire) et telle que toutes les forces agissant sur les points vérifient les relations (24).

Le travail élémentaire des forces d'un système conservateur

il convient de le présenter sous une forme différente, exprimant les produits scalaires en termes de projections de facteurs vectoriels (formule (18)). Compte tenu de l'existence de la fonction de force Ф, grâce à (23) on obtient

c'est-à-dire que le travail élémentaire est égal au différentiel total de la fonction de force

Ainsi, sous les mouvements d'un système conservateur, le travail élémentaire est exprimé par la différentielle totale d'une fonction, et donc

Hypersurfaces

sont appelées surfaces planes.

Dans la formule (26), les symboles et signifient les valeurs de Ф aux instants de début et de fin du mouvement. Ainsi, pour tout mouvement du système dont le début correspond à un point situé sur la surface plane

et la fin est un point sur la surface du niveau

le travail est calculé par la formule (26). Par conséquent, lorsqu'un système plus conservateur se déplace, le travail ne dépend pas du chemin, mais uniquement des surfaces planes sur lesquelles le mouvement a commencé et s'est terminé. En particulier, le travail est nul si le mouvement commence et se termine sur une même surface plane.

champ de force est appelé un espace physique qui satisfait la condition que les forces agissant sur les points d'un système mécanique situés dans cet espace dépendent de la position de ces points ou de la position des points et du temps (mais pas de leurs vitesses).

Champ de force, dont les forces ne dépendent pas du temps, est appelée Stationnaire(des exemples de champ de force sont le champ de gravité, le champ électrostatique, le champ de force élastique).

Champ de force potentiel.

Champ de force stationnaire appelé potentiel, si le travail des forces de champ agissant sur le système mécanique ne dépend pas de la forme des trajectoires de ses points et n'est déterminé que par leurs positions initiale et finale, ces forces sont appelées forces potentielles ou forces conservatrices.

Montrons que la condition ci-dessus est satisfaite s'il existe une fonction de coordonnées à valeur unique :

appelée fonction de force du champ, dont les dérivées partielles par rapport aux coordonnées de tout point M i (i=1, 2...n) sont égales aux projections tions de la force appliquée en ce point sur les axes correspondants, c'est-à-dire

Le travail élémentaire de la force appliquée à chaque point peut être déterminé par la formule :

Le travail élémentaire des forces appliquées en tous points du système est égal à :

En utilisant les formules, nous obtenons :

Comme on peut le voir à partir de cette formule, le travail élémentaire des forces du champ de potentiel est égal au différentiel total de la fonction de force.Le travail des forces du champ sur le déplacement final du système mécanique est égal à :

c'est-à-dire que le travail des forces agissant sur les points d'un système mécanique dans un champ de potentiel est égal à la différence entre les valeurs de la fonction de force dans les positions finale et initiale du système et ne dépend pas de la forme du trajectoires des points de ce système. Les positions du système et ne dépendent pas de la forme des trajectoires des points de ce système. Il s'ensuit que le champ de force pour lequel il existe une fonction de force est bien potentiel.